장음표시 사용
81쪽
64 Cl. Casparis Bach. Pori sim. Lib. tertius.
. . Esto triangulum rectan lum AB C. cuius hylotenuast. summa laterum D. asei gregatum ipsorum A B sit ri & F aggregatum ipsorum B C. Dico quadratum i lius D. aequari duplo producti ex E in F. Etenim quadratus ex D. aequatur quadra-r' tis singulorum A s c & duplo pioducti ex quolibet in quemlibet ex aliis. At ex hypothesi quadratus ipsius 2 aequatur quadratis ipfbrum A C. Quare loco quadrator in ex A & c. sumendo quadratum ex E. erit quadratus ex D aequalis duplo quadrati ex n, di duplo producti ex Ain c. Et ex v in ipsos A C. Rursus autem quia E continet ipsos A v. & F eontinet ipsos B c. duplum producti ex x in ν continet bis quadratum ipsius 3,&duplum productorum ex A in C. & ex n in ipsos A c. Igitur duplum producti ex E in F aequatur quadrato ex D. Quod erat demonstrandum. Deinde sint tres numeri A v C. quorum summa D. & aggregatum ipsorum A B sit E, & aggrega-s f ;M.tum ipsorum BC. iit F. Sc duplum producti ex E in F aequetur quadrato ex P. Dico ipsos A vc. i. f., .constituere triangulum rerungulum. Nam ut prius quadratus ex D. aequatur quadratis ipsorum Asc.&duplo ploducti ex quolibet in quemlibet ex aliis. At duplum priaucti os ins aequatur duplo quadrati ex B & duplo producti ex quolibet in quemlibet ex aliis. Quare auferendo utrimque . duplum producti ex quolibet in quemlibet ex alijs, manet duplum quadrati ex v aequale quadratis singulorum A a C. de rorsus auferendo utrimque quadratum lex B, remanet adhuc quadratus ex η. aequalis quadratis ipsorum A C. Ac proinde As C. constituunt triangulum rectangulum. Quod erat ostendenduin
82쪽
VILIBET numerorum a tetinario per unitatis incrementum progredientium , mul---- tangulus est, primus ab unitate, re trabet tot angulos, quot ipse unitatibus constat. Latus autem ipsorum est, Toximus ab unitate numerus, puta a. est autem 3. triangulus. quadratus. s. quinquangulus. &sic deinceps. Cum autem de quadratis euadens sit, ita eos constitui, quod nascantur numeri alicuius in seipsum multiplicatione , exploratum est quemlibet multangulum multiplicatum aliquo numero secundum proportionem multitudinis angulorum eius , & adsumentem quadratum aliquem secundum proportionem multitudinis angulorum eius, apparere quadratum. Atque hoc nos demonstrabimus , ostendentes quomodo dato latere inueniatur qui poscitur multangulus , & quomodo dato multangulo, latus accipitur. Prius autem ea demostrabimus quae ad hanc rem sumuntur.
In Librum Diophantide numeris multungulis commentaris.
I Aboriosissimis ἰn libros sex Arithmetieorunt eommentariis exant latis, superest 'obis denumsris multangulis liber enodandus. In quo restituendo quantum deludauerim eoniicere poterum quotquot in eo percipiendo, ut Xilandro nobis traditus est, operam aliquam impenderint. ut Omittam caetera quae hue contulimus , non paruam a tyronibus gratiam promeriti . sumus ovili agrammata singulis sere propositionibus adjem, quae passim impetitus librarius, tanquam ad rem minimὸ pertinentia, praetermiserat, eum tamen illorum ope destitutus, vel accerrimo qua ut praeditus ingenio, Diophanti demonstrationes vix percipere possit.
IN PROPOsITIONEM PRIMAM.HIE c propositio definitionis vel petitionis euiusdam locum obtinet. pet eam enim supponIe Diophantus, quemlibet numerum incipiendo ternario esse polygonum, tot angulos continentem quot unitatibus eonstat ipse numerus, verbi gratia 3. esse triangulum, ' quadratum rei lagonum, G. hexagonum, & sic in infinitum. Cuius rei ratio est, quia unitates cuiusti bo
83쪽
numeri aequalibus interuallis ita disponi possunt, ut repraesentent figuram totidem angulorum,& laterum aequalium, ut in apposito disgrammate videre est. Unde etiam apparet, quod subiicit Diophantus nimirum horum omnium polygonorum latus ede proximum ab unitate numerum, puta a, vides enim in quolitat latere euiustibet polygoni Contineri unitate δ.' Quoniam vero ipsa unitas virtualiter est Omnis polyg'nus; est enim &triam ' lus,& quadratus,& pentagonus, quia horum omnium polygonorum proprietates ipsi unitati eonueniunt, idcirco ait Diophantus quemlibet numerum , ternario, esse polygonum in sua specie primum post unitatem, verbi gratia 3. est primus triangulus post unitatem, A. primus quadratus, y. Primus pentagonus post unitatem, & sie de alijs.
SI suerint tres numeri aequalibus interuallis se superantes, qui se ex maximo in medium inities, adsumens minimi quadratum, facit quadratum, cuius latus aequale est composito ex maximo &medii duplo. sint enim tres numeri AB. BG. BD. aequalib. interuallis se superalites , Ostendendum est eum qui sit octies ex AB. in BG. una clim quadrato ipsius B D. facere quadratum , cuius latus aequale est
ipsi A B. & duobus B G. Quoniam ergo 1 B. aequalis est ipsis B G. G D. diuidetur qui fit octies ex AB. in BG. in eum qui tit octies ex B G. quadratum , & in eum qui fit octies ex B G. in G D. Et rursus diuiditur unumquodque praedictorum bifariam, nimirum in eum qui sit quater ex A B.in B G. & in quadratum ex B G. quater,&ineum qui fit quater ex BG. in GE. At qui fit quater ex B G. in G D. una cum quadrato ex D B. fit quadratus a Iatere A B. Quaerendii in igitur est, quomodo quadratus ex A B. & productus ex A B. in B G. quater, & quadratus ex B G. quater, compositi faciant quadratum. Itaques ponamus ipsi B G. aequalem A E. traiiciemus eum qui fit quater ex AB. in BG. in eum qui fit quater ex B A. in A E. qui mixtus quadruplo quadrati ex G B. seu quadrati ex A E. iacit aequalem quadruplo producti ex B E. in A E. qui mixtus quadrato ex AB. fit aequalis quadrato qui ex B E. E A. tanquam una describitur. fit ipsi B E. E A. aequales sunt ipsi A B. & duobus A E. seu duob. B G.quod erat ostendendu.
IN huius propositionis demonstratione, nulla insignis est disseultas. Tria tamen sunt qliae tyrones fortastis morari queant. Primum est quod ait Diophantus Q radratum ex Λ B. aequari qua-
84쪽
druplo Jproducti ex BG. in GD. una cum quadrato ex B D. Quod ita probatur. Moniam AB se nitur aequalis silmniae duorum BG. D G. quorum interualium BD. ' patet quadruplum producti ex BG. in D G. una cum quadrato interualli BD. aequale esse quadrato Litimae ipsorum 2G. DG. hoe est quadrato ipsius AB. Secundum quod ait Diophamus quadruplum produeii BA. in A E. una cuin quadruplo quadrati ex A E aequati quadruplo producti ex toto B E. in A E. Quod euidens est, quia ' producius ex RE. in E A. aequatur producto ex B A. in A E. una cum quadrato ex Λ E. Tertium est, quod ait Diophantus, quadruplum producti ex v E in ΛΕ, una eum quadiatoea AB. aequari quadrato compositi ex BE EA. Quod rursus patet pet 1. a. porismatum cum A D. fit interuallum ipsorum B E. EA. Potest autem hie ptopositio & uniuersalius concipi, & breuius atque etiam facilius demonstrati, hoc pacto.
Si fuerint tres numeri in medietate arithmetica, octuplum producti ex medio in quemlibet extremorum, adsciscens quadratum alterius extrema, aequatur quadrato compositi ex med ij duplo, &ex illo eestremo qui in medium octies ductus cst.
D i,. numeri A B Q in medietate arithmetica, & sit D. duplum medii, ilii eo A i. vj. Cf. pyodueti ex B. in unum extremorum Q una cum qu tato alterius eYrremi A. aeqitari quadrato compositi ex ipsis D C. Quia enim sunt in medietate tithmetica ipsi ABC. sit dii uiri ni edij, puta D. aequale summae extremorum A C. Quare qῶm potio ipsorum D C. interuallum erit A. Quadratus autem compositi ex ipss D C. ' aequatur quadratis ipsorum D C. & duplo producti ex D. in Q seu quadruplo producti ex B. in C .Qii adrati autem ip- quarta 1. Porisiorum D C. ae ruantur ruisus duplo producti ex D. in C. seu quadruplo producti ex B in C. &quadrato interi alii A. Igitur quadratus compositi ex ipsis D. C. aequatur octuplo producti ex B. in C. una cum quadrato iplius A. Quod erat ostendendum. Eodem prorsus argumento probabitur inlisum producti ex B in Α. una cum quadrato ipsius C. aeqitari quadrato compositi ex ipsis A D. Igitur ex omni parte constat propositum. Aliter etiam Franciseus Vieta propositionem hanc demonstrauit lib. 8. variorues de rebus maia thematicis respontorum, per ipsam scilicet Sebiae operationem hac arte. Sit minimus trium numerorum arithmeticae medietatis A. α sit disterentia B. erit erso medius Α - B. maximus vero A-- B. bis & si dueatur medius Α - B. in maximum Α - B. bis fit A Quad. - Α in B. tet BQuad. bis. quod si sumatur octies, &prodiicto addatur Α Quad. fit utique RQ rad. novies -- Λ in B quater& vieetas BQuad. sedecies. Hie autem numerus est quadratus a latere A. ter B. quater ut euidens est. Et Α ter B quater aequatur composito ex maximo di medij duplo, cum maximus sit A B bis, di duplum medii sit A bis Bbis. Ergo eonstat propositum. E em artificio demonstrabitur altera nostrae propositionis pars. Ducatur enim minimus Α in medium A B octies, & producto addatur quadratus maximi, fiet Λ Quad. novies -- Α in B duodecies Φ- B Quad. quater qui numerus quadratus est , latere A ter B bis quod aequatur minimo di medii duplo.
SI sint quotcunque numeri aequali in
teruallo se superantes, interuallum maximi & minimi, multiplex est interuauli ipserum, secundum numerum unitate minorem eo qui multitudinem propositorii in numerorum exprimit. Sintentiar quotlibet numeri A B. B G. B D. B E. aequali se sit perantes interuallo.Ostendendum est, quod interuallum ipserum A B. B E. multiplex est interualliis dolum AB. B G. secundiam numerum unitate minorem multitudine ipsorum. AB. BG. BD. BE. Quoniam enim expositi sunt AB. BG. BD. BE. aeqxiali ilateruallo se superantes, erunt ipsi
85쪽
αγ. ω ν αυτω μια -οχη.AB. BG. BD. BE. est autem A E. inter interuallum ipsorum numerorum.
A G. G D. D E. aequales inter se. Quamobrem ipse E A. ipsius A G. niultiplex est, secundum multitudinem ipsoru in AG. G D. D E. Atqui multitudo ipserum A G. G D. D E. est unitate minor multitudine ipsistum A B. B G. B D. B E. Igitur E A. ipsius A G. multiplex est secundum numerum unitate minorem multitudine ipsorum allum maximi & minimi, At A G. est unum IN TERTIAM. QIhil est hie dissicultatis. Nam demonstratio Diophanti brei is est, & dilucida.
SI sint quocunque numeri aequali interuallo progredientes , summa maximi & minimi ducta in numerum multitudinis ipserum , numerum producit duplum summae expositorum numerorum. Sunto numeri quotcunque A.B. CD. EF. aequali interuallo progredientes. Ostendendum est summam duorum A F. ductam in numerum multitudinis ipsorum A. B. C.D.E. F. producere numerum qui duplus
est ad summam ipsorum A. B. C. D. E. F. etenim numerus multitudinis ipsorum A. B.C.D. E.F. vel par est, vel impar. Sit primum par, & quot sunt e osti numeri,tot unitates sint in ipso HG. erit ergo HG. par. Quare secetur bifariam in Κ, &diui datur H K. in suas unitates per L. & M. Tunc quia F. superat D. eodem numero, quo C. superat A. erit summa duorum F A. aequalis summae duorum C D. Atqui summa duorum F A. aequalis est producto ex ipsemet in unitatem si L. Igitur &summa duorum CD. aequabitiir producto ex summa duorum F A. in unitatem L M. Ob haec eadem summa duorum E B.aequalis est producto ex summa duorum F A. in unitatem M K. Quamobrem Pinnia omnium A.B.C. D.E. F. aequalis est productore summa duorum F A. in H Κ. At producti ex summa duorum F A. in H Κ. duplum est productium ex s.imna duorum FA. in H G. Igitur & summae omnium A. B. C. D. E. F. duplum est productum ex utroque F A. in H G. hoc est in numerum multitudinis ipsorum A. B. C. D. E. F.
Quod demonstrandi: m erat. A. B. C. D. E. F. H. L. M. K...G
86쪽
II idem positis sit multitii do apsorum A.
unitates, quot sunt ipsi A. B. C. D. E. Erit ergo impar ipse G H. sumatur in eo unitas G M. M secetur M H. bifariam in K. & secetur M Κ. in suas unitates per L.& quoniam E. superat C. eodem ni ero quo C. superat A. summa ipsorum E A. dupla est ipsiuς C. Hoc est producti ex C. munitatem ΚL. Ob hare eadem summa duorum BD. dupla est producti ex C. in L M.quare summa ipserum AE BD. dupla est proditisti ex C. in MK. Atqui ipsius M K. duplus est M H.Igitur summa ipsorum AEBD. aequalis est producto ex
ducto ex C. in M G. Quamobrem summa omnium ABCDE. aequalis e roducto ex C. in G H. At producti ex C. in G H. duplus est productus ex utroque A E. in
G H. quare summae omnium A. B. C.D.E. duplus est productus ex utroque A E. in G H. hoc est in numerum multitudinis expositorum numerorum. Quod oportebat ostendere.
HAE quoque demonstrationes faciles sunt, de micam tantum propositionem constituuiu, ut euidens est, euius demonstratio pendet omnino , propositione texta libri primi potismatum. qua ostendimus in medietate arithmetica summam extremorum aequari summae duorum quorumlibet ab extremis aequaliter distantium , atque etiam duplo medii , si multitudo terminorum suetit impar. Ex his porro collige summam quotlibet numerorum progressonis arithmeticae , aequalem esse produeto ex semisse numeri terminorum in summam extremorum, vel E conuerso . producto ex semisse summae extremorum, innumerum terminorum. Semper enim aecidit alterutro horum modorum summam omnium numerorum haberi nullis intercedentibus stactionibus, si enim nume. rus terminorum sit par, eius dimidium sumi potest absque sevissione, si autem multitudo terminorum sit impar, semissis summae exti emoriam haberi potest absque seactione, quia tune summa extremorum est numerus par, quandoquidem est dupla medij termini.
87쪽
ina omnium ducta in ociuplum interualli ipserum, Stas umens quadratum numeriqu: binario minor est eodem interuallo, quaviratus existit, cuius latus binario mutitatum multiplex est ad interuallum secundum quendam numerum , qui auctus unitate , duplus est numeri multitudinis expositorum numerorum,unitate in iis annumerata. Sint enim ab unitate numeri aequali interuallo progredientes. A B. G D. EZ. dico seri quod est propositum. Quot enim
sitiat expositi numeri cum unitate, tot unitatibus constet numerus H T. Et quoniam interuallum quo E Z. superat unitatem, interualli quo A B. unitatem stiperat multiplex est secundum numerum , nitate minorem ipse H T. si ponamus unitati aequales singulos AK. EL. HM. habebimus L Z. ipsius Κ B. multiplicem secundum M T. Quamobrem L Z. aequalis est producto ex K B. in M T. Et s sumamus K N.
binarium, quaeremus an omnium summa
ducta in octuplum ipsius K B. quod est ipserum interuallum) &adsumens quadratum ipsius N B. qui binario deficit ab interuallo iaciat quadratum , cuius latus
binario multatum, faciat quendam numerum , qui interualli Κ B. multiplex sit, secundum compositum ex utroque H Τ.Τ M. Et quia summa omnium est dimidium producti ex utroque ZE. EL. in H T. At productus ex utroque ZE. EL. in UT diuiditur in productum ex L Z. in H T &ineum qui fit bis ex E L. in H T. hoc est in duos H T. Rursum omnium summa est dimidium eius qui fit ex L Z. in Id T. & duo rum H T. At I Z. est ostensiis aequalis producto ex Κ B. in M T. Quare summa om
nium est dimidium solidi sub K B. M T.
TH. contenti, & duorum H T. s ergo se-cemus M T. bifariam in X. habebimus summam omnium aequalem solido sub ΚΒ.HT. TX. contento & vni H T. Quaerastius igitur an solidus sub Κ B. H T. TX. contentus , cum vno HT. multiplicatus in odio ΚΒ. & adsumens quadratum ipsus N B. faciat quadratum. Atqui sblidus sub KB. H T. TX. contentus ductiis in unum Κ B. aequatur ei qui fit a producto ex Ha . in TX. in quadratum ipsius KB. Quare selidus sub K B. H T. TX. contentus,
88쪽
σμις x ' ημ. κβ. Qi τώ δὶ: -ὸtos ΚΒ. hoc est ei qui fit ocities ex HI . in TX ducto in quadratum K B. Loc est ei qui fit quater ex Id T. in T M. ducto in quadratum K B. ostendendum ergo quod qui fit quater ex H T. in TM. diicius in quadratum Κ B. & adsumens productum ex HT. in octo Κ B. & adhuc quadratum N B fit quadratus. Diuiditur autem qui fit octies ex H T. in Κ B. in eum qui fit quater ex Id M. in Κ B. & in eum qui fit quater ex utroque H T. T M. in Κ B. quaerendum ergo an qui fit quater ex H T. in I M. ductus in quadratum Κ B. & adsciscens eum qui fit quater ex HM. in ΚΒ.& eum qui fit quater ex utroque H T. T M. in X B. & adhuc quadratum N B. faciat quadratum. At qui fit quater ex H M. in Κ B. aequalis est ei qui fit bis ex N K. in Κ B. & mixtus quadrato N B. facit quadratos ipsbrum Κ B. K N. Quaeremus igitur an qui fit quater ex HT. in TM. ducitis in quadratum K B. & adsumens eum qui fit quater ex utroque H T. T M. in Κ B.& adhuc quadratos B Κ. Κ N. fiat quadratus. Rursus autem quadratus B Κ. tran-st in eum qui fit ex quadrato H M. in quadratum K B. & mixtus hic ei qui fit quater ex HT. in TM. ductes in quadratum
Κ B. facit numerum aequalem producto ex quadrato compositi ex utroque H T. TM. in quadratum Κ B. Quaerendum ergo an quadratus compositi ex utroque HT TM. duetus in quadratum K B. adsumens quadruplum producti ex utroque H T. TM. in ΚΛ. & adhuc quadratum Κ N. fiat quadratus Itaque si producto ex utroque HT.TM.
iii K B. accipiamus aequalem numerum N R. erit productus ex quadrato utriusque
H T. T M. in quadratum K B. aequalis quadrato N R. ut deinde ostendetur. Videndum igitur *n quadrati R N. N K. cum quadruplo producli ex utroque H T. T M. in Κ B. faciant quadratum. Atqui quadruplum producti ex utroque HT. TM. in ΚΒ. aequale est quadruplo ipsus N R. quan-ε- νοῦ τιτροεγύνω πιι ει
doquidem sui . fit semel ex utroque H T. T M. in Κ B. aequalis positus est N R. Atqui quatuor N R. aequales sunt duplo producti ex N R. in N Κ. nam N Κ. positus est binarius quaerendum ergo an quadrati NR. NK. cum duplo producti ex N R. in NK. saciant quadrati ini; faciunt autem quadratum a latere R K. cuius latus Ria multa-
89쪽
tum binario N Κ. facit numerum quendam N R. qui interualli Κ B. multiplex est, secundum summam ipsorum H I. T M. qua adscita unitate H M. duplum facit numeri
IN SEXTAM. M r e nonnulla sunt diluet danda, quae Diophantaea breuitas obscuriora reddita
Pithio quod ait summam omnium esse dimidium producti ex summa ipso ' EZ.α in ΠΤ patet per 4. N ς. huius: Cum enim EL. st unitas, utique EZ. Ela simul conficiunt summam ex tremotum, uua ducta in HT: numerum terminorum , fit duplum summae omnium. Quia vero du-p' in H T, idem est ae ducere sigillatim E L. L Z. in eundem H T. rectὸ concludit summam omnium esse dimidium producti ex L Z. in H T. semel, & producti ex E L in HT. bis, & eum EL. st unitas, quae non immutat numerum quem multiplicat, bene inseri summam omnium esse dimidium produἶi ex L Z. in HT. adsciscenti duplum ipsius, T. . Secundo, diuidentes M T. bifariam in X. rem per lineas expressimus, quia ex hypothesi Di phantaea sequitur M T. esse ternatium, qui bifariam per integros secari non potest, hoc autem nil
Temo, quod ait solidum sub KR H T. TX. contentum ductum in KB. aequati ei qui fit a producto ex H T. in T X. in quadratum ipsius Κ B. patet ex eo quod quatuor numeri quoquo modo leuia r. horis & ordine inter se multiplicentur, ' eundem semper numerum procreant. Qii arto, quod ait numerum qui fit bis ex K N. in Κ B. adsumpto quadrato ipsius N R aequarit ema 1. Quadpatis ipsorum Κ B. K N. se probatur. Qui fit ex K B. in K N bis. aequatiir producto ex Κ μin NB. bis & duplo quadrati ipsius ΚN. Igitur si addatur utrimque quadratus ex N B. erat pro ductus ex Κ B. in Κ N. bis, cum quadrato ex N B. aequalis producto ex Κ N. in N B. bis , de quadrato ex K N. bis, de quadrato ex N B. semel. At quadrati ipiorum K N. N B. cum duplo producti pinna x. ex K N. in N B. aequantur quadrato totius Κ B. Igitur productus ex Κ N. in Κ B. bis cum quadrato ipsius N B. aequatur quadratis ipsorum K B. Κ N. Quod erat demonstrandum. Quinto, quod ait productum ex quadrato ipsius K B. in quadruplum producti ex H T. in M Tisa cum producto ex eodem quadrato KR in quadratum H M. aequari producto ex quadrato X B. in quadratum compositi ex ipsis HT. M T id se insertur. Quoniam datis duobus numeris Η T. M T. quorum interuallum H M. quod fit quater ex Is T. in M T. addito quadrato ipsus H M. quinta a. potic aequatur quadiato composti ex ipsis H T. M T. patet ducere quadratum K B. in quadruplum pt ducti ex H T. in M T. de in quadratum H in idem esse atque ducere eundem quadratum K di in quadratum compositi ex ipsis I T. M T. Quoniam vero demonstratio Diophanti ob illius prolixitatem, tyronibus sortasse videbit ut obscurior, operae pretium duxi, propolitionem istam aliter demonstrare. In quo praeter qn m quod Deilius Ad magis dilueidὸ tem expediemus, id etiam nobis nobis lucri accedet, quod in uniuese sum de omni progressimie Arithmetiea ostendemus, quod demonstrauit Diophantus de sola progressione cuius minimus terminus est unitas. Itaque more nostro, quinque Iessex Theorematis a P optatum concludemus.
THEOREM A PRIMUM. Datis duobus numeris, quadratus primi cum quadrato semissis secundi, aequatur producto ex mutua datorum multiplicatione , una cum quadrato interualli inter primum & semissem secundi.
ri Sint dati A. R & ipsus B. semissis esto C. Ipsorrem autem A C. interuallum esto D V . quadratos ipλrum A. C. simul aequati podiducto ex A. in B. una cum quadrato ip-ox. posita. ηε. sus D. Etenim quadrati ipsorum A C. aequantur duplo producti ex A. i' C.&quadrato ipsius D. sed duplo producti G A. in C. aequatur productus ex A. in B. quia B. duplus est ad C. ieitur quadrati iristum A C. aequantur pliavi ex A. in B. di quadrato ipsius D. quod
90쪽
Non euramus utrum A. sit maior vel minor quam B. vel quam C. sed & eodem prorsus argumenis si ponatur mimus, A. secundus, ostendemus productum ex A. in B. cum quadrato interuallii et B di temulem ipsius A. a quati quadtatis tum ex B. tum semisse ipsius A. ortis.
In progressione arithmetica , prodi ictus ex differentia progressionis in maecimum, una cum quadrato interualli inter minimum & semissem differentiae, aequatur quadrato minimi, & quadrato semissis differentiae & quadrato dii serentiae toties sumpto, quot sunt termini progressionis uno dempto.
H .Hi. Ex. ABCD. in arithmetica medietate, di sit E. dissere a progressiolus A1. Br. Cy. Dii. vixi semissi G. α ii iciuallum inter G. di A. esto H. dico productum eae. E. in D. cum quadrato ipsius H. aequari quadratis ipsorum A G. & adhuc quadrato ipsius E. toties sumpto, quot sunt ipli ABC. nam interuallum quo u superat A. con incin toties quot sunt ipsi A B C. per tertiam huius. Igitur ducere E. in D. idem est ac ducete E in A.& E. in seipsum toties, quot sunt ipsi A B C. at productus ex E. in A. cum quadrato ipsiux H. quadratis ipsorum A G. per primum theorema. Eino productus ex E. in D. cum quadrato aptius H. δquatur quadratis ipso in Ata & praeterea qua to ipsus E. toties sumpto. Quot suntis ABC. Quod erat ostendendum.
THEO REMA TERTIUM. In progressione arithmetica, quadratus maximi aequatur producto ex differentiata omnes antecedentes bis, & quadrato minimi semel, & quadrato differentiae toties sumpto, quot sunt ipsi antecedentes.
G, G, G, in progressione inthmetiea ABCD. N sit G. differentia progres. At B: C. D ii qu*d tum maximi D. aequari producto bis ex G. in Onines an- γ' δ''γ' ' ' tecedentes A BC &quadrato ipsius A semel, & quadrato ipsus G. xoties sumpto, quot sunt ipsi A BC. quia enim G C. simul componunt D. erit quadratus ipsius D. a qualis quadratis ipsorum GC & duploplani sub G C. eadem de causa quadratus ipsi C. aeqtiatur quadratis ipsorum G B. & duplo plani sub G B. & rursus quadratus ipsius B. aequatur quadratis ipsorum G A. & duplo plani sub. G Α. igitur quadratus ipsius D. aequatur quadrato Α. semel, N quadrat a toties sumpto quot sunt ipsi ABC. α praeterea duplo producti ex G. in ipsos ABC. quod erat
In progressione arithmetica, quadratus maximi audii dimidio disserentiae, aequatur duplo plani sub sumnia omnium , & sub differentia contenti, una cum quadrato interualli inter minimum & semissem differentiae.
H. E. a. G i. sint ABCD. in arithmetica progressione euius differentia E. eulus semissis A. . B. .C.9.D.M. G&interualliam inter Α.&G. esto H. Ipsolum autem D G. summa esto Κ. Κ. Q. quadratum ipsius K. aequari numero qui fit bis ex E. in summam omnium, una eum quadrato ipsius H. Etenim quadratus ipsius Κ. aequatur quadratis
H .E a. G i. Κ ii. ipsorum D G. & duplo producti ex G. in D. seueroducto ex E. in D. quan- Cy. Dii. doquidem E. duplus in ad G At quadratus ipsius D. per praecedelitem
aequatur duplo producti ex E in tesos ΑΒ C. una cum quadrato ipsius A. semel, & quadrato ipsius E. toties sumpto quot sunt ipsi ABC. igitur quadratus ex K. aequatur numero qui fit bis ex E in Λ B C.&semel in D. cum quadratis ex Α. & G. semel sumptis, di quadrato ex E. toties sumpto quot sunt ipsi ABC. At persecundum theor. quadrati ex A. NG.
cum quadrato ex L toties sumpto quot sunt ipsi ABC. aequantiit producto ex F. in D. una cum quadrato ex H. igitur quadratus ex K. aequatur duplo producti ex E in omnes ABCD. una cum quadrato ex H. quod demonstrandum erat.
In omni progressione arithmetica, numerus qui fit octies ex differentiam summam omnium, una cum quadrato interualli inter duplum minimi & disserentiae, aequatur quadrato, cuius latus componitur ex duplo maximi,&ex differentia.