장음표시 사용
161쪽
&Wi N. ia e & eadem est quae supra de
ES τ eadem prorsus quaestio cum praecedente, sed alia operatio. Conditio adiecta eiusdem est naturae cum ea quae praecedenti apponitur, & eius necellitas simili ratiocinatione potest deprehendi. sed eodem vitio laborat atque praecedens, nec per cam determinari quicquam potest de quaestione proposita, antequam peracta operatione adaequationem peruetuum sit. Mare melius praescribetur sic. OPrtet denominatorem parsis messii istit orem esse n-ero sit si eius m dinominatoris aucti narra
vnitatis aparte moram denominata ,s matur pars aparte Asmι denominata, umtate anua.
Canon etiam ab liac operatione torinari posset, sed intricatus. te cum huiusmodi Canones vix usin esse possint ob eorum perplexitatem , illis super ledere satius erit.
Πάπς μ' ι. e φοulam is τῆς reo ατε ΘINvεμ ista tres numeros , qti Orima siquasque proximi ipsum sequenti sui partem quae mandati ir dederit, inter eos qui dederunt & acceperunt fiat aequaliatas. Statutum sit ut primus secundo det sui trientem, secundus tertio sui quadrantem, Tertius primo sui quintantem, de post mutuam hanc contributionem fiant aequales. Ponatur primus quotlibet numerorum qui trientem habeant, quandoquidem daturus est trientem, esto itaque 3. N. Statuatur secundus quotlibet unitatum quae quadrantem habeant, quia daturus est quadrantem , esto itaque vilitatum . & erit secundus datis de acceptis quae imperata stati N. -- 3. Restat vidcprimus ubi dederit acceperitque, fiat 1 s. - . 3. sed dans sibi trientem i N. accipiens autem 3- I N. sitI N. - q. Igitur 3 - 1 est quinta pars tertij. ipso ergo tertius estas - 3 N. Oportet ergo & tertium dantem quidem sui quintantem, accipientem vero a secundo quadrantem illius, nempe unitatem,sieri r N. - 3. sed dans sui quintantem, nimirum 3 - I N. relinquitur ir- N. Accipiens autem a secundo quadrantem, puta unitatem, fit I3 N. Hoc ergo aequatur I N. 3. & fit I N. r. Ad positione. Erit primus 6. secundus A. tertius s. & constat propositum.
HT c qii aestio infinitas recipit solutiones, ut patet, elim posito primo 3 N. poni possit pro secundo quilibet unitatum numerus. Eodemque modo si ponas secundum N. poni poterit
162쪽
tertius quilibet unitatum numerus. Et si ponatur itertius 1 N. J ponetur primus ad libitum quilibet
Quod si determinare velis huiusmodi quaestiones ad unicam solutionem , praescribendus est ni merus in quo fieri debet aequalitas, ut si proponatur quaestio hoc modo. Sint inueniendi tres numeri, ita ut primus impertiendo lui triente secundum , secundus sui quadrante tertium. Tertius sui quintante primum , post hanc mutuam contributionem quilibet trium numerorum inueniatur esse Io. Tunc autem sic erit operandum. Esto primus 3 N. qui dando sui trientem secundo, remanebit a N. Quare cum accipiendo quintantem terti j, debeat esse io. Erit quintans tertii Io a N. ac proindei H tertius so -io N. qui dando sui quintantem remanet Ao 8 N. unde eum accipiendo quadran . tem secundi, debeat esse io. erit utique quadrans secundi 8 N. --3o. ae proinde ipse secundus 32N-1ao. superest ut secundus dando sui quadrantem, & accipiendo trientem primi, fiat etiam io. fit autem 2s N. - m. Igitur as N. - - aequantur Io. & fit I N. 4. Ad positiones. Erit primus Ia. secvndus 8. tertius io. Ab hae qua tione parum differrent decima octaua & decima nona secundi ut iusius eo Ioeo docebimus, ita ut videantur hine eo transsatae.
IN v ε N i R E quatinor numeros quo-riam quilibet proxime sequenti se, det sui Partem quae imperabitur , ita ut dantes& accipientctc simi r metu ales. Imperatumst primum secundo dare sol rei in omi se
cundum tertio dare sui quadrantem ue te tium quarto, sui quintatem , Quartum primo, sui sextantem, ut post hanc mutuam contributionem fiant aequales. - Υ P E IN rim e ἀειθυους τω tac ἔπι - δώω τὸ
-- μον κερος Qον,ν ἐπει-- natur primus aliquot numerorum triζΠ- ω-ν. ἔ----. ο 3-μ iem habentium, quoniam trientem datu' νάλουν τ λ ραρος , Mia τέ- tus est sitque 3 N. secundus autem pona- in . tur aliquot unitatum quadrantem habentium, quandoquidem quadrantem daturus est, sitque secundus igitur dans sui quadrantem, nempe I. & accipiens primi trientem,puta I N. fit i N. - 3. Oportet ergo & primum cum dederit sui trientem I N. & acceperit sextantem quarti fieri i N. - sed cum dedit i N. relinquit ut 2 N. oportet igitur hoc adscito, sextantem quarti fieri I N - 3. Quamobrem 3 - i N. est sextans quarti, atque ipse quartus est i8- 6 N. Restat ut & qua 'tus dato sui sextante, & accepto qitiniante tertij, fiat i N. --3. sed dato sui se tante , nempe 3 - I N. remanet II - 3 N. Oportet igitur hunc adsumentem quintantem tertij fieri 1 N. - 3 sed si adsumat 6 Ν. - Ιχ. st I N. - - 3. Igitur 6 N-Ir. est quintans terii j Ipse ergo tertius est 3ON 6o.Oportet ergo & tertium dato sui quintante , accepto vero quadrante secundi δά,- , ἔ- ω ἡ δευτερος δευς ἔπι---αρῶ mmcn Hαν, λα- ῶ σμωτου τὸ τριτον αειθμὸν
163쪽
fieri i N. -- 3. sed dato sui quintante, puta 6 N. - Ir. remanet 2 N - 48. Accepto autem secundi quadrante fit 2 N. --7. Hoc ergo aequale est i N. - & fit i N. E Ad positiones erit primus E secundus i. tertius ' l. quartus ηl Abiiciatur denominator partium. Erit itaque primus I o. secundus yr. tertius Iro. quartuS Ii q. Nsitissaciunt quaestioni. IN EI A EST ION EM XXVI.
FAonM ratio est huius quaestionis, quae de praecedentis. Misio infinitas recipit solutiones, &si determinanda sit ad unicam, praescribendus est numerus in quo fieri dei et aequalitas, tuncque Operabimur ut in praecedente traditum est. Quod autem denominatores abiici iubet Diophantus, ut solutio in intestris habeatur, id fit quia si inuenti semel numeri quaestioni satisfacientes, per eundem
multiplicentur vel dividantur, producta itidem & quotientes quaestionem soluent , cuius rei ratio est quam atting t Xilander, quia scilicet quaesiti numeri, partes proportionales vicissim dant & a cipiunz, Quae autem partium cognominum eadem totomim inter se, ac vicillim est ratio. Unde eti collis potest alius modus soluendi huiusti di Π 'im , cum numerus praescribitur in quo aeoliditas. Nam si quaestio prius soli r 'rix rionem Diophanti & niimerite in quo sit xclitia diuidatur per eum qui rix quoupiat ora dividantur Gm inuenti numeri per operationem Dioohanii. Duntur qua siti numςri. Verbi gratia, ii quaerantur quatuor numeri dati te.&aeeiolentes eadem partes quas requirit Dioph ntus, ita ut tacta contributione quilibet fere .h. 1 solues prius quaestionem cum Diopham , & inuenies numeros II . M. Ieto. ii . Et nit-inouo fit aequalitas erit Iist. Hunc o si diuidas per numerum pr scriptum 1 erit quotiens ouem si diuidas sigillatim inuentos numeros, fient 7s. 66. OO. y7. quaesiti numeri. Posset etiaminii Phaee. nuὶm praeeedens paulo aliter pro ni, requirendo scilicet ut Acta mutua eontributione fiant numeri, diuersi non aequales. Verbi gratia, sint imieniendi quatuor numeri ut primo dando sui trientem & accipiendo sextantem quarti fiat 6. Secundus dando sui quadrantem, de aeeipiendo trientem primi fiat 7. Tertius dando sui quintantem , & accipiendo quadrantatem secundi fiat 1 . artus dando sui sextantem, & recipiendo quintantem iiij, fiat 13.
Et tune imitabimur artificium operationis quae ad praecedentem tradita est, hoc modo. Ponatue primus 3 N. eum ergo multatus suo triente & auctus sextante quarti iaciat s. erit 6 - a N. sextan, quarti, &ipse quartus 36-I2N. unde ablato sextante, manent io. - Io N. quae clim quintante tertii debent facere 23. Igitur ciuintans terti jestio N. -7. Ide ue ipse tertius est so N. - 3s. qui fiat
a. Per quem . qt V cum triente primi ci N. i. Ad positiones primus est 3. secundus 8. tertius II. quartus 24.
die γλουσω , ἰπιὶ τρίτον δεδοα tr. στω νω si χεῖς ἔπι πιι ς' ἰνὸς δηo πρωτος λαύων παρα τ υι τῶν δυο τὸ π, IN u E N i R a tres numeros ut quilibet a reliquis duobus coniunctis partem imperatam accipiat, de fiant aequales. Statutum sit primum a reliquis duobus contuitistis sumere trientem. Secundum a reliquis duobus coniunctis accipere quadrantem. Tertium a reliquis duobus conjunctis sumere quintantem, & Omnes fieri aequales. Ponatur primus I N. reliqui vero duo compendi j gratia,quia tricii tem dare debent, statuantiir unitatum quotlibet, trientem habentium , sintque 3. Tres ergo numeri fimul erunt I N. - ῖ-
164쪽
primus sumens a reliquis duobus
trientem, sit I N. -- i. Oportet. go dc secundum 1 duobus reliquis coniunctis simplo quadrante fieri I N. - - r. Sumantur omnia quater. Quater igitur secundus adscitis duobus reliquis,est ter secundus adsciscens ipses tres numeros. Terergo secundus adiunctis tribus numeris si N. - . Si igitur inde abstulero tres numeros relinquuntur 3 N. -- I. quod est ter secundus, ipse ergo secundus est i N. -- Oportet itaque & tertium sumpto reliquorum duorum quintante fieri i N. -- i. Onimia similiter sumantur quinquies , & eadem ratione inuenietur tertius i N. - ἱ- Superest ut tres simul iuncti sint aequales i N. - . a. & si N. A Nomissa denominatione partis, fit primus 1 secundus I7. tertius I9. dc implent ori
SuM AN TvR .mma quater, &cillaec si obscuriora videantur, sie poterunt elucidati. Quia oponet seeundum sumpto quadrante reliquorum fieri I N-I. sumendo huius quadruplum tri4 N- . coiitinere quater secundum, & semel relicuos. -e si inde auferatur semetiumma trium numerorum,nempe I N patet residuum 3 N I. continere tet secundum. Quare fiet ipse secundiui N. - I Sinulit et quia i N. -- I. continet semel teritum, & quintantem reliquorum, si sumatur huius quintuitum, patet y N. continere quinquies tritium, & semel teliquos. Qitare si auferatur inde summa omnium, nimirum I N. rviduum 4 N. - 2. erit tertii qisadruplum, erit erso tertius IN. -- et caetera patent. Haec etiam quaestio infinitas solutiones recipit,& inuentis semel numeris quaessionem soluentibus. quotquot sumentur in iisdem rationibus, ij sicient proposito, ut satis indicat Diopliantus eum denominatorem auicit. Quod si praescribatur numerus in quo fiat 'qualitas , iani determinabitur quastio ad unicam solutionem. Verbi gratia. Sit propositum inuenire tres numeros ut primus cum: reliquorum iaciat Ao. Itemque secundus cum ireliquorum, & rursus tertius cumi reliquorum faciat etiam qo. Ponatur primus I N. ergo : reliquorum erunt o- I N. inive ipsa summa secim- di de tertii fiet 6o. ---I N. Ac summa omnium se N. Itaque cum o. contineat secundum do i reliquorum, huius quadruplum i . continebit quater secundum, de ter reliquos, auseraturem hinc triplum summae omnium, puta ID - I: N. remanebit secundus i. N. ao. Similitet quia v. continet tertium , dci reliquorum, huius quintuplum, nempe χω. continet quinquies tertium, de quater reliquos, auseratur hinc quadruplum sutnmae omnium, nimirum 2 o - 2 N. remanet tertius a N. - . Superest ut huic addendo itam primi, qu in secundi nempe N. Aci - 16. fiat M. fiunt autem N. 76. aequalia M. de fit I N. 24. Ad hypostases. Est primus a secundus r6. tertius 8. Eodem artificio soluetiar quaestio,si singuli numeri eum certa parte aliorum diuersos conficiant numeros, ut si primu eum aliorum iaciat 3a. secundus cum e alimu iaciat 28 tertius cum se aliotu saetatat .Ponatur enim primus iN. ergo semissis aliorum est 32 - i N.summaque ipsoru 6 a Nae summammatus -I N. Cum ergo 28. concine at secundum de 4 reliquorum,huius triplum it continet tri s eundum de semel reliquo quare si hinc auseratur summa omnium 6 - I N.residuum χο - INaetit duplum secundi, ac proinde ipse secundus est Io -- ἱ N. Similiter quia 3i. continet tertium &: reliquorum, huius quadruplum Ia . coutinet quater tertium 3c semel reliquos. Quare si inde au&ratur summa omnium I N. residuum 6o - i N. est triplum tertii: ergo ipse tetrius est zo - :N. superest, vi tale addendo tam primi quam secundi nemne se N. 8c a ὁ N. fiat st. fit autem 22 ' -- hoe ergo aequatur ;I. de fit I. N. ia. Ad positiones. Primus est tr. secundus I6. tertius eti
165쪽
les. Imperatum sit mimum a reliquis tribus coniunctis sumere trientem. Secundum a reliquis tribus coniunctis, sumere quadrantem. Tertium similiter si mere quintantem. inartum vero, capere sextantem, & omnes fieri aequales. Pom-tur primus i N. reliqui vero tr , quandoquidem trientem dare debent, statuantur unitatuni quotlibet trientem habentium, puta 3. I, imus igitur a tribus reliquis coniunctis sampto triente fit i I. Oporter ergo At secundum simploa reliquis tribus quadrante fieri i N. I. Rursus omnia ut in praecedenti quater sumantur, & iisdem de causis inuenietur secundus rN. - Tertius vero I N. . At quartus I N. - Restat ut quatuor numeri simul iuncti aequentur IN. --s.& fit tandem rN.r Erit ergo primus secundus 77. tertius yr. quartus acet. & hi satisfaciunt proposito. διμε ne μ' es . ὁ ο σμεις μ' β. o 3 vir τος μ' ρα- e atii; u ά s πραγ--. IN ID AESTIONEM XXGILEA D s M omnia quae ad praecedentem dicta sunt, hie etiam locum habent. Unde apparet si mili proistis artificio extendi posse quaestionem xl quinque, ad sex vel ad plures numeros, siue ea determinetur ad unicam selutionem, siue non; & siue singuli numori cum certa parte reliquo tum aequales faciant numeros, siue diuersos. Itaque de his latis.
DV o a v s datis numeris, inuenire aliquem numerum qui in utrumque ductus, hunc quidem quadratum ericia illum vero latus eiusdem quadrati. Sint dati duo numeri roo. & s. & ponatur is qui quinitur et N. qui si ducatur in a . facit Σoo N. At si ducatur in s. facit 1 N. Oportet autem horum alterum quadratum esse, alterum latus eius; si ergo quadrauero 3 N. fient 23 Eequales utique oo M omnia per numerum diuidatitur. Igitur as N. aequantur roo. & fit a N. S.
166쪽
DV p L E x casus hic considerari potest, prout tertius quaestus ductus in trumque datotum, pro ductum ex maiore facit quadratum ex militote latus quadrati. Vel contra produsium ex mi- te facie quadrinum, Sc ex malo e latus. In priorem casum incidit aequatio Diophant L Inpostoriorem ista. Pona ut IN. ciuadratus ,&eius latu dico N. ergo 1 N. aequantur 'O Q. Nuti N. quaestiolii satisfacit. Plo utroque autem casu fiet unus Canon unitietillior eo quem assuri
Porro quod est Xilandet, si quidem in numeris hon siti dis & inteeris huisio coluissat, duos h positos numeros semper esse quadrato um similas , falsissinum est si per propnsit numeros, datos initio intelligat: ut exi pl. Diophanti exempl. iiiiiii festum sita nam et . des. non sunt piam similes. Si autem intelligat tertium quaesiturn alterum d solunt, id verum est. Semper mina tertius quaesitus & is in quem ille ductus qliadraturn facit, sunt ouadratorum 'similes. Sed si nocvoluit Xnander o tria loeutu, in ,α mau Mifiteςos numero, IJ restrinxit. ' cit queenim s m ntur Numma, idem euenire necesse est, ' citi reuatur eY eotuin mutuo ductu producuma-
Quod autem. ait Diophantus, παν--depressionem specierum intelligit , qu in alibi vocat in si . de qua . ni fritie .nd his, actum est. Cum enim ς N. sint aequalas ziinsi utraque aequati nis pars per IN UElidatui, fits aequales as N. quia scili det aequales nutmes per eundem numerum diuin, iuruales dane quotienυ depressionem specierum intelligit,
it humeros Oportet autet a inueniendorum numero . - η εος Grum summae semissis quadratum, quadra- - αὐο υπερε χειν τετραγωνα to superare productum multi=Myt iso δη τὶ ' mo Θ Est autem hoc Plasnaticum. Constitutum sit summum efficere zo. at productum multiplicationis 96. Ponatur intGOllum ipserum 1 N. Et quoniam sunt mai crum est io. si hanc bifariam secuero, erit pars quaelibet diuisionis , seu semississimniae io. Et si semissem interualli, puta
IN. uni parti adiecero, Se detraxero ab altera, manebit rursiis utriusque senimaro. & interuallum a N. Ponatur ergo maior i N. - Io erit minor Io I N. & ma net semina dio. interuallum a N. Restat
Vt productus multiplicationis sit, sed productus ille est ioo - i Hoc ergo aequatur q6. & fit 1 N. a. Est igitur maiori 1. minor 8.&satisfaciunt proposito. - , o i
DVo indieat conditio apposita. P imum an absolut Epossibilis sit per nnmeros rationse: iesui possit, vel per surdos tantum. Primo enim cum constrad m Lundi notismatrum. Quadratum semissis summae duorum numerorum aequari produem multiplicationis eorundem, & quadrato semissis interualli ipsorum, fieri non potest ut prozetum multiplicationis sit maius quadrato senusiis summae, sed oportet aequale eo, vel minus. αquale αυ G ρ ρε αδας κ. F ii πολλα τλα-
167쪽
quidem si aequales sint numeri, nam semissis summae aequalium numerorum, idem est atque alter insertim, ac proinde produimina multiplicarioni aequatur quadrato eiusdem lemissis. Minus vero, i fini in aequales numeri, quia tunc, ut dictum est, productum multiplicationis uni eum quadrato semissis interualli aequatur quadrato leniissis summa. Quare oportet, ut a quadrato semissis iii innixauferendo produitum, supersitqWadratus seni illis interualli. ridet constat Diopharitum pero id htionein ppolitani supponere quaesitos num ros et ei iaequales. Drinde paret ut tolutio contini rationalis, oportere ut detracto producto a quadiato semissis sui rix, rtassiduum sit quadratus numerus. Nam cum hoc residuum sit quadratus temtilis interualli, si residi iunia illud non sit quadratu numerus, erit interuallum irrationa'e, ac proinde Nipsi numeri verbi grati a , si diuidendus sitao. in duos numeros, quorum productuin sic . operando eum Diophanto inuci lemus tandemPl aequalem a. Quare semissis interualli et itu a. atque ipsi numeri m - η a. de io' va. Porro tam exeonditione appotita, qualia ex ipsa operatione elicitur iste Canon. miaratosemi ira summa, as 'proῶ--- dui rariae quadrata, ad arast demit eidemsemis summa, quasitor exhibe;um cros. , Alueretiam pr'pyli poterat conditio, nimisim. - ii Oportet oem ms mmae et M atum, quadrato numeros perare quadruplo tro Tli., Nam ut ostentum est quinta iecundi potis natan ..' adratus, summae duorum iiii 'aerorum, qua lis est quadruplo plani suo ipsis mimeris, via cnniqiuadrato interualli ipsorum. vfide etiam ius
Sed de notatu diseum est ad hanc quaestion 3, illum etin po reduci- .muri . . . 'r
Dato medio trium propori . tium, O , . remos inuenire.
sui Vt dato medio 8. 3e somnia extremorum 2o, sitit inueniendi j si extremi. Quia in tribus propo tionalibus, planus sta extremis aequasti quadrato medii, eum medii quadratus sit patet eo reduci propositam questionem, v diuidauir M. i duos numelqs, quorum Rutuo ductu fiat e Quod idem est eum Diophantaeo problemat in per illud, vel per eius Canonesinuenientur extim quaesiti .&16. autem attinet ad verba illi, quae nos retenta Graeco vocabulo vertimus, Est aurem hoc pia mat--,Xdander ver ι Diophanti mentem minimε,sseeutus,mald inte*letatur, Hoe -- es effectuma nisi insta quaesti ne trigesima terti
N V i v i x a diuos numeros, ut se summaiestrum,& summa quadratorum ab ipsis ortorum datos conficia it numeros. Oportet autem duplum sani mae quadratorum , quadrato stiperare quadratum summae numerorum. Et hoc quoque Plasmaticum est. Imperatum ut summam numerorum esse 2 o. &s immani.quadratorum ab ipsis ortorum esse ro8. Ponatur itaque interuallum ipsorum di N. & esto maior I N. - - IO. Vnitates, quot scilicet continet semiisssummae, minor autem sit io - i N. x manet rumis eorum sit: a sto. Interuallum vero a N. Superest ut silmma quadratorum ab ipsis, si zo8. Atqui semia quadratorum facit et in roo. Hoc igi- tu,quale est unitatibus ro8.& fit i N. 2. Ad positiones. Erit maior Ir. minor 8. S satisfaciunt postulatis.
168쪽
HIc etiam conditio indicat an possibilis sit qiuestio, & an per numeros rationales solui possit,iddmque prorsus dicit quod septima secundi poti sinatum , nimirum. Qi ratus summae duorum numerorum & quadratus interualli eorum aequantur duplo megati quadratorum. Quare ut oi uestio sit possibilis necesse est duplum aggregati quadratorum, ei se maius Quadrato summae, nisiriopositi numeri sint aequales, tunc re duplum quadratorum aenuabitur quadrato iunimae. Quia duratatus summae aequatur quadratis numerorum de duplo producti, at cum numeri sunt aequales, duidum producti aequatur ipsiis quadratis.Quare in hoc casa quadratum summae aequatur duplo quadratorum. Vt vero solutio sit rationalis necesse est duplum quadratoriim excedere quadratum lum-ilix.quadrato numero, cum enim hic excessus si quadratus interualli numerorum , ut docuimus, si huiusmodi excessus non sit quadratus, erit interuallum numerorum irrationale, ac proinde de ipsi ruimeri. Caeterum ex hac conditione sic explicata pendet Canon a Xilandro traditus, nimirum. Adusis , a fer summa ni me rorum , resi iatius quadratum adde eradj-ιρ - numerorum, semissis et Caris' resiam a sius exhibebit moneros. Poterat etiam aliter proponi conditio, & quidem mastis apposite ad operationem Diophanti. Oportet nmam qMMirat oram superare duerum φιadrati semissis summa numero dupla quadrati Quia enim per sextam secundi porisinatum constat summam quadratorum duplam esse quadrai, dui fiunt a semisse summae laterum, d semisse interualli eorumdem, patet si a summa quaeritorum, auseratur duplum quadrati a semissi: summae numerorum, residuum aequari duplo quaesitis semissis interuilli numerorum. Itaque ex hae etiam conditione sie explicata, & ex ipsamet adrati semissis ama 11umerorum, Nytam semissis latus qua- rarum a tum vel ademptum ipsi semis immerarem, ινμ 3 iabit minuros. Verba autem illa, ra πλασματικὸν , hic, ut arbitror, subreptilia sunt , ut ad tristesimam tertiam fusius docebo, nolui tamen ea de textu tollere, ne audax Plus aequo vel te ius ilicuitat te videt et, sed ea asteriscis includere talis habui.
IN v κ N i R E duos numeros , ut summa ipsorum, & interuallum quadratorum
ab ipsis ortorum, datos iaciant numeros. Quistitutum sit summam numerorum esse zo. Ititeruallum vcro quadratorum ab ipsis ortorum esse 8O. Ponatur interuallum ipsorum 1 N. erit similiter maior
IN. --io. Minor autem Io - IN. dc manet rursus summa ipsorum 2o. interuallum vero di N. saperest ut interualltim quadratorum ab ipsis ortorum sit 8o. sed interuallum quadratorum ab ipsis est oΝ. Hoc ergo aequatur 8o. & fit rursus maior Ir. Minor 8. N Gluunt quaestio
HIc nulla opus est conditione ut solutio contingat rationalis, semper enim , dum quaestio sit possibilis eam per numeros rationales solui continget, verum visit possibilis sane aliqua limitatione indiget, q iicquid dicat Sehesiastes, quam ego ita concipio. Oporret eo a quacirari superq; Miratum m norem esse quadrato summam merora M. . , Cuius necessitas euidelis est, quia ' Qu ratus summae aequatur insis quadratis numerorum,& . IGMῶ. duplo prodii ii, quare nisi pars ponatur aequalis toti, vel etiam niator, in post bile est interuallum
169쪽
quadratorum esse aequale vel maius quadrato si immae numerorum. Itaque in exemplo Diophantipolita summa numerorum 2o. cum eius quadratus sit m poterit interuallum quadratorum praescribiguilibet numerus minor quis Vo. aequali, , autem vel maior nequaquam. Caeterum ex operatione iophanti elieitur huiusmodi Canon. Divide inter tam ara dratorum per duplum Amn merori , quotiens additio vel ademptasse missumma , dabit auaesitos numeros. Hoe autem idem sere eri quod demonstratum est prop. tertia secundi porismatum. nimirum.
Dinide interuallum quo torum persummam numerorum, orietur inter Ilum numeroru-.
Data porro summa numerorum & eorum interuallo soluitur quaestio per Canonem primae huius. Potest etiam aliter institui operatio, & tamen ad aeqitationem sinplicem deuenietur. Esto alternumerorum i N. alter 2o -IN. horum quadrati sunt I Q.&I MO. - MN. quorum interuallum est -- o N. hoc ergo aequatur8o. &fit IN. 8. Hine etiam elicietur Canon alius, priore non deterior. Eadrata Aumma adde vel adime ἱnteruallum auadratorum,summam cst residii divideseorsim per pia lamna numerorum , orientur Papti numeri.
p μ' p. ταυ- - μ νισ1 E. ωυγνα' ι . α δε .λάΠων μ' n. GH ta τὸ et ocim T. IN v E Ni R E duos numeros ut inter uallum ipsorum, &productum multiplicatione iaciant datos numeros. Oportet autem quadruplum producti multiplicatiotiis cum quadrato interualli iunctum, facere quadratum. Et hoc quoquePlasmaticum est. Statutum sit interuallum esse q. productum vero multiplicationis, Ponatur summa ipsorum a N. habemus autem & interuallum A. erit itaque maior I N. -- 2. Minor I N - a. &manet summa ipserum a. N. interuallum
Restat ut preductum multiplicatione ut q6. est autem huiusmodi productum I -- q. Hoc ergo aequatur 96. de fit
rursus maior Ir. minor 8.&sbluunt qliaestionem.
HIc apposita eonditio non est ad osteiideiuluin an quaestio sit possibilis , sed tantum an per numeros rationales lolui possit. Etenim non potest abibluth proponi huiusmodi quaestio impossibilis, quodcumque enim pi scribat ir numerorum interuallum, de qualecumque statuatur produ- ductum militiplicationis eorum, solitetur quaestio. Sed ut solutio eontingat rationalis, necesse est ut quadruplo producti addendo quadratum interualli, quadratus fiat, quia scilicet, ' quadruplum p producti cuni quadrato interualli aequatur quadrato summae numerorum. Hinc autem elicitur C non a Xilandro traditus. Q drato intra uam adde quadris nyrodum, a regati utus esto axiumerorem, elusi Mia Mor adimax interuallu , femi humma ct re M PUuos aiat numeros. Poterat etiam aliter pr ni conditio, Sc quidem magis apposite ad operationem Diophanti. orire quadratum smissis inter sit - procliis , conficere 1 dratum. . i.poris ' 'ia scilicet quadratus interualli eum productis, quadratum esticit semissis summae. Vnde etiam de ex infamet operatione Diophanti alium elicimus Canonem. Adde productor adratum ιμι interualii, aggregati titio'hem A sinima minuerorum, mi addendo est assimendo semisim interualli, sent quasti mineri. Est etiam notatu digniim non differre quaestioneni illam ab illa. Dato medio trium proportionali cst disserentia extremorum, itinenιre extiremos. Vt dato medio R. 3c interuallo extremorum la. lux-rantur extremi. Quia planus sub extremis aequatur quadrato medii, de is est 6 . eo reducitur quaeui
170쪽
vt imi eniantur duo numeri, quorum interuallum sit ia. productum multiplicationis M. Qus,d idem est cum quaestione ista Diophanti. Quare Peream vel per Canones allatos inueiu ur exucini quaesti . & i6. Superest ut explieem verba illa, Gτο , qua tum huic quaestionitum trigesimae ct trigesimae primae adiecta sunt statim post conditionem , qu que hoc loco diluei-
danda recepi. Prius tamen monendus es uector, nec Scholiastem, nec Xilandrum mentem Diophanti essequutum esse , quod cuilibet fiet maiustiluinqui ea quae uterque ad trigesimam commentus est legere voluerit. Sanὸ non vacat iii eorum nugis refellendis diutius immorari. Praeterea Glandet verba ipsa male reddidit, nam Plaimaticum , interpretatus est, efiictum aliunde; curia potius
significet id a quo aliud quippiam eisnm & plasmati potes Ego ita e nil aliud Quisse
Diophantum aio, quam indicare ex huiusmodi quaestionum solutione, leti ex conditionibus adiectis, vel ex eationibus inde deductis formari & plasmati quodammodo tegulas illas quas vocant coni tas, cum scilicet ex tribus infimis speciebus , duae uni aequales reperiuntur, seu ut loquitur Franciscus Victa, repulas de quadrato assecto sub latere. Etenim prima &secunda illarum regul tum , ab hac ipsa quaestione trigesima tertia sectu deducuntur. Tettia vero pendet omnino a vigesima. Quamobrem cima trigesima prima nulla formetur huiusmodi regula, non dubito eadem verba ibi temerὰ inculcata esse, ab ipso icilicet Scholiasta, vel imperito amanuensi ex aliis quaestionibus eo transsata. Quoinculo autem ab his quaestionibus forment ut supradictae regulae, non pigebit in tyronum gratiam adscribere, ipsas etiam tradendo regulas, tum eo modo quo communiter absoluuntur, tum eo quem tradit Petrus Nonius ad vitandas Fractiones saepe commodo, ae denique methodum iri
sui, Diophanti exhibendo. PRIMA REGULA σου DXITARUM.
Numeri aequales γnitatibus. Fiat prius reductio ad unum Quadratum per parabolismum , diuidendo scilicet
singulas aequationis paries per numerum ratorum. Tunc capiatur semissis Nu... merorum, & eius quadrato addantur unitates, ab aggregati latere austratur semissa
Numerorum, residuum est valor Numeri. Verbi gratia a s N. sint aequales M. fiet reductio ad i diuidendo omnia per z. fientque
r. - N. aequalia a I. Tune sumpto semisse Numerorum a. eius quadratum 4. addo unitatibus dii. fit as. euius latus I. unde auferendo semissem Numeronim, remanet v valor Numeri.
EADEM EX PETRO NON IO. Facto ut stipra parabolismo si opus sit. Quadrato numeri Numerorum adde quadruplum unitatumue ab aggregati latere aufer numerum Numerorum, residuum erit valor Numeri duplicati. Verbi gratia I Q -- 1 N. sint aequales M. Quia nullo lin opus est parabolismo, quadrato ipsius
nimirum ipsi as. adde quadruplum ipsius 2 . nimirum 96. iii IaI. euius latus II. unde ausetendo . remanet 6. duplum numeri, erso Numerus est 3. utrumque autem modum ab hae quaestionem- sesima tertia deduci sic ostendemus. Ponantur I -- Α N. aequales ai. & sit CDi N. eui addatur BC ipsi aequalis. Et illis addatur adhue AB aequalis numero Numerorum, puta . Tunc constat ex C D in B C. fieri i in & ex CD in AB fieri N. Igitur ex CD in totum A C st ai. Quamobrem cum notum sit duorum A C. CD. interuallum esse ΑΒ, nempe & productum ex eorum multiplicatione esse 2L patet nos eo deduci ut quaeramus duos numeros quorum interuallum prodii m multiplicatione sit at. Quod ipsum quaerit Diophamus quaestione hac trigesima tertia. Minor autem quaestorum erit C D. seu I N. quod inueniendum proponebatur. Itaque si utamur secundo Cano supra altato, capiemus semissein Numerorum, seu interualli, nempe ipsius & eius quadratum addemus unitatibus seu producto ai. unde fientas. cuius latus s. unde si ausetantur a semissis ipsius' remanet 3 minor quaeritorum, seu C D. seu I N. unde patet a secundo illo Canone deduci m cum communem perficiendi hanc regulam. Quod si ad inueniendum duos numeros quorum interuallum si productum 2I. Haris primo G none supra allato , incides sane in regulam Petri Nonii. Nam quadrato ipsius qui est 16. addes quadruplum ipsus at . nempe M. unde fiet ioci. cuius latere Io. auferes ac residuum Cerit duplun