장음표시 사용
111쪽
'diis adratus maximi aequatur producto ex quolibet extremo , in planam sub numero terminorum, se altero extremo.. Eadem enimi rationei ostendet ur quadratum ex E aequari producto ex A. in planum sub G.& E vel noductis ex E. in pi num sub G. N A. 1 .L PROPOSIT IO di V LTA. In hac progressione, quadratus maximi aequatur producto ex minimo incompo situm ex maximo &summa reliquorum dupla. Sint numeri qui supra, & duplum summae ipsorum A B C D. esto M.
- . e dic qu dratum ipsius E. aequari prodiso ex A. in aggregatum ipso Α. a. B. o. U. b. uio -M E sit enim H. Vnitate deficiem a G. & ducto G. in E fiat L. Quia igitur ex H. in Efit M. de ex G. in eundem E fit laeum G. H. differant, unitate patet L aequasi utrique M. E. simul. At ex A. in L. fit quadratii ipsius E per eoru litium praecedentis. Igitur ex A. in utrumque M E simul, fit idem quadratus. uuod erat osten denduin. ι
In progressione qua ab unitate incipit, quadratus maximi araratur duplo fammae antecedentium adsumente ipsum maximum. A. t. B. a. C. 4. D. A. Ei. Z ς'imu P Π xur A, unitas, de differentia etiam progressionis .nitis' erit per hanc quartam propositionem quadratus E aequalis producto ex A. in E. de in duplum ipsorum ΑΒ CD. Quia ergo A. est unitas quae non mittat numeros quos inultiplicat, patet quadratum E. aequari ipsi E. de duplo seminae ipsorum ABCD. quod erit
PROPOSITIO In hac progressione aggregatum quadratorum a singulis , aequatur productis ex minimo in maximum semel, dein secundum ab illo ter, de in tertium quinquies, &in quartum septies, &sic continue per numeros impares ascendendo. Α a. B Cf. DREio. Finx pyra sit ne numeri A B C D E dico aggregatum quadrato tum , singulis aequari productis ex A.'in ta semel. in D. ter, in Q quinquies, in B. septies, in Α. novies , S sic deinceps per numeros impares ascendendo. Henim per praeedentem quadra us ex E aequatur producto ex A. in E. semel, & in reliquos bis. Rursus quadratus ex D. aequatur producto ex A. in D. semel, & in antecedentes bis. Quare quadrati ex E de D. aequantur productis ex A. in E. semel, in D. ter, ec in relictuos suater. At rursus quadratus ex Q aequatur producto ex A. in Q semel, de in antecedentes bis. Igitur quadrati ex E D C. aequantur ploductis ex A. in E. semel, in D. ter, in C. quinquies, de in reliquos sexies. Rursus denique quadratus ex B. aequatur producto ex A. in B. semel, de in A. bis. Igitur quadrati ex E D C B. aequantur productis ex A. in E. semel, in D. tet, in C. quinquies, in ta septies, Ec in A. octies, quare addito quadrato ex A. fiunt quadrati omnium A B C D E aequales productis ex A. in E semel, in D. ter, in C. qui quies , in B. septies, in A. novies. Quod demonstrandum erat.
PROPOSITIO SEXTA. In hac progressione, qui fit ex numero terminorum in sammam extremoriam, aequatur producto ex numero terminorum unitate aucto in maximum. xii. Sit inumeri qui prius, de sit numerus terminorum G. cui addendo uni - ΑΣΒ CsD8 Eio. tr Drum K. dico ex K. in C. eundem G A s. Pr uci numerum qui ex H in H. etenim ' E continet A. seeundum unitates numeri a quare eum addito Α. ad E fiat M ae proinde K. con- timeat A. Iemel amplius quam E. patet X. continere A. secundum numerum H. oui unitate superata quimodiem ex eodem A. in H. & in G. fiant K. & E erit K. ad E sicut H. ad Gine proinde' ex K. inia. Producetur numerus aequalis producto ex E. in Ps. quod erat demonstrandui m
112쪽
In hac progressione, produxis, ex numero terminorum unitate aucto in quadratum maximi, una cum prodii,sto ex minimo in summam omnium, aequatur triplo quadratorum a singulis. T X M Haee est decima proposito Archimedis de lineis spiralibus, qme. sic ostenditur. Sint in hac progressione Λ B. CD. ER G H. Κα. M N. dico quadratum ex M N. iamptum secundum Uitates Ira- . meri terminorum unitate aucti, una cum produistis ex A B. in sum- . mam omnium,aequari inplo summae quadratorum 1 singulis. Et
.inim adiiciatur liui Κ L. numerus X K. aequalis ipsi A B. ipsi quo- . que G H. addatur T G. aequalis ipsi C D. de ipsi E F. addatut . RE. eidem E F.u aequalis. At ipsi C D. addatur in Q aequalis. ipsi G ul& demum ips A B. addatur P A. aequalis ipsi Κ L. Tune . patet totos PB. QD. TH. XL aequales esse ipsi MN. Quia . enim A B. est aequalis dissetentiae , eo addito ad Κ L. de ad P A. ι fiunt XL. PB. qui singuli aequantur ipsi M N. sed ob medieta- . . tem arithmeticam fiammae duorum A B. Κ L aequalis est summa duo. rum C D. G H. itemque duplum ipsius EF. igitur eonstat & totos B D F H L N QM. R. F. TH. aequales esse sit stulos singulis Ρ B. X L. seu ipsi M N. ximobrem si sumantur quadrati ipsiorum P B. in . RF.. Tu. XL M N. & adhue semes quatus ipsius M N. sumetur utique quadratus M N. secundi im unitates numeri terminorum unitate aucti. Ostendenduin ergo hos quadratos, una eum producto ex AB. in sumnia omnium Λ B. C D. E F. G H. Κ M N. esscere triplum quadratorum a singulis. Itaque ' quadratus ex P B. sequatue quadratis ex P A. & AB. & plano bis sub P A. AB. contento. Item quadratus ex D. aequatur quadratis ex in . CD.& plano bis sub o C. CD. contento. Et sinini ter quadrati teliquorum aequantur quadratis partium , & plano bis sub partibus contento. at quadrati ex A B. C D. EF. G H. KL aequales sunt quadratis ex XΚ. TG. RE. Q 2. PA. quare si his addas duplum quadrati bi N. patet iam haberi duplum quadratorum a singulis. Restat ergo probandum cupia planorum subpartibus contentorum, una cum producto ex Α Tin A. B. CD. E P. G H. Κ LM N. aequati adbue iummae quadratorum , si gulis. Quoniam itaque quod fit bis ex X K. in Κ L. aequatur ei quod fit bis ex AB. in KL. at quod fit bis ex TG. in G H aequatur ei. quod fit quater ex AB in G H. quia T G. duplus est ipsius Λ B. similiter quod sitibis ex R E. in EF. aequatur ei quod fit se te, ex A B. in E F. quia RE. triplus est ipsius A B. & eadem de eausa quae bis sub alijs parti- bus continentur , aequantur prodii ex Α B. in alios numeros, secundum numeros pates continenter ascendendo multiplicatos, omnia utique plana illa simul sumpta eum producto ex AB. in omnes A B. C D. E F. G H. K L. M N. aequabuntur productis ex A B. in M N. semel, in K L. tet, in G H. quinquies . in E F. septies , & sic r numeros impares ascendendo. His autem productis aequantur qliadiati a singulis per quintam huius, ergo constat Propositum.
p Rcte OS ITIO OCTAVA. In hae progressone proditi ius ex maximo in summam extremorum, aequatur producto ex minimo in duplum siminae omnium.
u .Sint in hac progressione A B C D E. & sit summa extremorum F. Dico . o p. productum ex E in F. aequari producto ex A. in duplum suininae om-' nium, etenim cum F. componatur ex duobus Α.&E productus ex E. in F. aequatur quadrato ipsius E & producto ex K in E. at ' quadratus ex Eaequatur producto ex A in E. semeti &in antecedentes bis , Ut ut addito producto ex A. in E pa- Mihi tet pro ludium ex E. in F. aequati producto ex Α. in duplum sum e omnium , quod demonstra
Hine sequitur euidenter pro summex minimo in summam omnium aequari productis ex maximo in semissem summae extremorum , vel producto ex summa extremorum in semissem maximi.
PROPOSITIO NONA. In hac progressione productus ex numero terminorum in quadratum summae extre-
113쪽
niorum, aequatur producto ex eodem numero terminorum unitate aucto , in quacratum maximi, vita cuni producto ex minimo in duplum summae onmium.. Suit numcri qui supra, di sit G. numerus terminorum,oc unitate maior sit li. aico productum ex Cm quadratum ipsius K aequari proditetis o H. in quadratum E. & ex A. in duplum iunimae omnium, quatia, . quadratu F. aequatur quadraris partium Λ E. N duplo plani sub A. α E quare produciusi Lusu, G in qu d tin A E. & in duplum plani iub A L. α lo 3. . co producti ex G. in planum sub Α E. semel, sumendo' illi aequalem quadratum ipsius E. erit prinductus ex G. tu quadratum F. aequalis productis ex G. in planum sub A ta& in qῆadratos A L. MIpsi quadrato E. quia vero H.superat G. unitate, productus ex H. in quadratum E aequatur producto ex G. in quadratum E. & ipsi quadrato E. Igitur productus ex G. in quadratum F. ae atur moductis E. atqui cum L aequet ut ii sisAE. planus sis A E eum qua irato A aequatur producto ex F. in A. ac proinde produsi ex G. in planum sub A E. & in quadratum A. aequantur producto ex G. in planum sub F A. itur productus G. L planum sub F A. & ex H. in Ruadratum H quiabo stam h G fix idςm numerus si F. ducatur in A.& ploductus in G. qui stDiophanu. si G. durat in F. de productus. nempe duplum summa omnium , ducatur in A. patet productum
Ex hac de ex praecedente eollige tres numeros aequales esse, ni minim. Pr uctum ex numero terminorum, in planum sub minimo, de sub summa extremorum. Vr uetiim ex minimo in duplum summae omnium. Productum ex maximo in summam extremotum.
PROPO.S ITIO DECIMA. In hac progressione productus ex minimo in duplum summae omnium,aequatur quadrato maximi ,& plano sub extremi,. 3 IAa. B . C DREio. hvmςxi qui supra, dico quadratum maximi E cum plano sub AT hiam. aequatur producto ex A. in psi, 'sco's , , ζ' Omnium, etenim quadratus E
PRO POS IT IO UNDECIMA. In hac progressione productus ex duplo numeri terminorum ternario aucto in
T. iux oue oui, ἡ;-1- pi G idςm κ- superat unitate duplum ipsu, H. ita que quia triplum quadratorum , singulis aequatur productis G H. in quadratum E & ex A in
114쪽
Quia E mulii plo est ad A serii tim iptum rit primam huius, patet ducto A. in E productrinent quadrati iritu H denominatam 1 G. quale si ipii K. addatur pars unitatis ab ipso G. deno nata, de iumma ducatur in quadratum E. set sextuplum antegati quadratot uiu , singulis, ut eui
In hac progressione producatis ex numero tenninorum in planum sub maximo, &sub silmina extremor uni, a cruatur producto ex numero terminorum unitate aucto, in quadratum ma libi.
sint oumeri qui lupi, ,& summa extremesum esto v. dico productuni ex G. In minum sub P E. aequari producto ex H. in quadratum ipsus H quia ex ipsis At con ponitur planiis sub F E ' aequatur qua- ςHia Mri 6- s, plano sub A ta Quare productus ex G. in planum sub FE. aequatur productis ex G. in quadratum E &'in planum sub A ta sed productus ex G. in planum sub AE.' aequatur quadrato ipsius E. Ieitur productus ex G. in planum iiii, F E. aequatur Producto a. huiu ex G. in quadratum H de ipsi quadrato E. hoe est producto ex ra. in qu1dratum E. quod erat de
p Ro P OS IT IO DECIM A TERT IA.
In hae progressione proaticii ex numero terminorum in quadratum si immoe extremorum , & in planum sub summa extremorum, & sub maximo comprehensum, aeqilatur sextuplo quadratorum a singulis., sint numeri qWi prius. Dico productos ex G. in quadraturii F. & in plari n. num sub P E. contentum , aequari sextuplo quadratori tui, singulis. Nam rhodii Pex G. in quadratum F. aequatur productis ex PI. in quadratum Hst s' T&ek A in duplum summae omnium. At productus ex G. in planum sub F T aequatur producto ex H. in quadratum E. Igitur producti ex G. in quadratum F. & in planum iti huius.fiib F E. aequantur productis ex H. in quadratum E. bis, & ex A. in summam omnium bis. Vertim producti ex H. in quadratum E. de ex A. in summam omnium aeqliantur triplo quadratorum asin- husu isti ilis. Igitur iidem producti bis, seu illis aequales producti eu G. in quadratum F. de in planum subpta aequantiit sextuplo quadratorum a singulis. Quod demonstrandum fuit:
PROPOSITIO DECIMA ARTA. In hac progressione, est vimininius ad maximum, ita quadratus summae extremo rum, cum plano iit, eadem summa &sub maximo comprehensio, ad sextuplum aggregati quadratorum a sngulis.
sint numeri qui supra, dico esse A. ad p. sicut quadratum F. exim plano sub F E. ad sextuplum qua.tratorum , singulis. Nam cum ex A. in G. fiae E. est A. ad K vi unitas ad G. sed etiam ' quia ex G. in quadratum F. te in planum sub F E. fit sextuplum quadratorum a sin iis, est unita, ad G. sicut quadratus F. eum plano sub F E. ad sextuplum quadratoriim , singulis. Ergo est A. ad E. seut quadratus F. eum plano sub P ta id sextuplum quadratotum a singulis. Quod demonstrandum erat.
In hac progressione, productus ex maximo in dimidium numeri terminorum unitate allisti, vel ex numero terminorum unitate aucto in dimidium maxilni, aequatur
Himmae omnium. Sint numeri qui priux Dico productum ex E. in seinissem ipsius H.vel ex H. in dimidium E. aeqitari iunimae omnium. Etenim producti is ex G. in P. aequatur duplo summae omnium. per q. Dio phanti ac prodiit ex G. in F. ae luatur productus ex H. in E. cum cx H. in E fiat duplum citatu suio ae omnium , sane ex E. in dioiadiuin ii. vel ex H. in dimidium E. net ipsa suumiaoninium QMod erat ostendendum. e
115쪽
Ducito numerum terminorum unitate auctam in quariatum maximi , o prodam adde quod fit ex minimo infummam omnium eompositi triens erilsumma tu dratorv. Constat per septimam huius ,sie tacenda ε. in ιον. - εσα cui aduendo pr -- σε a. in ro. nempe
Ducito numerum terminoram in planum sub maximo , se sub summa extremorum , se producto adde quod fit ex minimo in summam omnium, compositi
triens erit summa quadratorum. Connat per duodecimam ad uviante septima, sic Demis s. - rao. qui sit ex ιν. in M. μ ιον. erireddendo oo. ut prius , Ν οιο. cusM trior est a . ut supra.
Ducito numerum terminorum in quadratum fumma extremorum , a producto aufer quοάμ ex minimo in summam omnium, re ui triens erit summa quadrato .
Constat per nonam adsuuantefepsim sic ducto A in ι . quadratum V 3 ιδ. μ rao. und auferoso. restat εbo. euius triens est aro. ut pris . Porrosicut tribus massis, huius regula prima pars variata est is tribus hisce praceptis, ita tot dem modis variari potest secunda. Nam loco producti ex Mnima in sinoam omnium seu Mi potesna ctus ex minimo in Hanu sub maximo, e sub dimidio numeri terminorum unitate aucti per decimam quintam, vel prodinus ex maximo ιn Amidsumsu a extremo ter carinarium octaua.
Ducito duplum numeri terminorum ternario auctum in quadratum maximilrod ast adde planum sub extremis , eamposit extans erit summa quadratorum. Constat ter undecimam: sic ducendo M. in ι oo. D rsoo. cui addendo ao. D rsao. euius sextans eu
Ducito quadratum maximi in duplum numeri terminorum auctum ternario, cfiparte amitatis a numero terminorum denominata, producti sextans erit summa
quadratorum. Confiat per rarollarium undecima sic ducendo roo. in υμ Mao. cuias sextans est aro. influpra.
Ducito 1 umorum terminorum in aggregatum ex quadrato summa extremorum,
o ex plano sub maximo se sub summa extremorum contento, producti sextanserit fumma quadratorum. Constat per decimam tortiam, sic ducendo I. in aggregatum ex ι . Ur ex rao. nempe in ab . sit δε o. quo diuisa ter a. ' rsao. cuius sextans eiu asto. ut trias.
Ducito maximum in aggregatum ex quadrato fumma extremorum , se ex plano
116쪽
ρb maximo sesub fumma extremorum , productum diuideter minimam iis sextans erit summa quadratorum.
PROpOSITIO DECIMA SEXTA. In hac progressione. Octuplum plani sub minimo, &sub summa omnium adscito minimi quadrato aequatur quadrato compositi ex minimo, & duplo maximi.
A R C κ Sint numeri quiyritis, &sit summa omnium F. Dico octuplum δε a - ς' plani ex A. in F. aditimeto quadrato ipsiuς A.. aequati quadrato com ' 3'' positi in A. 5e duplo ipsius E. Etenim ' productus bis ex A. in F.aequa--bui . tu quadrato Teum plano sub Α E Quare oestuplum producti ex A. in F. aequat ut quadruplo quadrati E & quadruplo plani sub A E Proinde si addatur utrimque quadratus A. viique o, pium plani sub AReum quadrato A. aequabitur quadrato H quater, plano sub A E quator, &quadrat' A. semel. Atqui quadruplum quadrati E. aequatur quadrato dupli ipsius E. & quadruplum plani sub AE. aquatur duplo plani sub A. & sub duplo ipsius E. Rursus autem ' quadrati ex A. & ex duplo ipsi iis E eum duplo plani sub A. & sub duplo ipuus E aequantur quadrato conlpositi ex A. de ex durio E Igitur hie quadratus aequatur octuso plani sub Α F. Quod erat demonstrandum.
Hinc rins s dem/nstratin quod ait D;ophantiu quas . . sib. . Itemque piatare 1 quas istis PI toica quarta nimirum Πας τριγώνος ρκτάκις--σαδου γινεται ἡάγ-νος. ut euidens ea si A. ponatur unitas, ct differentia progressionis unitas. Tunc enim F. erit
triangulas ex defritione. Etenim eum unitas non mutet numerum quem mutii icat, π quadratus uni
Ai P Φ'p Reis addeudo quadratum tinus A. puta unitatemfiet quia tui , tui iat a abii uir duplo Vsso E.ctoritati. Itaque hanc eanδem propositionem mmiri Fe ter demonstrauimus. Primo ad quadruesimam quartam . feotiari demonstratione. Secundolue iuersaliur , prout hae proprietas conuemt omni seogressiani arithmetica, cuius minimus terminus a uatis es differentia. Tertio uniuersalissime , ad octauam Diophanti de numeris milliangulii , proprietatem b.ine omni in uniuersum progressioni arithmetica applicantes vi theorematis 1. eorem qua adsextiam demon auimus. Hae ergo dixisses ciat de progressisne quadrator , quorum latera in hae progressione funι ordis ea. Agamas iam de omnium pes unorum in uniuersim progressone.
PROPOSITIO DECIMA SEPTIMA. Si numerus secetur in duas patres, tum in tres , tum in quatuor, tum in quinque , & sic deinceps, & quaelibet pars unius sectionis comparetur , cuilibet ex aliis parti bus eiusdem sebionis , continget hanc comparationem in prima sectione fieri semel, in secunda ter, in tertia sexies, in quarta decies, sic continue per numeros trian
gulos ascendendo. . e. n Secetur A B in duas patres A C. C B. & secetur D G. vi tres DE EF. F G. α-H quatuor HKΚUL M. MN.&sie deinceps, & compa-i retur quaelibet pars unius sectionis euilibet ex alijs eiusdem sectionis, dico in sectione numeri A B. hane comparationem fieri semel, in sectione D G. fieriter. in sectione H N. fieri sexies, & sie continue per numeros tria, gulos ascendendo. Primo enim in sectione A B. patet A C. tantum comparari posse ipsi C B. unde constat prop-
Secundo in sectione DG. quia DE. eomparati potest singulis EF. FG.& ipsae EF. FG. rursus
inter se semel comparantur, patet tres hie fieri comparationes. Quod erat intentum. Tettio in sectione H N. quia H K. comparari potest sigillatim, tribus reliquis, unde tres oriuntur comparationes, & rursus tres reliquae per proxime demonstrata, tet inter se comparantur. Patet hic in uniuersum sex fieti comparationes , quod erat propositum. Denique si mimerus secet ir in quinque partes eum prima pars comparati possit quatuor reliquis,& quatuor reliquae petiam demonstrata, sexies inter se eomparentur, fient omnino decem comin
117쪽
tionum aequabitur triangulis praecedentium comparationum adsciscenti suum lariis vilitate mutant. unite fiet triangulus proxime maior ex definitione triangulorum. Quamobrem ex omni Parte patet propositum.
P ROPOS ITIO DEC IM AO CT AU A. In linc progressione si polygoniis quilibet minimi ducatur in triangulum numeriterininorum, de producto addatur solidus contentus sub quadrato minimi, sub numero ansulorum, binario multato, & sub summa totidem triangulorum ab unitato quot sunt ipsi numeri uno minus, fici semina similium polygonorum a singulis.
. Sint in hae progressotae A B C D. & sit P. quilibet Polygonus minimi. Q vi heptagorius, sitque triangulus numeri terivinorum, quo dum e u ' Daciatus ipsius A. & T. numerus angulorum bi-E ' . ri multatus, & V. summa totidem triangulorum ab unitate , quotia ν sunt ipsi B C D. & solidus sub ipsis R T U. esto Υ. dico aggregatumi, - q. duorum X Y. aequari summae similium polygonorum, puta heptagon P 7. Qi . R TI V im a filioli, A B C D. Quia enim A. eontinetur in v. bis, in C. ter. A 7 Q D quater. resoluant ut B C D. in numeros aequales ipsi A. puta B. in EF. At Cin G H Κ. ae demum D. in LM No. Itaque per seliolium Io. primi polysonus B. aequatur polygonis ipsorum EF.& producto ex in F, seu quadrato R. ducto in T. similiter polygonus Q aequatur polygonis G Η Κ. re productis ex qualibet parte in quamlibet ex aliis , seu totidem qu dratis R. ductis in T. denique polygonus D. aequatur polygonis ipsorum L M N o. & productu ex quolibet in quemlibet ex alijs, seu totidem R. ductis in T. quamobrem si his Omnibus polygonis de productis addatur polygonus ipsius A. patet polygonos a singulis A B C D. eontinere polygonum ipsius A. seu ipsum P. semel, bis, ter, quater,&sie deinceps, id est secundum vnit tes trianguli Q & praeterea ipsum R. ductum in T. semel, tet, sexies de sic deinceps seeundum tirangulos ab unitate, id est secundum unitates ipsius V. per praecedentem. Qu mobrem polygoni , singulis A B C D. aequantur producto ex QUn P. seu ipsi X. adsciscenti solidum sub R.T. V. nempe ipsum Y. Quod demonstrandum et M.
PROPOSITIO DECIM AN ONA. In hae progressione aggregatum productorum ex minimo in maximum semel, in secundum ab illo bis, in tertium ter , in quartum quater, & sic deinceps, aequatur producto ex quadrato minimi in simmam totidem triangulorum ab unitate, quot sunt ipsi numeri.
Sint in hac priciessione A B C D. Dico si A. ducatur in D. semel, in C. binis R. ter, in A. quater, & sic deinceps, ag egatum productorum, aequati producto ex A. in summam totidem triangulorum ab unitate. Etenim sumantur totidem numeri ab unitate secundum seriem naturalem dispositi E. F. G. H. quibus superponantur totidem illis aequales ordine inuerso, puta - Κ L M N. & ex K. in H. fiat R. ea L. in G. fiat ex M. in F. fiat P. ex N. in E fiat O. L α, ' Patre A. contineri in A. secundum Z in B. secundum F. in C. seeundum in D. se. cundum H. Quare cum Κ. sit unitas , si A. ducatur stinet in D. p uctus continebit quadratum ipsus A. toties, quoties produsus ex K in H. puta R. eontinet unitatem. Similituruia L. eli binarius, si A. ducatur bis in Q productus continebit quadratum M toties quoties priuctus ex L. in G. pura continet unitatem. Eodem argumento probabitur productum ex A. in
B. t et toties minere quadratum A. quoties P. continet unitatem,&rursus prcinuetiam ex A. in αquater toties eontinere quadratum A. quoties o. continet unitatem. Quamobrem producti om
nes ex A. in D. semel, in Q bis, in B. ter, in A. quater, toties continent quadratu in A. quot sunt r. r. appe Lunitates insiimma ipsorum o PM . sed summa ipsorum OP R. 3 aequatut summae triangulorum 1b ipsis E. F. G. H. Igitur producti omnes ex A. in D. semel in Q bis, in B. tet, in A. quater toties continent quadratum A. quot sunt unitates in summa totidem triangulorum ab unis late. Quod demonstrandum erat.
In hac progressione, si numerus terminorum unitate auctus, ducatur in polygonum maximi, & a producto auferatur solidus contentus sub quadrato minimi, Iub
118쪽
numero angulorum binario multato, & sub silmma totidem triangulorum ab unitate , quot sunt ipsi numeri uno minus, residuum aequatur duplo polygonorum a singulis.
F. s. H. 6. G. 4. F. r. in h/ς p rcissione A B C D E. & numerus angulorum binatio muti ALBq.C6.D8. Eio. x IV esse L. Dico si numerus terminorum seitate auctus ducatur inpo-L i. lygonum ipsius E. dc a producto auferatur solidus contentus sub qua-
arato A. numero L. de summa totidem triangulorum ab unitate, quot
huit ipsi ABCD. residuum aequari duplo polygonorum a singulie ABC DE. Etenim super eonantur ipsis totidem illis aequales ordine inuetib FGH Κ. Tune ex demonstratione se limae huius patet binos ΑΚ. BH. CG DF. aequati sigill tim ipsi E quare si sumanIt Polygoni harum iunimarum, & praeterea polygonus ipsitis Z bis, horum aggregatum aequabitur produci' ex numero terminorum unitate alicto in polygonum ipsius K Atqui polygoni sun mae binorum ΑΚ. BH. CG. DF. aequantur polygonis omnium A BΗ. CG. Ρ duplo polygonorum , singulis A B C D. de praeterea productis ex A. in K. ex B. in v. ex in G. e . in F. ductis in L. Igitur productus ex numero terminorum Uitate aucto in polyso-X. 8. H. 6. G. 4. F. i. duplo polygonorum a singulis A B C D E Et piodua A. a. B. . Q 6. D. 8. Rio. in i C- in V. ex D. in F. ductis in L sed hi pro- λάκ. L quandoquidem A. continetur in F. semel , in G bis, in H ter , huius.. in K quater γ aequantur productis ex A. in D. semel, in C.bis, in riter in A. quater, ae proinde per praecedentem iid producti aequantur producto ex quadrato Α, in summam tot triangulorum ab unitate quot sunt ipsi ABCD. Igitur productus ex numero terminorum unitate aucto in polysonum E aequatur duplo poligonorum a lingulis , 8e producto ex adrato A, in summam tot triangulorum ab unitate quot uini ipsi ABCD. ducto in L. quale si solidus sub quadrato A, numero L, de summa rot triangulorum au unitate quot sunt ipsi ABCD. auferatur 1 producto ex numero terminorum unitate aucto in polygonum ri residuum erit duplum
polygonorum a singulis A B C D ta quod demonstrare oportuit. PROPOSITIO VIGESIMA PRIMAE In hae progressione, qui fit ex polygono minimi in triangulum numeri terminorum , adscito producto ex numero terminorum unitate aucto in re gonum maximi, aequatur triplo polygonorum a singulis. Α , R i. C s. D p. h ς p νςη φης A 3 C D. dc qui sit ex polygono minimi Α, in trian.
ς , pista ' Plu'm numςri x minorum esto E. qui fit autem ex numero terminorum vniis e late aucto in Polygonum maximi esto F. dico aggregatum duorum E F. aequa.' ti triplo polygonorum , singulis, etenim sumatur Κ, solidus sub quadrato A. sub numero angulorum binario multato, εt sub summa tot tHangulorum ab unitate quot sunt ipsi A B C. igitur per i8. ambo E K. sitnul aequantur summae polygonorum a singulis Α Β C D. sed per praecedentem , detracto Κ, ex F. manet duplum polygonorum a singulis. Igitur si ad F. multa tum numero Κ. eoncipiamus addi ipsos ΕΚ. nempe summam polygonorum a singulis; fiet utiquenmma ipsorum EF. aequilis triplo polygonorum a singulis, quod demonstiandum erat.
PROPOSITIO VIGEsIMA SECUN DA. In hae progressione si productiis ex polygono minimi in numerum terminorum adsciscat duplum lygoni maximi, & aggregatum ducatur in numerum terminorum unitate auctum, net sextupluin polygonorum a singulis. A 1. Ba. Cf. D L h ς py gypssionς A B CD. de polygonus minimi esto numeruae ' ci.' si , vero terminorum F, Ec illo unitate maior esto a. ductoque E in F. fiat H.
Maximi vero lygonus esto L euius duplum M. quo addito ad Η. fiat o P in G. fiat o.dic Ο.esse sextuplum polygonorum , singu- V ' .li , etenini ducto G in ipsos H. M. fiant K N. eum ergo ex eodem G in P, summam eonindem H M. factis sit O. erit Ois qualis ambobus K N. Quia vero ex E in F,st H. & ex . Hin K fit K. est K. solidus sub tribus E FG. proinde idem Κ, fiet ducto F in G. & produti in E, sed ex F. in G. fit duplum trianguli ipsius F. per octauam Diophanti. Et go Κ, fit ducto E, in duplum trianguli F.similiter N. factus est ex G, in M, duplum polygoni L ergo summa duorum Κ N. . seu O. eomponitur ductu E. in duplum trian 'li ex F, & ex ductu G in duplum polymoi ex D. sed hortim semissis , nempe productus ex ri in triangulum ex F. una cum producto ex G. in Polygo num ex P. aequatur triplo polygonorum finguli per praecedentem. Igitur O, aequatur textuplo eorundem polyg'norum. Mod Ostendendum susceperam.
119쪽
pROpos ITIO VIGESIMA TERTIA. Si disponantur omnes numeri impares ab unitate, ex illorum ordinata de continua
dditione . quadrati omnes procreabuntur. . . . Putabit sorte quispiam nos huic propositioni supersedere debuisse, quandoquiuem ex polygon
rum definitione quadratis applicata, hoe ipsum nianifestum fit. Verum quoniam antiqua definitio Quadratorum ab Euclide priscisque omnibus , N ab ipso Diophanto libro primo arithmeticorum tradita, diuersa est, quatenus definiunt ut quadrati, numeri qui fiunt ex alio quopiam in seipsum multiplicato operaepretium visum est, ostendere raramque definitionem iisdem numeris eonuenite, ne ut a supersit haedere dubitatio. Etenim posset aliquis iure ambigere , an quadratus cui conuenit polygoni definitio, & qui fit ex imparium agglegatione, idem it qui producitur latere in leti su in ducis, quandoquidem neque triangulus neque pentagonus, nec hexagoniis , neque alius quispiam polygonus praeter solum quadratum , respondet figurae Geometricae angulorum di latet uni aequalium, eiuldemque nominis. - - r, sint ab unitate impares Α BCD. dico ex eorum ordinata aggregatione fieri A D 3' M omnes quadratox, etenim elim unitas Α. sit primus quadratus, dico sum- ρ' duorum AB. esse seeundum quadratum seu quadratum binarii, &F i, Ga, H 3 summim ttium A B C. esse quadratum ternarii, de summam quatuor numerorum A B C D. esse quadratum quaternarii, de sie in infinitum , sumantur numeri ab unitate s cundum seriem nati italem, FG H. & sim eorum dupli LMN. patet igitur ipsos LMN. esse numeros pares Ordinare dii positos , ac proinde si singulis addatur unitas, fieri omnes impares, hoe est L. cum unitate aequatur ipsi B. at M. cum unitate aequatur ipsi C. ac demum N.cum unitate aequatur
ipsi D de sic deinceps. Itaque ' quoniam si quadrato unitatis F. hoc est ipsi unitati Α,addatur duplum lateris illius & pta terea unitas, ni quadratus proxime maior, hoc est quadratus binari j,eum L, sit duplus ipsus F.&B, excedat L, unitate, patet addito Bad unitatem Α, fieri quadratum binarii. Rursus quia quadrato binarii G. addendo duplum ipsius G. & unitatem, hoc est numerum C. fit quadra ius ternarii, eum A G. simul faciant quadratum binarii ut ostensum est, Licient tres ΑΒ C. simul quadratum ternar ij. Et eodem argumento ostendetur quatuor ABCD. xquari quadrato quaternatii, & sic in infinitum. Igitur constat propositum.
Patet ergo quemlibet quadratum tot imparibus constate, quot unitates continet latus quadrati.
PROPOSIT IO VIGESIMA ARTA. In progressione arithmetica ab unitate incipiente , & per unitatem crescente, cubus maximi aequatur quadrato maximi , &producto ex maximo in duplum ante
Sit unitas A. & quotlibet numeri deinceps B C D. per unitatis augmentum A i. v C 3, P Φ ctestente, . sique E duplum ipsorum Λ BQ Dico cubum maximi D. aequari L quadrato ipsius D. Se producto G D. in E etenim productus ex D. in Heum quadrato ipsius D. aequatur producto ex D E. simul in D. at E D. simul aequantur quadrato ipsiu D. pet corollarium huius. Igitur productus ex Tin D. cum quadrato ex D. aequatur pt ducto ex quadrato ipsius D, in D. hoc est cubo ipsius D. Quod erat estendendum.
. Quotlibet cuborum ab unitate secundum seriem naturalem dispositorum summa quadratus est, cuius latus componitur ex cuborum ipsorum lateribus simul additis.
120쪽
Sint quotlibet numeri ab unitate ABCD. seeuntium seriem numerorum, quorum cubi sints FG H. Dieo summam duotum E F. Itemque irium EFG. itemque quatuor EFG H. esse quaeratum, cuius latus est sumina duorum A B. vel trium A B C. vel quatuor A B C D. . n. c. ri Primo enim quadratus summae duorum ΑΒ. 'aequatur quadratis ipsorum A&B& duplo producti ex A in B. At quadiatus unitatis A aequatur cubovi. x ε. 7 ri φε ipsi Vnitati, E. quadratus autem ex B. cum duplo produxili ex v i' Arquatur cubo F per praecedentem. Igitur quadratus summae duorum A B. aequatur eubis E F. finiui. quod erat propositum. Deinde quadratus sumitiae trium AB C. aequatur quadrato summae duorum AB. & qtia irato ipsus C.& duplo producti ex Α B. simul in C. sed quadrato summae duorum A B. xquamur eubi EF. per demonstrata: quadrato autem ipsius C, cum duplo producti ex AB. limul iii C. aequatur cubiis G, per praecedentem. Igitur quadratus summae trium AB Q aequatur eubis L FG. simul. Denique eodem argitimento quadratus summae omnium Α Β C D. aequatur quadrato summae trium A B C. hoc est e ubis E FG. N quadrato ipsius D. eum duplo producti ex D. in luminam trium AB C. hoc est cubo H. per praeced. Igitur quadratus summae ipsorum ABCD. aequatur eubii E F G H simul. Quod erat demonstrandum, eademque est demonstrationis ratio in furibus, ut patet, quamobrem abunde constat propositum.
Hinc sequitur summam quotlibet cuborum ab unitate , sacere quadratum cuius latus , est numetus triangulus , quia enim A B C D. est progressio natur iis numerorum ab unitate, patet ex definitione triangulorum, tam Λ B. simul, qu in A B C, vel A B C D. eonficere triangulum, est autem trianguli latus, ipse cuborum numerus, ut etiam perspicuum est.
PROPOSITIO VIGESIMA SEXTA. Quadratus quilibet adsumpto suo latere, duplum iacit collateralis trianguli.
Esto quilibet quadratus A euius latus B ta dico si B C. addatur ad A fieti duplum trian- ἡ ' in ri guli . B C. etenim ipsi B Q ad latur unitas C Da itur ex B C.in B D fiet duplum V trianguli ex B C. per 8. Diophanti, sed productus ex B C in B D. aequatur quadrato ex B C. hoe est ipsi Α, 3: producto ex B C in C D. sit hoe est ipsi B C. eum CD. sit unitas. Ergo duplum iii anguli ex B C. aequatur quadrato A cum suo latere B C. quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO VIGESIM A SEPTIMA. Vnitas primum cubum , duo sequentes impares coniuncti, secundum cubum It res sequentes tertium cubum quatuor succedentes, quartum, semperque uno plures sequentem deinceps in infinitum cubum aggregati impares constituunt. Ax. Disponantur ab unitate A. numeri impares BC DEFG HKL dico quod BC. smaiseeundum ab unitate cubum iaciunt, at DEF. faciunt tertium cubum , ac demum
IR 2GHΚL. quartum cubam eonstituunt, de sic deinceps, sit enim R. summa duo-C1. t tum BQ de sit T. summa trium DE F. stque V. summa ipsorum quatuor GHΚL. etenim quoniam Α Β C D E FG Κ L sunt impares ordinate dispositi ab unitate, eorum D . summa, seu summa ipsorum ARTV. ' est quadratus, cuius latus tot constat unitati-E s. ita numeri ABCDEFG ΗΚ L Quoniam veto ex ipsis unus sumitur; tum
Fir. tum tres, tum quatuor, patet numerum numerorum esse triangulum, cuius latus tot eontinet unitates , quot fiunt propositorum numeroriam sumptiones, hoc est , quot
G ii. t sunt ipsi ART U. Cum itaque tumina ipsorum ARTU. sit quadratus cuius latus
Is i s. l est triansulum , erit eadem summa, a gregatum totidem cuborum ab unitate quot Κ1 .l V, sunt unitates in latere trianguli, hoc est quot sunt ipsi AR T v, puta quatuor eu Li . 'tum, simili prolsus argumento ostendemus aggregatum ipsorum A RT. esse summamisium cuborum ab unitate. Quare relinquetur V. esse quartum cubum, eademque ratione ostendemus A R. simul esse summam duorum cuborum ab unitate, ae proinde relinquetur T, tertius bus, etitque R. secundus, cum A sit unitas. Quare patet propositum.
Eadem sere ratione rinisnura Mempositio a Francisco Maurabis, pro' εα arithmeticorum.