장음표시 사용
91쪽
H. q. G. r. A. s. B7. C. s. D. II.
Sint A BCD. in progressione Mithmetica, euius disrentia E. euius semissis C.& initruanum inter A. & G. esto H. interuallum autem inter dii uni ipsius A.& Hesto L. dico quod fit octies ex L in summam omnium A n C D. cum quadrato ipsitus L. aequari quadrato con 'siti ex duplo ipsius D. N ex E. sit enim X. summa ipsis tum D G. quia igitur tu plum producti ex Hi nomites A BCD. cum quadruplo quadrati ex H. est quadruplum producti qui ni bis ex E. in eoidem A B C D. di quodiati ex H. At productus ex E in A B C D. bis, quadratus ex H. aequatur quadrato ex Κ. per placedens theor.patet octi plum producti ex E.in A B C D. cum quadruplo quadrati ex H. aequati quadruplo quadrati ex K at quadruplum quadrati ex K. est quadratus, cuius latus duplus est ad K. & cum Κ. componat ut ex D. & ex G. duplum illius componitur ex duplo ipsius D. & ex duplo ipsius G. seu ex E. igitur o, plum producti ex E. in A B C D. eum quadruplo quadrati ex Id. quadratus est, cunis lariis e poniti ieex duplo ipsius D & ex E. Quia vero interuallum ipsorum A G. est Id. viique duplorum intervallum, puta ta duplum est ad H. ac proinde quadratus ex L. quadruplus est quadrati ex N. quamobrem octu plum producti ex E. in omnes A B C D. cum quadrato ex L. aequatur quadrato cuius latus componit ut ex E. & ex duploi finis D. quod erat demonstrandum. Sane hoe theoremate in uniuerium de omni progressone arithmetica demonstrauimus, quod Diophantus restringit ad solam pro esssionem quae incipit ab unitate. Nam illius propositionem ab hoc theoremate minime differte cuilibet rem attentius consideranti, statim innotescet , si hoe applicetur arithmeticae progressoni ab unitate incipienti. Q uod tamen ut fiat commodissime, tale adhue
THEOREM A SEXTUM. In progressione arithmetica quae incipit ab unitate, productus ex duplo numeri terminorum unitate multato in differentia progressionis, adsumpto binario, a quati it composito ex differentia, & ex duplo maximi termini.
Sint ABCD. in arithmetica progressione , cuius disserentia E. & sie A. unitas, numerus terminorum P . cuius duplum & sit L. unitate minor ipso H. cuius duplum F. cui addita unitate fiat G. eritque G. unitate minor quam X. eum enim Hia unitate differant, erit duplorum K F. ii teruallum binarius, quare G. ex dens F. unitate, deficiet unitate ab ipso K. dico itaque prodii m ex G. in E. adsumpto binario, aequari composito ex duplo ipsus D. & ex E. Nam productus ex L. in Z aequatur interuallo extremorum D A. per tertiam huius. Quare si producto ex L. in E. addatur unitas A. fiet numerus D. ae proinde si producto ex F. in E addatur binarius, fiet duplum ipsius D. quamobrem si G. unitate maior quIm R ducatur in eundem E. & producto addatur binarius set utique numerus continens bis ipsum D. & semel ipsum E. quod erat demonstrandum. Hi ne porin manifeste insertur propositio Diophanti .sint enim AB C D in arithmetiea medietate, & sit A. unitas, disserentia progressionis E quae binario multata teli quat G. & duplum numeri terminorum esto Κ. unde ablata unitate, supersit L dicos E. dueatur octies in summam omnium ABCD. & producto addatur quadratus ipsius G. fieri quadratum, cuius latus binario multatum, eontinet Et oties, quot sunt unitates in L. quia enim adinerentia taauserendo duplum minimi termini A. puta binarium, relinquitur G. utique per s. theorema numeri u rus qui fit octies ex Sin summam omnium A BC U. cum quadrato ex G.
ori aeq iatur quadrato euius latus componitur ex E. de ex duplo ipsius D. At . . t η' Uyβ' per sextum theor. ipsi T&duplo ipsius D. aequatur productus ex L inta 7' auctus binario. Igitur qui fit octies ex R in summam omnium A B CD
adsumens quadratum ex G. aeqviatur quadrato, cuius latus aequale est producto ex Lin E. adsumenti binarium. Patet ergo si a latere huius quadrati auferatur binarius , relinqui productum ex L in ta seu numerum qui toties continet E quot sunt in ta unitates, quod demonstrandum erat.
S I x virique H T. T M. aequalis A.
ipsi autem K B. aequalis B. At pro- dudio ex utroque H T. T M. in Κ B. aequalis sit G. dico quod quadratus compositi ex utroque H T. TM. hoc est ipsius A.
92쪽
nea D E. E Z. & describantur ab ipi
DT. EL. & perficiatur complementum TZ. Itaque erit ut DB. ad E Z. Ita qtia-dratus D T. ad complementum TZ. ut autem T E. ad E K. sic complementum T Z. ad quadratum E L. quare complementuna TZ. est medium proportionale inter quadratos DT. ΖΚ. Productus igitur ex quadrato ex D T. in quadratum Z K. aequalis est quadrato ex TZ. Se est D T. aequalis quadrato compositi ex utroque H T. T M. At Z Κ. est aequalis quadrato Κ B. & complementum TZ. aequale est NR. Quamobrein quod fit ex quadrato utriusque H T. T M. in quadratum Κ B. aequale est quadrato N. R.
Quod demonstrathla Diophantus pet lineas, longe breuius Zc Aellius per numeros ostendemus,& i in propositionem se concipiemus. Prod chra ex mutua austra quadratorum mutiplicatisne, ιν adrato triaucti ex mutuo, Sint quadrati A. C. quorum latera D. E.&ex D. in E fiat B. dico pr A- 2p v 3I q9 di ictum eY quadrato A. in quadratum C. aequari quadrato ipsius B. ete-D. R 7 nim Vt constat ex demonstratione undecima 8. Euclidis B. estniediiis proportionalis inter A. & C. quare productus ex A. in C. , aequatur quadrato ipsius B. Qii'd erat de
93쪽
CV u sint qui proposuimus, pis
nunciamus. Stiint quotcumque nu- meti ab unitate, aequali interuallo progredientes , omnium summa multangulus est, tot enim habet angulos, quot unitates numerus bInario superans interuabium ; lattis autem illi fis est numerus m i-titudinis expositoriarii numerorum cum vnitate. Cum eni in ostenderimus summam expositorum Omnium nume forum
multiplicatam in octo ΚΓ. , ad sui heniatem quadratum N B. sacere quadratum a latere R x. si aliam visitate sumamus Ao. habebimus ΚΟ. binatium. Et est similiter ΚN. binirius Erunt Ago aequali in te mallo progredientes Q ΒΚ. BN; oiamobrem qui fit octies ex maximo 'o B. in medium BK. adsumens quadratum minimi BN. Leit quadratum habentem latus summam conflatam ex maximo O B. de
duplo medij B Κ. Igitur O B. ductus in octo ΚΒ. & adsumens quadratum N B. aequalis est quadrato compositi ex O B. de
duobus KB. de huius latus multatum binario Ο Κ. relinquit tres Κ B. qui sunt ipsius Κ B. multiplices secundum ternarium, at ternarius adsumens unitatem, duplum essicit binarii. doniam igitur semma omnium progressionis terminorum cum unitate idem praestat quod OB. Sco B. utcunque oblatus est, & multangulus primus ab unitate quandoquidem A O. est unitas, secundus autem post eam numerus est A B Sc eius latus est binarius , sequitur dc summam omnium progressionis terminorum esse multangulum aequiangulum ipsi o B. de habentem tot angulos , quot unitates habet numerus superans binario ΟΚ. interuallum ΚΒ.de est eius latus HT. numerus multitudinis expositorum numerorum cum unita.
te. Et demonstratum est quod ab Hypsicle in definitione dicitur. Quod si suerint
quotlibet numeri ab unitate aequali interuallo progredientes , si interuallum sit unitas, summa omnium est triangulus; si binarius, quadratus , si ternarius, quinquangulus. Exprimitur autem multitudo angulorum per numerum binario maiorem disi rentias latera vero per numerum multitudinis terminorum cum unitate. Itaque quoniam trianguli sunt, cum interuallum est unitas , latera ipsetum erunt maximi te
94쪽
minorum in unitate maiorem ipso, duplus est ipsius trianguli. Et quia o B. multangulus est, α illius tot stant anguli, quot in ipis unitates , & ductus octies innumerum binario minorem ipso, hoc est in ΚΒ. & adsumens quadratum numeri qui ab ipsomet, quaternario deficit hoc est qua atum N B. facit quadratum, ta-1 sdratum N B. facit quadratum, ta- τὰ κζ. e Glisi erit multangulorum definitio. omnis AK ἐλα-ο- , netici G να αι- multangulus multiplicatus octies in nismerum hinario minorem eo qui exprimit multitudinem angulorum , & adsumens quadratum numeri quaternario minoris multitudine angulorum , facit quadratum. Simul emo demonstrata Hypsiclis definitione, & horum multangulorum,reliquum est ut ostendamus, quomodo dato latere is qui requiritur multangulus inueniatur. Nam alicuius multanguli latus habentes H T. & habentes multitudinem angulorum eius , habebimus & datum
K B. Quare & habebimus productum ex
est ipsi N R. Quare & datum habebimus
ipsum Κ R. quoniam binarius est NK. D - ' τῆ ηρ. ἔξ
ἔνδει 1 ιυν meta πλαρῶ ἀπύ Φονκθ. όπερ ἔδει δέξαι. Quamobrem & datum habebimus ipsius Kk. quadratum. A quo auferendo qua .dratum ipsius N B. qui &ipse datus est, habebimus reliquum datum, qui quaesiti multanguli multiplex est secundum,octu-elum ipsius Κ B. Ergo inuentus est quaestus multangulus. Similiter & dato multangulo,inueniemus latus eius H T. Quod demonstrandum erati
margine citauimux God ait Diophantus de numeris triangulis, nimirum, si latus cuiussi bet trianguli ducatur in numerum unitate maiorem seipsis , fit duplum ipsius trianguli, id sie insutur. Quoniam omnis triangulus ex definitione, est summa progressionis arithmeticae quae incipit ab unitate, de euius dinserentia est unitas, patet numerum terminorum, seu ipsum latus trianguli aequari maximo termino, proinde si lateri addatur unitas, seu minimus terminus, fiet summa extremorum. Quamobrem cum latus trianguli seu numerus terminorum. dueetur in numerum unitate maiorem seipse, hoc est in summam extremorum, fiet duplum summae omnium terminorum per huius, hoc est duplum ipsius trianguli.
95쪽
Hinc autem innotescit desedi sextae propositionis ut concipitur , Diopbanto, eam refringendo ad totam progressionem'arithmeticam quae incipit ab unitate, sic enim per ea in vix applicari potest
haec octaua propositio nuinctis triangulis. Etenim requirit haec propositio ut a numero multitiauit' angulorum auferatur Maternarius, ut restatui quadratus additus c, uplo producti ex polygono inma merum angulorum binario multatum , fiat quadratus. At numerus angulorum trianguli est terna rius , a quo sane auferti non potest quaternarius. Euaneleit autem haec disti cultas si uniuersalius enun- cietur propositio sexta, ut a nobis Praestuum eii theoremate quinto. Nam pet illud theorema plo prodium ex Polygono innumerum angulorum binario multatum, addendus est quadratus interualli inter eundem numerum angulorum binatio multatum, & duplum minimi termina, hoc est binarium, Quare non refert vini in numerus angulorum binario multatus sit maior binario, ut
accidit in omni Dus polygonis supra quadratum vel aequalis binario ut accidit in quadrato vel minoi binario ut accidit in triangulo Nam in primo casu a numero angulorum binario multato, austretur tutius binarius, seu ut vult Diophalitus a numero angulorum auferetur quaternarius, &r udui quadratus addetur octu pla prodiicti ex polygono in numerum angulorum binario multatum. in secundo casu etiam a numero ansulorum binario multato auferetur rursus binarius ,&quia nil supererit, nil addetur ad octo plum supradictum . sed huiusmodi octu pluin erit numerus quadratus, etenim a numero angulorum quadrati auserendo a. superest z. cuius oesuplum est Io. quo ducto in quemlibet quadratum, patet fieri quadratum. In tertio denique caiu numerus angulorum binario multatus auferetur a binario,&residui quadratus addetur octu plo producti ex tit angulo in numerum angulorum binario multatum. Vnde quia numerus angulorum trianguli binatio multatus est unitas, quam auferendo 1 binario superest rursus unitas, hine demonstratur quod ait Diophantus propr. q. lib. q. omnis triangulus per octo multiplicatus, di adsumens unitatem , facit quadratum. Caeterum ani inaduersione dignum est hane propositionem non conuerti nisi in triangulis 3e in quadratis. Qi emadmodum enim ex hae propolitione sequitur omnem quadratum ductum in eis cere quadratum, ut supra docuimus, he E conuerso omnis numerus qui ductus in I 6. facit quadratum , quadr tus est, ut manifesti ina est, & rursus quemadmodum hac propositione demonstratur, omnem triangulum per octo multiplicatum, de adsumentem a. esseere quadratum; sie E eonuerso omnis numerus euius octuplum adscita unitate iacit quadratum, triangulus est, ut in promptu est demonstrare.
A-n 1 - C ς numerus A. cuius octuplum B. cui addita unitate sat C. quadratus cuius τ' ' p A. esse triangulum. Etenim quia B. par est eum sit octonarii V '' V μ' multipleii , erit C. impar, ae proinde & latus eius D. impar est, quare si sumatur E vnitate minor quam D. erit E. par sit erso illius semissis F. & a latere F. sat triangulus G. constat igit ei: octu plum ipsius G. adsumpta unitate sacere quadratum , cuius latus superat unitate duplum ipsius F. tam ex demonstratis ad M. q. si iam ex hac propositione triangulis applicata. Quare cum D. superet unitate duplum ipsius F. & ipsius D. quia ratus sit C. Vnde ablata unitate superest B. patet B. esse octu plum trianguli G. sed idem B. ex hypothesi est octuplum
numeri A. ergo Α. est aequalis triangulo G. Quod erat propositum. In aliis autem polygonis non conuertitur haec propolitio, quod uno aut altero exemplo probasse sufficiet. Quamuis enim vi huius propositionis omnis pentamnus ductus in χε& adsumens unitatem , iaciat quadratum , tamen non omnis numerus qui ductus in 24. N adsumens I. iaciat quadi tum est pentagonus, etenim a. ductus in a . & adsumens I. iacit quadratum ης. & tamen a. non est pentagonus. Rursus quamuis omnis heptagonus, vi huius propositionis ductus in o. & adsumens 9. faciat quadratum, tamen non omnis numerus qui ductus in M. & adsumens s. facit quadratum . stati in est heptagonus. Etenim 4. ductus in Ao.& adsumens 9. facit quadratum I69.cu in tamen q. non
sit heptagonus, & sic de aliis.
AD docendum autem accommodatius, ostendenius hoc iis qui prompte volunt audire ea quae quaeruntur per methodos . sumpto cnim latere multam
guli , illud geminabimus, itinc auferemus
unitatem , & reliquum ducemus in numerum multitudinis angulorum binario multatum, producto addemus binarium,
quadratumque eius qui sic fit sumentes,
96쪽
auferemus ab eo quadratum numeri mul- απ' rimi G τι άδ ἐλά-νοι tatitudinis angulorum quaternario naulsati, reliquumque diuidentes in octu plum numeri multitudinis angulorum binario multati, inueniemus quaesitum nulliangulum. Rursus ipso multangulo dato, inueniemus latus hac arte. Multiplicabimus eum per octuplum numeri multitudinis angulorum binario multati, producto addemus quadratum numeri multitudinis anguloriim quaternario multati ,& inueniemus quadratum, si tamen datus est multansulus. De huius autem quadrati latere, semper auferemus binarium, residuum diuidemus in numerum multitudinis anquiorum binario multatum ,quotienti addemus viii. tatem , & summae semissem capientes, habebimus quaesti multanguli latus. e F γανιων. ρυρί- nc Me Ἐν
IVIta omnino hic est dissicultas, solum moneo has duas resulas paul5 Mitet tradi in Geerptis N nondum editis Apostoditi, & Betrubi Rubi architectonis, itemque in Hygini Pomatico . . nimirum sic.
DATO LATERE INvENIRE POLYGONVM.
sumem dratum Lui eris, hunc dolis innumerum bimar o mi rem multiimi ne producto quod' ex dato latere in numera quaternaris mitrarem mutiιtuim , re
esia olit dii si hexagonum; quadra io. fit tota quem ducito in A. binari minoren multitudine angulorum, fit V. hine autet 2o. qui fit ex
multitudinis angulorum quaternario multatum, relinquitur 38o. cuius semissis I9o. gnus a latere I
Datumpad om- Aelio in octuplum nutrier, titudinis amulorum biseris mutata, angulorum, fit 6 o. adde . quadratum numeri Clatus 78. eui adde a. numerum scilicet angulorum quaternatio multatum, fit duplum ipsius numeri anguloruru binario multasi , puta per 8. fit Nox etiamIlias multas siciles tegulas ad inueniendum polygonum dato latere trademus in
'i' ἡ uri imui, kt monuimus ad praecedentem, hi et
dicis ne proprie applieari triangulis, quandoquidem in his omnibus regulis oportet a numero
pe numeros fictos quos vocant, etiam in triangulis hae omnes rePlae locum haben , q
angulorum multatum quaternario, puta I. quem duco in datum latus, fi .q 3 si r. euius semissis at . est triangulu in xς ς β' Α--α-A; A Dueo dii in octuplum Rursus dato triangulo str. quaero eius latus per regulam Apostodm. Duco 2I. in Octup
97쪽
numeri angulorum binario multati, puta in 8. iii I68.ec quia nunierus angulorum ni ratus quate nario, est - i. cuius quadratus est - - I. addo I. ad iob. hi quadratus Ios. cuius latus 13. cui addo numerum angulorum quaternario multatum, puta - est 1a. queindiuido per duplum numeri angulorum binario multati puta per a. sit quaesituin latus 6. eadeinque ratio est de regulis a Diophanto uaditis.
P Ropositionem pu&herrimam ct mirabilem g m nes inuenimus hoc in loco Me
demonstratione apponemus. In progressione naturaliqua ab unitate umit exordium , quilibet numerus in proximὶ maiorem facit duplum fui trianguli, iniriansulum proximὶ maioris facit triplum sua tyramidis , in tyramidem proxime maioris faeit quadruplum fui trianguloirianguli , ct sic niformi generati in infinitum
methodo. Nec existimo pulchrius aut generatius in numeris posse dari theo aeuius demonstrationem margini inserere nec vacat , nec licet.
multangulus esse possit. Esto datus numerus A B. & multitudo angulorum eius B G. & sumatur in ipse B G. binarius GD. & quaternarius GE. & quoniam A B. multangulus existens, tot habet angulos quot si int in B G. unitates, qui fit octies ex AB. in B D. adscito quadrato ex B E. ' quadratum facit. Esto eius latus ZH. igitur quadratus ex Z H. aequalis est numero qui fit octies ex A B. in B D. M quadrato ipsius B E. sumatur in A B. vnitas A T. Itaque qui fit octies ex A B. in BD.diuiditur in eum qui fit quater ex Arin BD. & in eum qui fit quater ex utroque AB. I B. in BD . sumatur ergo DK. aequalis quadruplo utriusque AB. TB. & transeseramus eum qui fit quater ex utroque A B. T B. in BD. in eum qui fit ex KD. in B D. loco autem illius qui fit quater ex AT. in BD. sumamus eum qui
fit bis ex B D. in DE. etenim D E. est binarius igitur quadratus ipsius Z H.
aequalis erit producto ex Κ D. in D B. α ei qui fit bis ex B D. in D E una cum qu drato ex BE. 2tqui duplo producti ex BD. in D E. una cum quadrato ex BE. aequa les sunt quadrati ex BD. DE. ergo &quadratus ex Z H. aequalis erit producto ex KD. in D B. & quadratis ipserum B D. D E. at producto ex Κ D in D B. una cum quadrato ex DB.aequalis est qui fit ex ΚΒ. in BD. igitur & quadratus ex ZH.aequalis
98쪽
' erit producto ex Κ B. in B D. & quadrato ex DE. & quoniam D K. aequalis existens quadruplo utriusque A B. B T. maior est quadruplo ipsius A T. hoc est quaternario , ει quaternarij semissis est binarius DG. reliquus utique G Κ. maior erit binatio G D. igitur si diuidatur D K. bifariam in L. cadet L. inter G. & K. itaque loco quadrati ex L B. sumamus quadratum ex L D. cum producto ex Κ B. in B D. quandoquidem D K. seeatur bifariam in L. Se additur et D B. ideoque producto ex Κ B. in B D. cum quadrato ex L inaequatur quadratus ex L B. igitur quadratus ex L B. si perat quadratum ex L D. producto ex Κ B. in B D. quocirca qua dratus ex Z H. aequalis est interuallo quadratorum B L. L D. & quadrato D E. addatur utrimque quadratus D L. igitur quadrati Z H. D L. aequales sunt quadratis B L. DE. cium autem duo numeri simul , duobus simul aequales sunt, ii int& permutando aequalia eorum interualla. igitur interuallum quadratorum L D. DE. aequale est interuallo quadratorum L B. ZH. & quoniam E D. aequalis est D G. M additur illis G L. ploductus utique exEL in La eum quadrato GD. aequa tur quadrato D L. quamobrem interuallum quadratorum L D. D c. seu qua dratorum L D. DE quod est productus ex E L. in L G. aequale est interuallo quadratorum L B. Z H. ponatur ipsi BL. aequalis Z M. nam B L. maior est quam Z H. quoniam quadrati Z H. D L. ostensi sunt aequales quadratis B L. ED. caeterii in quadratus D L. maior est quadrato D E. quandoquidem maior est quadrato D G. ) ideirco & quadratus B L. maior est quadrato ZH. ponatur ergo ipsi BL. aequalis ZM. erit igitur interuallum quadratorum ZM. Z H. aequale producto exE L. in L G. & quoniam D Κ. quadruplus
utriusque A B. B T. at D K. bisariam secatur in L. erit utique D L. duplus viri u que AB. B T. atqui DG. duplus est unitatis A T. ergo reliquus GL. duplus est duorum B T. igitur G L. quadruplus est ipsius B T. & B T. est quarta pars ipsius G L sed & A T. unitas est quarta pars quaternarii EG. ergo totus.A B. totius E L. quarta pars est. sed &T B. ostensus est esse quarta pars ipsius L G. igitur productus ex A D. in B T. est sextadecima pars producti ex E L. in L G. productus ergo ex E L. i i
99쪽
' A B. in B T. aequatur interuallo quadratot uni M Z. ZH. hoc est quadrato M H. de duplo producti ex Z H. in Id M. quare qui fit sedecies ex AB. in B T. aequalis est quadrato H M. & duplo producti ex ZH. in H M. quamobcem H M. parciti Secetur bisariam in N.
Ouamuis propositionis huius demonstratio tam in eodice regio, quam in vaticano atque etiam in eo quem prae manibus habuit Xdander, siti impersecta, & multa desint, quae diuinate meum non est, eum praeterea neque ipse Diophanti scopus mihi satis perfnectus sit, tamen quaecumque tepetia mendi, repurgata persei, restitui sanitati, ut ex aeta syllogismorum, aisue adeo verborum omnium eonnexione aestimabit prudens lector. si quae lunt autem quae prima seonte obscuriora videantur , ea sequenti adnotatione fient perspicua.
Primo quod ait Diophantus dugum producti ex B D. in D E. eum quadrato ex B E aequati qua-3s unitae dratis ex BD. D E sic probatur. Duplum producti ex B D. in D E aequatur duplo producti ex BRin ED. ε: duplo quadrati ED. quare addendo utrimque quadratum ex BE erit duplum producti ex B D. in D E eum quadrato ex B E. aquale duplo producit ex B R in E D. quadrato ex B L semel, . secundi. di quadrato ex E D. bis,sed quadratis ipsisti a B E. E D. eum duplo producti ex B H in E D. ' aequatur quadratus totius B D. igitur duplo producti ex B D. in D E eum quadrato ex B E aequanturciuadrati ex B D. D T quod erat demonstrandum. N ' A. T- E. . G- Κ
Seeundo quod ait productum ex K D. in D B. eum quadrato ex D R aequari producto ex Κ R in B D. patet per tertiam x Euclidis. Tertio, quod ait secto D K. bifariam in L. & addendo et B D. productum ex K B. in B D. eum quadrato ex L D. aequari quadrato totius L B. Uet per c. a. Euclidis. Quarto, quod ait ex eo quod quadrati Z H. D L aequales sunt quadratis B L D E sequi quadratotum D L. D E. idem esse interuallum, quod & quadratorum B L Z H. id sie insertur, quia qua- . dirimi iusti irata D L Z H. aequales sunt quadratis B L. D E. sunt in arithmetica proportionalitate quadrati' ' 'U' 'DLBUDE. ZH. quire de permutando ' sunt arithmoicε proportionales quadrati D L D E B Lyi 'ZH. quod est propositi im. Quinto, quod ait secto E G. bifariam in D.& addendo illi G L productum G E L in G ta cum
quadrato G D. aequari quadrato D L nil aliud est quam 5. a. Euclidis. Sexto, quod ait B L maiorem esse qu in Z H. ita probatur, quoniam quadrati Dia ZH. ostensic primi Dii sic sunt aequales quadratis B L D Z est in arithmetica proportionalitate quadratus D L ad quadrarum D E sicut quadratus B L ad quadratum Z H. sed quadratus D L maior est quadrato D E. quia D Lmaior est quam D E eum contineat DG. aequalem ipsi ED. &praeterea GL igitur di quadratus B ta maior est quadrato Z H. ac proinde B L. maior est quam Z H. quod erat demonstrandum. . Denique quod ait, ex eo quod productus sedecies ex A B. in B T. aequat ut quadrato H M. & duplo producti ex Z H. in H M. hine sequi ipsum H M. esse numerum parem , sic probatur. Productum
sedecies ex A B. in B T. binarius metitur, quandoquidem binarius metitur numerum I s. qui metitur eundem productum, sed & idem binarius metitur duplum producti ex Z H. in H M. ut euidens est. ergo idem binarius metitur reliquum quadratum H M. ac proinde quadratus H M. par est, ac per consequens de ipse H M. par est. quod erat intentum. Haee ad librum Diophanti de numeris polygonis adnotasse susciat. Quoniam vero hie liber mutilus est, de alia multa scitu digna tum theoremata, tum problemata excogitati possunt de numeris polygonis, praesertim de eorum progressione, visum est ea duobus sequentibus libris perim' qui, quos idcireo titulo Appendicis ad librum de numeris Polygonis insignire voluimus. Sed de praeterea, ad ealcem libri primi, pulcherrimi eorollarij loco, Problematis huius Diophantaei ensedationem felicitet, ut spero, apponemus.
o εα πιδεκαπις I. G . aequale est producto ex A B. in B T.
. 6 o. sedecies, sed i Mn ostensum est proditi
100쪽
AD LIBRUM DE NUMERIS ΡOLYGONIS. LIBER PRIMVS..
op OsITIO PRIMA. IN progressione arithmetica, quilibet terminorum post minimum, continet mini inum semel, de differentiam toties, quotus quisque ella minimo; nimirum primus a minimo semel , secundus bis i tertius ter & ita deinceps. p G ου in pr*gUssione arithmetica A B C D. &sit diaerentia Z euiu, du Α Η δ:o, sum A. & F. atque etiain
A 3 I VM L .eontinete &G.&evidens est ex sola definitione progressionis arithmeticae. Aliter per 3. Diophanti D. eontinet A. semel, di disterentiain E secundum numerum terminoriam unitate multatum id est tet,&eadem de eausa C. continet A. semel, & E. bis, & ruisus Rcontinet A. dc Esemel eademque ratio si plures exponamur numeri. Ergo patet propositum.
PROPOSITIO SECUNDA. In progressione arithmetica , si differentia ducatur in triangulum numeri terminorum, unitate multati, & produ addatur quod fit ex numero terminorum inminus extremum, fiet summa terminorum omnium. E , sint A B C D. in progressione arithmetica, cuius differentia E. dico si A. t. B. . C. . D. o. xn Πgulum i teris unitate minori, numero terminotum dueatur in E. &D ' ' producto addatur quod fit ex ipso numero terminotum in A. fieri summam omnium AB CD. nam per praeeed. R. eontinetur semel in quolibet ipsbrum A BCD.&praeterea B. eontinet S semel; C bis eontinet eisdem E & D. eontinet ter eundem E & sie deineeps. Quare patet Eeontineri in ipsis B C D. eundum vilitates trianguli cuius latus est numerus ipsuum B C D. - stilicet unitate quam numerus omnium A B C D. quare patet propositum.
PROPOSITIO TERTIA. Dato latere polygoni, si numerus angulorum binario multatus ducatur in datum latus unitate multatum, & qui producitur, binario auctus ducatur in datum latus, set duplum polygoni. , o p sit F. datum latus Θlysoni, unde ablata unitate superst G. 8: sit H.
in 'ris' O numerus angulorum binario multatus, quo dum in G. fiat K. qui auctusu binario secialia quo ducto in F. fiat M. dico M. esse duplum polygoni Κ, Π Α' 70' latere F. exponantur termini ABCDK in progressione arithmeticaeonstitutiva polygoni a latere F. erit ergo summa omnium ABCDE aequalis polygono illi, &riit A. unitas, H. differentia, numerus terminorum ipse F. ut eonstat ex demonstratis a Diophanto. Quoniam igitur interuallum extremorum A E. pet tertiam Diophanti aequat ut productora H. in G. nem ipsi Κ.& addendo interuallum numerorum duorum, duplo minoris, fit summa ipsorum ;patet addito binario qui duphas est ipsius A. ad K. aggregatuni Laequari summae ipsorum Α EQuamobrem qui fiet ex numero terminorum F. in summam extremorum L. nimirum M. aequatur duplo summae omnium per quartam Diophanti, seu duplo polygoni , utere F. quod demonstrandum