장음표시 사용
181쪽
productum ;2. posterius 27a. Ponatur summa numerorum I N. Igitur est summa quadratorum ,& quia ex summa numerorum in interuallum eorundem ' sit interualli im quadratorum , quo rursus ducto in numerorum interuallaim fit 3a. erit quadratus interualli numerorum,' .l is qui si auferatur a duplo summae quadratorum, nimiriim a Pet ' residuum V aequatur quadrato summae numerorum i omnia ducendo in i N. fiunt 1ia aequales I Q & fit i N 8. summa numer rum ,& 34. summa quadratorum, & r. interuallum eorundem. Vnde iacilὰ reperiuntur numeri 3 . di Hinc fit Canon. Auferprius prodestum a Glis posteriaris, residuum sculus surnma numerorum, per quo sidι- κλις prius pratactum ,st quaamatus ιnt alti numerorum.
Inuenire duos numeros ut productum ex summa numerorum in interuallum quadratorum, & productum ex summa quadratorum iii interuallum numerorum, datos conficiant numeros. Oportet autem duplum pollerioris producti multatum priore producto , relinquere cubum, ita ut per eius latus diuidendo prius productum, oriatur quadratus.
Esto prius productum a 28. posterius G. Ponatur interuallum numerorum I N. ergo summa qua dratorum erit a & Ob causam in precedente allatam ps erit quadratus summae numerorum. Itaque r. i. ruris si , duplo summae quadratorum quod est . I auferatur quadratus summae numerorum nimirum ἰώ residuit in si est quadratus interualli numerorum. Qi are L aequatur a Qis omnia iiii N. fiunt 8. aequales I Q est ergo I N a. interuallum numerorum, de summa quadratorum M. & quadratus sutumae numerorum 6 . unde licet variis modis quaestionem soluere, di inuenire quaesitos numeros 3. NyHine fit Canon. Aufer ius proiactum a dupu msterioris , residuo est culus interualli numerorum, ita ' per eius iatus d videndo prius produm m , eruur quadratus su a numerorum.
IN v a Ni R a duos numeros , datam inter se rationem habentes, ut & summa quadratorum ab ipsis, ad summam ip- serum datam habeat rationem. Imperatum sit maiorem minoris esse triplum , summam autem quadratorum 3 summa numerorum esse quincuplam. Ponatur minori N. Maior igitur erit a N. Superest ut summa quadratorum ab ipsis, sum-naae utriusque sit quincupla. Caeterum summa quadratorum ab ipsis ortorum fitio in summa vero ipserum est N. vnde constat lo inquincuplos esse ad 4 N. Quamobrem 2o N. aequantur io α& fiti N. r. Est igitur minora. maior 6. Mquaestioni satisfaciunt. I N ST I O N EM XXXIV.CIRC A hane quaestionem& octo sequentes nulla est dissicultas, nec ampliori indigent expli-eatione. Canones etiam pro qualibet istinari nullo negotio possunt, quod tibi relinquo peragendum. v
182쪽
ipsis ortorum , ad interuallum ipsorum datam habeat rationem. Iniunctum sit maiorem minoris triplum esse s summam autem quadratorum ab ipss ortorum, interualli ipserum est e decuplam. Ponatur minor i N. Maior ergo erit 3 N. Caeterum volo summam quadratorum ab
ipsis, interualli ipserum esse decuplam. Sed summa quadratorum ab ipsis facitio αInteruallunt autem ipsorum a N. Igitur io indeclipti sunt ad , N. sed &:o N. decupli sunt ad a N. Igitur ao N.
IN v v Ni a x duos numeros in data ratione, ut & interua lium quadratorum ab ipsis ortorum , ad summam i, situm datam habeat rationem. Constitutum sit maiorem minoris esse triplum. Interuallum autem quadratorum ab ipsis
simina: ipserum esse sescuplum. Ponatur minor i N. Maior igitur erit 3 N. Superest ut & interuallum quadratorum ab ipsis ortorum summae utriusque sit sescuplum. Sed interuallum quadratorum ab ipsis est 3 QAumma autem numerorum ipse
rum est N. Igitur 8 sescupli sitiit ad
IN v K Ni R a duos numeros in data
ratione , ut etiam interuallium quadratorum ab ipsis ortorum, ad interuallum ipserum datam habeat rationem. Imperatum sit maiorem minoris esse triplum , interuallum quadratorum, interualli numerorum esse duodecuplium. Ponatur rursus minor i N. Maior igitur erit
3N. superest ut & interuallum quadratorum , interualli numerorum si juodecuplum. Sed interuallum quadratorum est 8. in Hoc ergo duodecuplum est ad 2 N.
183쪽
Quamobrem et . N. aequantiir 8 Q fit rursus IN. r. & demonstiatio est manifesta. Similiter hac ipsa ratione initententur duo numeri datam ad inuicem rationem habentes, ut productus ex eorum multiplicatione ad si immam ipserum datam habeat rationem. Et rursus duo numeri datam inter s. rationem habentes,ut pN- ductus ex eorum multiplicatione ad ipserum interuallum datam habeat rationem.
IN v ε N i R E duos numeros in data atione , ut quadratus a minore ortus ad maiorem datam habeat rationem. Iniunctum sit maiorem minoris esse triplum; quadratum autem minoris, esse maioris sescuplum. Ponatur rursis minor i N.
Maior igitur erit 3 N. superest ut de quadratus a minore ortus, sit maioris sescuplus. Sed quadratus minoris est i gitur 1 sescuplus est ad 3 N. Quamobrem i8 N. aequantur 1 in& fit I N. 18. Erit ergo minor i8. Maior 1 . de hi siti iaciunt quaestioni. E TPLIN δύο αὐθμους - λροῦ μ τω δε-
duos numeros in data ratione, ut quadratus minoris adi sum minorem datam habeat rationem. Constitutum sit maiorem minoris esse triplum; Minoris autem quadratum ipsius minoris esse sescuplum. Esto similiter maior 3 N. minor i N. & manet maior minoris triplus. Restat ut minoris quadratus, ipsius minoris sit se ruptus. Quamobrem i insescuplus est ad i N. Proinde 6. N. aequantur i Q fit i N. 6. erit igitur minor 6. Maior i8. & Gluunt quae
N v E Ni R a duos numeros in data ra- Itione, ut quadratus minoris ad summam utriusque datam habeat rationem. Statutum sit maiorem minoris esse triplum; quadratum vero minoris si tomae
utriusque esse duplum. Esto rursiis Maior 3 N. minor i N. Superest ut quadratus a minore Ortus, summae utriusque sit di
184쪽
plus, sed quadratus minoris est i inumina vero utriusque N. Igitur I in triplus est ad N. Quamobrem 8 N. aequales sunt i fit 1 N. 8. Erit igitur minor
8. maior et . Et satisfaciunt quaestioni. η. 6 ἔ υ υ in σων μ' κ. ό 3 micin ti'ae P. καὶ πιοῦ ι ά τῆς eo εως
N v E N i R E duos numeros in ratione data, ut quadratus minoris ad ipserum interuallum datam habeat rationem. Conllituriim sit maiorem minoris esse triplum. adratum autem minoris interualli ipsbrum esse sescupluna. Esto rursas maior 3 N. minor vero i N. Sueerest ut quadratus minoris interualli ipsorumst sescriptus. Igiturr seicii plus est ad: N. Quamobrem irN. aequales sunt is undesti N. ir. Erit ergo minor Iz. maior 36.&fatisfaciunt quaestioni
SI Ma L a r x x ob haec eadem, Inuc-nientur duo numeri in data ratione, ita ut maioris quadratus ad minorem datam habeat rationem. Et rursiis duo numeri in data ratione, ut quadratus maioris ad ipsum maiorem datam habeat rationem. Et similiter duo numeri in data ratione, ut maioris quadratus ad summam utriusque datam habeat rationem. Et adhuc duo numeri in ratione data, ut & maioris quadratus ad interuallum ipsorum datam habeat rationem. νος ποῖς τ- Ἐβοχω αυτωι λογον σχηQVAESTIO XLIII.
DV o n v s datis numeris, alium numerum inuenire , ut ex his tribus bini quique coniuncti , de in reliquum multiplicati , producant tres numeros aequalibus se incrementis superantes. Sint duo dati numeri de s. Scoporteat inuenire alium numerum, ut bini coniuncti , & in reliquum multiplicati producant tres numeros, quorum aequalia sint interualla. Esto quaesitus i N. & si adiiciatur ad s. sit iN. -- s. Quod si multiplicetur in reliquum , nimirum in 3. st qN. - I . Rursus si 1 N. addatur ad 3. sti N. - - r.
185쪽
quod si multiplicetur ita reliquum, pura in s. fit ue N. --i . Denique ii 3. & . coniungantur, S qui coniicitur 8. ducatur in i N. fiunt 8 N. Enimvero 3 N. -- I . non esse trium productorum maximum liquet, maior enim illo est 3 N. -- is. Er-so 3N. - a 3. aut minimus est, aut medius. At 3 N. - - 13. aut maximus cst,
aut medius, Denique 8 N. & maximus,& medius, & minuariis esse potest, eo quod ignotum sit quantum valeat i N. Ponatur ergo primo maXimus 3 N. --I . minimus 3 N. - - i . medius sibinde 8 N. Iam si tres numeri aequalibus se stiperent interuallis, noximiis de minimus coniuncti , duplum sint medij. Maximus autem & minimus faciunt 8 N. - 3o. Hoc crgo aequale est is N. S fit iN. . Tantus est quaesitus, & sitisfacit postulatis. Iam vero si maximus quidem 3 N. - i . sed medius 3 N. -- Is. minimus vero 8 N. Atqui si tres numeri aequalibus se stiperent interuallis , quanto maximus medium stiperat , tanto medius seperat minimum. Sed excessus maximi sipra medium est a N. Medij autem si pra minimum excessus est 13 - N. Igitura N. aequantur a N. dc fit ι N. V. Tantus est quaesitus , & quaestioni sati facit. Denique maximus esto 8 N. medius autem 3 N. -- i3. minimus 3 N. --is. inandoquidem rursus maximus de minimus duplum medij conficiunt, sed maximus & minimus iaciunt ii N. -- l . hoc dii plum est medii; medius autem est
3 N. IS. Igitur Io N. -- go. aequantur II N. - II. Erit ergo quaestus nil merita
rue. & impiet postulata. EM XXXXI M.
QVoo hic assim it Diophantus Si tres numeri sileriant in arithmetica medietate, semma extremorum est aequalis duplo medii, demonstratum est propositione quinta libri primi porismatum.
Caeterum ex triplici operatione, triplex Canon formari potest nimirum. Dimis . lum producti multiplicationis diommmranerorum, persumnam earundem, o mei r ter ritu vel . Diuide productum mi Hiplicatiomi per compositum ex mauore 1 ero intem a numerorum, orie tur tertius p situs. vel denique.
Divide productam misi irationis per id quo duplum minoris inmeri excedit maiorem, orietur remitus diuasitus. Ex hoe autem ultimo Canone manifestum est requiri ut duplum minoris numeri excedat maiorem. Nec tertia operatio Diophanti absque tali limitatione locum habere potest.
186쪽
DIO PHANTI ALEXANDRINIA RITHMETICO RVM
ut summa ipsorum, adsummam quadratorum ab ipsis ortorum datam habeat rationem. Imperatum sit summam iptarum si inaniae quadratorum ab ipsis ortorum esse decimam partem Ponatur minor IN. maior autem a N.fit summa ipsserum 3 N. Summa vero quadratorum ab ipsis orto
rum est 3 Q oportet igitur 3 N. esse decimam partem de 3 Quare 3o N. sunt aequales 3 Q fit I N. 6. Est ergo minor 6. maior ra. dc satisfaciunt quaeitioni. Υ p EI N δυο ἀριθμοῦς μως η
In L. Lubrtim Diophanti Comment ij.
IAM animaduerierunt & Scholiastes &Xilander quatuor quaestiones initio libri huius ex
positas, cum quatuor priore libro traditis , in omnibus serε conuenire, nimirum primani& secundam huius cum trigesima quarta & trigesima septima primi. At quartam N quintam huius cum trigesimaquinta &trigesima sexta illius. Nee in alio disierunt hae quaestiones ab illis, nisii quod istae uniuersalius proponuntur, in illis verb numerorum quaesitorii in ratio praes .etibitur, sed operandi modus idem est. Ita lite ut quod sentio, liberὸ dicam, vix adducor ut credam haee scriptisse Diophantum, & in re iacili tam inani viam esse repetitione. Iudicent alij.
IN v ε Ni R E duos numeros, ut interuallum ipsbrum, ad litteruallum quadratorum ab ipsis ortorum datam habeat rationem. Constitutum sit interuallum ipserum ; interualli quadratorum ab ipsis, esse sextantem. Ponatur minor IN. maior autem et N. & fit interuallum ipsorum i N. At interuallum quadratorum ab ipsis ortorum est , inoportet igitur I i N. sextantem est ede a sin au amourem 6 N.
187쪽
aequantur 3 desit I N. r. Est ergo mi nor 2. maror . & Bluunt quaestionem.
IN vs Ni κε duos numeros, Ut prO- ductus ex eorum multiplicatione ad summam utriusque, vel ad interuallum ipserum datam habeat rationem. Constitutum sit primo productum multiplicationis, seminae sescuplum csse. Ponantur quaesiti numeri 1 N. & 1 N. Caeterum possent etiam in qualibet data ratione poni. Erit igitur productus ex eorum multiplicatione a Q summa vero utriusque 3 N. Oportet urgo et Q scicu plos esse ad 3N. Proinde i8. N. aequantur a sit i N. Erit ergo primus secundus 18. de Aluunt quaestionem. inod si imperatum sit productum multiplicationis interualli esse sescuplum. Erit rursus productum multiplicationisa At interuallum i N. Proinde rursus 6 N. aequabuntur a. inde fiet I N. Erit ergo primus 3. secundus & sitisfaciunt quaestioni.
HAEc quaestio cum nulla primi libri conuenit, quicquid dieat Scholiastes, qui eam reuocat
ad tri estinam & trigesimam tertiam. Sed quam merito, sola collatione fiet ni anifestum. Caeterum iacui h;e Diophantus comparat productum ex multiplicatione duorum numerorum. cum corum summa, & cum eorum interuallo, sic &idem productum comparari potest interuallo quadratotum , & summae eorundem. unde duae huiusmodi formabuntur quaestiones.
AESTIO PRIMA. Inuenire duos numeros, ut summa quadratorum ad productum multiplicationis dbtani habeat rationem. Oportet autem via quadrato semissis denominatoris rationis, auserendo unitatem supersit quadratus.
Esto lumina quadratorum ad productum uti ad a. Ponatur alter numerorum I N. alte . est summa quadratorum i I. productum i N. arei Q -JI. aequatur l. N. & fit I N. vel Luel Itaque duo quilibet numeri in ratione dupla satisfacient proposito. Hi ne si Canon. A quadrato semissis denominatoris rationis data, auferumtatem , resiari iatus adde vel adineidem sim si, orietur viro .e modo denominasor rationis, in qua duo alitisibet Amri nureret fluunt quaestionem. Ceterum notatu dignum est summam quadratorum ad productum, eandem semper habere rationem, quam habet ad unitateinlumina quotientum qui fiunt ex mutua laterum diuisione. Quod
A ου n n ostendςtur. Sint latera A B. quorum quadrati E F, productum G. & diuiso. i, A & quotiens C. diuisoque B per A sit quotiens D. Dico am s E F. simul ad E a r 8 ambos CD simul ad unitatem. Etenim quia ducto D in A.&producto B in B fit F, ' idem F. fiet ducto A in B,&producto G in D. Eodein argumento ostendo inus E fieri ex G in C. Cum ergo G ductus in singulos C D producat singulos E F. patet ex summa ipsorum C D. in G fieti summam ipsoriim E F. Qitate ex definitione multiplicationis in lumina ipsorum E F. ad G. sicut sumnia ipsorum C D. ad unitatem. Quod demonstrandum erat.
188쪽
M AESTIO SECUNDA.Inuenire duos numeros, ut ii iteruallum quadratorum ad productum multiplicationis datam liabeat rationem. Oportet autem ut quadrato iemissis denominatoris r tionis datae addendo unitatem, fiat quadratus.
Esto interuallum quadratorum ad productum , ut 8. ad 3. Ponatur alter Numerorum IN. alter Lerit interuallum quadratorum i Q i. At productum I N. rare Iin aequabituri H. I N.&fiet rN. vel iii N. supponatur minor qu in I. erit litteruallum quadratorum I - i auare r. aequabimvir i - - : N. N net I N. t Quare manifestum est quonibet numeros in proportione tripla soluere ouaestiolieni , hine fiet Canon. denomi toris ratione iata aiade unitatem, Dieri sin a ariti mel adimerim utropie innotescet denominator rationis , in duo eptilibet inmerasumpti sitis ficient proposito. Hie etiam accidit interuallum quadratorum ad productum multiplicationis eandem habere rationem , quam habet ad unitatem interuallum quotientum qui fiunt ex mutua laterum diuisione. Quod ex demonstratis in praecedente, manifestὰ colligitur.
IN v ε η a duos numeros ut compositus ex quadratis ipsorum ad ipsi rum numerorum interuallum, datam habeat rationem. Constitutum esto compositum ex quadratis ipsorum interualli esse decuplum. Ponatur rursus primus IN. secundus a N. erit igitur compositus
IN v ε Ni a x duos numeros, ut interuallum quadratorum ab ipsis ortorum, ad summam ipserit in numerorum, datam habeat rationem. Imperetur ut interuallum quadratorum , summae numerorumst sescuplum. Ponantur rursus quaesiti numeri, hic quidem 1 N. ille vero a N.& fit interuallum quadratorinti ab ipsis
ortorii ira 3 insumma vero numerorum
N v η Mi κε duos numeros, dato eorum interuallo , ut interuallum qua-
189쪽
dratorum ab ipsis ortorum, interuallum ipsorum superet dato numero. Oportet autem quadratum interualli numerorum minorem esse compofito tum ex ip metinteruallo , tum ex dato numero quo quadratorum interuallum superat ipsum numerorum interuallum. Imperetur ut interuallum numerorum sit a.Iiueruallum autem quadratorum superet interuallum
numerorum unitatibus ro. Ponatur minori N. Maior igitur eriti N. - - 2. dc manet interuallum ipsorum r. interuallum autem quadratorum est N. - . Oportet igitur N. - . superare vialtates Munitatibus ro. Quainobrem N. - aequantur ar. Se fit I N. . Erit igitur mi nor A. maior 6 . de seluunt quaestionem.
HS c quaestio verbis paulum immutatis eadein est cum tertia illarum , quas ad trigesimam teristiam primi sumus commenti. Nam Verbi gratia quaerere duos numeros quorum interuallunt sit a. de interuallum quadratorum stiperet ipsum a. numero sto. nil aliud est quam velle ut interual lum nutrierorum siit a. interuallum vero quadratorum 22. Itaque eonditio ibi apposita eadem est dum illa quam hic praescribit Diophantus , nimirum. inadratio inseruata nummmm debet esse minis in drualia , cuius Theorematis si quis peculiarem requirat demonstrationem, eam afferte non pigebit. Sint dati numeri A B. B C. quorum interiistum A D. ita ut D B. B C. sint aeqv
. hitavi A D minor ςsse interuallo quadratorum ab ipsis A B. B C. etenim A. .D. .. B. . . C 'A R ςst π IV iis quadratis partium A D. D B. & duplo plani sub ij. s lutcruallum quo quadratus ab A B iuperat quadratum ab, D B seu i B C est aequ3le quadrato ipsinis A D. & duplo proilueti ex Λ D. in D B. Quare interuallum quadra
dratotum superat quadratum interualli numerorum, duplo producti ex minore numero in ipsum interuallim numerorum. Quod erat Propositum. Sic contra si liuertiatio quadratorum addatur quadratus interualli numerorum , fiet duplum producti ex maiore numero in idem interuallum numerorum. Nam si quadrato ipsius A D. dc duplo producti ex Α D in D B. addatur ruisus quadratus ipsius A D. em totum compositum aequale duplo quadrati ex Α D, & duplo producti ex A D in D B, hoc en duplo producti ex A B. maiore numero in AD interuallum numerorum. Quod erat propositium. Quamuis itaque Canones allati ad tertiam illarum quas attulimus ad trigesimani te tiam primi, sint faciles de expediti, ex hoc tamen Theoremate alium colligemus Cationem, sane
Inter L s aratorum aliae vel ad me ιν adrasum inter III mι meroram, summam ct res ι- ά Mide per interualum numerorem, pMnentes erunt dupli sium numerorum.
numero superet interuallum numerorum, de se ad illum in data ratione. Constitutum sit interuallum quadratorum , inte ualli numerorum esse triplum, & superaddere adhuc unitates Io. Oportet autem quadratum interualli numerorum,
minorem esse composito ex triplo siti ipsus , & ex datis unitatibus Io. Ponatur
190쪽
interuallum numerorum a. ia sinor autemi N. atque ideo maior I N. a. Oportet itaque N. -- q. triplos esse ad a. & adhuc superaddere io. Ter igitur a. adscitis unitatibus Io. aeqtiatur ψ N. - - q. &sti N. 3. Erit ergo minor 3. maior . desarisiaciunt quaestioni.
CONDITIO Nis appositae eadem rattio est quae Sc appositae praecedenti quaestioni, nil enim aliud requirit quani ut quadratus interualli numerorum sit minor interuallo quadratorum , de Canones iidelia hic etiam locum habebunt, ut manifestum est.
PRO post xv M quadratum diuidere in duos quadratos. Imperatum sit viis. diuidatur in duos quadratos. Ponatur primus i QOportet igitur I 6 -I aequales esse quia rato. Fingo quadratum a numeris quotquot libuerit, cum defectu tot vilitatum quod continet latus ipsius is. esto a 2 N. - . ipse igitur quadratus erit 4 -- I6. -I6 N. haec aequabuntur unitatibus 15 - I in Communis adiiciatur utrimque desectus,& a similibus auserantur similia , fient s equales 16 N. & fiti N. τ Erit igitur alter quadratorum P. . alter vero S dextriusque summa est . ' seu I6. & uterque quadratus est.
OBSERVATIO DOMINI PETRI DE FERMAT
CVbum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potesatem in duos eiusdem nominis fas est diuidere cuius rei demonsrationem mirabilem sane detexi. Hane marginis exiguitas non caperet.
RVκ v oporteat quadratum is diuidere in duos quadratos. Ponatur rursus primi latus i N. alterius vero quotcunque numerorum cum desectu tot Vnitatum, quot constat latus diuidendi. Esto itaque a N. - . erunt quadrati, hic quidem ira ille vero I6. -I6N. Caeterum volo utrumque simul aequar ivnitatibus i s. Igitur 3 QU- 16. - 16 N. aequatur unitatibus 16. & fit i N. verit ΕΣ T n δὴ -λιν τον ις τροραγωνον δε-