장음표시 사용
191쪽
crgo primi latus I Atque ipse quadratus
v. secundi latus vero erit et. Atque ipse quadratus I. & manifesta est demon-uratio.
PAR v M aut nil differunt hae duae quaestiones, eum idem quaerant, & eodem prorsus operandi modo. are unica indi ni explicatione. Operatio est si ibtilis& Diophanti propria, qua insequentibus pulcherrima & distic illinia perficit problemata, & ab alio alite ipsum nunquam excogitata. Proinde tyronibus hie omni Ne laborandum est, ut methodum istam sit endorum laterum persectE comprehendam, iliique assuescant. Cum igitur Diophantus aequare velit quadrato 16 - i d tali arti licio peragit ut aequationeri id praeparata, tandem inter duas species proximas aequalitas conii stat, se enim eum nulla opus sit radicis extraditone, sed sol ad illisione inueniatiirvator Numeri , patet lutionem contingere rationalem. Et hoc unum voluisse Diophantaim praeter qu,nquod res ipsa clamat, ipsemet clisertis verbis testatur quaestione undecima insea, ubi eum de fingendo latete quadrati praeceptum dedisset, subiicit, s cenim una specie uni sciet aquali re nente, exi ramr Quod rursus iisdem sere verbis repetit quaestione duodecima di decima tertia. Hic itaque ut aequatio ritὰ Proccdat, tria sunt obseruanda. Primo ut in lateresct iiij quadrati ponatur unitatuin nummis aequalis lateri quadrati diuidendi in duos quadratos, ita Diophalitus lingit hoc latus a N. - . Quod fit idcirco , quia se necesse est in quadrato fictilio reperiri unitates aequales ipsi quadrato diuidendo, nimirum I 6. cum lex multiplicationis requirat ut ex - . in - 4. nant I 6. Quare cum idem unitatum numeriis sit etiam in altera aequationis parte, puta in is euidens est auferendo similia a similibus, unitates omnino tolli ab utraque parte, & aequalitatem consistere inter proximas duas species, adratos scilicet &
Secundo necesse est ut unitates quae ponuntur in fictitio latere, adiunctum habeant signum de-s ctus , sic Diophantus ponit huiusmodi latus a N. - . de ratio est quia si poneretur a N. q. nulla quadrati pars adiunctum habetet signum desectus , esset enim quadratus - - Iis N. - - Is. Quare cum in altera aequationis parte sint unitates cum desectu quadratorum , nempe I 6- I Q. ablatis utrimque vilitatibus i. . ut supra dictum est,& addendo defcctum utrinque, nempe I remanerent y i6. N. aequales nihilo. Vt sit ut Numeri deficiant necesse tuit ponere latus quadrati cum deiectu unitatum , puta a N. - . se enim fit quadratus ON.-is. are ablatis utrimque unitatibus 16. & addendo utrimque I Q. tum I 6 N. remanent hinc s. Q. inde a N. inter se aequales. Denique multitudo Numerorum qui ponuntur in latere fietitio, debet esse maior ves minor unitate. Nam si ponatur unitas, orietur valor Numeri aequalis lateri ipsius quadrati diuidendi ,& resoluendo hypostales, ipsum latus fictilium, reperietur nihil. Ita n ponas in exemplo Diophanti, latus fictili uni I N. - . fiet quadratus I 8 N. -- is aequandus 16 - I Q.
Quaret auserendo similia a similibus, & supplendo desectus, remanent a inaequales 8 N.&sti
N. q. Q iare latus quod positum erat i N. --. erit Α - . seu nihilum. Cur autem id contingat, ratio est euiciens. Nam numerus quadratorum qui in aequatione remanet, semper aequalis est quadrato Numerorum qui ponuntur in latere ficto, adscita unitate , quare cum in latere ficto ponetur IN. numerus quadratorum qui manent in aequatione, crit a. in At multitudo Numerorum eui.
aequantur et u est duplum lateris quadrati diuidendi, quia scilicet fit ex ductu 1 N. in dictum latus bis. Verbi cratia in dato exemplo et Q aequantur 8 N. Magare cum duplum lateris, puta 8. diuidetur per a. necesse erit oriri ipsum latus in pro valore Numeri. Quod erat propositum. His sanὸ probὰ intenetas totum Dioplianti artificium percipietur. Sed abundantioris doctrinae gratia libet aduertere, eandem solutionem contingere, quamuis dupliciter instituatur positio secundi lateris, nimirum, siue ponatur in eo quaelibet multitudo Numerorum maior ea qliae posita est in primo latere, siue alia minor, ita tamen ut inter harum utramqtie , illa sit media proportionalis. Verbi gratia in exemplo Diophanti, siue ponas latus fictilium a N. - . sive IN. - . eadem continget solutio, fiet enim utrobique i N. Quia sciliceti N. est medius proportionalis iliter a N. N N. & sic de aliis. Cuius symptomatis causa pendet ab huiusmodi Theoremate.
S Grint tres numeri proportionatis , ut se habet aggregatum piadratorem a duobus trimis adprimum , ita θ' auregatum quadratorum a duoGur postremis ad postremum.
D-n η G si sint tres proportionales A. B. C. quorum quadrati DEG. Dimine DE si. λ ά his c inui ad A, neut E G simul ad C. ' cisa enim D ad E est inultiplicata ratione lateris A. ad latus B sed & A ad C est duplicata ratio rationi A ad B, erit D ad E sicut A ad C. eodem argumento ostendetur esse E ad G ut A ad C. Quare est D ad E H E ad G.
de conuertendo G ad E ut E ad D. Resa veto est D ad E Vt A ad C ' est & vicissim D ad A Vt E
192쪽
C. Itaque cum sit Ead D ut G. ad Eerunt eomponendo DE simul ad D, sicut EG smutad Ε, sed ut D ad A, sic E ad C ut ostensum est iam. Igitur ex aequo ut D E simul ad A, si e E G simul ad
C. Quod erat propositi im. Hoc positolao B numerus Numerorum primi lateris, medius proportionalis inter Α & C. dicon NC N -D A P00 tur H im us Numerorum secundi lateris, siue C. . q. I . a 4 Sit enim D latus quadrari diuidendi in duos quadratos. Igitur Α - D erit secundum latus, cuius quadratus constabit ex quadratis ipsortim A & D. minus duplo producti ex A in D. cui addendo quadratum ex B. totum compositii in aequabitur quadrato diuidendo abs D. mare auserendo utrimque quadratum abs D,& trans serendo defeetuiri in alteram aequationis pallein, manem quadrati ex Α & B simul aequales duplo producti ex A in D. vi de fit valor Numeri diuidendo duplum producti ex A in D per aggregatum quadratorum ab , A N B. similiter ostendemus ii secundum latus statuatur C - D valoiem Numeri haberi diuidendo duplum producti ex Cin D per aggregatum quadratorum abs BN C. Cum ergo per praecedens Theorema sit ut aggregatum quadratorum abs A & B ad A. ita aggregatum quadratorum abs BNC ad C. ac proinde per eundem duplum ipsius D multipli eando consequentes, sit ut aggregatum quadratorum abs A & Bad duplum pro ludii ex Λ in D. ita aggregatum
quadratorum abs B& C ad duplum producti ex C in D. patet diuiso seorsini duplo producit ex A in D per aggregatum quadratorum abs A N B, di duplo producti ex Bin C per aggregatum quadrat
rum abs BN C. ficti Ob aequalitatem proportionis , eundem quotientem utrobique, atque ideo eundem utrobique reperiri valorem Numeri. Quod demonstrandum erat. Aduertendum praeterea primi quadrati latus poni posse quemlibet Numerorum numerum , duinin secundi latere ponatur maior vel minor Numerorum numerus, verbi gratia ponatur primi latus 3 N. erit quadratus se Q. Igitur secundus quadratus erit 16 - 9 Q cuius Iatus fingati ira N. - .fiee
quadratus ψα-I6 N. - - 16,aequalis I 6 -9 in& tandem 33 QAquabuntur i6N. & faeti N. g et te igitur primum latus secundum quorum quadrati quorum summaseseu I6. ubi accidit quod animaduersione dignum est θ resoluendo hypostasim secundi lateris illud reperiti non 2 N. - . sed 4-2 N. Manet tamen eadem aequatio, & res aequὸ bene succedit, quia quadratusq- - 16 N. I 6. cum quo aequalitas instituitur, habere potest duplex latus, nimirum a N. vel 4 - a N. nec interest a quo illorum effligi eoneipiatur. Quod semel monuisse sufficiat, ne euῆ scrupillum moueat quotiescunque deinceps simile quid continget. Sanὸ Franciscus Vieta in tali casu desectunt sub ambiguitate relinquens tali nota uteretur ad eum significandum a N. - 4. Indiurans scilicet ob indeterminationem Numeri qui talis esse potest ut a N. nunc maiores sint quam nune minores, latus illud poni vela N - . vel 4 - 1 N. prout valor Numeri commodius positionibus applicari poterit. Caetcrium ex operatione Diophanti nullo negotio Canon erui potest. Sed omnium iacillimus ad huiusmodi quaestiones soluendas, elieitur ex propositione tertia libri tertii potismatum . nimirum.
Dati ratus aevidi in duos numeros planos si miser, homm interuasium, duplum medij pr
Portιonatis inter eos cadentis, Diera exIubent 'uasitorum quadratorum.
Vt si datus sit quadratus i6. diuide latus eius . in planos duos similes, habentes scilicet rationem quani ad i. quod fiet per nonem secundae primi, eruntque l& quorum interuallum P Quare latera quaesitorum quadratorum sunt &7. Si autem 4. diuidatur rursus in alios duos. planos similes le ruantes aliam proportionem, alia reperietur solutio, ut si diuidatur in duas paries seruantes rationem quam habent . ad y. erunt hae & ου quarum interuallum, Nduplum medii proporti ii iis sunt& matera scilicet quaesitorum quadratorum. Attamen, ne quid tyrones fallat, adue tendum eii fieri posse,i ut idem numerus bis diuidatur in duos planos similes , nec tamen per gemiis . nam illam diuisioneni quadratus illius bis componatur ex duobus quadratis. Mod accidit quotiescuit lue partium prioris diuisitonis interuallum aequatur duplo med ij proportionalis cadentis ii xςr partes posterioris diuitionis, & e conuerso. Vnde necesse est per utranque dii iisionem eadem quadrar cum latera teperiri, non autem diuersa. Verbi gratia, si idem diuidatur in planos similes H qu tum ratio est quae i id ς. sunt hi diuersi a iam expolitis l& τ. Attamen quia eorum interuallum Otilem est cum duplo medii qui eadit inter et & τ. & ε conuerso interuallim ipsorum. α' idem ust cum duplo medii qui cadit inter nimirum V patet per utramque diuisionem eadem
reperiri latet a P & τ . Ut autem haec ex altiori principio repetantur, id huiusmodi planis similibus
accidit, quia illi sunt in ratione quadratorum i & s. isti vero in ratione quadratorum I. & q. at priorum latera aequantur summae laterum posteriorum de eorum interuallo, etenim posteriorum latera sint I. dc z. quotum summa & interuallum, nimirum 3.&I. conficiunt latera priorum. Hanc porro esse veram symptomatis huius cautam more nostro libet demonstrare.
Sunto Quadrati A C. quorum latera G H. itemque quadrati D F quorum latera Κ ita ut ipso um KL summa sit aequalis ipsi G,& eoruni dem KL interuallu in sit aequale ipli H. Tunc ducatur
193쪽
idem numerus M in ipsos A C, ut fiant plani similes M. iteinque ducatur idem N. in ipi a DF
ut fiant plani similes T X. ita tamen ut amborum c S. si imma sit aequalis summae amborum T. X. &ipibrum Q I. medius proportionalis esto R, interuallum vero Y. Ipibrum quoque TX medius proportionalis esto V, interuallum L dico tam
4 Z ipsius R. quam vicissim Y ipsus V duplum esse.
δ' Sumantur enim & ipibrum ΑΕ.& DF medii proportionales B E , & eor vindem interualla O P. oniam igitur quadratorum D Finteruallum P fit ex lumma latenim KL in eorundem interuallum, fiet Pex in Hex hypothesi, at ex G in H fit etiam B. igitur B P. sunt aequales. At vero quadrati A C, simul quadratotum DF. simul dupli sunt, re ex Min ipsos A C sunt QI.ex N autem in ipsos D F sunt TX,cum ergo summa duorum Q S. sit aequalis summae amborum T X. patet ex M in uinimam insorum Α C fieri eundem numerum qui fit ex N. in summam ipsorum D F. Igitur ' est vi summa ipsorum A C ad sit inmani ipsistum D F, ita N. ad M.t r. Vitas. & N. duplus est iplius M. Riit sus cum ex M in ipsos A C. fiant m. patet etiam ex M. in ipsos B. O. fieri R Y. similiterque ex N in ipsos ΕΡ. fieri U. Z. Quoniam itaque ex N in Psit Z , Nex Min B fit R.&B. P. Osteii si sunt aequales, patet ex eodem numero in ipsos NM. fieri ipsos Z R. Quamobrem est Z ad It sicut N ad M. ac proinde Z est duplus ipsius R. uim erat ostendendum. I. i. ms Deinde cum summa ipsorum G H eonstet ex summa ipsorum X L&emum interuallo, erit sum- ipsorum G H dupla ipsius K.& quia interitalium eorundem GH fit ex summa ipsorum KL mul lata eorundem interuallo. ' erit interuallum ipsorum G H duplum ipsius L. Quare productus ex summa ipsorum C H in eorundem interuallum, nimirum O aequabitur producto ex duplo K in duplum L, seu quadruplo producti ex K in L. Igitur O quadruplus est ipsius E. Proinde productus ex N in O quadruplus erit producti ex N in E seu ipsius U. sed quia N est duplus ipsius M. idem productus ex N in Ο duplus eit producti ex Mino seu ipsius Y. Igitur Y. duplus est ipsius V. Qim d
monstrandum erat. Itaque ex omni parte constat propositum.
Hinc euidens est eur etiam eum Diophanto positionibus diuersi in E institutis, eadem tamen nonnunquam solutio contingat, si enim primo statuantur numeri Numerorum utriusque lateris quales sunt K L di secundo statuantur iidem numeri Numerorum quales sum G H. eadem petoramque rositionem inuenietiir solutio. Nam si ponas cum Diophanto latus unum I N, aliud verba N- .fiunt latera quaesitorum quadratorum si autem ruisus ponas latum unum i N. aliud veto 3 N - fient rursus eadem quadratorum latera V & V Eadem de eausu si prima vice ponas numeros Numerorum a. & 3. secunda vice I & y. non contingit solutio diuersa, quia scilicet ipsorum, et&et. summa & interuallum conficiunt ipsos s Ri.&sie de aliis. Denique ex dictis melius de Wiversalius quam modo , Xilandro tradito, licebit cognoscere an propositus quadratus componatu ex duobus quadratis integris, immo& quoties in duos integros quadratos diuidi possit, respiciendo scilicet an latus eius E duobus planis similibus integris componatur, & quoties ex planis similibus integris & diuersis componatur, adhibita tamen cautione ne duorum ex iis planis similibus interuatulum aequale sit duplo medii proportionalis inter alios duos cadentis. Hac arte inuenies quadratum lateris 6y. quater componi ex duobus quadratis integris, quia scilicet ipse Θ. quater componitur Eduobus planis similibus integris, nimirum ex i & 64. & n. & sa. ex i6. & & denique ex zo. dc Q. Itaque per Caraonem supra traditum inuenies latera quadratorum, ex quibus quadratus ipsius os componitur, videlicet 63. de I6. vel 39. de xa. vel 33. de s&-demum 21. de μ. Sed de his satis.
DA Υ v M numerum qui ex duobus
componitur quadratis , in alios
quadratos partiri. Numerum II. compo-
inuin ex quadratis . & q. diuidere oporteat in alios duos quadratos. Sumantur latera praedictorum quadratorum 2. Scoe ponantur quaestorum quadratorum latera : hoc quidem i N. - r. Illud vero numerorum quotcunque , cum desectu tot unitatum quot continet latus alterius quadrati, puta p. & esto 2 N. -3.
de fiunt quadrati , ille quidem I Q -
- N. -- . Hic vero se 9. - ra N. Restat
194쪽
Restat ut ambo simul itincti conficiant vilitateS i 3. sed ambo simul iuncti faciunt 3 Q. -- 13. - 8 N. Hoc ergo aequatur 13.& nt i N. Ad Positiones. Posueram priorii latus i N. - r. erit ergo statue ram autem posterioris latus a N. - 3. crit xii lite :. Ipsi ergo quadrati erunt, ille quidem 'I. Hinc autem Et ambo struit faciunt ' seu imperatas unitateSI3.
N Vm vero numerum ex duobus cubis compositum diuidere poterimus in alios duos cubos 'Hae quaslιο di citis sane nec bacheto aut Vietae cognita fortasse necis Diophanio ; eius tamen solutionem dedimus infra in notatis ad quis sionem fecundam lib. q.
HV ccus Rat MuM est hoc problema, & eiusdem naturae cum praecedente, cuius maspust 'est .sus in sequentibus, praesertim libro quinto. Sed circa operationem Diophanti multa iun obseritanda, quae Scholiastes & Xilander, vel non viderunt omnino, vel impersectE tractatum. Primo obseruandiim ne in utroque latere fictitio idem statuatur Numerorum numerus, alioquin non inuenientur diuersa quadratorum quaesitorum latera , datis iam lateribus, sed eadem prorsus, Minutilis em operatio. Ita in exemplo Diophanti si ponas fictilia latera i N. a.& i N. -3. vel rursusIN. - a.& I N. -3. inuenies per utramque positionem eadem latera a. & 3. quae iam data sunt,lenilii actum eriti Quod ut sua demonstratione sulciatur lunio B C. latera data quadratorum , quorum summa Κ. & ponatur Α certus Numerorum numerus in vir in que latere fictitio, ita ut alterum sit Α-B. alterum Α - C. duplum
A O autem quadrati abs Aelio D. N duplum producti ex K in Α esto E p D PQ m D. oriri valorem Numeri. Nam ducere Bin A ,& Cin Α idem est atque ducere su nimam ipibrum B C. nempe K in A. insere duplum productum ex Bin A, & ex C in A, aequatur duplo productivx Κ in Α, puta ipsi E. Quamobrem E est numerus Numerorum qui reperiuntur in aggregato quadratorum a fictitiis lateribus Α-B N A- C. Atqui Dest numerus Q iadratoriam qui iunt in eodem aggregato. Proinde diuiso E per D fit valor Numeri. Itaque quia duplum A in ipsum A ductum facit is,& duplum Λ in Κ sicit E, em D ad E sicut Rad K. Quare diuiso Κ per A prodibit idem valor Numeri qui ostensus est prodire diuiso E per P. Proincium rei bluendo hypostases, ducetur usor Numeri in Α, fiet Κ, a quo auferendo B testabit utique C, & auferendo restabit B. Igitur latus A - B idem erit quod ipse C, Ac latus Α- Cidem erit quod B. Quod erat demonstrandum- - Deinde ponatur unum latus Α - - B. alterum A C. & sit Κ interuallum ipsorum BV ut autem D ut priu, duphiin quadrati A. sed E. sit duplum producti ex A in F Patet ob signi diuersitatem, haberi numeriim Numerorum contentor A 6 N. --B a A O N. C3- a gregato quadratorum qui sunt fictiliis lateribus, si , hipi. producti ex A in auferatur disium prod icti ex . A in B hoc autem idem est atque ducere duplum A in inter alliitn ipsorum B C. seu in K. Igitur E est ille numera,
Num rorum. Itaque cum D sit numerus quadrati rum in eodem aggregato contentorum, diuiso E
per D. orietur valor numeri. Quia ergo ducendo duplum A in A fit D, & ducendo idem duplum ΑlnΚst E, erit Aiad K vi Dad E Proinde diuiso Knr A nrietur item valor Ni 'eri, & rcist ueno . hypostases citin A ducet ut in valorem Numeri fiet K Quambesco, A B aequabiliri ipsi C. A C hoe est C A aequabitur ipsit B. Qixod e at pyo si um ... I Aduertendum secundo ad hoc ut aequatio. hrocedat, in lateribus fictitiis roncndum esse intus
virumque datorum cum signo desectus, vel fruem alterum, ita ut in aegregato quadratorum fictiti ortim numerus Nnmerorum reperiatur cum signo desectus, F proinde transeat in alteram aequationis partem. & maneant Numeri aequales quadratis. Mare lixtissimus omi vini inodus fingetidi latera quadratorum est, cum in utroque ponuntiit data latera cuill signo dciactus, di tune nulli
195쪽
cautio adbibenda est, praeter eam qua tradita cli adureten, o pii mo ut scilicet numeri Numero rum sint diuersi , ta eam de qi a agetur aduect credo ultimi,. Ita si ponas latera I. N. -& a. N. - fieti N. latera quaesita erunt &' . & sic alii, in liuitii modis variari positiones poterunt,& vatiae comin: em ibi utiones, prout varii ponentur Numero tum numeri, qui tamen non sint prius positis proportionales, alioquin si proportionales sint canilem exhibebunt solutionem, ut facile est denionurare. Quod si alicrum tantum datorum laterum statuatur cum signo minoris, alterum vero eum signo pluris, duplaciter id accedcre potcst, quia v. l minus lacus asticitur signo vel maius latus. Itaque. Advertendum tertio, clim minus datorum laterum actitatur signo - maius vero sεno - . Ne cesse esse ut numerus Numerorum appositus minori ad numerum Numerorum appositum maiori maiorem habeat rationem ratione datorum laterum. Quare in hoc casu si ponatur verbi gratia alterum latus I N. ponendum erit alterum et N. - 2 vcl3 N. - 2. 5 sic in infinitum, ita ut numc rus Numerorum secundi lateris excedat i r qui ad unitatem seu ad numerum Numerorum primilateris eandem habet tionem quam 3. ad 2. Huius rei causae uidens est, quia oportet , ut dictu iuest, in aggregato quadratorum notitiorum numcrum Numerorum esse cum signo -. Quare in hoe casu oportet duplum producti ex initiore datorum laterum iii Numeroς sibi appositos, superare duplum produm ex maiore in Numeros sibi adiunctos, quod patet fieri non posse nisi observet ut
quod traditum est. Aduertendum quartis cum maius latus datorum assicitur signo, - minus vero signo is tune necesse esse ut numerus Numerorum appositus maiori ad appositum minori lateri, maiorem habeat rationem ratione datorum laterum. Ita si ponatur alterum latus I N. -3. statuetidiim erit alterum i N. - . a. veli; N. - - 2.& sic in infinitum, ponendo in secundo latere quemlibet numerum Nu. merorum minorem quanti . vel si secundum latus statuatur I N. - a. statuendum erit primum
2. N. - . vel 4. N. 3.& sic in infinitii in ponendo in primo latere quemlibet numerum Numer tum maiorem quam ib QM,d obseruari oportet ob causam in praecedente. aduertendo allatam. Ita rosint haec duo praecepta in unicum eontrahi, nimirum. Cum in uno latere fictilio ponitur alterum laterum datorum cum signo, in alterum 'ero ponitur in altero latere fictitio cum signo. - Oportet ut numerus Numerorum qui assicitur signo ad eum qui assicitur signo -- maiorem rationem habeat, ratione datorum laterum. Aduertendumpostrem , cui a maius datorum lateram assicitur simno & minus fgno -- tune Quendum esse ne numinis Nunietolum maioriareos tus, ad appomum minori eandem rationem habeat, quam habet summa d torum laterum ad eorniadem litteruallum et alioquin idem sequetur
is Medum qii In primo aduertendo seqiii ostensium est, reperiemur scilicet eadem latera quae 'it' ' int, de nihil effectum erit. Verbi gratia si ponas alterum latus y N. - 3. alterum I N. . - z. quias N. idi N. se habet sicut summa ipsorum 3. & a. ad corundem interuallum inuenies rava iii N. - alitui ei se quam a.&IN. - a esse idem quod 3. Huius symptomatis causa
Datis atuor , quor Utrimur ad secundum sit ut Amma tertii ct quarti , ad exce me eris 'in tum quadratorum primi di, ad modum m ex primo 'in ternuis muciatum pratis a xxsecundo in quartum: Sicut primi ad semissem summa terti vel sicut secundus. ad 7m interualli eormidem.
ὰ . t t'dati quatuor numeri AB CD. N iptoriim C D interuallum sit Eetitus semissi,1 cὸ o. aceor uridem CD sumniae semissis sit F.& aggregatum quadratoriim ab A & B sit Id. proci ictum alitem ex Ain C multatum pro cto ex B in Dino Κ.& ponatur se id n sicut summa duoriim C D ad eorundem interuallii in F, hoc est' sicut i ad c ,. dico esse sicut si ad K. sic A ad F vel B ad G. Quia enim est A ad nil sielii F ad G, erit vicissim A ad F scut B ad C. Itaque sumantur L M qu
drati ipsoruna 'AB. quorum a regatum positum est Id. & ex F in Α fiat R. &
'e G iis o fiat P. Quia igitur P est semiuis summae ipsoriam CD, S G semississe isti ualli eorundem; Dosimul' aequantur ipsi F, & F simul aequantur ipsi C. ne d ieere cin A idem est, atque ducere G& F in A, ' productum autem ex G in A aequaturi in h. io expinio quia est A ad But F ad G Ieitur productum ex Cin Α aequatur prodii ii, ex
Diu A, o ex Fb ii nisi iam vero P aequatur jus G. productum ex Fin B aequatur productis
e D in B. k Gin 'B Qv obrem tiroductum ex C in Α aequatur producitia ex F in A. & e2 Din v. die Gi' B. Itaque si hinc aut cratur productus ex D in B, utique prodit, tus ex Cin A triui
sit in prodit, 'ς omni ,- est K manubit aequalis productis ex Fin A&ex Gin B, hoe en ipsi, si Hlatu viso quia idem A ductus in seipsuum. Nin F producit L& R. erit Lad R sicut A ad F seus et Bad se. miluo quia idem B.ucius in seipsum&in G tr Hucit M& P. erit M M P sierit B ad
G. I itur es L aa st .sicut M ad P. de duo antecedentes sinuit, nempe H ad consequentes simul, nempe idia iunt ut A ad r seu Bad G. Quod demonstrandum erat.
196쪽
His praemissis ponant ut data latcra C D. & sint A. B. numeri Numerorum , sitque unum latus fictitauin Λ C, alietuiri B-- D. fictaequatio inter aggregatum quadratorum ab Aec B, α inter duplum producit ex Ain C multatum duplo producti cx Bin D. nempe inter H& duplum ipsius F .. mare Oiletur valot Numeri diuidendo duplum ipsius K per H, Quia autem
A is N ' Co is , vi H ad Κ, sic est A ad F. erit & H ad duplum L , sicut A ad duplum F. hoes,lu - . Gi. citaui umii Miu ipibrum C D. Quare hac summa diuita her A Orietur quoque o k valor Numeri. Proinde rei luendo hypostases cum vilitates ii lius A circen- /δῖε 7 '' tui in valorem Numeri, fiet A aequalis sunt ii ae tribrum C D, vi de patet A C sore aequalem ipsi D. Sinaniter quia ut hi ad duplum Κ. sic est Bad duplum G. nempe ad E, diuiso E per B orietor tutius Valor Numeri. Vnde resoluendo hypoliales cuin unitates ipsiuς B. ducentur mis valorem Numeri, set Baequalis ipsi H QDamobrem B D necesseetit aequari ipsi C. Quare ex omni parte patet propositum. Idem quoque abiurdum icquitur, cum in utroque latere fictilio ponuntur data latera cum sienodes iis , si Numerorum numerus minori appositus, ad appositum maiori eandem riirtus habeat rationem quam habet summa datorum laterum ad eorundem interuallum , visi in hypothesi Di phanti ponatur alterum latus N. -a alterum IN. -3. Quod eadem facilitate demonstratur, hoc praemissib Theoremate. Datis quatuor numeras, piorum IrimM AEd secundum sit ut ma treti I ct varii ad excessum p arti supra tertium , erιt am uarμm P drator xmprimi ct secundi , ad aggregatum protactorum ex primo iniretium, O ex δει δειn quarthm, sicut primus ad semissem summa terra1 ct Parti, o
Demonstratur autem hoc theorema eadem fere ratione qua de Iracedens, imo ex illo facit E insertur, probando scilicet eundem K seri siue a producto ex A in C. auferatur productus ea B in D: siue producto ex Am D. addatur Productus ex B in Q Quod tibi relinquo considerandum exerci
Varii canones ex varia positionum institusione sormari possent, sed quia parum in eis esset compendi j, hute labori supersedeo. Vetum Canonis loco libet explicare modum perficiendi hoc pi Nema , Francisco Victa traditum Zetetico 3. libri quarii, qui talis est. Con tuantur Διera data, hypotem se Gorem triang coram rectaraulomm inum. Summa baseos primi cst serpendaradisecundi; ire interualium perpendicivo primi is baseosse condit vel imιer Eum baseos prim crepemndac Iecsindi ; itemque sum perpendicuti primi, oebaseosse- ,Δ e.Uituent p-μ- -- δεπιε e. . Porro quilibet numerus fit hypotenuia trianguli rectanguli per praecedentem, diuidendo scilicet . eius quadratum in duos quadratos. Verbi gratia, sint data latera 2.&3. si per Canonem praeceden.
tis diuida a. in duos planos similes, videlicet qui sim in ratione i ad A. eiunt hii & l ex quibus sormabuntur latera circa rectum itianguli rectanguli & Rursus diuide 3. in duos planos similes, quique sim in eadem rat icine i ad 4. erunt hi l & et ex quibus formabuntur latera circa rectum trian litetanstuli & l .Habemus itaque latet a circa rectum triangulorum similium, nimirummabat eos prim i & perpendiculi secundi est V interuallum autem perpendiculi primi di baseos secundi est ' .Sunt ergo latera quaestorum quadratorum ' & vel summa perpendiculi primi & baseos secundi est interuallum autem baseos primi de perpendiculi secundi est . Rursus ergo quaesitorum latera esse possunt ἰ & Huius rei demonstratio in promptu est. Sunto data latera A. B. & inuenienda sint alia latera, quorum quadrati aequemur quadratis ipsorum Α B. fiat Α -- ct potenuia trianguli ree tanguli per praecedentem, sintque latera circa rectum CD. fiat V Ei siluili, trianguli, cuius latera circa rectu in sint E F. Ita ut quadrati
se ipsorum C D sint aequales quadrato abs A & quadrati ab E N F. sint aequales quadrato in is B. & st C ad D ut E ad F. Denique ipsorum C F summa esto G interuallum L. Item G 7 H 6 E D ikmma esto Κ interuallum H. Dico latera quaesita este G H. vel etiam Κ ta est C ad D vi E ad F. Erunt tam qu tati duorum G H. quam quadrat 3 du irum K L aequales quadratis omnium C D. E F. At quadrati ipsorum C D. E F aequamur quadratis duorum A n ex hypotbesii, igitur quadrati ipsoruni A B aequamur quadratis ipsorum G H. vel etiam
Uibruin K L. Ouod erat demonstrandum.
IN v v N i R a duos quadratos numeros in dato interuallo. Constitutum sit interua Ilum ipsorum esse fo. Ponatur alterius latus I N. alterius vero i N. & quot-
197쪽
libet unitatum, dummodo harum quadratus non superet interuallum datum. Sie enim una specie uni speciei aequali rema- ente expedietur quaestio. Eito igitur tN. - 3. Ipsi igitur quadrati erunt I QU- 6 N. -- 9. Interuallum ipsorum est
6 N. -- 9. Hoc aequatur unitatibus f o. &fit i N. 8 L Erit igitur prioris latus 8 . Posterioris vero ζ. Ipsit autem quadrati erunt, a. & i3r. . & manifestum est satisfactum esse quaestioni. IONEM XLVE Ra A illa, Dummovi harummiadratus nonsupereti nimiallum alatuis, cautὸ accipienda sunt. Nam in exemplo Diophanti, voi interuallum datum co. non est quadratus numerus, res bene habet, nam cum non possit dari quadratus aequalis numero non quadrato qualis est 6o. quicunque quadratus accipiatur non maior quὶm 6o. is necessatio minor erit, quod requiritur ut aequatio rite procedat. Sed si datum interuallum esset quadratus numerus, tunc non sum ceret ponere in latere fecundi quadrati unitates, quarum quadratus non superaret datum interuallum , sed ponendae essent unitates, quarum quadratus deficeret a dato interuallo. Verbi Otia sit datum liueruallumas. Ponatur latus alterius quadrati i N. alterius vero i N. -- F. fient io N. - - 2s. aequales 2y. Quareio N. aequabuntur nihilo. Itaque oportet fingi latus secundi quadrati ab i N.-tot unitatibus, quarum quadratus sit minor quis, 2 s. vi IN. - i. dc fient a N. - I aequales as . eritque I N. I a. sunt ergo quaesta latera i a. &i3. & satisfaciunt propositio. inamobrem melius & v uersalius praescribetur conditio hoe pacto. harum γαι iussit Onor tato ime M. Caeterum ex operatione Diophanti elicietur huiusmodi Canon. me auemuis p adratum minorem talo interauem, eumque se birahe a dato intera alis, res inusi per duplum lateris pii quadrati , orietur unum ira errasitorem, cui si adris Iaior Amtra Padrati, fer alterum rarus.
Aliter etiam institui potest operatio, nimirum. Ponatur minor quaesitorum quadratorum I Q. erso maior erit I in is fio. fingatur eius latus ab I N. - tot unitatibus, quarum quadratus sit minor quam G. & fiet operatio eadem cum operatione Diophanti. Vel fingatur quadrati eiusdem ratus ab I N. - tot unitatibus, quarum quadratus sit maior quam clo. vobi gratia fingat ut abi N. - io. fiet quadratus I ao N. - ioo. aequalis I -- ω. & fiet i N. 2.eruntque quaesita latera 2.&8. Huic rursus istinabitur iste Canon. Sumeque is quadratum mmerem dato intermitti ,stab rasu trahe datum interuam 're viam diside per dupiam lateris sumpsi quadrati , orietuir νnum iatus vastorum, pud μ' trahe aiatere sumptι quadrati , set alterum titus. Aliter rursus Ponatur maior Quadratus I in erit ergo minor tin- . cuius latus fingatur abi N. - quotlibet unitatibus, puta ab I N. - Io. fiet quadratus I Q ao N. - tota aequalisi - . & fiet i N. 8. eruntque quaesita lateras. & 2. H ine etiam ibrmatur huiusmodi Canon. me quen Abel quadratum quem adde dato internam, se mam Luide per duplum Dieris sumpti quadrara , orietur unum titus praesitorum , a quo aufer iaras sumpti quadrati, via conira;
Porro Canon omnium elegantissimus , &quo sequenti quaestione utitur Diophantus, & alibi saepe elicitur ex tertia secundi portimatum, adiuuante vigesima tertia primi, vel Canone primaeptimi Diophanti, nimirum. Cape Δos numeros quorum mutuo duictu fiat datum interuallum, horum si rea semissi, esem, O
ter meo inridem, quaesitorum quadratorum exhibebunt latera.
Sit enim A datum interuallum , & ex B in C fiat A. summae autem ipsorum B C semissis esto D, semissis veto interualli eorundem BC. esto E. Qisia ergo constat pero, vigesimam tertiam primi porismatum, vel per Canonem primae primi Diophanti summam ipsorum D E aequari ipsi B , & interuallum eorundem D E aequari ipsi C patet A fieri ex summa ipibrum D E in eorundem interuallum. Quamobrem Α est interuallum quadratorum ab ipsis D E. Quod erat propositum. Hine autem melius & uniuersalius quam modo I Xilar dio tradito cogi osci poterit, an in in-
198쪽
tegiis quaestio solui pcssit, limano& an pluribus modis in integris solutio contingat: si enim ipsi BC iales delira ut vicique sit par vel uterque impar , patet tam corum luminae, quam interii altila imis in in integris haberi. Mate ipsi DE integri erunt ut iam docuimus iarrimam primi. autem ipsorum BC. alter sit par, alter impar, non poterunt ipsi DE haberi nisi diuisa vinitate. Qiamobrem quot modis reperiri poterunt duo numeri mutuo ducta conficientes datum interuallum , qtiorum uterque sit par, vel uterque impar, tot modis per integros soluetur quali io. Vt dato intervallo eodem 6o. quia id hi tum ex io in o. tum ex 3o. in a. quorum uterque par cst duobus modis in integris continget solui quassioneni, elumqtie quaesita latera is & a vel 16 N I . similiter dato interuallo is. quia id fit tum ex is in 1. tum ex F inci duobus modis in integris sollici ur quaestio , erumque quasta latera s& 7. vel & I. Rut sis dato interuallo 48. quia id hi tuta: cx 2. in et . tum ex in I a. tum ex o in 8 tribus modis soluetur quasio per integros, di crum qi: asia latera ia. & ii. vel S& . vel denique & 1. Vnde sequitur quod iam aliter demonstrauitarus in Corollario vigesimae secundae primi potis m. si datum interuallum sit pariter impar tantum , non posse solui qiraestionem in integris, nam non metietur illud numerus par per parem , alioqum G t pariter par contra hypothesim, non metietur etiam idem interuallunt numerus impar per imparem , alioquin esset impar, quod est etiam contra hypothesivi. Quam brem relinquitur ut metiatur tantum illud numerus par per imparem , ac proinde, ut ostensum est, non continget solutio in integris. Si autem datum interuallum sit impar, vel quilibet numerus pariter par iupra quaternarium , soluetur quaestio semper in integris. Quia quemlibet imparem unitas metitur per ipsummniet imparem. At quemlibet pariter parem metitur binarius per eiusdem patiter paris semi in ' qui semper est par. Excluditur autem quaternarius, quia metitur eum tantum binarius per binarium non potcst autem idem binarius esse summa & interuallum duorum eorundem nuniciorum , nisi pars ponatur aequalis toti.
DAris duobus numeris addere eundenumerular, & utrumque quadratumessicere. Si tu dati minaeri a &-esto addendus i N. erit ergo tum i N. -- a. tum I-- 3. aequalis quadrato. Et hoc genus vocatur duplicata aequalitas , aequatur autem sic. Interuallo conspecto, qua re duos numeros quorum unius in alterum multiplicatio producat istud interuallum. Sunt amem hi 4. Horum vel interualli semissis in se di ictus arquatur minori, vel summae semissis in se ductus aequatur malori. Sed interualli semissis in se ductus facit hoc aequatur I N. --2. & fit i N. g. Summae vero semissis in seductus sacit r. hoc aequatiar maiori, ni mirum I N. - - & fit i. N. rvrsiis f. Erit igitur addendus numerus G de mani&itum propositum. Ne autem in duplicatam aequalitatem incidamus,sc agendum. Imaenire minae-rum qui & ad 1. & ad 3. additus, utrumque quadratum efficiat. inaero prius numerum aliquem qui adsuinens binarium faciat quadratum, vel quis numerus adiecto ternario fiat quadratus.Porro a quocunque quadrato sit btraxero et . vel 3. iserit qui quaeritur. Agamus de r. is ausc-ΔτΣi δε σπ αριθμοις γοῦν
199쪽
euidens hunc u absumat r. sore quadratu. Sed si adsumata . fit i -- I. Hoc ergo aequatur quadrato. Fingo quadratum ab iN. cum desectu tot unitatum ut re lutis
hypostasibus i QIuperet ipsas alite positas
desedius unitates, nimirum a. Sic enim ex Vtraque parte una species uni speciei aequalis relinquetur. Esto crgo ab i N. - ipse quadratus crit i is - 8 N. Hoc aequatur I -- I. Communis addatur desectus, de auserantur a similibus similia, relinquuntur 8 N. aeqtialesis. defit i N. Ad positiones. Erit addendus numerus g.
DV p O C r operatione quaestionem hane eleganter absoluit Diophantiis, sed neutram Seb liastes , Xilandetve satisfeliciter explieauit. Sanὸ quod ad primam attinet, in qua duplicati
aequalitate utitur author , betad monet uterque eam niti primae secundi. Sed id soluin non Lussicit ut eius adaequata ratio persecia comprehendatur , nam licet inuenerimiis dilos quadratos eodem interuallo distantes quo distant dati numeri ea lege vi maior maiorem datorum superet, & minoi minorem , non statim constat per hanc duplicatam aequalitatem utrobique reperiri eundem valli rem Numeri, quod unum curandum est ut quaestio pertastE soluta sit. FI ergo sic demonstrabiu. n mus. sint dati Numeri A B. quorum interuallum C. Ponendo ergo quae-ε. M sitia in numerum I N. erunt quadrato aequandi I N. A & N. - B. -
' 3 mantur duo quadrili D E eodem int ruallo C distantes, ita ut D suma-- tot qu in A, & E sit maior quὶm B. Dico siue D aequetur i N. -- Α. siue M 49' x is, L I Eiquitur i rq - B. euno in virobique reperiri valorem Numeri. enim ex constructione est in arithmetica medietate A ad B ut D. ad E. erat & permutando in eadem mediet te A ad D sicut B ad E. I tur si sumatur F Gcessus D super A, erit idem F excessus E super B.
Cum ergo aequando D eum I N-- Α. detrahentur similia a similibus, nimirum ciuia Λ utrimque auferetur, remanebit Faequalis IN. led etiam aequalido Ecuini N - B auseretur vltimque. B decoranebit idem F aequat is i N. Quare constat propositum. Hoc demonstrato, patet totum duplicatae aequalitatis negotium in eo versari, ut inueniantur duo quadrati eodem interuallo distantes quo distant dati nume i , quod sanε fit per Canonem postr muni ad praecedentein allatum , qui ut ostensum est, totus pendet ii tertia recundi potismatum, quae eadem est eum quinta secundi elementorum. Verum quilibet quadrati quorum sit idem interuallum qui & datorum numerorum , non statim apti sunt duplicatae aequalitati resoluendae, sed tales deligendi sunt, ut maior superet maiorem datorum numerorum, & minor minorem. Hoc quidem vidit Sehesiastes, sed in eo allucinatus est, ut bene monet Xitander , quod attecerta tales quadratos reperiri posse negauit. Ipse quoque Xilander in affinem eius quem reprehendit errorem lapsus meliora non affert, sed indieata tantum necessitate tales quadratos reperiundi, quo pacto id fieri oporteat, ni inimE docet. Res tamen facilis est, nam tales numeri sumendi sunt quorum mutuo duAu fiat datum interuallum, ut summae illorum semisssis quadratus excedat in iorem datorum inimerorum , ut in exemplo Diophanxi, ubi interuallum est I. maior numerorum 3. oportet inuenire duos numeros quorum mutuo ductu fiat i. dc quorum summae semissis quadratus sit maior qu,m 3. Quare cum summae ipsius quadratus sit quadruplus quadrati semissis, oportet summae quadratum excedere Ia. Proinde cum latus proximε maius ipsius tr. st 3. necesse est summam quaesitorum numerorum quorum mutuo ductu nat I. excedere 3 . vel lane non esse minorem. Hinc est cur abiectis a. & Itemque 3. & l. se legetit Diophantus 4. de potueritque eorum loco sumere .&l. vel aliosque infinitos, quor ura summa maior est qu 3 Ita si dati numeri sine 3 &6. cum eorum interuallum sit et . maior vero ipsorum 3o. cuius quadruplum IzP. quaerendi erunt duo numeri quorum mutuo ductu De a . ita ut eorum summae quadratus excedat Iao.
200쪽
inare eum radix proximὰ maior ipsius tro. lit II. oportebit quasi totum numerorum summam esse iliatorem quam ii. vel certe non minorem. Mare rit sumi poterunt a. N ia. vel 3. aliaque in . iiiiiii quorum lumina maior, vel non minor quam a I. sed eandem ob caulam reiicientur ε α aliique infiniti quorum summa minor quam II. Quod attinet ad secundam operationem verba, illa δωυα αεως Vr ταανοι si ν αὐτα: τας τῆς alio mendo non laborant , quicquid dicat Xilander, nisi quod vox τιταρ ης temetε inculcata erat, nam legebatur in codice ma' nu scripto, αυτος πιέτης τετηρος Caeterum hae voce sublata, reliqua bene habent, nec ullain pariunt diis cultatem, nisi ex praua Xilandri interpretatio ne, it uica sic conuertit. ut stibstantia quadrati earum superet insas ante Hsitas d femu unitater. Cum tamen vox Hypostasis hoc loco & alibi semper apud Diopliantum iisnificet, non ipsas unitates quae ponuntur in latere fictilio , sed ipsum valorem numeri vel quadrati positionibus applicatum, ut iam docuimus ad primam primi. Hinc etiam erroris caulam praebuit Xilander Clistophoro Clauio cap. 2ς. aenigmate k8. sed & Raphael Bombellius in eodem lapsus est lib. 3. tuae Algebo Problemate 66. Qitate retiaris illorum inutilibus commentis, genuinus horum verborum sensus hic est. ut ιν adrati hypostasis superet ipsis antepositas defectus Onιtates , vel ut clarioris doctrinae gratia interpretati sumus, vires uris hipo silura I Q superet ipsis antepositas de semisum rates. Cum
enim quaesitus numerus missius sit I Q. - a. manifestum est valorem quadrati talem reperiri debere ut superci 2. Id autem arte certa qui consequi possis non docuit hὶe Diophantus. Sed profecto insequentibus saepe tali utitur artificio quoties limite quid accidit. Quia numerus aequandus quadrato est i in i .patet si eius latus fingat ut i N - aliquot unitatibiis valorem Numeri oriri diuidendo quadratum ipsarum unitate multatum per duplum earunde in unitatum .Quia vero I in vici etiam est debet esse maior quam a. simplo latere proximὸ maiore ipsius a. nimirum I . oportet valorem numeri maiorem esse, vel certe non minor cm quam I Igitur eo redat ii sumus ut inueniamus numerum, cuius quadratus unitate multatus & diuisus per duplum ipsius numeri, det quotientem maiorem vel certὰ non minorem quanti Esto huiusmodi numerus i N. ergo maior est vel certe non minor qxiam Iomnia multiplicando pera N. fit I non minor quam 3 N, ac Proinde I non minor quam 3 N. - I. qua aequatione resoluta, uti N. non minor.quam is 3 i- 'i sumptoque latere ipsius a nimirum i i si ei addas Idisit I. N. non minor quam 3 L
mobrem aequantes quadrato I Q -- I. fingemus eius latus I N. - quotlibet unitatibus quae superent
3 l. su Diophantus finxit lim latus i N. - . Possetque etiam fingi i N. s. vel 1 N - 6. di sie inia itum. Itaque ut ista tyronii in memoriae firmius inhaereant, placet paulo aliter positiones insu- tuere, quod fieri posse indicauit Diophantus his verbis. Porro a quocunque quadrato sistraxero a. vel 3. ιι erit quι cit ratur. Ponatur auxilius numerus I - 3. is enim adsumpto 3. quadratum iacit: At idem absumpto a. iaciti I. Hoc ergo aequatur quadrato. Finin quadrarum ab I N. eum desectu tot unitatinii, ut hypoliasis quadrati superet ipsas ante positas deiectus unitates, nimi tum 3. ut ergo determinemus de hoc unitatum de numero, quia fiet valor Numeti diuidendo quadratum quaesitarum unitatum alicium unitate per duplum carundem unitatum; At Oportet I Q in iorem esse quam 3. atque adeo i N. maiorem esse vel certε non minorem latere proximὸ maiore ipsius 3. quod est a. Patet eo nos adduci ut inueniamus numerum, cuius quadratus unitate auctus, &diuisus per duplum ipsius numeri det quotientem non minorem quam a. Esto liuitismodi numeriis x N. ergo - maior est, vel certe non minor quam 2. & omnia in a N. Igitur i Q -- r. maior est vel certὰ non minor qlian N. Qua aequatione reicillita fit IN. vela in R3. vel 2 -R3.&loco is 3 sumendo latus proxime nimus ipsius 3. nempe i . fit I N. vel maior qu,in 3. . vel mines quina Hic enim ob valorem Numeri duplicem duplex inueitit ut tecininus alter supra quem, alter vero insta quem, sumi potest valor Numeri. Possumus ergo quadrato aequatites i. eius latus fingere abi. N. - quotlibet unitatibus quae sint maiores quam vel minores quani fingatur x N. q. fiet quadratus I Q 8 N. -- I6. a ualis rQ r.& tanti emi N. est: vatile fit quaesitus numerus z. . idem qui repertus est per operationem Diopsianti. Fingatur rutius latus Quadrati i N.
: siet quadratus a QV . . - aequalis unde iit i N. di quaesitus numerus R. oti addendo 3. & a. fiunt quadrati . . . Si cui porro laboriosior videbit ut haec operatio, lieebit etiam aliam instituere magis expeditam,
o quae tantas dissicultates minii patiaturi. Fingatur in eodem exemplo, quadratus aliquis ab I. N. - tot unitatibus quarum quadratus superet maioreni datorum numerorum 3. Puta ab I. N. siet quadratus i. - N. - Hinc ergo anserendo 3. statuatur residatim quaesitus numeris
3 CmPς 1 - N. - i. is enim adsumens saeit quadratum. Restat ut& adsumpto a. quadra-ςum iaciat. Facit autem iQ - N. - . Hoc ergo aequatur qua liato, cuius latus finaei N. Oz Vnitatibus. quarum quadratiis superet . unitates numeri quadrato x aliandi, esto latus illud i N. 3 6ςx quadratus ira: 6 N. -- y. aequalis i - - N. -- 3. desiti N. estque quaesitus numerus