장음표시 사용
171쪽
sin CVNDA REGULAi COMPOSITA RVM. I aequales Numeris evnitatibus.. Facto si opus sit parabolismo, adde unitatibus quadratum semissis Numerorum, lateri aggrelgati adde ipsium semissem Numerorum, helvator Numeri.
V b. gratia a in sit mi alis N.-21. addo ad ri. quadratum semissis ipsius 4. nempe q. fit M. cuius lateris addonPradi etiam semissem a. fit 7. vsor numeri.
Quadrato numeri Numeronimadde quadruplum unitatum, lateri aggregati adde numerum Numerorum, fiet valor Numeri duplicati. Verbi gratia i Q si aequalis 1 N. -- et . Adde as. ad quadruplum ipsius 2 . nempe ad 96. fit 12I.
cuius lateri r i. addo s.fit i6. duplum Numeri. re iri e Numerus est8. Vtrumqtie modum derivati quoque ab hae quaestione trigesima tertia sic probabim s.fit i laesitatis q. N. -- ai. imprimis patet IN. maiorem esse qu1m q. numerum Numerorum, fiam ex quolibet latere in seipsum,vel in numerum ipso maiorem, fit vel quadratus latetis, vel numerus eodem quadrato maior. Quares .esset aequalis vel major quain i N. essent N. aequales vel maiores quam I Q. ac proindc non posset I c aequari N. 2I. Hoc insito. it A C. 1 N. erit emo Α niaior quam A. Vt proba
Qitare coinquadratus ex Α C sit aequilis productis ex AC. in A B.&m A C. in B C. seu in C D sequitur productum ex Α C. in C D. aequari 2I. Igitur ut prius quaerendi sunt duo numeri A C. C D hiiorum immisium Α B seu f & productam multiplicationis est 2I. nam horum maior A C. erit Vesor numeri. Itaque a duelici Catione, duplex e supra eruitur regula, primae pro sus simili, , finali tantuin substractione in additionein mutata, quia videlicet ibi quaerebat ut minor numerus C D. Hie vero quaeritur maior Λ C
TERTIA REGULA C O M P O S IT A R V ac Numeri aequales manatis nitatibus.
Facto si opus sit Parabolismo. A quadrato semissis Numerorum aufer unitates, residui latus adde vel adime semisti Numerorum, fiet valor Numeri-
Verbi gratia io N. sint aequales ri. Quadratus semissis Numerorum est 2s. unde si auseri,ar. unitates stuperest euius latus a. si addas & adimas senuis Numerorum s. fit valot Numeri vel 3. vel7.
EADEM EX PETRO NON IO. A quadrato numeri Numerorum aufer quadruplum unitatum, residui latus adde et adime ipsi munero Numerorum, fiet valor Numeri duplicati. Verbi gratia 7 N. sint aequales 1 ro. a quadrato ipsius 7. puta a M. aufer quadruplum ipsius Io. nempe o. superest y. euius latus a. adde vel adime ipsi T. nee vel 4. vel io. duplum Numeri. Quare Numerus est vel 2. vel s. utramque regulam deduci a trigesima quaestione Diophanti facit Eprobabitur. Sunto io N. aequales I Q. - 2I. imprimis patet numerum Numerorum ro. maiorem essequami N. nam si esset aeqtialis, vel minor, eo ducto in i N. fierent io N. aequales I in vel minores illo. Quare cum Io N. praeter I Q contineant ata oportet Io. esse maiorem quis I N. Hoc
posito sit A B io. in quo sumatur I N. A D. vel DB. 8cii ponaturi N. ΑD. constat ex ΑΒ in A D. IL D. . . A N qv dx tum ex AD. esse I Q. Quare eam . productus ex AB. in 39eireri AD. sit aequalis quadrato ex A D. una cum producto ex A D. in D B. relinquῖ-tur productum ex Α D in D B. esse ai. Igitur quaerendi sunt auo numeri quorum summa se Io.pmd ictum et t. Eodem modo si i N. ponatur D B. ostende iis ex R B. in D B. seri io. N. & ex A D. in D B. fieri ri. Quare ut prius quaerendi erunt duo numeri , quorum summa sit Io. productum a r. Q 'dipsum quaerit Diophantus quaestione trigesima. Itaque si Ii t in primo Canone ibi allato. Summae Ita semisse capto nempe s. ab illius quadrato
172쪽
rs. auseremus productum eta. & residui . latus a. addemus vel adimemus ipsis. & fient quaesiti numeri I. re, quorum alter est A D. alter D B. & uterque valor Numeri esse potes L Qui est piliau, modus hanc tegulam perficiendi. Quod si utaris secundo Canone , incides in tegulani bella Noni, ut manifestum est. Sec de ex annotatis ad trigesimam patet si quadratus semissis Numerorum aequili, sit unitatibus, ipsum eundem semissem Ase valorem Numeri, signum enim est quaesitos A D. DB. aequales esse. O terimi quia Diophantus ut iam monui ad definitionem undecimam, peculiari utens methodo. α nunquam a hibens parabolismum aequationes re luit , quomodo id perficiat iam docendum est.
Ducito numerum Quadratorum in unitates, producto adde quadratum semissis Numeroium in prima di secunda re uia. vel ab eodem quadrato aufer idem productum in tertia regula. Summae vel rendiri cape latus ; de huic adde vel adime semissem Numerorum in prima vel secunda regula. Contra semissi numerorum adde vel adimeidem latus iii tertia regula. Summam vcl residuum diuide per numerum quadratorum, fiet valor Numeri.
Verbi gratia 3 eto N. sint aequales N. ducito 3. in n. fit 3s6. cui adde r . quadratum s missis Nun erorum, fit 2y6. euius latus Ict unde si auferas Io. remanet 6. quo diuis O per 3. fit a. valor Numeri, eadenique est aliarum regularum ratio. Differt Ergo Diophantaea methodus a communi in hoc soliim, quod in communi diuisio per numerum Q ratorum sit ab initio, in Diophantaea me hodo, eadem diuisio fit in fine. Sed demonstrandum in utramque methodum eodem recidere.
sit enim A numerus quadrator uni, B numerus Numerorum, de unitatum. Tunc per Diophat
tram methodum ducto A in C. sat D. sumptoque Et emisse ipsius B. eius qua diatus F addatur ad D. & fiat G. euius latus esto H. unde auferendo Esupersit Deinde per communem methodum diuidandur per A. ipsi A. B. C. unde fiant xnitas M. Ee numeri N. P. sumptoque m semisse ipsius N. eius quatit tus R. addatur ad P. & fiat Τ. cuius latus esto V. vnde ablato Q. suseisit A 3. B3o. C72. X. Erit ergo ut demonstratum est in prima regula, X. valor numeri. Dico Mi. N Io. I'. aq- si A diuidatur produci eundem M valorem Numeri. Sumatur enhai L quadratus ipsius A. Quoniam ergo M. est unitas, erunt continuε pi H py 49 portionale, L Α M. in ratione cuius denominator est A, N rationis ipsius .L. Lia. λα- V7. denominator erit L. Cum autem idem A. ductus in P Ze in C. producat C & D erit D ad C ut C ad P. & ipsi D C P. erunt proportionales ipsis L A M. eritque Dad P. ut L. ad M. Qii re ex L in P. fiet D. Quia etiam A ducius in N. Acit B, erit B ad No ut A ad M. Quare &dimidium L ad dimidium QArit ut A. ad M. Quamobrem & quadratus F.ad quadratum crit ut L ad M. Igitur ut F ad R. ita est D ad P. Qu re de ' antecedentes simul, puta G. ad consequentes simul, pura ad T. erunt ut L ad M. Ergo rursus latus H. ad latus V. erit ut Auid M. Itaque curn oste illiini sit esse quoque Radinvi A.ad M.erit ut totus H.ad totum V.ita ablatus Ead ablatum Q Quere de reliquus Κ ad reliquum X etit quoque ut A ad M. Quamobrem diuiso K per Α pr dibit X. Quod demonstrandum erat. Eadem prorsus ratione, idem euenire ostendetur in secunda regula. Nam omnia eodem modo perficiuntiit, nisi quod in fine fit additio loco substractionis. Vt in communi methodo, addatur Q ad V. sct Z valor Numeri. Itaque in Diophantaea methodo addatur E ad H& fiat Y. di eo si Y diuidatur per A. prodire cundem valorem Numeri T. Cum enim ut ostensum est sit H ad V. seueEad Q erunt & antecedentes simul, puta Y ad consequentes simul, puta ad Z in eadem ratione, quae eadem est cum ratione A ad M. inamobrem diuiso Y. per A, orietur Z. Quod erat Osten
Non disi mili ratione ostendetur utramque methodum conuenire in tertia regula. Sit enim Aquadratorum imi nerus& B unitatum, de C numerorum. Tunc per Diophantaeain methodum ducto A in B fiat D. de semissis ipsius C. esto Ecuius quadratus Funde auferendo D. su rsit G. cuius latus quo de:racto ex E supersiit Κ, de eodem H addito ad eundem E fiat Y. Deinde pet communem
methodum dividantur per Aipsi ABC. de fiant M N P.& ipsius P semissis esto ' uius quadratus R, unde auferendo N. supersi T. euius latus V. quo detracto 2 Q supersit X, & eodem V ad Oddito fiat Z. Erit igitur valor Numeri tam x μ D x44 Lis -Z. Dieo itaque si ipsi K. Y. per A dividantur prodire eosdem XL N a sumpto L quadrato ipsius Α, rursus ut prius ostendemus esse L ad M ut D ad Mia 6 sed N est C ad Ρ ut Α ad M. ergo rursus semissis E ad semissem est vi A ad M.
17. sepimi Q. septimi. I. septi
173쪽
- - ,- brem & reliquus G ad reliquum T est ut Lad M, ae proinde &latus H ad latuiti s Vest ut A ad M seu ut E ad-Itaque cum sit E ad sibi H ad V. siue addantur tu Z V 3- λ u E. itemque siue detrahatur H ex E itemque V ex in erit rursus composito
at epimi. riam Y&Z, ' Itemque residuorum Κ&X eadem ratio quae A ad M. Quare si ipsi Y &Κ dividant ut per A orientur ipsi E&X. Quod demonstrandum erat. Eου his tribus modis absoluendi regulas com sitas, eum seliget peritus logista, quem compendiosiorem iudicabit. Sane si parabolismus citra fractiones fieri possit, communem praestat amplecti methodum, sinsecus, Diophan a compendiosior est. In utraque porro si numerus Numerorum sit impar, Nonij methodum adhibere iuvabit, nam ea commode aptari potest, non minus Diophantinae quam communi, Vt si 3 7 N. aequentur a6. ducto xin 26. fit 78. N quia num rorum Numerus est impar sumo eius quadratum eui addo quadruplum ipsius 78. puta 3ia. fitque 36i. cuius latus iv. unde si auferas 7. superest Ia. quo diuiso per numerum quadratorum 3. fit 4 valor numeri duplicati, ac proinde ipse Numerus est a. vel si placet diuidera. per duplum numeri quadratorum , nimirum pet 6. set statim vasot Numeri a. sed de his satis.
Quoniam vero quaerendo duos numeros quorum sumina, vel summa quadratorum, vel inte uallum , vel interuallum quadratorum,aut productum multi Plicationis data sint diuersim δ,multae
aliae non inelegantes quaestiones seri possunt, quas omini Diophantus, libet hie earum no nulla, subiicere , in quibus nobis non erit magnoper E cauendum, ne in regulas compositas aequatio deuoluatur, cum illae iam nobis sint familiares, dum per eonditiones adiecti, limotescat, an ianumeris rationalibus solutio contingat.
Quaeriuitur duo numeri, ut summa quadratorum ab iis ortorum , & productus eorum multiplicatione sint quales poscimur. Oportet autem, siue addatur, siue adimatur , summae quadratorum, duplum producti, fieri utrimque quadratum.
Esto fiamma quadratorum 3 . productum multiplicationis is. si placet per reductionem ad aliis serantis, quaestiones , ista variis modis solui potest. Quia enim summa quadratorum adscito duplo producti, aequatur quadrato summae numerorum.' At summa quadratorum multata duplo producti, relinquit quadratum interualli numerorum ; si ad 3 addas 3α fiet 6 quadratus summae. Quare ipsa summala s. Item si 1 3 . auferas 3o. remanet quadratus interualli. Mare ipsum interuilium est a. Iam ergo per quatuor quaestiones inueniri possunt quaesiti numeri. Primo per trigesimam ouaerendo duos
numeros quorum summa 8. productum is. Secundo per trigesinam primam quaerendo duos num ros quorum summa 8. & summa quadratorum 3 . Tertio per trigesimam tertiam quaerendo duos numeros, quorum interuallum a. productum tr. Qiarto denique per primam quaerendo duos numeros, quorum summa 8. interuallum a. Sed si peeuliari operatione rem absoluere placeat. Ponatur interuallum quadratorum 2. N. erunt
ipsi quadrati r7 - IN.& i7 -- I N. quorum mutuo ductu fit 289- ι aequale quadrato producti Is. nempe 22s. Quare tandem 6 . aequamur I Q fit x N. 8. Ad positiones sunt ouaesiti quadrati 2I.&ς. quorum lateras.&3. sunt quaesiti numeri. Hinc etiam Canonem formare licet. A si ato se misi summa qua aurum vi fer quadratum nodi ι. restaru iatro adustum'ade tum se Usu a quadratorum, ipsi exhibebit quadratos.
Inueniantur duo numeri, quorum interuallum, & summa quadratorum ab ipsis ortorum, sint quales poscimur. Oportet autem duplum sumniae quadratorum multatum quadrato interualli, relinquere quadratum.
Esto interuallum 6. summa quadratorum 68. si per reductionem, quaestionem propositam soluere libet. 'Quia duplum summae quadratorum, aequatur quadrato summae numerorum, & quadrato interualli, a duplo ipsius M. nempe a r36. auset quadratum ipsius 6. nempe 36. remanet I . cuius latus Io. est summa numerorum. Iam ergo soluetur quaestio per trigesimam primam, quaerendo duos numeros quorum summa io. & summa quadratorum 68. & rursus per primam qu rendo duos numeros, quorum summa Io. interuallum 6. sed si peculiari est utendum operatione id ita fiet. Cum interuallum praescribatur 6. Ponatur alter numerorum 3 --I N. alteri N-3. set
summa quadratorum i8-a qualis 68. re fit i N. s. & sunt quaesiti numeri s. & 2. Hinc
etiam Canon formabitur. Dimid umquadrati inte Iliausera summa quadratorum, residui semissis latus addisum cstadem rum semis intemata quassos numeros exhibebit.
sane Canon prorsus conuenit eum sexta secundi potismatum, ut manifestum est.
174쪽
II AEsTIO TERTIA. Inueniantur duo numeri, quorum interuallum, de interuallum quadratorum ab ipsis
ortorum datos conficiant numeros. Oportet autem quadratum interualli numerorum minorem esse interuallo quadratorum.
Sit interuallum nuinctorum 6. interualluin quadratorum 6α si libet uti rediictione. ' Qim ex . interuallo numerorum in lummam eorundem, fit interuallum quadratorum , diuidelido εα per 5. 'ruotiens io. erit summa numerorum. Igitur soluetur quaestio per trigesimam secundam quaerendo uos numeros, quorum summa Io. interuallum quadratorum μ. Rurius ibi uetur per primam quaerendo duos numeros quorum summa Io. interuallum 6. Sed si peculiarem requiras operationem Pone minorem qua itorum I N. mo maior I N. -- 6. interuallum quadratorum est 36 -- ia N.
quod aequatur clo.&fiti. N. a. minor numerus. Vel, Pone maiorem I N. erit minor IN. 6. In teruallum quadratorum est Ia N. -36. quod aequatur 6o. & fit IN. 8. maior numerus. Hi ne istinmatur Canoru
s rarum intermitti miserisivim πι- ct adime inter cis p dratorum, imam ct residus dimis per duplum interualli miserorinn, prodibunt φυμι m-σι. Aliter etiam ino minor IN -et maior i N H. interuallum quadratoriam ra N. aequale G. Quare fit i N. s. & sunt numeri ut prius a. & 8. Hinc etiam Canon alius tarmati potest. Diuide ιnim Πι - quadratorum per duplum intemata mir esertim , adda ct assimese fi
Inueniantur duo numeri, ut productus eorum multiplicatione , & intentalium quadratorum ab ipsis ortorum, sint quales PQscimur. Oportet autum quadratum dupli producti additum quadrato interualli quadratorum , essicere quadratum, cuius lateri liue addatur sue adimatur duplum producti, sat quadratus.
Esto productus 11. interuallum quadratorum Is. Ponatur summa quadratorum I N. Ergo si id datur ei duplum producti , fiet I N. - - 3o. aequale quadrato summae numerisum: & si ab i N. auia siti. stratur idem duplum producti N. ' ficet I N. -3o. aequale quadrato interuli numerorum. Porro cuia ex interuallo numerorum in sumniam ipsorum fit interuallum quadratorum, patet ex qua- 4. a. mi drato interualli numerorum in quadratum summae, fieri quadratum interualli quadratorum. Qua in rem ex I N. F. in I N. 3o. Productus i Q - . quadrato ipsius 16. nempe as6. N fit I N. 34. summa quadratorum. Reducetur ergo iam quxilio ad primam illarum quaerendo duos numeros , quorum Productum Is. summa quadratorum ἶ . Vel etiam ex summa quadratorum 3 d: interuallo ipsorum i 6. reperientur sigillatim ipsi quadrati as. &9. per prunam huius libri,
Aliter etiam, Z: facilius institui potest operatio , N alia quoque conditio P scribi. nimirum. Oportet quadratum producti additum quadrato semissis interualli quadratorum facere quadratum. cuius lateti siue addatur siue adimatur semissis interualli quadratorum, fiat item quadratus. Ponatur quadratorum alter I N. - 8. alter I N. - 8. Sic enim est eorum interuallum i6. Igitur eum ex qu Latotum mutuo ductu fiat quadratus plani sub lateribus, ex I N. -- 8. in I N- 8. fiet i in- M. aequale quadrato producti is. nempe ars. & fit i N. 17. suntque quadrati quaesiti as. α ς. unde de ipsa latera s. N a. noscuntur. Hine elicietur huiusmodi Canon. Harum producti adde quadratosemissis amemam dratorum , summa tatera adde ct ad mafram m inteream p adratori , sient quadratι qua rem mmmerorum.
Inuenire duos numeros, quorum summa, & aggregatum ex producto multiplicationis & ex summa quadratorum, datos conficiant numeros. Oportet autem qu druplurn aggregati ex producto multiplicationis, & ex summa quadratorum mul- tum triplo quadrati sumniae, relinquere quadratum.
Esto summa Io. aggregatum ex producto N ex summa quadratorum 76. Esto alter numerorum xx N. alter s. - IN. erit summa quadratorum so -- 2 Iroductum multiplicationis as Crso aggregatum horum erit 73 - 1 in aequale 76. & fit IN. I. sunt ergo qi siti numeri 6. N mHine tarmatur iste Canon. - -
175쪽
Ab a Pregato ex umma quadrator cir ex proἀucto multiplicatismi μ' , dodrant misisti summae, residias latus aditumina emptumst missi summa, iabit numeros. Vel quod idein est. ,- Mirupis arare arim fer triptam ιν rati summa, rabidui titiis adritum Ur aimptum sessumma, pra Aebit Flum m sitorum nu-urarum. si per reductionem velisnoc problema soluere. ' Quoniam quadratus summae aequatur sumitiae quadratorum & duplo producit, ii a 'uadrato summae ioo. auferas s. compositum ex sinima quadratorum & ex proau seinci, re iduum et . Muabitur producto. Iam ergo tripliciis ier redueetur quaestio. Primo ad togesimam quaerendo duos numeros quorum stimimaro. productum multiplicationis et . seeundo ad trigesimani primam quaerendo duos numeros quorum summa io. & summa quadratorum sa. nam cognito p ducto et . cognoscitur & summa quadratorumali redo a .dem. Tertio ad primam istarum quaerendo duos numeros quorum productum et summa quadratorum T.
II AESTIO SEX T A. . Dato aggregato ex sumnia quadratorum, & ex producto multiplicationis, dato
que altero e duobus numeris, alterum inuenire. Oportet autem datum aggregaram miliatum dodrante quadrati dati numeri, relinquere quadratum.
IUAESTIO SEPτIMAE iuueniantur duo numeri, ut summa quadratorum, &compostum ex summa nu-nierorum , & ex producto multiplicationis , datos conficiant numeros. oportet autem duplum huius compositi unitate auctum , additum summae quadratorum, eff-cere qu dratum, cui proxime minor quadratus, ablatus a duplo summae quadr
eorum relinquat etiam quadratum. Sit lumma quadri tortam 3 . Compositum ex semma numerorum ,& ex producto multipliciti .nis fit 2υ Donatur summa numeroriim i N. ero productum est 23-i N. cuius duplum a m quo addito summae quadratorum 3 fit go. - a N. aequale quadrato summae i in& tandem t - 1 N. a uamur M. quae est prima compositarum, &fiti N. 8. summa scilicet numerorum. Quare produmini multiplicationis estis. Itaque iam reducetur quaestio ad tres alias. Primo ad tri- gelimam quaerendo duos numeros quorum summa g. productum I s. secundo ad trigesimam pri- nam quaerendo duos numeros quorum summa 8. & summa quadratorum 3 . tertio ad primam istarum, qua rendo duos numeros quorum productiim I s. summa quadratorum 3 .dc Omnibus modis inuenientur quaesiti numeri 3. et s. Hinc fiet Canon.
Summa φωdratorum adde duplum composita ex pumma numerorum ct exprodum, unitate auctum Auregata latus unitate multatum , erit summa Ammerorum.
Porro hic te in sequentibus per quadratum proxime minorem , intelligo illum cuius latus descit unitate a latere quadrati cuius sit mentio.
Inueniantur diuo numeri, ut productum multiplicationis eorum, &compositum ex simiama numerorum, & ex summa quadratorum datos conficiant numeros. oportet autem octuplum producti unitate auctum, additum quadruplo compositi conficere quadratum, cui proxime minor quadratus multatus sedecuplo producti re, linquat quadratum.
Esto productum 6. Compositum ex summa numeronim Ac quadratorum I 8. Ponatur summa ni merorum l N. ergo summa quadratorum I 8 I N. cui addendo ra. duplum producti fiet 3o. I N. ae litatis 'uadrato simitiae numerorum , puta I auare i i N. aequatur 3o. & fit i summa scilieet quaesitorum numerorum. Quamobrem lumina quadratorum est 13. Itaque iam Iicet ad tres alias quaestionem hane reuocate, sicut di praecedentem,nimirum ad trigesimam primam.
176쪽
& primam istarum. Inuenienturque quaesiti numeri, Hinc formatur huiusmodi Canon. mposivi adde octi plum prodiit unitate militam, auru ui iatua unitiue nus litium eril plum semura mineroraran.
Inuenire duos numeros, quorum summa, & compositum ex eorum interuallo, de ex summa quadratorum, datos conficiant numeros. Oportet autem vi a dato composito auferendo semissem quadrati summae, residui duplum unitate auctum iaciat
quadratum. Esto summa 8.Compositum ex interii alio numerorum, Ze ex summa quadratorum s6. Ponatur minor -i N. maior - - 1 N. horrum inter ustis est a N. summa quadratorum 32 -- a 3a a N. -- 2 in aequantur s6. & tandem 2 Q -- a N. sunt aequales et .vnde fit i N. 3. semissis interuall, ipsum ergo interuallum est 6 summa quadratorum so. Itaque iam ad tres alias reuocabitur quaestio. Primo ad primam quaerendo duos numeros, quorum summa 8. interuallum 6. Secundo ad trigesimam primam quaerendo duos numeros, quorum summa L lumina quadratorum so. Tertio ad secundam istarum quaerendo duos numeros, quorum interuallum 6. summa quadratorum Io. α omnibus modis inuenientur quaesiti numeri i & . Hinc etiam elicitur facilis Canon. Aufer a dato composito semissem quadrati summa adue unitatem, siet εὐῶπιπι Ποπι
Inuenire duos ii ciuici xu interuatium 3psorum, Ui P m ex sumina numerorum de ex summa quadratorum datos conficiant numeros. Oportet autem - duro
composito auferendo semis leni quadrati uiterualli, residui duplum unitate auictum
saciat quadratum. - - Esto interitalium'. eo ostiam summis numero im&quadratoriimm Poriatur summa nu. metorum a N. ergo summa quadratorum erit 1s a N. ipsa vero numesi IN -3. dei N. 3. Vt eorum interuallum maneat 6. Fiet autem summa quadratorum a - ' sed iam erat 18 - a MIeitur ἄ- a N. aequantur a Q. - 18. de tandem a a N. aequantur qo. Ecfit IN. . simillis summae numerorum. Est si imma ergo numeror im8. oc summa quadratorum yo. Quaterii Suste uocabitur quasio ad eat dena tres ad qu 3 praecedens reduci ostensa est, Se iiivenientur quaesiti nume itide r. fiet etiam Canon H. cI I 3 re a dato eamposita semissem mini auri, restra Dprum vn te auctum ἐν iuratiustet, cuius Drara unitate mutatum erit μ a numm Vn.
Non adiicitur Ilic alia huiusnodi quaestio.
iii Dei IE citi, Algebrani solui potest. Sit enim summa quadratorum so. compositum ex summa numeroriam, de ex eorum irateruallo M. Patet per Canonem primae libri huius, vel per visesimam tertiani primi potistit. 14. esse duplum maioris numeri. Quare ipse maior numerus est 7. eurus P dratum 49. si auteras ,1o. remanet t. quadratus minoris.
Inuenire duos numeros, quorum summa , & aggregatum ex producto multiplicationis Sc ex interuallo ipsorum datos conficiant numeros. Oportet autem ut excessus quadrati semissis summae super aggregatum, unitate auditis conficiat quadratum. Vel ut excessus aggregati super quadratum semissis summae , ab unitate detractiis, relinquat quadratum.
Esto primum summa numerorum 36. aggregatum ex producto de interuallo s6. Ponatur interuallum a N. ergo productum crit 35. - a N. ipii vero numeri 8 -- I N.&8 -IN. quorum produ- fit o -I Q equale F6 - a N. de tandem a N. -- 8. a quantur i in unde fit i N. 4. semissis interualli, ac proinde ipsum interuallum est L productum Itaque iam reducetur qliaestio ad primam, cum summa fit 16. interuallum 8. vel ad trigesimam, eum summa sit 16. productiim εῖ. vel ad trigesii Iam tertiam , cum interuallum sit 8. productum R dc inuenientur numeri M o. Deinde esto summa ἱ aggregatum ex producto de interuallo l. Posito ut prius interuallo a
177쪽
N. erit productum a N.ipsveth numeri A 'I N. re -N.i quorum procluebi aequale : a N. Stand I Q - .ra quantur a. N. SsitI. N. et semisss interii alli, ergo sum interuallum est productum item & Per qx stiones septi, citatas reperientur quaesiti numeri ε Hine fit iste Canon. Atifer a .r dratosemis fini a Graim aggregat , residium unitate section es p ratiis. MLitus unitate ininum est semidis interuam Ammeroraran. Vet. sum a iato aggregato p .iaratum semissis ima , resitram ab unitate detractum restipui 1 - . aratum, cuius iatus Giractum ab unit.ue est ista raric Ei numeremim.
Inuenire duos numeros, quorum interuallum, & aggregatum ex summai, de ex producto ipsorum, datos faciant numeros. Oportet autem ut quadrato semissis in-eeritalli ad datum aggregatum unitate auctum adiecto, fiat quadratus.
Esto interuallum 8. aggregatum ex summa de producto 32. Ponatur summa a N. ergo productum telinquetur 32-a N. ipti autem numeri erunt 1 N. - Α & I N. - q. quorum productum x6. aequatur 32. - a N. de tandem a N. aequatur 48. Ac fit I N. 6. semistis summae. Ipsa ergo summa est i a. productum zo. Soluetur igitur quaestio per easdem per quas superior, de inuenientur quasiti numeri a de io. de fiet Canon. uadrara semissi in m alti adde dat aggregaraim unitate auctum, fu p rari s ciam ianuum tale mutiatum erιt sem Asumma mouerorum. H e etiam non subiicitur huiusmodi quaestio. Imunire duos mimuros, quom productum, O a rre atum ex summa ipsorum ct interuam, -
Etenim nid . . minio absque Algebra soluit r. Esto productum 8. aggregatum sumniae&. iii u li patet per Ononem primae huius, vel per vigesimam tertiam p. i potita. 24. esse d sum maioris numen. Est ergo maior Ia. per quem si diuidas Q. fit minor
Inuenire duos numeros, quorum summa, & agmegatum ex producto multiplicationis, & ex interuallo quadratorum datos conficiant numeros. Oportet autem ut a quintuplo quadrati semissis summae auferendo datum aggregatum , supersit
quadratus. Esto sumi ita aggregatum ex producto dedit interuallo quadratorum ris. Ponatur minori N. maior ra- I N.interuallum quadratorum erit I- - 2 N. productum vero Ia N. - I Q Aliae iiii faciunt i -ia N. I Q qualia II6. de tandem I Q. - Ia N. aequantur 28 3 fit IN. a. minor numerus. Ergo maior in io. Hinc sormatur Canon. A mmi vis quastati semissis μην- aufer Limn aggregatum, remanebit quadrasso cuius iatus multatum semisse summa, minorem exhibet numerum. Hie videntur desiderari duae quaestiones quibus quaeriint ut duo numeri dato producto, M aggregato ex summa numerorum, de ex interia allo quadratorum. Vel dato interuallo quadrato d aggregato ex summa numerorum 8c ex producto. Sed quia resolui non possitnt per regulas Ale brae periecte Canonicas, quandoquidem incidunt in aequationes in quibus duae species duiuus speciebus aequales reperiuntur, non possunthia commode tractari. Qua de causa nonnullas etiam alias omisimus eiusdena naturae.
Inuenire duos numeros, quorum summa, & aggregatum ex interuallis numerorum & quadratorum, datos conficiant numeros. Oportet autem aggregatum interitallorum esse minus quadrato summae aucto sito latere.
Esto summa ro. aggregatum interuallorum 63. Ponatur interuallum Numerorum 2. N. erunt ipsi s - I N. de s --i N. quadratorum interuallum fiet zo. N. aequale - a N. de fit I N. a. se missis interiisti, quare quaesiti numeri sunt a. de r. Hinc fit Canon. Divide aggregatum interuarurum per duplumsu na binario auctum, orietur semissis interua i
Reducitur ergo ad primam vel ad trigesimam secundam Diophanti, vel ad tertiam harum. Ali
178쪽
ter ponatur alicr numerorum IN. alter io IN. set aggregatum interualli numerorum & quadratoriami Io - 22 N. vel 22 N. -IIo. prout IN. nunc maior nunc minor stituetur. Igitur Ho - 22. N. aequantur fit I N. 3. minor numerus. Vel 22. N -Ho. aequantur 44.&fit I. N. 7. maior numerus. Hinc etiam fici Canon.
summae his Diere auet. a. is vel ad me agogatum interuallorum: Fimmam, ct residuam diuide per duplum ma binaria auctum, orientur quassi numera.
Inuenire duos numeros, quorum interuallum, &aggregatum ex summa ipsbrum,& ex interuallo quadratorum, datos consciant numeros. Oportet aut m datum aegregatum maius elle interualli quadrato audio sito latere.
Esto interuallum . aggregatum ex lumma numerorum, & ex interuallo quadratorum so. Ponatur alteri N. alter iN - - q. fiet aggregatum ex lumina nutrietor uni S interuallo quadratorum io. N-ro aequale D . vade fit i N. 3. minor numerus. Quod si ponatur maior i N. minor I N. --Α. fient io N-2oxqi: lia so. unde erit I N. 7. maior numerus. Hinc tormatur Canon. Dato et regaro ad e vel ad me intervalli quadratum auctum sis iarere, summam H -- Laida per plumini eruam auctum binario, ementur , quaesiit numeri. Aliter etiam fiet peratio posita sumina a N. & ipsis numeris i N -s. N i N - s. ut tibi considerandum relinquo. Hic quoque praeter initio quaestionem de imi eniendis duobus numeris dato inte uallo quadratorum, de aggregato ex lumina& interuallo numerorum, nam soluit ut absque Algebra.
VAESTIO DECIMA SEXTA. Inueniantur duo numeri, ut summa quadratorum, Se aggregatum ex interuallo numerorum, & ex producto multiplicationis datos conficiant numeros. Oportet autem ut si a summa quadratorum auferatur duplum dati aggregati unitate multatum,
remaneat quadnatus. Esto summa quadratorum sq. aggregatum interualli & producti as. Ponatur interuallum I N. erit ergo producit may-I N. Sed alumina quadratoriim 18. auferendo quadratum interuallit residuum 18- i induplum est producti. Ergo 18 - I Q quatur so -2N.& fit i N. . interuallum numerorum . productum ergo cit a I. Itaque iam reducetur quaestio vel ad trigesimam tertiam Di phanti, vel ad primam , vel ad secundam harum, & inuenientur quaesiti numeri 3. & 7. Adueriendum autem fieri posse ut summa quadratorum sit minor duplo aggregati. Quo casu siepraescribenda erit conditio. Oportet ut sumniam quadratorum auferendo a duplo aggregati, restiaduuin ab unitate detractum, relinquat quadratum. Et pro utroque easti Canon formabitur. A summa quadratorum Mufer dupiatu aggregatι, res Num unitate auctum g dratus erit, o
Vel in alio casu. A dum aggregati aufer summam quadratorum, residuum unitate rit ractum retinquet quadrati , cui uiatus ab unitate detractum , erit interuallum numerorum.
Inuenire duos numeros quorum interuallum, de aggregatum ex producto de ex summa quadratorvin datos conficiant numeros. ortet autem ut si ab aggregato au- sc thir quadratus sentisiis interualli, residui triens sit quadratus.
Esto interuallum . . ng regatum ex producto de ex summa quadratorum Pet lotam reductionem tolui polost ii altio hae arte. ' Quia summa quadratorum continet duplum producti & qua i. t. C. dratum intcri alli, ratct 7'. continere ter productum &semel quadratum interualli. Quare si inde auseratur I6. quadratus micrualli, residuum cly efit triplum producti , erit ergo productum ar. summa qua iratorum 18. Quare multis modis reducetur qliaestio, ut manifestum est. Aliter ponatui summa Numeromnia N. erro ipsi numeri sunt I N. - 2 & I N. - 2. a egatum ex summa quadratorum oc ex proditis o est 3 aequale o. unde sit 1 N. s. semissis tum mae. Quare ipsa summa Io. ex qua& interitatio per Primam huius libri noscuntur numeri 3. & 7. Canon.
Aufer ab agri Cato qnadriumsemisi inteream, residui triens est quadratus femi si summa mι-
179쪽
Inuenire duos ii umeros,ut productum nullii plicationis & aggregatum ex interuallo ipsorum, &ex si inania quadratorum datos conficiant numeros. Oportet autem ut
quadruplum excelsus aggregati supra duplum producti, adscita unitate faciat quadratum. Esto productum et r. aggregatum ex interuallo numerorum ,& ex summa quadratorum 62. Ponatur interuallum numerorum a N. erit ergo summa quadratorum 6a - a N. unde si auseratur quadratus interualli, nimirum residuum 6a - a N. - 4 inaequatur duplo producti, hoc est viii 4 p. p is talibus a. Qitare tandem Q -- a N. aequalitur zo. & iit i Na. semissis interualli numerorum. Quare ipsum intem alluiti est . iii initia quadratorum Itaque reducitur quaestio ad tri simam tertiam Diophanti. Vel ad primam istarum, vel ad secundam, & inueniuntur quaesiti nuineri . Hine etiam fit Canon. exossus supra duplum pro uecti adde unitatem, siet quadratus emus iatus
unitate multatum a piam est inter ut nurnerorum.
Inuenire duos numeros, ut summa quadratorum S aggregatum ex producto, &ex interuallo quadratorum datos conficiant numeros. Oportet autem ut quintuplum interualli quadratorum ortorum a data summa, &a dato aggregato, additum vel ademptum quadrato aggregati summam vel residuum saciat quadratum.
Esto summa quadratorum 18. aggrepatum ex producto , S ex interuallo numerorum 6 r. Ponatur moductunt i N. Igitur eius duplo addito ad summam quadratorum, ' fit a N. quadratus secutiat. sumniae numerorum. At eodem duplo detracto ab eadem summa quadratorum, ' remanet 18 - et . . a. per . quadratus interualli numerorum. Quoniam igitur ex summa numerorum in eorum interia lum, i. is Q interuallum quadratorum; utique ex q adlato summae numerorum in quadratum interualli e rum, set quadratus interualli quadratorum. Igitur ex 18. 2 N. in s8 a. N. fiet 3364. - aequalis quadrato ipsius 6i-l N. nimirum 372r. -- I Q Iaa N.&tandem 317 aequabuntur Iaa N. & fiet i N. et t. productum scilicet. Ergo litteruallum quadratorum erit M. unde licet varix uti reductione ,& inuenire qiuaesitos numeros 3. &7. Aecidit autem ut data se in manunc minor sit, nune vero maior dato aggregato, ut in superiore exemplo minor extitit, sed in sequente maior est. Esto summa quadratorum 3 . Aggregatum ex producta & ex interuallo quadratorum ri. eodem utentes ductu inveniemus tandem 62 N. aequales sin& set i N. I s. productum scilicet,unde interuallum q iadratorum est i6. & ipsi quadrati M. & 9. Hine elicitur Canon. Quintuprum excessus να aerari a dio aggregato si per ιν dratum a data summa, aufer a quadrato aggregati , residui iatur adue aguregaro, summa quinta pars erit Protactum. Vet. ni viam Greor quadrati a data summa super quaaratum a dato auregato, adde quadrato aggregati, summa Dius adde ag regato , compositi quinta patrs erit produm . Aduertendum porro, ut omnino solutio sit rationalis, praeter appositam conditionem, necesse esse vi in ento interiralio quadratorum, id ademptum vel additum iuniuiae quadratorum, summam& residuum faciat quadratum.
Inuenire duos numeros ut interuallum quadratorum , & aggregatum ex summa quadratorum , de ex producto datos conficiant numeros. Oportet autem ut triplum eae cessus quadrati a dato aggregato super quadratum a dato interuallo , additum quadrato aggregati ciliciat quadratum, cuius latus multatum eodem aggregato, numerum relinquat cuius triens additum rursus eidem aggregato, faciat quadratum.
Esto interuallum quadratorum 4o. Aggregatum ex summa quadratorum, & ex producto 79. p esto prodilinum i N. ergo summa quadratorum 79 - I N. unde auferendo duplum producti, residuuin 70-3 N. est quadratus interualli numerorum. Sed etiamsi ad 79 addatur productum et N. fit 9- i N. quadratus summae numerorum. Ugitur cum ex summa numcrorum in eorum
180쪽
interii allum fiat uiteruallum quadratorum, utique in quadrato sunt x 79 I N.in quadratum in- . t et ualli 79--3N. fiet 62 I-- is3 N -3 quale quiarato interualli quadratorum, nuntium 16 .& tandem 6 I. aequalitur 3 --.118 N. oclit Nai. productum. Pur reductionein ad piaecedentes regula, soluitur quaeitio. Hinc fiet Carrubii. Triptam exeosin quia ii ab super Θdratum ab interuallo, Me ni ινι drato aggra-gara ; asi a iatere au ιθ ιuem aggregatum , resimi triens erit m Ilipticatianis. Alia quaestio qua quaeruntur numeri dato producto, & aggregato ex sumnia α interuallo quadratorum facilis eit, di iialuitur abique algebra.
Ouaeruntur duo numeri, ut aggregatum ex interuallis numerorum & quadrato rum, itemque aggregatum ex si animi, numerorum & quadratorum datos conficiant numeros. Oportet autem siue aggregatum interuallorum addatur aggregato summatum, siue adimatur, duplum sui laniae de residui addita unitate fieri utrimque quadratum. Esto aggrePtum interuallorum I . aggregatum summarumas. Quoniam ' igitur addendo interualluin numerorum summae numerorum, hi duplum maioris numeri, Λ addendo interuallum quadratoi un summae quadratorum, fit duplum maioris quadrati, patet addito i . ad 26. summam M. continerebra maiorem numerum,& bis eius quadratum. Ergo ao. est maior numerus & eius ouadratus. Ponatur maior numerus i N. crit eius quadratus i in Igitur I I N. aequatur 2O. itque i N. 4. maior numerus. Eadem ratione auferendo I . deas. residuum Ia. est duplum minoris numeri & eius quadrati. Quare 6. est minor numerus de eius quadratus. Positis ergo minore numero I N. fiet 6. aequalis I --I N. N erit IN. a. minor numerus. Hinc formatur Canon.
Inuenire duos numeros, ut aggregatum ex summa ipsorum, & ex interuallo quadratorum , itemque aggregatum ex fulmina quadratorum, & ex interuallo numerorum datos iaciant numeros. Oportet autem ut duplum summae aggregatorum addita viaitate faciat quacratum. Et ut duplum interualli eorundem vel additum unitati, vel detractum ab unitate faciat quadratum.
Esto prius aggregatum IS Posterius 2a. Patet ob rationem allatam in praecedente horum summam M. esse duplum maioris numeri & quadrati ipsius. Quare ut supra inuenietur maior numerus 'Quia vero auferendo ig. de 22. superest 4. Patet q. esse duplum minoris quadrati minus duplo lateris. Quare posito minore numero I N. duplum minoris quadrati erit ε - 2 N. Qii re 2 - . I N. aequant ut i &fit IN. 2. Sed ello prius aggregatum 2o t. Posterius 39. l. Quia horum summa est quoque M. erit inaiornametus ut prius. Sed quia prius aggregatum excedit nosterius, erit horum interuallum t duplum minotis numeri, minus duplo sui quadrati. Quare pomo minore numero i N. fient ς - - a Q. aequalia a N. vnde erit i N. ἰ vel ἰ Et utrumqne sati,facit proposito. Hinc fit Canon. Duplum summa aggregatorem unitate auctum' quadrat vi , cuius iatia unitatemhatum es δε- iam maioris Dieris , O Dp n excessio posterioris aure ali super prius aggregatum : ad tavnitate quadratin sit , cuius iatus νnitina auctum es duplum minoris Iaseris. At δε- plum excessus prioris a fregati s Hr posteriar ateruatum, istratilum ab unitate ιν adratum retinermi, cuius iatus a tum ct aismptu semisonitatis, utroque modo exhibet dulum mi
Sed Naduertendum est, si unum a regatum alteri sit aequale, tunc minorem numerum esse semper unitatem Vt iaci id est demo arri
Inuenire duos numeros ut prodi actum ex interuallo numerorum in interuallum quadratorum, & productum ex summa numerorum in summam quadratorum datos conficiant numeros. Oportet autem duplum posterioris producti multatum priore
producto, relinquere cubum, ita ut per eius latus diuidendo prius productum, oriatur quadratus. G