장음표시 사용
71쪽
A duobu ilibus uuque metis sex' dicitur , angulum re Usulum, cum ex aggregato G ex interuallo uaaratorum ab ipsis, & ex duplo plani sub ipsis nume
ris conteiiti, constant latera trian uti. l iis , duobus nuMeti. i. de ν is inali dicit m Uangulum 13. s. Iz. Quia II. est aggregatrum q-di Mortim ab ipsis a. & 3. Nieli eorundem quadratorum interuallum , & Ia. est duplum plani suba. de 3. eontenti. J antem ibios imodo ibi mandi ui nsulum i angulum legi os esse demonstrabimus hoc libro, propositione tertia & quinta
A Tribus numeris in proportione Arithmetica possumus formare triautium , s αυκdam hane des illoruem sextam formemus illud a medio O dis renita, Nam solidom subiribus dactum indisserenti/m faciet aream dii ii triangati, alloeide. sdisserestia si mnitas, solidum sub tribus erit area trianguli.
A duobus datis triangulis rectangulis, tertium etarmari dicitur, cum productus ex hypotenusa 1 . in hypotentium et . ni hypotenuia 3 . At aggregatum productorum exbalii . in basim di . de ex perpendiculo i . in perpendiculum a fit alterum latus circa rectum f. De iique productorum ex basii . in perpendiculum a . &ex basi a . in per pendiculum i . minus de maiori subtrahendo , sit alterum latus LSie datis duobus triangulis 1. 4. 3.& 33. a. s. fiet tertii hypotenuia productum ex s. & 13. nempe 6s. alterum latus circa rectum erit amregatum numerorum R & is. qui fiunt ex basi in basim & e perpendiculo in perpenitieulum. Tettium vero latus erit quod relinquitur auserendo producti ni ta4 in I. nempe m. a producto ex r. in i nempe 36. Erunt igitur latera omnia tetiij trianguli. Hic modus etiam demonstrabitur insta , propositione decima.
Si latera trianguli rectanguli per eundem numerum multiplicentur aut dividantur, si aliud triangulum rectangulum si inite priori.
in essequentem propositionem omnibus triangulis si initibus in uniuersum applicatam demon lides libro sexto sed ex propitis numerorum principiis eruto dem Mirationis medio,libet Hane&sitauit Euclides libro hic utrainque triangulis rectangulis singulariter applicate. Sint trianguli rectanguli latera eirca re- - n D in Q ctum AB,& hypotenusa C. & borum quadrati DEF . iii, λα-n '' i in F fit aequalis ambobus D E. ductoque eodem numero GO . o v -- , in ipsos ABC. fiant id. X.L. quorum quadrati M. N P. DicoH ο. K S. L Io. M ῖο. N ο - Pio iri L eonstituere triangulum rectangulum simile priori, ni mirum quadratum P. ambobili M N. esse aequalem , & latera H Κ L esse proportionalia latetibus, Mi ε A BC.& quidem hoe vliimum patet eum fiam H ΚL. ex eodem G in ipsos A B C. Primum autem probatur. Quia enim rationes ipsorum D E F ad ipsos MN P sunt duplicatae rationum ipsoruni' Α Β C ad ipso, H Κ L, eum vi ostensum est, sit A ad H, Vt B ad Κ & ut C ad L, erit etiam md M Qt E ad N. & ut F ad P. & permutando e it D ad F ut M ad P. de E ad F vi N ad P. Cum ergo sit Dprimus ad F secundum , se ut M tertius ad P. quinum, & rursus sit E quintus ad F secundum, sicut N sextus ad P quartum ; . Erunt & D E simul , primus scilicet & quintus ad F secundum , sicut: ' M N simul, nimirum tertius & sextu, si ut ad P quatium. Sed D E simul aequantur ipsi F ex hypo- . risi vitis thesi. Ergo&M N simul a quantur ipsi P. Quare HK L constituunt triangulunt rectangulum si . ρ i . mite priori. Quod deinonstrandum erat. Eadem porro diuisionis ratio est quae multiplicationis ut manifestum est. Igitur constat propositum.
Areae similium triangulorum recta ligulorum sunt in duplicata ratione homologo- tum laterum. Sint latera triangulorum rectangulorum similium. Λ B C. D E F. & sint Α Δ D hypotenuis L C.
72쪽
LIa. H6. E F lateta circa tectum ductoque B in C fiat K. cuius semissis numeriis G. atea scilicet trianguli AB C. similiter ducto E in F sat L, cuius semissi, atra trianguli D E F. Cum ergo similia sint triangula, erit A ad D ut B ad E& ut C ad F. Dico itaque ei te ream G ad aream H in duplicata ratione ta-teri, B ad latus E. vel lateris C ad latus P. Cum enim plani Κ L habeant lateti oportionalia, erunt plani similes, de em K ad L in duplicata ratione latinis iue ad latus E vel C . . . .. ad F. Sed qui x G eii dimidium ipsius K, S: H est dimidium ipsius L, est G ad id vi K ad L Igitur & , G id id est in dupli eata ratione laterum B C. ad latera E F. Quod demonstrandunt crati
sitim to denominarere rauionis cuiuslibet , eius qmtibat in eu denominatore rationis L pticata ιltius, sequitur denomitiauere rasianis Drem , eius quadratiran eo denominatorem raraems arearum, ut in proposito tam digmate , quia ratιonis inter iatera denominaris est a. Omnis ixtrar areas denominator est . ιν adratus a. σε de
PROPOSITIO III. Problema I. A duobus similibus planis numeris, triangulum rectangulum efformare.
1 a is cci, Sint duo plani similes A C a quibus olorteat formate triangulum rectangulum. e ' u Sumatur B medius proportionalis ipsorum A C. Et sit amborum A Qiumma a vi M. U9 D 1- duplum ipsius Besto RPatet tres D E F efformatos esse sis A B C ut traditum est definitione quinta. Dico itaque tres D E F constituere triangulum re-mngulum. Quia enim Fest lumma amborum A C erit quadratus ipsius Faequalis quadrii plosa- nisib Α de C. de quadrato interualli ipsorum A C, qui est quadratus ipsius D. 1 At quadruplum plini stib A N C. aequatur quadruplo quadrati ipsius B. eum ABC ponantur Proportionales, I deria, 1. quadruplum quadrati ex R. est quadratus dupli ipsus B, nimirum ipsus E. Igitur quadratus ipsius t se hal. Fest aequalis quadratis ipsorum DE. - atque adeo D EF constituunt triangulum tectanguium. Quod erat propositum. ι a.
Summa duorom planorum, mitium eo siluit hypo tenusam trianguli rectanguli. Hi ne patet quemlibet numerum statui posse hypotenusam trianguli rectanguli, eum quili inumerus diuidi possit in duos datam rationem seruantes, atque adeo infinitis modis eo inponi possit ex duobus planis simillibus, unde& erui potest canon ad diuidendum quemlibet quadratum in duos quadratos infinitis modis, ut docebimus ad octauam a. Diophanti.
Cuiuslibet trianguli rectanguli hypotentia componitur ex duobus planis similibus.
- e hypotenui a trianguli rectanguli A de latet a circa tectum B C. & ip-
ti v x L componi ex duobus planissimilibus. Vel enim A est par, vel impar. sit
primum par. Ergo & D par est, i& pariter par. Igit ut no a erit ipsorum EF alter par , alter impar, alioquin compositu ex ipsis D et impar, contra id quod ostentani est. Non erit etiam uterque ipsorum EF impar, inam sic uterque i piorum excederet pariter parem unitate, atque adeo compositus ex ipsis D. excederet pariter parem binatio, 'de esset pariter i. iii. iiii par tantum, at ostensias eli pariter pat. Reliquitur ergo utrumque EF esse parem. Quare t fit uterque BC par est. Itaque ui matur ipsi A aequuta G Latque adeo par, & addatur ei LM aequa .r lis alteri laterum circa tectum puta C erit igitur & L M par. Quare totus G M par etiam erit.
cet ut ergo bifariam in Κ & ipsi Κ L sumatur aequalis H K. ita ut reliquus G H. reliquo L M seu sit aequalis, Cum ergo G L componatur ex duobus G Κ. Κ L erit quadratus totius G L, seu aequalis quadruplo gani sub G Κ. Κ L.&quadrato interualli G H qui est F. At idem D. est aequalisnquadratis EF ex hypothesi. ergo quadrati E Faequantur quadruplo plani sub G Κ. Κ L.& quadrato F. Quare ablato utrimque F. remanet Eaequalisq iadruplo plani sub G Κ. Κ L. Quamobrein planus sub G K Κ L aequatur quadranti ipsius E, seu quadrato seinisssipsius ipse semissis ipsius B medius proportionalis inter G K.&Κ L unde sequitur ipsos f G Κ. KL. eue planos similes. ina-rbio pisamobrem A aequalis G L. componitur ex duobus planis similibus. Quod erat propositum. r.
73쪽
Iain vero sit A iiii par, atque ideo & D impar. Igitur ex ipsis E Falterum parem , alterunt imparem esse necesse est. Nam siue 'utetque ponatur par, siue uterque impar, a erit compositus ex m. ν lina ipsis D par, contra hypothesim. Sit ergo E par. F impar. Igitur vix si- ε, B diat erit, & C impar. Itaque sumpto G L aequali ipsi A, & ideo impare, addatur ei L M impari I C aeuualis. b erit ergo totus G M r. Quale secetur bifariam in E & ipsi Κ L. sumatur aequalis H Κ, , i, o GH temaneat aequalis ipsi L M. Tune, ut prius Ostendemuri quadratum ex G ta leu D aequa-2,-.: ii quadruplo plani sub K. K L N quadrato interualli G H qui est F. Si tandem quadratum Eq. T aeo ti quadruplo plani sub G K. Κ L. atque ideo planum ipsum sub G Κ. Κ L aequari quadrato se m iii, ipsius B. Vnde sequitur ipsos GK. KL esse planos similes. Quamobrem A componitur ex duobus planis similibus. Quod erat Ostendendum.
Hiae satet aui sint illi tum similes ex robur comunitur set tetissa triam ii. Nos bustresami. G ad maturum limitarerum circa rectum, semisseisin a, ct nremam exribuum I .inde tui sua collige si hypotenusa sit numerus par, eam semicr bis componi ex duobus planissimilibu, intestris. Nam tunc ut ostensum est, utrumque latus circa rectum est par , quare utrumli. het addatur de imatur hypotenuis, erunt summae Et interualla numeri pares, & eorum semisse, miniferis habebuntiir. Sic posita hypotenuis Io. si ei addas & adimas 6. fiet summa & interuallum iis.&iduorum semisses R&a. sunt plani s miles ex quibus Io. constat. Rursus si eidem io. addis &adimi, alterum latus 8. sit summa de interuallum I 8. & a. quorum semisses s. de r. sunt alii duo plani similes ex quibus Io. componixu . n isi .eto hvmtenuia sit impar,clim ut ostensum est, alterum laterum circa rectum sit par,alterum im-oit Componetur hypotenuia semel tantum ex integris duobus planis similibus, qui habentur si ei ad Ait it Et adimat ut latus illud quod est impar δε sumunt & interualli semisses sumantur ; sed si hypote nuta additur de adimatur latus par, etam summa quam interuallum impri erit, atque adeo semisses eorum non habebuntur in integris.
PROPOSITIO V. Probi. a. A Auobus quibuscumque inaequalibus numeris triangulum rectangulum formare.
sint duo numeri inaequales AB, quibus oportet formare triangulum rectan-A ' us' Aulum. Sint ipsorum AB quadrati CE. Et productus ex A in B. esto D. Tune C q. D o. E ps, tuorum CE summa est o F. de eorundem interuallum G. & sit H duplum ipsusF29. GaI- Η D. Di eo F. G. Id esse triangulum rectaneulum quaestum. Nam ipsos F GH sormiit ab ipsis A But traditum est definitione sexta manifestum est. Restat probandum eosdem FGH constituere triangulum. Quoniam ergo CE sunt plani s miles , N D medius eorum pro . portionalis . patet ab ipsi' C E formatos esse FGH, atque adeo FGH constituere triangulum rectangillum per tertiam huius. Quare constat propositi im
I auatis numerat esse inrtet. Ali usi aptatis essent, φ adrati quopu rarum Ont aruales, ct haberi ian possis iatus eirea rectum quod ea interuariam auadratorem. Ceterum pater modum mandi ιν druiuisa Διbus quibuscumque numeris non disserere ab eo m tradit est propo*ιone tirna, si iate sumantur ipsa quadrata ct ab ipsis concipiatur sermars mangulum.
Si fuerint quatuor numeri proportionales , aggregatum quadratorum a singulis, aequatur quadratis summae extremorum, & interualli mediorum. Itemque quadratis summae mediorum, & interualli ς x pMQ Vm' i u R , I nSint A B C D quatuor numeri proportionales , sit videlicti A ad Η ri k Vt C ad D.&sit extremorum summa id, mediorum interuallum Κ.A a. B q. C D si su is,edio lini summa G. interuallum extremorum L Dico G 7 L q qui ratorum , singilli, A B C D aggregatum mitari tum quadraiis 4 ipsoriam H. K. tum quadratis GL Quia enim . quadratus H aequalit est quadratis partium Α dc D
74쪽
ualli eorum K aequatur quadratis ipsertim BC. Manifestum est quadratos singulorum ABCD, ι Ima aequata quadratis ipfbrum H K. Eadem prorsus ratione , quia quadratus abs G. aequatur quadratis γ partium B. C. N plano bi, sibB S C. seu sub A& D.& planus bis sub Λ N D una cum quadrato :interualli eorum L aequatur quadratis ipsorum AD, sequitur quadratos abs G & L aequari rursus 'quadratis a singulis A BC D. Quamobrem eonstat propositum.
Si numerus ex duobus inaequalibus quadratis compositus ; ducat ut in alium compositum quoque ex duobus inaequalibus quadratis, qui non sint proportionales iis ex quibus prior componitur, producetur numerus qui componetur bis ex duobus quadratis.
Sit A compositus ex duobus quadratis inaequalibus D E. itemque B coni. sitiis ex aliis quadratis inaequalibus FG. qui non sint proportionales ipsis DE diustoque A in B. sat C. Dico C eomponi bis ex duobus qua oratis. Etenim quadratorum D. E. F. G latera sunto H Κ L M. ductoque L. iii ipsos Η Κ fiant N P. & ducto M in eosdem H Κ fiant Q R. Erit e decima igitur tam N ad P quani ad R sicut Had K. Mare ipsi N P. R. sitiit r. proportionales. Quia vero dueete A in B. idem est ae dueete singulos DE in si opulo, FG. At ex sin- - lis quadratis D E in singulox quadratos FG. sunt quadrati quatuor quorum latera sunt ipsi N. P. R.qui filuit ex singulis lateribu, HK in singula latet a LM. patet C aequalem esse quadratis ipsorum
N. P. R. sed quadrati ipsorum N. P. Qi R. aequamur tum quadram summae extremorum N R. st & quadrato interualii mediorum P intum quadrato sunimae mediorum P Q. & quadrato interuaui emotum N R. Igitur 3e C aequatur tum quadrato summae extremorum, & quadrato interualli mediorum; tum qaadrato luminae mediorum, & quadrato interualli extremotum , ac proinde componitur bis ex duobus quadratis. Qi oderat demonstrandum.
poterit concludi numerum C. componi ex duob/M juadratis, eo quod aequatis sit quadrato summa extremorum N R , O quadrato interualli med eum P Sed tantum ostenssi poterit C componi semes ex da bus quadratis , quia aqviatur quis-drato summa mea arum P quadrMo inter uri extremorum N. R. Sed or hinceo in ipso ce V q udratum, aequalem sciticet quadrata summa extremoram N R. Q dct ipsum atiunde a Quitur.
πιιa enim est D ad F De E ad G, ινιι σε uterque D E simul seu Aau virumquι F G sinint sera ad B. sicut v ad F. eum D F si, quod alii est A auri in ratione quadrati ad quadrato , ae ptroinde A B sunt piaui similei , ex rari ni miuo ducta productus C e P quadratus. ' Attamen in tropo*iouis conditiis e rixi totιπι ιε dratos ex quibus A componitur non debere α. I xia, esse Proportionaleri drasis componentibus R. quam A A non debere esse pianor similes. cuia L
75쪽
Si duorum triangulorum reclangulorum latera circa rectum proportionalia suerint, similia erunt triangula. Sed desis uerit hypotenus a primi ad alterum latus eiusdem , sicut hypotenusa a. ad alterum illius latus, si in ilia erunt ipsa triangula.
Deli, Onlitatur hoc ab Euclide in onmibus triangulis lib. 6. prop. sextata septima. Sit triangulum G, . His Ko xς: Dgulum A. c. cuius by potentiis A. Itemque triangulum tectangulum Α D E F cuius hypotenuia D. N primo sit v ad E sicut C ad F. Dico triangula esse D i. Ε ἡ similia. Sumantur GH quadrati ipsorum Asc. Itemque LM N. quadrati ip
ilicia N forum D E F. Cum ergo sit Rad Ε ut C ad F, eri dic Had M vix ad N cum utraque '' filio sit eiusdem rationis duplicata. Igitur N aiuecedentes sint ut ii x seu G. adeonsequentes simul MN. seu ad L. et unt vita ad M vel x MN. Quare cum sit G ad L ut M ad xi vel vix ad N. erit N A ad D ut x ad ε & ut C ad F. Atque ideo tota triangula si in ilia et unt ex definitione.
d erat propositum. Deinde ut A ad D ut v ad x. Di eo tursus similia esse triangula. Etenim quia est A ad D ut 3 ad Merit& G ad i. vi H ad Μ. Quare permutando erit G ad M ut L ad M. di diuidendo erit x ad ii vi N ad M. & tur sus permutando erit x ad N vi H ad Μ. Igitur est& C ad F ut a ad E vel ut A ad D. Ae proinde similia sunt triangula. Quod erat deiuonstrandum
A proportionalibus numeris sormata triangula, similia sunt.
G ὸ is sint proportionales numeri A v. CD. quorum quadrati x ν.eJ' se, γ' G M a quibus formemur triangula reciangula, sit videlicet D t M . M n. summa ipso una ε F, at L evrundem interuallum. M duplum D 'F 7 I'' medii proportionalis. Similiter si N. summa ipsbrum G H. At P eorundem interuallum. luplum medii proportionalis. Dico triangula KCM. Nνα esse si milia. Quia enim est A ad n ut C ad D. et it & E ad ν ut G ad Η & componendo erit uterque E ν simul. nempe x ad F. sicut ambo G H, nempe N. ad Η. Rursus quia est B ad F ut G ad H, diuidendo de eon uertendo , erit p ad L, seu tis ad P. Cum ergo sit x ad F vi N ad H, & Hirsus p ad vi H ad p. erit eYe aequo x ad L. vi N ad p. Quani obtem similia erunt triangula x L N. N PQ Quod erat propositum. Eademque et it demonstratio si forment ut tria ligula a planis similibus proportionalibus vi traditum estptop. tertia. Nam si ponantur huiusmodi plani Ep. G H. ab eis Drmata erunt triangula x LM. N Pu quae ostendent ut similia ut prius.
ΡROPOSITIO. X. Problema A datis duobus triangulis non similibus, e tarmare alia duo.
. Sit triangulum rectangulum A a C. & aliud non simile D E F,ὶ quibus oporteat A I ia. V i3 hesit mire alia duo ; dueat ut basis A in basim D, & perpendiculum s in perpendiculum E & fiant a G. Tum ducatur basis D in perpendiculum n de basis A in perpendiculum E & fiant x t. Deinde additis x N L simul fiat M. N eae
v duobus is G minor de maiore auferatur & supersit N. Similiter addantur H G. in ' & fiat ex ipsis xx minor de maiore detrahatur, de supersit P. Denique ducatur hypotenus a C. in hypolenusam ν de sat R. Dico M N R. de PQst esse quae-μ sita triangula. Primum enim ea sotinata esse constat a datis triangulis, ut traditum e si definitione septima, si videlicet latera A D. vel 2E nunc ut bases nunc ut perpendicula considerentur. Igitur restat solum probandum MN R constituere triansulum rectangulum , itemque P Q R. Ducat ut C in ipsos n E de nant T v. Cum ergo idem C ductus in sin-s prima', gulos υεν secerit ipsos T v R f patet T v R eonstituere triansulum refringulum, Sc quadratum ab a K aequari quadratis abs T, dc v. Similiter quia idem D ductus in singulos 2A C, producit ipsos x uri constituunt de hi triang. redi. de quadratus abs T aequatur quadrati, abs x de H. Rursus quia identv ductus in singulos A a C, producit ipsos LG v, constituunt de hi triang. rect. de quadratus ab . aequatur quadratis abs L. dc G. Quare cum quadratus ab Rsit ostensus aequalis quadratis abs et de v, et it quadratus ab R aequalis quadratis a singulis x M LGs Quoniam vero ex eodem D in ipsos . Aproducuntur x H. erit x ad ri vc B ad A. Similiter quia ex x in eosdem a A fiunt a L. erit G ad L via acthuius. Α, ae protrule erit x ad H ut G ad G Riamobre in aggregatum quadratorum , singulis x H L G. seia quadratus d R. aequatur quadrato su inmae extremorum seu quadrato ab M. de quadrato interualli mediorum seu quadrato ab M. Qu re M N R constituunt triang. rectang. Rurius idem aggregatum
76쪽
quadratorum, singulis x H. L . adrat is ab Raequatur quadrino finirinae messioni in se quadrato abs & quadrato interualli extremmum seu quadrato abs P. Quamobrem x ipsi νι .constituuiit triang. rectang. Itaque ea omni parte constat propositum.
Inuenire tria triangula rectangula, ut selidus sub perpendiculis ad solidum subbasibus sit in ratione quadrati numeri ad quadratum numerum.
N 32. triangula praestare quod requiritur. Ducto enim E in Κ fiat P. quo diicio in B stitia similitet ducto C in L fiat M. quo ducto in F fiat N. Dico inblidii in sub perpendiculis, ad N solidum sub basibus habere rationem quadrati ad quadratum. sumatui R duplum ipsius A. N ex B in C fiat U. quo ducto rursus in B fiat T. Quia ergo suinptis tribus numeri, B Cae B rursus, idem fit numerus quouis ordine inter se ducatur,ducto autem B in C & proiiudici V in B fit T. Aeducto A in B S: producto L in C. fit M. sunt utique Τα M aequale . Quia veto ex B in Λ bis, seu ex B in R fit E, & ex C in R fit K. consideratis quatuor numeris B. R. C. R. idem fiet numerus quouis ordine inter se ducantur. Sed ducto B in R. unde fit & ducto C in R unde fit Κ, & demum ducto E in K producitur P. Igitur si ducatur R in Runde fit H, & B in C. unde fit V. ae demum V duratur in H. fiet idem P. Cum igitur idem V ductu; in id & in B produeat ipsos P T seu P M. erit H ad B sicut P ad M. . Quale qui fit ex mutuo 4 deci ductu mediorum B P. nempe ibi idus Q. fit etiam ex ductu extremorum H M. cum igitur ex eodem M in ipso, H de F fiant solidi QN. et it Q ad N. sicut H ad F. Quare eum H & F sint quadratia erit d N in ratione quadrati ad quadratum. Quod demonstrandum erat.
disserout latera circa rectum tra ncsent bases, mι- mpendicula . omni bio tamen mossis raιιostissi ad Iacidum erit q1M quadrara ad quadratnm , quod minaraco simile videtur. Primus cases est, pu in demonmatione exhibetur,
Secundus est eum retiquo Ommbus inuariatis manent
77쪽
quadrato rua rati au qua ara variatum, cum L. F sint quadrari ae per eonse Pens quadrari eorum sine quadratoquadrata quorum latera ipsi T. C. Superest os moneam licere Leo cuiuslibet sis inueniorem triangulorum; at si is ponere, O G- ἀφ' manerit semperqua trito, ratio poli AE ad solliam , quod unica demonstratione omni i ea useon ueniente ἡrano bari tote 1, hae arte. Leeo trianguA G L X sumatur trian- Humilii simile T. V. X O ia era homolosa intelligantur ea dem ratione Ese
PROPOSITIO XII. P M. F. Inuenire duo triangula rectangula , ut planus sub perpendiculis, superet planum
sib basibus nurnero quadrato, vel cubo, vel quadratoquadrato, vel quadrato cubo, vel cu cubo. D 6. Exponatur quodlibet triang. rin. A BQ ita ut D duplum perpendi euli C sit
E ia. F s. G Ia. Η Κ ro. L Q. Mio8. N D. FryaQ 36. K2o. R is. S i . N8o. T 6 . V 1 6. X 3ro. Y aso. maius basi B. & ab ipsis tinetur triangulum H Κ L. ha vi H sit aggregatum quadratorum , has; Κ sit in. teruallum eorundem & perpendiculum L sit duplum producti ex B in D. Deinde singula latera H Κ s. di-ε 'i 4, uidantur pet basim B& i fiat aliud triangulum simile EFG. - - Dicoptimo hiberi duo triangula ABC. E F G. ita ut planus sub perpendieulis superet planum sub basibus quadrato numero. Etenim ducto C in G fiat 4 α quia ducto B in F fit Κ ex constiu-ctione, auferatur Κ ex in supersit R. Dico Rese quadratum. Ria enim D est duplus ad C. produtis bis ex B in D nempe L aequatur quadruplo producti ex B in C. Quare diuiso L per B quotiens G est quadtuplus ad C. Cum ergo ex C in G fiat seu aequalis quadrato ipsius D. Proinde cum Κ sit interitalium quo Quadratus ex D. nempe insuperat quadratum ex B patet auferendo Κ ex Q residuum R esse quadratum ipsus B. Quod erat ptopo
Dico secundo haberi duo triangula A B C, H Κ L. ita ut planus sub perpendiculis superet planum sub basibus numero cubo. Etenim ducto C in L fiat S. & ducto B in K fiat N. quo detracto ex S. supersit T. Dieo T esse eubum. Quia enim ex eodem Cin ipsos GL sunt Q s. erit d S ut Gad I Rursus, quia ex eodem B in ipsos F Κ, fiunt Κ N. erit Κ ad N vi Fad X. Quare eum obsimilitudinem triangulorum sit F ad Κ ut G ad la erit & Q ad S. vi K ad N. Ideo cum sit ut totus Q ad totum S. se ablatus Κ ad ablatum N. erit & reliquus R ad reliquum T. in eadem ratione. sediationi, F ad K seu G ad L denominator est B ex constratione. Igitur & rationis It ad T idem B d nominator erit, ae proinde ex B in I fiet T. Igitur cum ex Bin suum quadratum R. fiat T. erit Teubus ipsius B. Quod erat propositum. Rutilis si B ducatur in trianeulum H Κ L, & fiat aliud simile M N P. Dico hameri duo triangula ABC. MN P. ita ut planus sub perpendiculis superet planum sub basibus mi mero quadratoquadrato. Etenim si C tueatur in P vnde fiat V. &B ducatur in N unde sat X quo detracto ex V re - linquatur Y. Dico Y esse quadratoquadratum. Nam eodem quo prius argumento ostendemus esse
78쪽
Tid Y sicut Κ ad N vel L ad P. Quate eum rationis K ad N vel L ad P denominatot sit B ex constructione ; erit idem B denominator rationis T ad Y ae proinde ex B in suum cubum T set WQuare Y et it quadrato tua status iplius B. similiter, si B ducatur rursus in triangulum MN P. fiet stud simile quod eum triangulo ABC exilibebit duo triangula ita ut planus sub perperuticulis su- ret planum sub basibus nunteio Iliadratocu . nimirum quadratocubo ipsius v. Et si tutius B ducatur in ultimum triangultim , net aliud quod cum ipsis ABC duo exhibebit triangula, ita ut planus sub perpendiculis superet planum sub basibus cubocubo ipsius B. Igitur ex omni parte constat propositum.
PROPOSITIO XIII. Probl. 6. Inuenire duo triangula rectangula ut planus sub perpendiculis cum plano sub
basibus , faciat quadratum , uel cubum, vel quadrato quadratum , vel quadrato cubum , vel cubocubum.
K N 128. R r T 1728. M a 28. N 128. P auo. l via oo. X 6;36. Y ror; 6. ius omnia latera dividantur per B de . sit triangulum simile EFG. Dico primo duo itriangula ABC. E F G huiusmodi esse ut planus sub perpendiculis cum plano sin batibus faciat quadratum. Etenim ducto C in G fiat ineui addatur Κ producti is ex B in F ex constrii climae de fiat R. diso R esse quadratum. Quia enim D est duplus ad C. Nex D in D bis fit L, idem L fiet ex Bin quadruplum ipsius C. Qitare eum diuidendo L per B fiat G. erit G quadruplus ipsius C. proinde Q productus ex Cin G aeqitabitur quadruplo quadrati ipsius C. seu quadrato ipsius D. eum ergo Κiit interuallum quo quadratus B superat quadratum exo nempe ipsum Q addendo & Κ summa R. erit quadratus ipsius B uti erat propositum. Dieo secundo duo triangula ARQ HKL talia esse ut planus sub perpetidi lis eum plano subbasib is factu eubum. Nam ducto C in L fiat S. ductoque Bin Κ fiat N quo addito ad S. fiat T. Di eo res se cubum. Eteni ri quia ex eodem C in G de in L. fiunt in . Se ex eodem R. in ipsos P Κfiunt K N. erit S. ut G ad L. & erit K ad N. ut F ad K. sed est F ad Κ. ut G ia Lob similitudinem triangulorum, ergo est de inici s vi K ad N. Quare di erunt antecedentes simul nempe R ad consequentes simul nempe ad T vi N. sed B eli denominatot rationis Κ ad N ex eonstructione, ergo de rationis Rad T. Quamobrem ex Bin R fiet T. unde cum R iit quadratus ipsius B ut ostensum est. erit T eubus eiusdeni B. Quod erat ptopositum. Rursus fi B ducat ut in triangulum H Κ L. & fiat aliud simile M N P. Dico tertio duo triangula A B C. xl N P. huiusmodi esse ut planus sub perpendiculis cum plano sub basibus fietat quadrato quadrat lini. Etenim si C. ducatur in P N fiat V, & B ducatur in N. de sit X. quo addito ad V fiat Y. Dieo Y esse quadratoquadratum. Nam eodem quo prius argumento os iidemus esse T ad G se ut Nad X. Quare cum ex B in N fiat X, necesse est etiam ex u in T fieri Y. ac proinde eum Tostensii, sit cubus ipsius B, erit N quadratoquadratus eiusdem R. Similitet si B ducatur riirsus in triangulum MN P. fiet aliud simile quod cum triangulo ABC. ostendetur esse huiusmodi ut planus iub perpemliculis eum plano sub basibus faciat quadiatocubum in ius B. Re demum si B ducatur rursus in ultimum tria agi tuiti , fiet aliud , quod cum ipso Λ B C. ostendemus esse huiusnodi. ut planus sub perpendiculis cum plano sub basibus faciat cubocubum ipsius B. Igitur ex omni par .
In ρ Memte aeri Ut ut trianguiasi per eundem numemm utraque multiplicentur aut diti dantur , producant alia duo idem pra tantia, unico exempla susciet ρυ- Multiplica per triangula i3. ia. ro I. 3 2o. sisnt sa duo, 39. '
Mi viris pianum siub irasibus V . cum plana sub perpendiculis;96. Qerre si .iaratum ia96. a iatere 36. perpenae cubscilicet primi i vidi. Dein diis alis facilis es cst idio eam ιι bi relinquo inainaniam
Invenire tria triangula rostangula , ut solidus sub hypotenti sis, ad solidum sub perpendiculis se habeat ut quadratus ad quadratum.
79쪽
Exponatur triang. rei tang. quodcumque A. D. C. ita ut D duplum perpendiculi C. sit maius basi B. - & ab eo fotinetur aliud E F G, ita ut planus lubperpendiculis superet planum sub hasibus numero quadrato. Tum , duobus hisce triangulis formetur tertium HKL. ita vi H sit riodi estis ex A in EAt Κ basis fiat addito producto ex C in B. ad productum ex F in Q Denique perpendi eulum L fiat auferendo productum ex F in B. a producto ex G in C. Dico tria haee triangula satisfacere proposito, nimirum M solutium sub hyp iemisis ad N solidum sub perpendiculis ei se in ratione quadrati ad quadratum. Quia enim ex Α, in E fii H ex construi 1. patet solidum M tactum exta in Id esse quadratum ipsius H. Qtita vero viri bitum est i a. huius ex Cin G fit quadratus ipsius D. At L eh quadratus ipsus B. ex constri ec&per tr. huius. Patet solidum N. qui fit ex quadrato in quadratum, esse qiuadratum cuius latus scilieet est productus ex Bin D. Quare cum Uterque M N N. st quadratus, patet eropositaim. e d mina Aliter exposito triangulo ABC. ita ut D duplum perpendiculi sit minus bati B formetur aliud terita. ha- - EFG, ita ut planus sub perpendiculis cum plano sub basibus faciat . ii qu drδtum. Et δb ipsis duobus - efformetur tertium H Κ L. ita ut Ity
ia , - . , . detrahςndo productum ex C in F. Denique perpendiculum L. sit summa λ ι' productorum ex B in F di ex C in G. . Etit igitur L quadratus ipsius α' Ruate cum constet etiam per decimam tertiam ex C in G produci quadratum ipsus D. patet,. solidum sub ipsis C G L. productum ex quadrato in quadratum , esse quadratum , cuius scilicet latus est Oroductus ex B in D. At solidus sub hypotenusis, ut prius ostendetur aequalis quadrato ipsius H. igit ut cum uterque solidus sit quadratus, constat abundε propositum.
enodationem. Caremm piacuit his subnectere ρ'ntia Theoremata non inutilia de triangMis νι sum, pia protulit tramns Franciscui Victa in sibris a teneorum, Pinnuis ea Bnthetic. Omnia denis raerit.
In triangulo rectangulo, quotlibet laterum circa rectum, est medium proportionale inter aggregatum &ilitervallum alterius lateris & hypotentisar. Et c conuerso, si fuerint tres inaequales numeri, quorum unus sit medius proportionalis inter simimam & interuallum aliorum, constituent triangulum rectanguluin ipsi tres numeri. Α Ε c sit triangulum rectangulum AB C. & alterius lateris. A N Hypotentiis C in-D, GI EL B esse medium propolii
nate inter ipsos DE. sumpto enim G. quadrato ipsius B, patet ex hypothesi quadratum ex A eum quadrato G aequari quadrato ipsius C. Quare G est interuallum quo quadrarie tia. i. tus ex C. superat quadratum ex A. 1 Quamobrem G set ex D in E, ex litteruallo scilicet in funis mam. t Igitur B est medius proportionalis inter D & E. Quod demonstrandunt erat. E conuerso ponatur B medius proportionalis inter D E interuallum & summam ipsorum Λαι υ; .3 ABC constituere triang rere Quia enim sunt proportionales D B E, - ex D in E fici Gmi, j. quadratus ipsius B. Atqui ex interuallo Din summam Efit interuallum quadratorum ex A N C. t ιεν ita, L Constat ergo G esse interuallum quo quadratus ex C superat quadratum ex A. Ac ideo G seu quadratus ex B cum quadrato ex A aenuatur quadrato ex Q Quamobrem ABC constituunt triangulum rectangulum. Quod demonstiandum erat.
In triangulo recitangulo quadratus unius laterum circa rectum, aequatur quadrato. interualli inter alterum latus & hypotentiam, una cum duplo producti ex eodem interuallo in idem latus, &e conuerso. Asic sit triang. redi. A BC.& st D interuallum inter hypotenusam C. & latus B,
ci SD esto G. Dico quadratum alterius lateris A aequari quadrato
k .uisiis. φ ipsius D, ta producto ex Gin II Quia enim BD simul αquaiulit ipsi Q erit L quadratus ex C. aequalis quadratis ipsorum B D, & duplo producti ex D in D. hoc est quadratis ex B&D, R prodiicio ex Gin B. At rursus ex hypothesi quadratus ex Caequatiat quadratis ipsoru A B. Igitur quadrati ex A & B. aequantur quadratis ex B D & producto ex G in B. inare ablato
80쪽
Wrimque communi quadrato ex B. remanet quadratus ex Λ aequalis quadrato ex D, & producto ex Gin B. Qiiod demonstrandum erat. Conuersum eadem facilitate ostendetur. Sit enim quadratus ex Α. aequalis quadrato ex D inter- inlli ipioru in B C. de producto ex G in B. Dico A B Ccoiistituere trini g. redi. Nam ut pratis quadratus ex C aequat ut qualitatis ex B de D dc producto ex G in B. Ergo loco quadrati ex D de producti ex G in v. sumendo quadratum ex R illis aequalem, erit quadratus ex C aequalis qua .. ratia ex Ade B. Ac proinde Λ BC constituent itiang. μα Quod erat propositum.
In triangulo rectan illo. si duplum interualli lateris unius de hypotentiis ducatur in hypotenusam, ni numerus aequalis quadrato reliqui lateris, una cum quadrato eiusde in interualli, S e conuelib. las producto ex G in B Ac duplo quadrati ex D. sed quia G est duplus ad D. prodis eius ex G in Daequatur duplo quadrati ex D. ergo quadrati ex A dc D aequantur productis ex G iii B de in D, seu s . producto ex G in C qui componitur ex ipsi, R D. Quod ei at proposit uni. E conuerso ponantur quadrati ex A de D aequales producto ex G in C. dico ipsis; ABC eoustituere triai .rera. . Quia enim productus ex G in C. aequatur pt Hluctis ex C in B de in D. de productus ex G in D aequat ut duplo quadrati ex D, constat quadratos ex A de D aequari producto ex G in B de duplo quadrati ex D. Quare auferendo viri inque commmieta quadratum ex D. remanet quadratus ex A aequalis producto ex C in B de quadrato ex D. Quamobteiu ABC coiisti tuuiu d .ecima
ductus aequatur quadrato eiusdem cona positi, & reliqui lateris quadrato. Et econuerse.
Ium ' cc pro Iu O Dis ex B in C. Leuia vero x continet Dis utrumque a C. ducere C in x idem est
ae ducere C in seipium . de in s bis. Ergo pro duisti ex K in C. aequatur duplo quadrati ex C, de producti ex a in c. Proinde loco unius quadrati ex c. sumendo quadratos illi aequales ex A de n. fiet produJus ex x in C. aequalis quadratis singulorum A a C. dc producto bis ex v in C. hoe est quadratis iplorum A. M. Quod erat ostendendum. E coiiii et so si ponamur quadrati ex A Ze M. aequales producto ex x in C. Dico ABC constituere triang. re st. Nam ut prius ostende inus quadratos ex A Ac H. aequari quadratis singulorum Aac de duplo producti ex aliae. unde sequitur ex hypothesii productum ex x in C. aequari quadratis singulorum A a C. de producto bis ex a in C. At ut prius productus ex x in C ostendetur aequalis ituplo quadrati ex C de producti ex a in c. Igitur de ouadrati singulorum Aac, eum duplo producti ex nin C aequabuntur duplo producti ex a in C de duplo quadrati ex C. Quare auferendo utrimque duplum producti ex a in C. de quadratum ex C semel, remanem quadrati ex A Ze a aequales quadrato ex C. Ac Proinde An C constituunt triangulum re gulum. God demonstrandum fuit. Hisseisitare libet adiud non iniue tam , neque imisiti theorentii, quod jsi commenti sumus.
In triangulo rectangulo quadratus summae laterum aequalis est numero qui fit bis ex aggregato hypotenusta es baseos, in aggregatum hypotenusae de perpendiculi
G . Da. Sit eadem figura quae pilus, di eo productum ex G in C aequati quadratiι ipsorum A D. a Quia enim quadratus ex A aequatur producto ex G in B de quadrato ' ex D, si addatur utrimque quadratus ex D, et unt quadrati cx A de D simul aeuua- G,
uiang. rei'. kod demonstrandum erat.
ω PROPOSITIO XVIII. Si duplum compositi ex uno latere Se hypotenuia ducatur in hypotentisana, pro-sCHOLIV M. PROPOSITIO XIX.