장음표시 사용
131쪽
VE v M etiam praeter haec intelli,
genti tibi omnes numeros compinsitos esse E quadam multitudine unitatum, liquet eos augmentum in infinitum capere. Cum ergo in his quidam sint quadrati , ui sunt numero aliquo in se multiplicato, qui numerus latus quadrati licitur; aliqui cubi qui existunt quadratis in sua multiplicatis latera , alij rursus quadratoquadrati,qui gignuntur quadratis in seipsos ductis , nolinulli quadrato-cubi, quos quadrati in cubos ab eodem proscctos latere ducti procreant , quidam denique cuboc ubi qui cubis in seipsos
ductis nascuntur: viuuenit, ut ex horum
vel compositione, vel quo praestant alij alijs , vel multiplicatione, vel ratione
inter se, aut cuiuslibet, quorumlibetve ad sua latera, plurimae nectantur arithmeticae quaestiones, quae soluantur tamen , si ea quam commonstrabimus via incedas. IN DEF INITION EM I. V A M vr s species, vel ut alij vocant 7 potestates, quibus velut elementis utitur lo mea
tin infinitam multitudinem excrescant, nec earum certus sit & determinatus numerus, tamen Diophantus de quinque prioribus tantum tradiationem instituit, quae sunt Quadratus,cubus, Quadratoquadratus, Quadratocubus & cu cubus, ratus scilicet has sit secere ad iniplicatis limas quasque quae hactenus excogitatae sunt, quaestiones dissoluendas. Harum igitur hic assert definitiones. Et Qiradratum quidem cubumque definit ut Euclides. Reliquas vero tres, Per ipsam nominum im-ptationem. Nam quadratoquadyatum vocat, numerum qui si ex quadrato in quadratum, idest in seipsum. Quadratocubum vero , qui fit in quadrato in cubum ab eodem prosectum latere. Denique eu cubum qui fit ex cubo in cubum , hoc est in seipsam. Vbi aduertendum a recentioribus omnibus quotque ante Diothantum editum logistices rudimenta tradidere, Quadratocubum vocari nunc supersolidum, nunc turde solidum , nunc etiam Plimum Relatum. Cubocubum vero, ab iisdem dici Quadrat libum, quia videlicet est quadrati cubus, vel cubi quadratus, quod adnotasse operae pictium duxi, nequem in authoribus legendis nominum ambiguitas remoretur.
AP ν ε ι α A τ v R igitur inadratus , Dynamis, & est illius nota δ' sit perscriptum habens υ sic δῆ qui autem fit ex quadrato in situm latus cubus est, cuius nota est P, silperscriptum habens ῖ hoc pacto F. Qui autem fit ex quadrato in seipsim multiplicato, quadrato- quadratus est, cuius nota est geminum. habens superscriptum ἰ , hac ratione
Qui fit quadrato in cubum qui ab
132쪽
eodem latere prosectus est, ducto, quadratocubus nominatur, nota eius fil-
perscriptuin habens υ sic '. Qui excubo in se ducto nascitur, cubocubus vocatur, & est eius nota geminum κ saperscriptum habensio, hoc pacto M'. Cui vero nulla harum proprietatiun obtigit, sed constat multitudine unitatum rationis
experte, numerus vocatur, nota eius:
Est S: aliud signum immutabile definib
A AE e ad verbum raptimenda esse arbitratus iam potius quain cum X ilandro nesciri quid aliud comminisci. Quamuis enim in relicitia insone nostra notis ab eodem Xilandro exeo vitatis libent et usiis sim, quas tradam infra. Hic tamen ab ipso Diophanto Iongius recedere nolui , quod hac definitione notas explicet quibus passim libris istis utitur ad species omnes compendio designarulas, & qui has ignoret ne quidem Graeca Diophanti lege e possit. Porro quadratum pynaitim vocat, quae vox potestatem sonat, quia vi delicet quadratus est veluti potestas cuiuslibet lineae , & passim ab Euclide, petiit quod potest linea, quadratus illitis designatur. Itali, Hispanique eadem sere de causa Censum vocant, quasi dicas redditum, prouentumque, quod a latere seu radice, tanquam, seraci solo quadratus oriatur. Inde factum ut Gallorum nonnulli & Get-manorum corrupto vocabulo Zemum appellarint. Numerum autem indeterminatum & ignotum, qui & alia moliamum potestatum latus esse intelligitur, Numerum simplicitet istophantus appellit. Alia passim Radicem, vel latus, vel rem dixerunt, Itali patrio vocabulo Cosam. Caeterum nos iuversione nostra his notis N. QC. CC. designabimus Numerum, Quadratum, Cubum, adratoquadraturis, Quadratocubum, Cubocubum. Nam quod ad unitates certas & deterininatas spectat, eis notam aliquam adscribere supet eaneum duxi , quod hae seipsis absque ulla ambiguitate sese satis indicent. Eequis enim cum audit numeruisi non statim cogitat sex unitates Quid ergo necesse est sex unitates dicere, cum susticiat dicere, sex γ Demum legendum in Graeco censeo, μνάδων-, flagitante sententia, potius quὶm , ut habetur in eodice manu exarato, dc per multitudinem unitatum rationis expertem, intelligo numerum indefinituiti & indeterminatum, seu potius ignotum, quemque statim opponit seu unitatibus certis & determiliaris.
E Ni MVεκo ccut partes numeris
cognomines, similem ipsis numeris denominationem sertiunt ii r etenim a ternario triens, a quaternario quadrans dicitur) ita nunc quoque denominatis numeris panes cognomines, ipsis numeriς similem habent denominationem, nam a numero pars numeri ea dicitur ;a quadrato, quadratica , a cubo cubicara quadratoquadrato, quadrato luadratica a quadratociabo, quadratocubica; acii-boci ibo , cubocubica. Habebit autem
qua libet parsa sibi cognomine numero notam , & literam superscriptam quae set ri E p δὲ F-- ομ νυ rae μό-
133쪽
QV AM niale acceperint hane definitionem Graeciu Scholiastes, de Xilander, si vacat, videre poteris. Manifestum tamen est nil aliud velle Diophantum, quam ut i actionibus Alcebricis notae 1 etenim a quibus sumunt denominationem , adscribantur , docens ipsas frictio nes non minus , qualibet specie denominari, quini numerum quemlibet unitatum inte m. Hoc autem huiusmodi similitudine explicat. Quemadmodum, inquit, fractio quaelibet absoluta ab aliquo numero sumit denominationem, velut triens , ternario, , quaternatio quadrans, &sic de alijs; ita de quaelibet seactio Algebrica a specie cuius nota ei affixa est, denominationem mutuatur, verbi gratia N. dicetur semissis unius Numeri, i in dicetur triens unius Quadrati, dicetur dodrans unius Cubi, & sie ac alijs, ut siperuacaneum sit in re malii festa diutius immorari. Porto Xilandri coniecturam seeutus , duobus in locis loco παρο- , reposui παρονυμ-.
merorum denominationes exposuerim, ad eorum multiplicationes me
consero , quae tibi facit E patebunt,
cum per ipsam nominum impositionem, sere lint iam ante declaratae. Ergo numerus in numerum multipli, catus, quadratum producit ; in quadratum, cubum, incubum, quadratoquadratum ; in quadratoquadratum, quadrato cubum; in quadratocubum, cubo-cubum. Quadratus Vero in quadratum, E K Θ E Μ E N Ο Σ eis σοι ν ἐυτρυ. - GHI λ νυμαν, -
δ νιυ orauin, civi 2ν. κυω θε κή, . . . κυcivi cis gignit quadratoquadratum ἔ in cubum, quadratocubum ; in quadratoquadratum,cu cubum. Cubus autem in cubum ductus, cu cubum producit. IN DEFINITIONEM IV. HI c spectetum multiplicationes explicat, quarum aliquae quidem ex definitione prima, Et ipsa
nominum impositione manifestae sunt, reliquas vero demonstrare facile est, tali expedito
'adratus, cibus, 'adrato quadratus , quadratocubus, Cubocubus
una cum communi eorum latere sunt ab initate continue proportionales.
Sit unitas A,quodlibet latus B. cuius quadratus Q cubus D. quadratoquadratiis E. quadratocubus. - F.8c cubocubus C. Dico A BC DEFG, esse eontini Α1. Ba. C. . DS. Ei . F32. G pq--a enim ex B in B, fit C. erit ex
definitione multiplicationis A ad B, ut B ad Q similiter qitia ' ex B. in C, fit D. erit eadem de eauia A ad B, ut C ad D. Quare ipsi A B C D. sunt continue proportionales. Rursus' quia ex Cin seipsum fit E, erit ex definitione multiplicationis A ad C, sicut C ad E. Qitare cum inter Α dc C. eadat unus medius proportionalis B, ' cadit etiam unus in eadem ratione inter C de E, sed in ratione Α ad B, vel Badta ostensus est C ad D. Igitur D est ille medius, ae proinde est C ad D, ut Dad E. Rursus quia ex C. in D producitur F, erit A ad C, ut D ad F. Quare rursus eum inter A C eadat medius proportionalis B, cadit de unus medius in eadem ratione inter D Ac F. Vnde esim in illa ratione ostensus sit esse D ad E, erit E ille medius , de idcirco erit D ad Ε, ut E ad F. Denique ' quia ex D in seipsum fit G,etit A ad D, ut D ad G. vnde sicut inter Α de D cadunt duo medii proportionales BC, sed inter DGeadent duo in eadem ratione. Sed in eadem ratione ostensi sunt esse oad E, de E ad F. Igitur E F sunt illi medii, ae proinde est Ead Rut FH G. de omnes ABCPEFG. sunt continuε proportionales. Quod demonstrandum erat. Hinc porto specierum multiplicatio. demonstratur. Primo enim ex Numero B in seipsum fieri AI. Ba. 44 Dd. EI .vῖ - Ο4. C, lienique ex Numero B in quadratum C. ficti cubum D, patet ex definitione prima. Seeundo ex Numero B. in cubum D, fieri quadratoq--
134쪽
dratum E probatur. Quia enim per praecedens theorema ipsi ABCDE sum continue proportionales, erit A ad B, ut Dad E. ' Quale qui sub extremis AE continetur, aequatur ei qui 1 ub mediis B D. sed ex unitate Α in E fit ipsemet E. ergo idem E set ex B in D. quod erat pro tum. Tettio dico ex Numero B in suum quadratoquadratum E fieri quadratocubum F, quia enim est A ad B ut E ad P, numerus qui fit ex Α in F, nempe ipse F aequatur ei qui si ex B in L Quod erat proposituna. Quarto dico ex Numero B in sium quadratocubum F, fieri cu cubum G. Nam ut prius cum sit A ad B. vl F ad G. fiet idem G ex Λ in G, ves ex B in F. Chiod erat intentum. Quinto ex quadrato C in seipsum , fieri quadratoquadratum Ε, patet ex definitione prima, sicut & ex eodem quadrato C in cubum D fieri quadratocubum E. Sexto ex quadrato C in quadratoquadratum E fieri eu cubum G sic probatur. Quia ob continuam proportionalitatem, ut A ad C, sic est E ad G, idem G fiet ex Α in G , vel ex C in E. erat propositum. Denique ex cubo D in seipsiam, fieri cu cubum G. Patet ex definitione prima. Quamobrem ex omni parte conssat propositum.
cognominem multiplicatus, uni- 1 πολλαπλα 2ὼς, μοναδα πωλtatem producit. IN DEFINITIONEM RHI C praeclare nugatur Scholiastes, cum putat in hac definitione loqui Diophantum de stacti
nibus absolutis,*nulla speciei alicuius nota affectis, quasi docere velit exi in 3. vel ex si m . fieri unitatem, quod quid ad loessticam conserat, non video, sed sanὰ vulgo Arithineticorum notum est, atque ipsis lippis & tonsoribus, ut geometrica demonstratione, opus non Rexit ad id confirmandum. Caeterum non id voluit Dioyantus, sed potius stationes Algeblicas illas, in quibus unitates per aliquam speciem diuisae intelliguntur, ductas in speciem a qua denominantur, producere unitates ablolutas , vis hi ducatur in . N. fient a. unitates absolutae, & si ducantur in s. Qisent unitates absolutae, & si ducantur in io. C. fient a. Vnitates. Et hane esse Diophanti mei item ex definitione octava manifestε eollisitur. Clim enim ibi multiplicationes huiusinodi ha- onum tradat, non docet quid producatur si stactio ducatur in speciem a qua denominatur, quia stilicet id ista definitione iam comprehenderat.
E Nivvικο cum unitas immutabilis 1 in H Σ Οἄν-απιταθετου eυ c,st, semperque maneat species quae- 1 libet in eam multiplicata, eandem gene--λτ' αυn ες .rat speciem. IN DEFINITIONEM VI.
NON melius accepit hane definitionem Scholiastes,quam praecedentem & sequentes duas, quod semel atque iteruin monuisse sessiciat. Existimauit enim in istis quatuor disnitionibus Diophantum loqui de numeris & s actionibus absolutis, quod , scopo illius piorsus alienum est. Hieitaque docet Diophantus, unitates ductas in speciem quamlibet, ipsammet speciem producere, ut si a. ducantur in 3. N. fient 6. N. Et si q. ducantur in s. Qi fient M. Q sic de aliis. Causam autem alsignare videtur, quod unitates absolutae, unitatis ipsius naturam sapiant. Quemadmodum exso unitas in quemlibet numerum ducta, producit ipsum eundem numerum, sic di unitates inquan Iluet speciem multiplicatae, eandem speciem gignunt.
AT partes denominatae si inter se
multiplicentur, partes producunt ipsiS numeris cognomines. Verbi gratia Pars numerica in partem numericam ducta,quadraticam gignit ; in quadraticam,
135쪽
cubicam , iii cubicam, quadratoquadraticam, in hanc, quadratoc ubi cani ; in hanc cribocubicam , idque communicata denominatione continget. Pars vero quadratica , in partem numericam, par tem cubicam facit , in quadraticana,quadratoquadraticam ; in cubicam , qtiadratocubi cana 3 in quadratoqiiadraticam , cui cubicam. Pars autem cubica innuintricam, partem iacit, quadrato quadraticam; in quadraticam , quadrato-
cubicam; in cubicam, cubocubicam. Sed pars quadratoquadratica in numericam, partem facit quadratocubicam , & in quadraticam, cubocubacam. Denique pars quadratocubica in numericam , partem gignit cubocubicam.
HAEc definitio a quarta pendet. Quemadmodum enim illi numerorum integrorum 1 specie biis denominatorum multiplicationes docuit, ita di hic fractiomini ab iis deni speciebus denominatarum multiplicationes tradit, quarum eadem cst prorsus ratio. Nam sicut verbi gratia a. N. in 3. N. faeiunt 6. Q. ita SN. in ἱ N. iacit ι sicut 3. N. in faciunt ia. C. sic N. iu: eiunt l. C.&sic desiis. Itaque quae demonii rata sunt ad definitionem quartana, hic etiam locum habent.
RVix sus fractio numerica in quadratum ducta, numerum gignit ; in cubum,quadratum , in quadrato quadratum, cubum, in quadratocubum, quadrato- quadratum; in cubocubum, quadrato-cubum. Fractio vero quadratica in numerum ducta , Fractionem numericana producit; incubum, numerum in quadratoquadratum, quadratu milia quadratocubum, cubum ; in cubocubum, quadratoquadratum. Fractio cubica ducta in numerum , fractionem quadraticam gignit; in quadratum , fractionem numericam ; in quadratoquadratum, numerum , in quaaratocubum, quadrarum; in cubocubum, cubum. Fraelio quadratoquadratica in numerum ducta, producit fractionem cubicam , in quadratum, fractionem quadraticam , in cubum, siactionem numericam , in quadratocubum, numerum; in cubocubum, quadratum. Fractio quadrato cubica innumerum ducta, fractionem facit quadratoquadraticam , in quadratum, fractionem cubicam; in cubum , fractionem quadraticam; in quadratoquadratum, stactionem numericam in cubocubum, numerum. Fractio cubocubica in numerum ducta, fractionem gignit
136쪽
quadratocubi eam; in quadratum, stactionem quadratoquadraticam; in cubum, stactionem cubicam ; in quadratoquadratum , fractionem quadraticam, in quadratocubum, fractionem numericam. 'IN DEFINITIONEM VIII. TA N clx hic aliud genus stamonum, quae fiunt cum numerus a specie insertos denomina
ius diuisus intelligitur, per numerum ab altiori Decie denominatum, ut si unitates per Nu. meros diuidamur, fit seactio Numeri ea, qualis est B. Et si unitates per quadratos dividantur, fit seactio quadratica, ut 4 , di sic de aliis. Differunt ergo re ita ones istae ab iis de quibus actum est superiore definitione, quamuis utrasque iisdem nomὰnibus appellet Diophantus. Nam in illis speciei denominatio inicit Numeratorem, in istis denominatorem, verbi gratia si dicas : N. intelligis a. N. diuidi perdi. At si dicas tu intelligis a. diuidi per 3. N. utramque emen tactionem Diophantiis ἀριθ-ςὸν vocat, similiter; & 4 vocat δυνα ι-ον communi nomine, di sic de aliis. Ratio vero multi olieandi stactiones istas, tota pendet , ratione diuidendi species inter se. Porto diuiso multiplicationi contraria est, quamobrem, ut monet Diophantus definitione decima, cognitis smi tum multiplicationibus, cognoscuntur & diuisiones: sicut enim verbi gratia Numerus in Num mmductus producit Quadratum, ita si Quadratus per Numerum diuidatur, orietur Numerus; desciit ex Quadrato in Cubum si Quadratocubus, ita si Qui ratocubus per Cubum diuidatur,otietur adratus, 3c rursus si Quadratocubus per quadratum diuidatur, orietur Cubus, di sie de aliis. tae patet si stactio numerio duratur in a. Qi fieri numerum, nam fit seruata utraque denominatione invia vero diuidendo Qxradratum per numerum, oritur numerus 1 hoc idem est atque et N. Simili argumento rationem reddes omnium quae hae definitione complectitur Diophantus.
MI svs per minus multiplicatum, A Eri ΙΣ πολλαπλα θεὼ producit plus. At minus per plus ALYm, δὲ Sisi multiplicatum, producit minus. Et de- σαρξιν,- - -ον sectus nota est litera decurtata, dc deor-- sum vergens, sic P. IN DEFINITIONEM IX.
YΠAPaIN dc abundantiam Sc desectum vertere poteramus. Placuit tamen a reon tioribus omnibus usitatis vocabulis dicere Plus & Minus. Et Diophantus quidem ut si licet Plus nulla utitur nota, sed coniunctione tantum copulativa. Nos vero in versione nostra, eos qua ante nos Latine scripserunt, imitati; Plus hoc signo denotabimus --. Minus vero in . Ceterum sicui mirum videatur quod Minus per Minus multiplicatum , efficiat, Plus, Ec liuius rei demonstrationem requirat, legat Petrum Nonium partea. suae Algebrae, cap. q.
D iionibus, manifestae simi etiam par titiones propositarum specierum. Eou altaque est cum qui hoc negoti j suscipit, in additione, subductione, & multiplicatione quae speciebiis accidunt, exercitatum esse, nimirum qua ratione species quae adsunt , quaeque destini non
eiusdem multitudinis , alijs adiicias seeciebus quae vel adsunt, vel itidem adsunt atque desunt. Et quomodo a speciebus quae adsunt, & aliis quae desunt, auferas ias quae vel adsint, vel itidem adsint atque desint.
137쪽
Annixio Ns M, subductionem, multiplicationem, & diuisionem speeterum, eum diue clam E pet Plus & Minus copulintur, non persequitur Di hantus, sed supponit in his jani et citatum eum qui libros isti asgrediatur. Nec ego in re Acili diutius immorabor, vide, sit libet, multores omnes qui logisticam scriptis manduunt, ut Nicolaum Tarteseam, Petrum Nonium,eChristophorum Uuuium, aliosque passim.
Ei u o a si in aliqua quaestione tractanda eaedem species adsint ex Vtraque parte non aequali multitudine, auserenda sunt similia a similibus, donec una species uni speciei aequalis remaneat. Qi md si in utraqtie parte, vel in alterutra desint quaedam species, qu*dam adsint, quae desiliat utrinqiae addenda sint, dum species eaedem utrinque inueniantur 3 rursumque visimque auserenda similia a similibus, tantisper dum ab utraque parte una species relinquatur. Atque hoc accuratἡ in ipsis quaestionum positionibus, quoad detur, conabere ei scere, usque dum una species viii speciei aequalis deprehendatur. Posterius autem tibi commonstrabimus quomodo quaestio explicetur, etiam cium duae species uni aequales relinquuntur. Nunc vero ad ipsas quaestiones accedemus, cium nobis via abuti dὰ pateat, ob materiam ab ipsis speciebus collectam. Clim autem plurimi sint numeri, de mole ingentes, atque ideo tardὰ comprehendantur ab iis qui huic studio incumbunt , nec valent memoria ; statui quae ex iis ita decerpi possunt, ita ut maximὰ in tractationis principio element rum partes si istineant, primo loco prinponere, & a simplicioribus ad perplexiora progredi. Sic enim incipientibus ea fiant penetratu faciliora, &in memoria eorum haerebit deductio, pertractatione eorum libris tredecim inclusa. De DEFINITIONEM XI.
AP Q v Arto, est unicum medium quo ut Iriit Logistio ad quaevis soluenda problemata, talia is artificio ignotam quantitatem, notae alicui comparando, ut tandem inter eas aequalitatem deprehendat, de sic in agnitionem ignotae permeniat. Vt autem docet hic Diophantus, non quaelibet aequatio statim apta est soluendae pro sitae quaestioni,sed magna inteidum indiget praeparatione quo fiat simplicissima, ita ut si fieri poteu una tantum species uni speciei, vel duae , uni aequales reperiantur. Totum vero negotium praeparationis aequationum in eo consistit, ut desectus communiter addantur, de similia , similibus auferantur, &si utraque aquationis pars altioris gradus
138쪽
species contineat, sat hypobibasinus, seu descensus quidam, vel depres Isocharactenim, ut vocat,iander, omnia diuidendo per infimae speciei denominationem. Quae Umnia ut unico exemplo confirmem, sint a. C. 3. N. aequales v. N.- . Q. Qiria ergo deficiunt ex altera parte ε. Q addantur utrimque 4 Q fient a C. - 3. N. - aequiles 9. N. quia vero similes species, nempe Numeri utrimque reperiuntur, auserantur utrimque 3. N. remanent igitur a. C. q. aequales 6. N. Denique ouia species altioris gradus ex utraque parte repetiui tur, quae omnς depressionem pati possunt, ciuidatur utraque pars per infimam speciem quae hic ςs I. N. Fient prin a. Q. q. N. xquales cl. unitatibus. Et tune demum aequatio ceti sebitur rite praeparata. Praeterea Pataolisinum addit Franciscus Vieta in libello aureo eui titulus. Isagoge in artem Analyticen, euius praeseminusus in aequationibus compositis, oualis est illa quam exhibuimus, quique fit diuidendo singula, aquationis partes per unitates altioris peciei, ut in dato exemplo diuidendo eas per numerum Quadratorum,qui est a. sunt I Q. a N. aequales 3. sed hac methodo non utitur Diophantus,cui aeouationes compositas resoluit absque huiusmodi reductione numeri altioris i eciei au unitatem, ut suo loco docebimus. Porro haec omnia tribus tantum nituntur principiis, nimirum.
At ab aequalibus auferantur , qua remanent Iunt aequalIa. Si aequatibus aquatia addantur , tota sent aequalia. Γι aequalia per eundem numerium dividantur, sunt aquales quotientes. breuiter eum Diophanto attigisse susticiat, qui plura desiderat, legat Vietam libro citato.
Vbi breuiter, sed accurrate more suo ista persequitur. citetima aequatione ritὸ praeparata, quomodo ea resoluenda sit, ut ignota quantitas innotescat, tum tradit Diophantus, & cum hie polliceatur se daturum regulas quomodo explicetur quaestio,cuniduae species , uni aequales reperiuntur, in libris eius qui extant huiusmodi regulae non continemur, ita ut videatur re las omnes Algebrae quas vocat, supposuisse, ut pote notas c nam iis passim xiii ut in his libris vel alio opere edito qui ad nos minimε peruenit, eas tradidisse. Equidem teguli,smplieibus tantum cum scilicet una species uni speciei aequatur in tribus prioribus libris utituri in sequentibus vero ad compositas etiam nonnimquam deuoluitur. Simplices vesca regula comprehenduntur quae talis est
Iacto θροbibasmos opus ut unitates alicui speciei aquales remaneant, dividantur Pnitates per numerum . specie denominatum , orietur maior illius speciei.
Vt si 3. N. aequenturia. ubi nullo est opus hypobibasino, diuidera. per 3. fit valor unius numeri. At si a. aequentur io. N. Facto hypobibasno 2. N. aequantur ro. unde facta diuisione, prodit s. valcis ius numeri. Quod si z.Q aequentur I8. N.facto hymbibasinina. Q aequamur i8. unde diuidendis i&pera. fit p. valor unius quadrati, di extracta radice fit 3.vator Numerat sie de aliis.Huius regulae --damentuni totum est Regula aurea proportionum, seu trium, in qua tertius terminus6 unitas , unde sola diuisione opus est. Nam verbi gratia in ultimo exemplo, dico per regulam trium, si a R. aequantur 18.cui numero aequatur T. Munde eat et diuiso i8. per a. quotielitem s. ine valorem Quiis diari. De compositis regulis agemus ad propolitionem 33. libri huius, ubi earum fundamentum tangit Diophantus. Nam piget diutius immorati in re facili ,α vulgo etiam Logistarum notissima.
PRον ostr VM numerum in duos numeros partiri, quorum datum sit
interii allum. Esto datus numerus IoO. interuallum vcro qo. oportet inuenire numeros. Statuatur minor 1. N. Maior ergo erit r. N. &w. unitates. Igitur uterque simili erit a. N. - . o. Dabantur autem esse i . Proinde unitates Io . aequales sint r. N. - - o. Aufero similia a similibus, nimirum austro o. unitates,&a IOO. & a 2. N. - o. relinquuntur a. N. arquales unitatibus fo. Ergo alter numerorum est 3o. Ad positiones. Erit minor quidem unitatum 3o. mὸior vero
unitati in o. & demonstratio est manifesta.
139쪽
AESTION EM LPER Aetio Diophanti facilis es ,& nihil continet quod lectorem morari debeat. Verba autem illa ὀαδ ται quae longa periphrasi vertit Xilander, & aliquando etiam perperam, ut suo loco monebimus, ego passim interpretatus sum, Ad Positiones t vel etia: n retento Graeco vocabulo. Ad Hypostases. Semper enim inuento valore numeri, propositionent his verbis absoluit Diophantus, quia videlicet ut propositae quaestionis habeatur Persecta solutio , oportet valorem numeri ad positiones applicare,ut hoc loco,Cum inuenerimus valorem Nummi esse 3o.quin Minor pars propositi numeri posita erat 1. N. erit ea 3o. Maior vero quae posita erat I. N. - Αα erit utique o. sie numerus I . diuisus est in duas partes 3o. de r. quarum interuallum qO. ut requirebatur. Poterant etiam positiones aliter institui hac arte. Ponatur maior pars I. N. erit ergo ni inor I. N - . harum ageregatum est 2 N. o. quod aequari debet numero I . Quare addendo ultim- qtie Ao sunt a. N. aequales I o. unde sit 1 N. 7o. Adhy stases. Erit maior pars γ. Minor 3o. vi Prius. Ex utraque autem operatione elicitur huiusmodi Canon. Dato numero diuidendo, develassime tum intem Iti , semissis summa majohem partem; δε- restatii, minorem exhibebit Qui Canon a nobis syntheticε demonstratus est proposit. 23. lib. I. porismatum Aliter etiam rurius molerant institui positiones. Statuatur interuallum quaesitarit m partium 2. N. Maior vero pars estoso. - I N. minor so -i N. sic enim utraque simul conficit Ioo.& interuallum ipsarum est a. N. quod uatur numero U Quare fit i. N. zo. Ad positiones. Maior pars cruae posita erat so N erit vitisque Io. Minor vero quae posita erat Io -I N. erit 3o. de hinc riirsus elieietur alius Canon. Se i datim meridisidendi, adde vel a me issem Lui inter Iti, Huma O residua prasitis exhibebisnt parte Porto ex utroque Canone manifestὸ colligitur, si solutio an integris contingere debeat, necesse esse ut Numerus diuidendus , & datum interuallum, sint simul pares numeri, vel simul impares, nam si stet sit par, alter impar ; tam eorum summa, quam quod restat minorem de maiori subtrahendo, erit impar numerus. Quare nec summae nec residui semissis in integris haberi poterit. Quod tangere voluit Scholiastes. Denique moneo eodem artificio datum quemlibet numerum diuidi in quotlibet palles, quarum interualla data sint. Verbi gratia. Numerus 1 . diuidendus sit in tres partes, ita ut mediae suprὶ minimam excessiis sit m. maximae supra mediam excessus sit M. Ponatur nima I N. erit ergo media I N--2o. maxima vero I. N. - - . Harum summa est a N. --64. aequalis Ioo. Quare auferendo utrimque 5 . remanent 3 N. aequales 36.ec fiti N. Ia. Ad positiones. Erit minima pars Ia. Media 32. Maxima 16. Hine quoque si placet eliciemus hunc Canonem. AUera monero Huidendo sisnmam interua lurum sint parti suprammmam, resitatavim partire
unde constat, vi quaestio sit possibilis, summam intermallorum cuiussi bet partis supra minimam, minorem esse debere numero diuidendo. Caeteriim duobus alijs modis institui possunt position pro ut media vel maxima pars statuetur I N. & hinc rursus Brinari alii Canones, qua omnia industriae
o mPROro irv M numerum in duos partiri in ratione data. Constitutuna sit numerum so. partiri in duos numeros in ratione tripla. Statuatur minor i. Naigitur maior erit 3. N. & est maior minoris triplus.Superest ut ambo simul aequentur unitatibus fo. sed ambo compositi sint N. Proinde N. aequales sunt unitatibus fo. cst ergo I. N. Vnitatum I S. . claram Dei μνά- ξ ὁ ἄρα εο. Cit ergo I. m. Vnitatum et s.
ALrτs R etiam vistitui possunt positiones. Statuatur malar I. N. Ergo minor N. horum summa ii N. aequalis est 6o. N fit I. N. M. Tantus ergo est major, nor vero II. ut prius.Ex utraque operatione λ atur hic Canon.
140쪽
Sume δεσι ν umeras in data ratione, ct per tuor soaemam ἀπιδε danun ππ- . tirata ductus sigillatιmmμn pus numeros, exhoisit praessitardat Inume parte . MinimoPnumeros fuit,endos esse ait Xilander. Md necessi non est, nisi facilitatis gratia, quia minores numeri commodius tractantur. . Potest de haec quaestio extendi ad diuisionem dati numeri in quotlibet partes, datas ratior es set-iuntes , eritque eadem protius operatio, & idem Canon, ut superuacaneum sit id exemplis illuurare.'
P Roto si τvM numerum in duos partiri in data ratione, & data disterentia. Coinstitutum sit numerum 8o. in duos partiri, ita ut maior minoris triplus sit, & adhuc . unitates superaddat. Statuatiir minor I N. erit igitur maior 3 N. . & sic maior minoris triplus est, &adhuc quatuor unitates superaddit. Restat vi ambo simul aequentur unitatibusso. sed ambo simul iuncti faciunt N.
- - Igitur N. -- aequales sunt unitatibus 8o. Ausero similia a similibus. RelinqGuntur ergo unitates 76. aequales A.
N. fit 1 N.19. Ad positiones. Erit igitur
minor numerus Maior autem fit. ad triplum minoris adiectis q. quae de D. subduxeram, ut triplorum numerorum inuenirem quantitatem. Postea verb eadem q. adiicio maiori, utriusque quantitate cognita.
IN Graeco, ubi seriptum erat G λογω e Ἀλση Φῆς δοθεισης reposui, νως δρθωσιν, stagitante sententia. Cit Arum hie etiam aliter institui potest o ratio, si ponatur Maior i N. unuaui tendo . remanet N triplum minoris, Minor ergo est 3 N ii utriusque summa filii N-i - aequalis M.& desectum utrimque adiiciendo i ἱN. aequatur8i. . Qiipre fit i N. 6 I. maior numerus. Minor vero I9. ut prius. Verum ex operatione Diophanti formabitur iste Canon. Sume duos meros in data ratιone, ct peril umsomniam diuidetasum minurum o interuam multatum; φκοtientem siducas in minoremsumptorum, mi mnor quasitorum.
IN v E Ni R a duos numeros qui de datam rationem, Sc datum seruent interuallum. Mandatum sit maiorem minoris esse quincuplum , interuallum autem ipserum esse unitates 2o. statuatur minor I N. Maior ergo erit s N. Superest N. excedere 1 N. unitatibus zo. At ii