장음표시 사용
201쪽
ut supra. Ex his omnibus operationibus varii Canones elici pcssunt , sed omnium ficillinius artimant, nimirum. Cape duos errabatos eodem interuallo iustotes quo O dati numera iustant , sed illis maiores, a minore q arato aufer minorem namerum , vela nunore minorem , resu tm quod erit idem utrobiγe, quasitum exhibebit numerum.
AD A ri s duobus numeris auferre
eundem numerum, & fiscere res- duum utrumque quadratum. Iniunctum sit ut a s. & a ai. auseratur idem numerus,& utrumque residuum sit quadratus numerus. Qualemcunque vero quadratum
austro de altero ipsorum s statuam reliquum cum hujus desectu, is enim detractus relinquet quadratum. Ello igitur quadratus a s. detractus i Q relinquentur erso 9 - I Oportet igitur etiam iaI. auferre 9-I Q M sacere quadratum. Sed si a dii. abstulero ρ. - i. relinquatur I ia. Hoc ergo aequatur quadrato, Fingo quadratum ab 1 N. cum desectu
tot vilitatum, ut quadratum earum amplius sit quam idi. Sic enim rursus ab utraque parte una species uni speciei aequa lis relinquetur. Esto itaque unitatum . ipse igitur quadratus eriti aes N. qui aequabitur 1 ra. Auserantura similibusisimilia j relinquuntur 8 N. aequales .& fiti N. . Atqui 9. faciunt: seu unde desectus i auferatur, scilicet e. de satisfit proposito. sa ara' diu N it misi τὰ τῆς asρτασεως. i IN VE GESTI O NEM X D L-I .ἰM ITA Tro quam praescribit Diophamus circa latus fictilium, omnino insussciens est. I s libet experiri singe illi ili N 'quandoquidem quadratus ipsius excedit Ia. set quadratus
η. ae litatis i ia. S set i N. 35Quare quaelitus numerus qui postus erat mi n poterit , quia istaeil maloi qu,nς. Itaque cum duo praescribendi essent te artim intra quos eadere deliat numerus unitatum ponendus in latere fictitio, unum duntaxat praefi-n ud Diophantus, ninitrum 1a. seu potius latus ipsius ia. Quod cum sit paulo minus quam 3 i, res e dicemu eum Diophanto numerunt illum unitatum Mere superare vel certὸ non citem rem. Sed hoc non uissicit, nam praeterea necesse est, talem fieri valorein Numeri ut te luendo hypostales rin sit minor quam 9. quia scilicet quaesitus numerus positus est se I Q Q ram portet i N. Duniarcni ei se quaen Quia ergo aequando quadrato I - ia. de fingendo lacus i N. Asinuat unitatibus, fit vasor Numeri ex quadrato unitatum illatum multato numero Ia. x diuiselateris, eo redigimur ut inueniamus talem unitatum numerum , cuius quadratust status numero ia. de diutius per duplum sui lateris, det. qi totientem inmorem quam 3. Esto talis. numerus i N. Ergo minor in q,iam . S omnia iiii N. fit i. a ita minor quam6 N.&langem fit inor quairi 6. N. - ir. qua resoluta occasione i Q inor quam 3 2I. - seu mor quδiu p : isere quamobrem nece se eit omnino numerii ut unitati ina ponendarum in latere uio dure idtur 37 quales suiu s.f. 7 N alii infiniti aditiittendose mOnc .
202쪽
Caeterum, ut benE monet Xilander, haec quaestio non secus ac pr cedens per duplicatam aequalitatem rite lblui potest. Verbi gratia si dati sint numeri y. & ar. Ponatur quaesitus ab utroque auferendus I N. ergo tam 9. - N. quam 2I - I N. aequatur quadrato. Horum interuallum estis. Quare tales i cligendi sunt numeri, quorum mutuo ductu fiat itivi semissis summae illorum quadratus sit minor quant 21. vel quod idem est , ut semissis interualli quadratus sit minor quam s. Ob contrariam scilicet rationem eius, ob quam in praecedente requirebatur contrarium. Memores igitur eorum quae docuimus in praecedente, quia quadruplum ipsius ai. est 8 . dicemus numerorum quorum mutuo ductu fiet 11. sumniae quadratum minorem esse debere quam 8 . Quare cum proximum latus de S . sit s. q. oportebit summam talium numerorum minorem esse quiun y . qualis est summa ipsorum a.&6. vel ipsorum 3. & 4. de aliorum infinitorum. Quod si sumamus a. & 6. erit quadratus semissis summae illotum i6. at quadratus semissis interualli fiet A. Sive igitur aequetur 9. - i N. λ siue I 6. aequetur et t. - 1 N. set utrobique idem valor numeri s. Quare s. est quaestus numerus, qvi ab utroque datorum detractus relinquit quadratos 4. & I6. Hinc etiam eum Xuandro eliciemus
Sume duos redem Hstantes quo dati mineri sed minores litis. Nisa maiore minuro osermiorem quadratum, vel a mnora mιnorem. Residi erit id utrobique, quasilum exhibebit numerum.
AB eodem numero auferre duos datos numeros,ita ut residuum viriIue iit quadratus numerus. Constitutum t ab eodem numero auferre 6. & 7. &utrumque residuum sacero quadratum. Ponatur quaesitus numerus a N. & si ab eo abstulero 6. relinquitur I N. - aequalis quadrato. Si autem abstulero 7. relinquitur i N. -7. & rursiis in hoc casii duplicata aequalitas existit. Et quoniam horum interuallum , puta I. continetur sib di. & ἰ fiet tandem IN. . & satisfacit proposito. Ne vero in duplicatam aequalitatem deueniatur , sic indagabimus. Quaeremus primo a quo numero 6. subtractus, relinquat quadratum. Caeterum cuicunque . quadrato adiiciamus s. is erit qui quaeritur. Esto igitur quadrato 1 inerit ergo qui quaeritur 1 6. de patet si ab eo auferantur 6. relinqui quadratum. Oportet igitur auferre quoque 7. ab 1 6. & sacere quadratum. Quamobrem I. - I. aequatur quadrato. Fingo quadratum ab I N. - a. Ipse igitur quadratus erit I Q. -- q. - - N.
Hoc aequatur i Q i. & fit i N. l. Erit ergo qui quaeritur de siluit quaestio
PR r M ae operationi, in qua utitur duplieata aequalitate Diophantus, nullam adiicit conditio nem , nec adiicienda est aliqua, ut nωρ arbitratur Xilandet. Cum enim quadrati qui capi -
203쪽
tur eodem distantes interuallo quo di dati numeri, addendi sint ipsis datis numeris , minor scilicet maiori, & maior minori , patet ut additi O perlici possit non reterre virum tales quadrati maiores. sint datis numeris vel, minores. Quod in duabus Praecedentibus circumspiciendum erat, quia in illis substractione utendum fuit non additione; allucinatus ergo est Xilandet existimans utendum hie eadem cautione in huiustu odi quadratis deligendis, qua fuit utendum in duodecima. quod &exemplo in ipsoni et allato confirmare facile est. Sint dati numeri qi. & 6s. quorum interualli ima . quod fit ex 4. in 6 vel ex s. in 8. hos tamen binos rem expedire posse negat Xilander, idque constare experientia ait. Sed iis eonstat experientia falli Xilandrum. Nam ipsorum 4.& summae te interualli semisses sunt s.&I. quorum quadratias.&I. inre si addas r. ad vel as. ad i. fiet utroque modo qxiaesitus numerus 66. ut patet. Rursus ipsorum 3. de R summae de interualli semisses
quorum quadrati v & &si addas ad 6s. vel 'ad i. fit vitoque modo quaesitus nil metus qui satis raeit propulo. Porto ut modus his utendi duplicata aequalitate perfectὸ demonstratus maneat, lini dati numeri A maior & B minor, horumque interii allum C. & ponatur quaesitus numerus i N. Igitur aequandi quadrato erunt i N. - A. & i N. - B. Sumantur itaque duo
N 'A 3' xN- v quili et quadrati D maior & E minor, quorum interuallum sit idem CV Quia ergo ob maiorem des ina totus I N. - Α minor est toto I N. - B. Dps' Uq'' aequabimus illi minorem quadratum Ε, maiorem vero D huic. Et in prima aequatione supplenilo desectum, fiet i N. aequalis summae ipsorum A E. At in secunda fiet ita. aequalis B D. summa autem ipsorum A E aequalis est prorsus summae ipsorum B D, quia cum sint arithmetich proportionales A ad Avt. Dad E, 'est summa extremorum A E aequalis summae mediorum BD. Q iamobrem in utraquς aequatione fit idem valor Numeri. Quod demonstrandum erat. Hinc elicitur Canon a Xitandro traditus. Cape d os quadratos eodem L antes inter tu , Θ ct dati m. meri, haram minorem adue maiori
numero, maισrem mnora, utroque modosi et ιιtim numerus.
Secundae vero operationi ut perficitur a Diophanto, limitatio quaedam adiicienda erat; nam cum numerus quadrato aequandus sit et debet eius latus fingi ab et N. - tot unitatibus, 'ttandem valot quadrati inueniatur excedens I. Quare si eodem utaris artifieio, quo inium in praeeedentibus, inuenies latus illud fingendum esse ab r N - aliquo unitatum numero maiore quiri I. vel minore quam I. alioquin si ponatur latus illud i N. - i. reperiet uti Q I nihil esse. Ita si tu positi numeri sint ;o. α 6. ponatur quaesitus i unde auferendo U. remanet Ia quandus quadrato. Cuius ratus fingerulum ab I N. - tot unitatibus ut tandem I maior quia 2 . Quare cum latus proxime maius ipsius 2 . sit r. Oportet rN. non minorem esse quam s. m autem I N. ex quadrato unitatum quae poliniatur in latere lictitio, adsumente numerum et . diuit ueper duplum lui lateris. Ponatur ergo hic unitatum numerus I N. Igitur Ah -- maior est ω- tem non minor quam s.& omnia ina N. fit i inam non minor quam io N. Qua aequatione rasoluta fit 1 N. vel 5. vel 4. Qirare oportet talem poni in latere fictilio unitatum numerum, ri sit non minor qu- 6. vel non maior quὶm q. a ratione excluduntur tantum omnes ii umeri inter & 6, fingatur ergo latust N. - . fiet quadratus I Q 8 N. - is. aequalis I Q 2 . Vnde fiet I N. . erit ergo qua itus in umerus;i. de satisfacit proposio. Vel finFatur idem latus 1 N. 6 fiet rursus i N. s. ac quotieselinque sumentur duo numeri umis maior quia 6. alter minor quam 4. ita ut insor ad ipsum L. eandem habeat rationem quam habet q. ad minorem, eadem per utramque aemini Em continget soliuis ua si eiusdem numeri ruina latus fingas I N. - 2. vel IN. 12. fiet idem valor Numeti . . Itemque siue fingas idem latus I N. - 3. siue i N. -8. fiet idem valor
Numeri s l. desie de aliis. Quod adnotasse fuit operae pretium.
Potest tamen operatione paulum immutata, tam laboriosae conditionis neeessitas etianescere. Si videlicet, ponatur quaesitus numerusi . - maiore datorum numerorum , ut in complo Di
Disti ponatur quaesitus numerias I - ' hinc ergo detracto 6. remanet II. aequandus quadrato, cuius latus finso ab IN. - tot unitatibus, quarum quadratus superet ti& manifesta est solutionis ratio. Ita si dati sint numeri 3o. & 6. Porio quaesitumi 3o. unde auferendo s. rem i et i . aequandus quadrato, cuius latus fit ' ab I N. - tot unitatibus , quarum quadratus superet et . Hirre etiam licebit elegantem formare cinonem. Datorum numerorum interuallum aufer ab aliqua pia aerato, residuam diuide per δε um uteri am quadrati , -tientis . aratus adiutus maiori datorum numerorum , quaesitum exhi is
204쪽
qui utramque partem adsumens faciat quadratum. Sit diiudendus zo. in duos numeros. Exponantur duo numeri, ut quadrati eorum simul minores sint quamao. puta a.& 3. & si utrique adaiciatur IN. erum quadrati ab ipsis, hic quidem I -- - N. - . Ille vero I -- 6 N. - Si ergo ab utroque abistulero I qui utique quadratus est , habebo quaesi- tos numeros, qui adsumentes videlicet quadratum , iacient quadratum. Sed si abstulero i inrelinquuntur, hinc quidem N. - q. Inde vero b N. -9. Oportet ergo summam istorum, nimirum Io. N. -- Ia. aequari ro. & fit i N. E. Est igitur hic quidem nta ille vero et . bc satisfaciunt quaestioni.
YN hae ouaestione nulla est dissieultas. Cui velit Diophantus sumi duos numeros, quorum qu Idrati si risint numelo diuidendo nemo est qui non videat. Itaqus ex Operatione ipsa
sim quadratos eorunde a.&3. nem ipta quadratum de atiquastae paries numeri n. quibus addendo eundem quadratum A. fiunt quadrata 16. N 2F..
DAxvii numerum diuidere in duos
numeros, & inuenire quadratum, a quo uterque detractus , relinquat quadratum. Numerus diuidendus iterum esto ao. Ponatur is qui quaeritur quadratus a latere i N. cum tot unitatibus, Ut harum quadratus non stiperet 2o. Esto ab i N. - 2. Quadratus ergo erit I N. - & patet si hinc auferantur N. - q. relinqui quadratum, & similiter si hinc aut erantur a N. - . 3. relin quitur quadratus, nimirum a N. - . I. Statuo igitur, hac de causa, primum quidem N. --4. Secundum verba N. 3- Quaestum autem I q-- q. dc diic dempto utroque illorum, sacit quadratum. Superest vi ambo simul aequentur numero diuidendo. Sed
205쪽
ambo simul iaciunt f N. - 7. Hoc ergo aequatur ro. Austrantur a similibus similia, & fit i N. H. erit ergo primus A secundus inadratus autem & faciunt postulata.
FR. v s T R A laborat Scholiastes, ut implicatum Theorema nobis obtrudat qlias necessarium ad intelli Mendam operationem Diophanti, cum illo carere possimus absque ullo artis dispendio. Etenim cum ponat Diophantus quadratum quaesitu ni I N. - quem finxit a latere I N. - - a Primo euidens est cur alteram partem numeri diuidendi ponat N. - - . quia scilicet, his ablatis a quadrato exposito, relinquitur quadratus, nimirum I Deinde ut aliam partem numeri diuidendi reperiat, tingit alium quadratum ab IN. - cerio unitatum numero minore quam a. qui possitus est in latere qilaesiti quadrati, puta ab i N. - I. fit' ue quadratus I Q -- a N. - I. quo detradio a quaesito quadrato I N. - q. remanet alia pars numeri diuidendi, nimirum a N. -- 3. unde etiam colligitur aliter atque aliter sumi posse partes numeri diuidendi, eodem etiam quadrato expofito manente, prout ab eo detrahentur alij atque alia minores quadrati. Quod autem attinet ad limitationem quam praescribit Diophantus eirca latus quaesiti quadrati, illudni licet fingendum esse abi N. - tot unitatibus quarum quadratus non superet numerum dis uidendum , hanc ego nec sinicientem nuto, n omnino necessariam. Suffciens quidem non est, quia etsi observet ut deueniri poterit ad ablurdum. Nam ponat ut latus quaesiti quadrati I N. - erit ipse quadratus 8 N. i5. cuius unitates minores sunt numero diuidendo 2o. unde coimat obseruatam esse limitationem praescriptam. Si tamen ponatur pars una numeri diuider 8N. - I6. altera vero 2. N. -- 7. quae habetur si ab exposito quadrato auserat ut quadratus , latere I N. -- 3. nimirum I -- 6 N. - 9.. erit, summa duarum partium Io N. -- 23. aequalisao. Quod est impossibile. Non est etiam necessaria huiusmodi conditio, quia quamuis non seruetur, ritὶ tamen perfici poterit aequatio. Etenim fing tire quadratus quaesitus a latere I N. s. erit is I Q. - IO. N. -- 27. cuius unitates excedunt numerum diuidinidum m. contra id Quod praecipit Dimphantus. Tamen ponatur pars una numeri diuidendi a N. - ρ. quae habetur u ab exposito quadrato auferatur quadratus , lateri I N. - . q. nimirum 1 8 N. - - 16. Riirsus ponatur pars altera IN. H. quae habetur si , quadrato exposito auferatur quadratus a latere I N. - - 4 .nimirum i Q - - 2o. . Erit Partium summa 3N. -- 33 . aequalis 2o. Vnde fiet IN. C. Ad hypost ses erunt quaesitae partes Quadratus quaestius m. a latere E. A quo quadrato si auferassi sillati in partes inuentas, remanent quadrati quorum latera Aliter igitur poscribendaeu conditio huic operationi, nimirum. Ponatur quadratus quaesitus , latere I N. -- quot libet unitatibus. Tum fingantur alij lvo minoro quadrati aci I N. . tot unitatibus, ut harum qu
dratis sigillatim detractis quadrato unitatum primi quadrati, duo residua simul minora sint ni mero diuidendo. Hoe autem facillimum iactu est, quia dato quolibet quadrato , licet inuenire i finitos minores quadratos, distantes , dato quadrato, interuallo minore quis quilibet praescriptus
numerus. Verbi gratia dato quadrato as. si velim minores quadratos quibus sigillatim a 23. detractis,sia persit minus quὶni Io. quia detrahendo io. a zy superest Is. oportet quaesitos quadratos minores quidem esse, quani as. sed maiores qtiam is . Quare cum latus ets. sit s. At latus proximὰ maius ipsius is . sit . Patet quadratos cinnes a lateribus inter . & s. quales sunt a lateribus 4. 4 et q.: :&e. satisfacere propositα Hinc est cur posito quadrato quaesito I Q - io. N. - - 2s. quaerendi erant duo quadrati, quibus sigillatim detractis 1 a s. residua sit nul minora essent quam χα inita vetis quoIibet resiluo existente minore qu1ni ita sequebatur utrumque simul minorem ess e quὶm et
tinxi tatera quaesitorii in qua tritorum i N. - di I N. - . quia singuli quadrati ipsorum 4. de '' minores sunt 'ubin Io. ut ostensum est. Simili artificio tectificari poterit operatio illa qua deductione did absilrdiim ostendimus in sussicientiam Diophantaeae limitationis. Etenim ponendo eundem quadratum qii aes lim i R. 8 N. 16. esto pars una ut prius S N. - I6. Cuni ergo exeoli ditione praescripta constet unitates utriusque partis stimul minores esse debere numero diuidendo zo.s in una et arte sint i 6. vnitates, patet in alia debere esse minus stilis 4. Oportet igitur fingere qua
iratiam ab I N. -- tot unitatibus , ut earum quadratus detrabus de I 6. res inquat minus quam . Oporici erso sitia iratum illarum unitatum maiorem esse, quam i a. minorem quam i6. Quarecem lanis ipsius rue. st 4. & latus proximδ maius ipsius ia. st 3. : sumendus crit quilibet viii ratum numerus a inclitiive viqite ad 4. exclusi E , quales sunt 3 3 3 N alii infinith
Ita si fingas quadratum ab I N. - - 3 erit quailratus I -- 7 N. - Ia quo detra sto a quaesito quadrat Oi --8 N. - rs. superest secunda parsiiumeri diuidendi, nimirum I N. - 3 . Quate summa partium fit si N - 19: aequalis Io. Qua aequatione resoluta, Optim ε satis fit propolito.
206쪽
Ex dictis apparet quis infinitis otiis modis positiones institui possint, & solutiones diuersae
reperiri, iram primo quaesitus quadratus varie fingi potest. Deinde eodem manente quadrato quaesito, paries numeri diuidendi diuersimodε fingi possunt. Sed & Diophantus rursus lib. I. quae' H. hanc ipsam retractans quaestionem alia operatione negotium absoluit, quam ibi rapi icabimus.
IN v ε Ni R a duos numeros in data ratione , Vt uterque cum quadrato qui proponetur iaciat quadratum. Constituti ina sit maiorem minoris esse triplum, utrumque autem adscito lacere quadratum. Hic a quocunque quadrato cuius latus sit multitudo quaelibet numerorum -- unitatum 3. detraxero V. residuum erit alter quaesitorum. Esto igitur minor I- 6 N. erit ergo maior 3 F I8 N.
Oportet itaque de hunc adsumpto V. Ω- cete quadratum. Sed facit 3 Q. --I8. N. - Hoc ergo quadrato aequale est. Fingo quadratum a a N. - 3. & fit I N. D. Erit igitur nunor lo8o. maior vero 3r o. & uterque adiecto ρ. facit quod postulatur.
OP a R A τ r o Diophanti facilis est, εt ei qui superiorum omnium quaestionum artificium peris
Ecomprehen ferit, nihil hie obseuriam videbitur. Vnum moneo numeri 3 I8N. s. latus non solum snui posse 1 quolibet Numerorum numero euius quadratus superet 3 Q. etini deiectu unitatum 3. lateris scilicet ipsius p. ut finiat Di Fhantus qui ponit hoc latus a N. - 3. ted etiam fingi posse a numero Numerorum culiis quadratus super et 3.& euius sextuplum sit quisag. adiectis tot unitatibus quot sunt in Iatere quadrati uati p. nimirum 3. Idcireo fit se potest hoc latus a N. -- 3. vel a : N. -- 3. & sie ad -- 3. adiungi potest quilibet numerus Numerorum oui eadae interet. & 3. Hae ratione fingendo huiusmodi latus a N. -- 3. fit quadratus Q. - a N. p. aqualis 3 - 18 N. -- 9. & fit a N. 6. suntque numeri quaesiti D. & ais. qui satisficiunt po-Sed& sine magna perplexitate, quicquid dicat Xilander, per duplicatam aequesitatem solui
quaestio potest. Nain ponatur minor numerus I N.est ergo maior 3 N.Quare utrique adiiciendos.luat quadrato aequandi i N. - '.& N - - ς. Horum interuallum est a N. sumendi ergo sunt duo numeri quorum mutuo ductu fiant 2 N. ita tamen vitam in semisse summae quam in semisse interualli nitii reperiatur 3. latus qua irati adiecti m ut scilicet in aequatumis vitaque parte reperiantur p. unitates, quibus utrumque ablatis, maneat aequatio inter numeros de quadratos. Oportet ergo in uenire duos numeros, quorum mutuo ductu fiant2. N. ita ut in eorum summa, di in eorum interuallo reperiantiit unitates o. mare sunt huiullii odi numeri 6. de; quorum interualli semissis 3 MN. cuius quadratus ' 'I N. -- et in aequatur IN. - dc fit IN. a. suntque quaesiti nummo supra P. 3c ars. Sed sanἡ hae ratione operando uni a tantum reperiri potest solutio, elim alii tui meri prater 6. de N. sumi non possint, quorum mutuo ductu fiant a N. ob causam allatarii. Quam maluit Diophantus aliam mire viam,qua infinitae solutiones contii Mnt. Caeterum ex hac ultima opetratione somiari potest Canon satis expeditus. I ministerem ratiorus unitate mutatu- diside per titeri adrati , intientis quadrato vivoti rursus se doromnatoris umi rem Q. , orietur minor qua
Quoniam vero hie deliderari videntur aliquot quaestiones non inelegantes. de ad hanc tractitionem pertinentes , placet illas subnerure. ...
207쪽
AESTIO PRIMA.: Inuenire duos numeros in data ratione, cuius denominator sit quadratus numerus: ut uterque cum numero qui proponetur iaciat quadratum.
Sit maior minoris quadruplus, & uterque adscito Io. iaciat quadratum. Fingatur quadratus ab I N. tot unitatibus . quarum quadratus superet IO. puta ab I N. q. fiet quadratus I in F 8N.-io. unde auferendo im Teladuum I Q. 8 N. -- 6. statuatur pro minote quas totum n merorum, is enim adscito io. quadratum iacit. Itaque maior erit --- 32. N. -- a . qui adscitoxo. fiet 32. N. 3q. aequandus quadrato , quod iaci fiet, quia quadratorum numerus est quadratus, fingatur enim latus eius a N. - tot unitatibus quarum quadratus superet M. puta 2 N. - o. dc
fiet 1 N. Ad hypostiles Minor numerus maior & vitique addendo io fiunt quadrati quotum latera 'V. Posset etiam haec quaestio per duplicatam aequalitatem solui, sed utendum esset eo modo duplicatae aequalitatis quem tradit Diophantus quaestione decima Octava tertii, cuius hie explicandi locus non est. Quare ipsam operationem his itona seram, sed Canonem pulcherrimum qui ab ea elicitur non dissimurabo.
Vt in nostra hypothesi ducito 3. in datum numerum io. fit 3o. Cape duos quadratos quorum inter allum sit 3o. Per Canonem undecimae huius; ita tamen ut minor illorum excedat Io. Infinitos tales reperies, quales sunt l.& Igitur si a minore aularas io. relinquitur maior quaesitorum numerorum , quare patet minorem esse- dc umques addas io. fiunt quadrati T de
Inuenire duos numeros in data ratione, cuius denominator sit quadratus numerus, ut uterque multatus dato numero relinquat quadratum.
Sit maior minoris quadruplus , & uterque detracto s. relinquat quadratum. Ponatur minor rs. nam det sacto . relinquet quadratum, Crit ergo nraior α- ao. unde auferendo s. relinquitur 'in Hryaequandus quadrato, fingatur iuxtitus a. N. -- tot unitatibus, quarum qu dratus sit in uor quam Is . vel etiam 2 - tot unitatibus, quarum quadratus superet II. Fingat ut in a. N. -- 3. Qit quadratu Ia. N. ' s. aequalis 4 33.& fit IN. r. sunt ergo quaestinumeri sui satisfaciunt proposito. Potest etiam sicut &praecedens per duplicatam aequo litatem solui quaestio. Sed ob causam allatam omissa ipsa operatione, canonem inde depromptum ferre suisciet, nimirum .mnominat Mem rationis unitate mltatim ducito in dat- numerum Tum cape Gos quadrinos ste trancto Locrentes , maiori adde darum numerum, fer maior Poliorum;
Inuenire duos numeros in data ratione cuius denominator sit quadratus numerus, ut uterque detractus a dato numero relinquat quadratum.
Sit maior minoris quadruplus , & uter Pie detractus,ao. relinquat quadratum. Ponatur minotao-I luc enim detractus. U. linquit quadratum. Ergo maior erit λ - quem si a ro. de rahas , relinquitur 4 Q 6o. aequandus quadrato, fingatur eius latus a a N. - tot unitatibullio hypostasis quadrati res riatur minor qu in o. quia scilicet alter quaestorii in numerorum positiis est --i in Cum igitur in lituusmodi aequatione vallar Numeri fiat ex quodam quadrato adsciscente . de diuiso per quadruplum sui lateris, valor autem numeri debeat esse minor quam latus ipsiusao. puta quiuii Leo redacti sumus ut inueniamus quadratum, qui acius numero fio. & diuisus per quadrupluni sui lateris det quotientem minorem quὶna Esto is i mergo minor est quὶm . & omnia in N. fit 1 6o. minor quam 18 N. qua resoluta aequatione fit IN.s - , et r. vel 9- R. t. seu Pur radicis approximationem 33ὴ vel E. Hinc ergo patet latus quadrati qui quaeritur cadere necessario inter M. & Ponatur igitur Io. & fingatur quadratus a latete a N. -ro. erit is 4 Q. - ΑΟ. N. - im. aequalis oo. & fit ι N. 4. suntque quaesiti numeri & iα Non secusaei lac praeced tes ita uelut haec quaestio per duplicatam aequalitatem, di Canoli huiusmodi ex illa operatione formabitur.
Dinum numerum ducito in denominatorem rationis unitate multatum. Tunc cape duos quadratos hoc producto disserentes minorem aufer a dato numero. Residuum erit maior cy' Uuorum.
208쪽
IN v E Ni R E tres numeros, ut si quis. que proxime ipsum sequenti partem
sui quae imperatur tribuat, Sc praeterea datum numerum, dantes de accipientes aequales fiant. Imperetur ut primus det secundosin quintantem, &adhuc unitates f. secundus tertio sui sextantem, &praeterea 7. Tertium primo sui septantem de unitates 8. Ponatur primus 3 N. k-cundus similiter o N. & secundus accipiens a primo I N. - 6. fit 7 N. 6. Dans autem tertio sui sextantem, putat N. & praeterea 7. remanent 6 N. - I. Superest ut de reliqui datis acceptisque quae imperantur fiant O N. - I. sed primus dans sui qitimantem , dc praeterea unitates 6. relinquitur ψ N. - 6. Opo tet ergo ut accipiendo a tertio septantem,& unitates 8. fiat 6 N. - I. sed si N. f. accipiant a N. - - . fiunt 6 N. - r. Igitur a N. - s. est pars septima tertii, de praeterea 8. Si ergo a 2 N. -- s. abstulero 8. residuum a N. - 3. est pars septima ter- iij. Ipse igitur tertius est i N. - 2I. Superestivi de hic accipiens a medio sextantem , dc unitates 7. dans autem sui septantem de unitates 8. fiat 6 N. - 1. sed dando sui septantem de unitates 8. reo duum est Ia N. - 26. accipiendo vero sextantem medij de unitates 7. fit N. I9. Hoc igitur aequatur 6 N. - r. & fit rN. π. Erit crgo primus Decundus autem
quaestionem. Froc um man τα in προτατεμ.
HIE c quastio parum differt, vigesiniaquinta primi, ut iam ibi monuimus. Nam quaeruntur
colo ere, numeri, quorum quisque ubi pro line sequenti dederit certam sui partem, intredantes de aecipientes fiat aequalitas. Hic vero praeterea requiritur, ut praeter certam sui partem quilibet det sequenti cectum etiam numerum, quod parum aut nihil dissicultatis adiicit oper nota. Caeterum quid de hae quaestione, de decima nonassentiam, dicam ad sequentem.
209쪽
imperatur, & praeterea datum numerum, inter eos existat aequalitas. Institutum sit numerum 8o. diuidere in tres numeros, ut primus secundo det sui quintantem,&praetereas. Secundus tertio det sui sextantem , & unitates 7. Tertius primo
det sui septantem, & unitates 8. & post
mutuam contributionem , fiant squales. Ponatur primus 3 N. secundus 12. &secundus accipiens a primo quintantem, puta i N. N praeterea 6. fit I N. - I8. dans autem tertio sextantem sui & ad-liuc 7. relinquitur i N. - - q. Rellat ut &reliqui datis de acceptis quae imperantur, fiant i N. - q. sed primus cum dedit sui
quintantem & unitates remanet q. -- 6. Oportet ergo ut accipiens septan . tem tertij, & unitates 8. fiat I N. - '
sed si accipiat Is - 3 N. fit I N. - ' Igitur Is - 3 N. est septima pars terti j, Syraeterea 3. Quamobrem si a r -3 N. subducamus unitates 8. habebimus ter- iij septantem , nimirum 7 - 3- N. Ipse igitur tertius erit Αρ-ai N. Superes ut de hic accipiens quidem a medio sextantem & unitates 7. dans autem primo sui septantem de unitates 8. fiati N. s. sed datis acceptisque quae imperantur, fit 3 - 18. N. Haec ergo aequantur I N. - . q. &fiti N. . Erit igitur primus Secundus Tertius T. XVIII. ET XIX.
PE D I a v s eo in Nilandri sententiam suspicantis hane & pGecedentem quaestionein huic quadratorum uaciationi temeria inscrtas esse, siue ab imperito librario ut putat ille, siue potius rixeor a letolo quopiam.qui ε tredecim libris Diophanti nonnullas in unum colligens quaestiones. eos quos habemus prae manibus Arithmeticorum libros consarcinauiti Sanὸ si Diophanto tribue dae sunt. hae duae quaestiones, in primum librum retrahendae videntur, & collocandae post vimGmam quintam, , qua parum disserunt, ut iam indieauimus; ista praesertim, quae illius operatimnem quam proximὸ imitatur. Quidquid sit, certissimum est totam huius propositionem adulterinam esse, & vel ba illa omitia quae astetiscis inclusimus, esse penitus eliminanda, susticitque si Ioco propositionis ei praefigatur Αλλως. Ueia enim, praecedenti non di Εα hae quaestio, sed este em prorius aliter traci , quo familiare est Diophanto, ut constat ex decima octava dede-
cinia nona primi, cet vigesima dc vigesima prima, Zc rursus ex vigesima-tertia de vigesima-nuarta eiusdem. Ae etiam ex octaua S nona huius. Sed de ipsam hanc operationem non conuenire nu naero M. vel etiam alii certo & determinato numero optime Xilander coina incit, ex eo quod Di
phantus secundum quaesitorum ponit Ia. quod nequaquam ritὸ in tali cassi fieri posset , nisi iam cognito numero ipso qui quaerituν, quod est absurdum. Ceterum omissa propositione, caetera bene habent, neque uno corrupto vocabulo vel numero aliquo deficiente, de ita benῆ Ac ad amussimrraecedenti ''p'sitioni cuncta conueniunt, ut mirum sit quomodo graeculus ille tantum frontis Labuerit, qui huic corpori caput alienum imponere tentauit. squis Ateatur quidem propositioneni tradlationi reliquae non re ondere , sed contendat nihilomimis, ab alia quaestione quae librariorum incuria exciderit, hue transsatam huiusmodi propositionern
210쪽
propositioncm , non valde repugnabo, cum smile quid accidisse libro quinto certissimis argumentis compertum habeam. illucer So ut latis fiat, quaestionem quoque, ut in Graco propolita est, i lucinus eum Xilandro, quem lane immerito recentiorum quidam arcuere conati sum, de de analyseos inscitia criminari, quia scilicet calculi errore Iapsus. Disos exhibuit solutionis numeros. Cuni tamen optimo utatur logisnio, quo saluo calculi error viris doctis non debet imputari. Itaque ut tanto viro dubita semetur reuerentia, in huius quaestionis tractatione iplaniciqius verba referre non pigebit, a mendis duntaxat numerorum, ut par est, expurgata. Cum tres numeri qui quaeruntur , so. luminam conficiant, neque dum eorum partes adduntur detrahunturque , hute summae quicquam decedat, eum quod uni aufertur, alteri adjiciatur, & nihil excidat amittatuturi intelligere licet, aequalitatem trium numerorum ultimo existentem eam fore, ut quiuis sit trieris ex
. hoc est 26. Hoc animaduerso ponamus primum esse I N. ab eoque auferamus quae dat secui do N. - - 6. relinquitur N. -6 hoc cum sertante tertij & 8. aequabitur 26 I. Ergo a 26 I auferasqN - relinquuntur 3a ζ - N. quod est S. εc septans tertii. Aufer 8. relinquitur septans tertii et ' ἰ -πN. Ergo tertius est 17a Hi N. Huius de primi sumnia ID. ἱ-Α N. detracta , M. ut pote summa trium numerorum , relinquet scilicet secundum q IN. -m l. Huie seriantem suum& 7. adimemus, nimirum ii N. 8.: relinquentur V N. -8 . . His si addamus i N. - . 6. quod ei a primo accedebat fient 23 N. - R : aequalia 26. : ob eausam Ilipta demonstratam, addextrobique 78. . erunt UN. aequales hoc est 363 N. aequantur omo. alterum per 3 o. alterum cr p. erat mulciplicandum, pro his sume minimos i & 3. ut alibi docui) sit i N. MI rtimui. Secundus qP. Tertius ergo quorum summa idest M. Caetera omnia congruere ad postulata quaestionis experiendo deprehendes. Hucusque Xilander. Verum longε sacilius ad vitandas stactionuin molestias instituentur positiones hac arte. Estot citius 7 N. hic ergo dando sui septantem-8. remanebit 6. N.- 8. quod cum fractante secundi& r. aequatur 26 j. Quare 2 26. : auferenda 6 N. - i. remanet sextans secundi nimirum a .l -5N. ergo secundus i66. -36N. qui amisso sextante dc 7. remanet 13i ἱ - 3ON. quod eum quintante primi le 6. aequatur 26 l. are si , in i detrahas i 37. 3o N. remanet quintans primi, nimirum NN. -ilo. est ergo primus Iso N. 313. I. Restat ut trium. summa conficiat M. at eonficit iri N. -3s . . Haee ergo aequalia iunt M. do hit Igitur tertius qui positus erat et N. erit . . dccij qui prius.
IN vas i ixa tres quadratos, ut inter uallum maximi de medii, ad interuallum med ij de minimi datam habeat
rationem. Statutum sit interuallum tibi erualli triplum esse. Ponatur minor I in Medius vero 1 et N. - - I. a latere nimirum I N. - i. Maximus igitur erita - 8 N. - - q. Oportet igitur i-- 8 N. - aequari quadrato. Fingo
quadratum ab IN. ut habeam i &
praeterea a tot unitatibus, ut reliqtiae species quae in hoc quadrato reperientur, numerorum videlicet& unitatum, non utraque sua multitudine superent 8 N.& . unitates, sed altera deliciat, altera excedat. Esto itaque a 3. unitatibus. Ipse ergo quadratus erit I ' 6 N. - - 9. aequalis , lique 1 8 N. -- q. & fit IN. 2. l. Ad positiones. Erit maximus 3o . minimus 6 : Medius ta b & satisfaciunt