장음표시 사용
211쪽
Ix RVA EST IO N EM X X. O Pε κλτio Diophanti satis est facilis , di ad docendum accommodata. Quod ait numeri
quadrato aequandi i 8 N. ' . latus fingendum esse ab I N. - tot unitatibus, ut species quae reperientur in quadrato fictitio non utraque tua multitudine excedant 8 N. - . q. sic accipiendum est, ut talis statuatur in latere unitatum numerus, cuius quadratus superet ted cuius duplum sit minus quam L Nam quod ait Xilander non inueniri telnerE exemplum, ubi pauciore unitates, pluresque sint Numeri, non solum id Umerὸ non inuenietur, sed nee unquam poterit inueniri. Etenim ut numeri alicuius quadratus sit minor quis q. oportet ipsum numerum esse minorem quam 2. vi vero eiusdem nuineti duplum sit maius qu1m 8. oportet ipsum numerum esse maiorem quam A. At omnino impossibile est eundem numerum este timui minorem quam a. & maiorem quam . superest igitur, ut talis in latere fictilio ponatur unitatum numerus, cuius quadratus sit maior quὶm .& cuius duplum sit minus quόm L seu quo lidem est, debet ille unitatum numerus esse maior qu,n a. minor qu uri quales infiniti repetiuiatur inter a. & sed Diophantus mole suo ad vitarulas stactiones , sumpsit ν & finxit hoc latus r. N. - . 3. iacilius tamen nugi potest huiusmodi latus absque tali circonfinitione, si ponat ut i N. tot vilitatibus quarum quadratus superet ut si ponaturi N. -6. fiet quadratus I in Ia. N. 36. aequalis i α-- 8 N. - . unde fili N. 2 l ut prius. Caeterum inuentis semel tribus quadratis proposito satisfacientibus, licebit abique noua operatione infinitos alios reperire idem praestantes, si iam inuenti quadrati ducamur in quemlibet quadratum, nam fient alii quadrati in iisdem rati nibus cum iam inueatis quadratis. Quamobrem & eorum interualla eandem inter se rationem habe.bunt, quam habent luterualla iam inuentotum quadratorum. Itas inuentos quadratos 1 b Ia &3oducas in quadratum . fient tres alij as. 4'. m. idem praestantes, nam maiorum interuallum a. triplum est interualli minorum, quod est a & sic alios infinitos eiusdem naturae licebit in
Per hanc etiam quaestionem reperientur tres quadrati in Arithmetica med etate. Hoc enim nil aliud est quis, reperire tres quadratos, ut maiorum interuallum sit aequale interuallo minorum. Quare ponatur minimus cssimedius I - - 2N. -- I. erit igitur maximus I - Α N. -- Σ. ius latus fingetur i N. -- tot unitatibus quarum quadratus superet 2. Verbi gratia i N. - 2 fiet quadratus Ιχ.- N. q. aequalis I Q N. - . a.&fiet I N. .. erunt ergo suaesiti quadrati', a I. & si eos per eundem quadratum 16. multiplices, fient alij r. V. q9. quos si rursus per eundem quadratum 4 multiplices, fient rursus alij Ioo. ros. &sic infiniti reperientur. Sed & alia operatione subtili sane & iueunda soliti potest huiusmodi quaestio, etiamsi requiratui praeterea ut m dius quaesitorum quadratorum sit quilibet datus quadratus. Sint enim inueniendi tres quadrati in Arithmetica medietate, quorum medius sit 23'. sume duplum ipsius 2s. nempe so. Quia ergo componitur ex duobus quadratis as. & dis. diuidatur rursus idem Fo. in duos alios quadratos percimam huius, sintque hi in dico istos esse minimum Sc maximum quaesitorum, quorum ets. i. resis est medius arithmeticὰ proportionalis, quia enim summa ipsorum I. & ηρ. ex constri oue., dum est ipsius 2y. , erit 21. inter eos medius in arithmetica medietate. Quod erat propositum. Undecim idem m. rursus diuidi possit in duos alios quadratos infinitis varijs modis, eonstat infinitos aliis; duos quadratos repetiti posse, inter quos as sit medius arithmeticE Proportionalis.
ς n. e γινι- ο γ . εμι ο- πραποζ γ ο θ δ' crve: .F 'IN v a Ni, duos numeros, ut utriusque quadratus altero numero adiecto, faciat quadratum. Ponatur primus I N. secundus i a N. ut quadratus primi absumens secundum, quadratum faciat.
Superest ut & quadratus secundi primo adiecto faciat quadratum, sed quadratus
secundi adiecto primo escit Q. s
N. - - I Hoc ergo aequatur quadrato. Formo quadratum a et N. - 2. nemPe q
212쪽
IN v E Ni Ra duos numeros ut utrius. que quadratus, altero numero dempto quadratum faciat. Ponatur minor i N. "quot libuerit unitatum, esto itaque I N. - I. Maior autem sit quadratus minoris dempto I ut minoris quadratus detracto maiore relinquat quadratum. Quia ergo minoris quadratus est i πι--2 N. -- I. utique maior dempto i Q rita N. - - I. & patet minoris quadratum dempto maiore facere quadratum. Oportet itaque & maioris quadratum, puta N. - . detracto minore sacere quadratum; *d facit qα--3N. Hoc ergo aequatur quadrato. Formo quadratum 'a 3. N. & fit i N. l. erit igitur minor l. Maior .. & satisfaciunt proposito.
IN UMAESTIONEM XXI ET XXII. IHIL Me notatu dignum, quod non satis tum a Scholiaste , tum 1 Xdandro sit animas
IN vs Ni R ε duos numeros, ut utriusque quadratus adscita numerorum simiania faciat quadratum. Ponatur minor I N. Maior vero IN. - I. ut quadratus minoris , nimirum I adsumens utrumque puta a N. - I. iaciat quadratum. Superest vi & quadratus maioris adsumens utriusque summam faciat quadratum. Sed maioris quadratus adiecta utriusque summa fit i N. a. Hoc ergo aequale est quadrato. Formo quadratum ab I N. - a. ipse igitur quadratus erit I in N.& fit i N. i. Esto ergo minor: . maior & seluunt quaestionem. ν - α μ' , λει, ει α δ'. γ-m ὀ άυθιὰς εύω, T L π MM
B s C v R v M sottasss alicui videatur, quanam arte suas positiones ita instituat Diophantus. P vi summa utriusque numeri addita quadrato minoris faciat quadratum. Id autem sic consequitur , fingit quadratum ab I quotlibet unitatibus, verbi gratia ab I N. - I. stque quadratust a N. - i. Quare si ponamus summam numerorum a N. - 1. p tet eam additam ad IGecte quadriatum. Sed tune visuisfiat uni postulatorum, oportet I esse quadratum unius nu-
213쪽
merorum quaesitorum. Is ergo erit IN. quo detracto ex utriusque summa quae posita est a N. I. manet alter IN. - I. Vnde patet priorem illum quadratia tu fingi potuisse a quolibet numero Numerorum in quotlibet unitatibus. Verbi gratia fingatur ii a N. fiet quadratus ΑIa N. - 9. Quare ponemus summam nilmerorum quaesitorum Ia N. - 9. ac proinde alterius quadratus cum debeat esse erit alter ille a N. quo detracto a summa remanet alter tb N. s. Itaque si hac operatione quaestion a ab luere libet, restat ut maioris quadratus , nimiruti Ioo. 1MN. - . si adscita utriusque summa nenise Iin - 9. iaciat quadratum, facit autem Io ID N. -- m. Hoc ergo aequatur quadrato, cuius latus immo abs io N. ;o. &sti N. sunt et go quaesiti numeri Quod si velimus uti proprietate numerorum unitate differentium, quibus accidit ut eorum summa aequetur interuallo quadratorum eorundein quia scilicet ex summa numerorum in eorum disierentiam , ' fit interuallum quadratorum , & posita disserentia numerorum I. pro luctum ex summa in dii entiam aequatur ipsi summae longe minore mgotio rem expediemus. Etenim Pon tur minor quaesitorum quilibet Numerorum numerus, puta a N. Tum ponatur maior idcm Numerorum numerus, i, puta a N - r. patet ex demonstratis vitiusque summam additam minoris quadrato effrere quadratum maioris. Restat igitur sollim ut eadem summa cum quadrato maioris faciat quadratum, Ac. Et ad hane numerorum proprietatem sortasse respexit Diophamus, eum pomui morem' numerum a N. maiorem I N. - - 1 viide ex illius operatione facillimum elicio C
piadratrum binario se tim dyride per duplosin Iatoris πιι tim internaris , orieris minor quassorum adiuta smtate sis miori
N v a Nia a duos nuinesos ut viriuς quadratus dempta utriusque numeri summa faciat quadratum. Ponatu minora N. maior i N. . r. vi Galli maioris quadratus dempta utriusqire sitisma faciatquadratum. Oportet igitur &minoris quadratu dempta summa utriusique facere quadratum. Facit autem a s
r I e etiam euidens est Diophantum usum proprietate numerorum quorum interuallum est mistra, , quibus, ut ostensiani est , accidit summam ipsorum aequati interuallo quadratorum abiisse, underi quaesti numeri ponamur unitate differentes, patet eorum summam a maioris Ua drato tetractain velinquere quadratum inuioris. Porro ex ipla operatione elicitur huiusmodi
p. Met in tale durum FG ero biseris , amia minor prasitorem, cret addita νnitate siet maior. PMint tamen etiam aliter institui positiones nulla habita ratione numerorum unitate disterentium. Nam ponatur primus Numeroriam numerus quilibet -- ,quotlibet unitatibus. Verbi gratia, Ponatur IN. --, erit eius quadratus I ON. - - s. Mare statuatur summa utriusque6 N. p. vi detram, .primi quadrato relinquat quadratum Igitur cum primussa I N. - 3. hoc a--ndo 16. y remanebit secundus; N. -- 6. Restat vi ab huius quadrato quieu MHON. -- 36. detrahendo summam utriusque, nimirum 6 N. relinquatur quadratus, at re manent in. - N. - 27s. Haec ergo aequantur quadrato si eius latus s. N. -μ fiet a N. xtumque quasti numeri 7 . . t
214쪽
IN v ε Ni R E duos numeros, ut summae illorum quadratus, adiecto alterutro uadratum faciat. Quandoquidem i inue ei adiicias a Q. sive 3 quadratum facit. Pono quaesitorum numero rum alterum 3 alterum 8 in qua dratum vero sumnaae I sic enim 'u 'dratus summae adiecto alterutro facit quadratum. Et quia summa utriusque est ii quadratus summae erit Iai m.
sed est quoque i Igitur IrI Q in
aequantur I Q. Quamobrem & latus lateri aequale est. Proinde I N. aequalis est H. QUOmnia per numerum diui- dantur iIN. aequales erunt I. defiti N. Ad positiones erit alter i . alter iti. Quadratus verci summae det. Et utisfit quaestioni.
Dorax AT analysis Diophantaea breuius explicati sie. Quandoquidem a in siue ei addicias L in suς 8 quadratum rasi . Pono quaesitorum numerorum alterum se terum .. Quadiatuni vero summae a Q. erit ergo ipsa sumi I N. Sed etiam H i N. aequatur fit i N. HPorro manifestum est loco 3.&8. sumi posse quosi talios quadrat unitate multatos, veluti u. χ4. 3s: quorum duo quilibet nota Vmul rati incti , statui possum pro quaestis numer potito leniret summam illorum esse semperi N. dc eius quadratum I Q. Nam di quadratus sum viri iri potest. 5: loco I Iona quilibet quadratorum numerus quadratus, ut iis Q. Sed tunc oportet quaesito, numeros , statua quadratos multatos eodem ipso quadrato qui ponit pro quadrato si inmae, ut si ponatur quadratus summae 4 Ponentur quaesiti numeri 1 Ac ia de se de aliis. Praeterea dignum est animaduersione hanc quaestionem non ad duos tantum, sed ad quotlibet numeros extendi posse, eodem prorsiis artificio. Quaerantur enim quatuor numeri Vt summae illorum quadratus quolibet ex ipsis adiecto quadratum faciat. Pone quaesitos numeros. 8 in is Q 34 quadratum summae i inserit ergo summa i N. sed est quoque so Q. I tuenti N. de lime quasiti numeri ῆι::b: π in. quorum summa cuius quadratus quolibet illorum adiecto quadratus facis. ut ratet. ει his demum Canonem esiciemus. me torqvaδεψον, eodem αδερον σε ιμμο πυε os , quor peti-ων minera, bos ducito sigiliarim ia ab imm p adratum, pr bati seorsim diu se per 3 in s. ω - .
IN v ENI Ra duos numeros ut summae π π.ΡE N iti, o iniquo Ari: ύ illorum quadratus , utroque dempto I: ιμαμ et ρρο πων et faciat quadratum. Primunt accipio alia Scidi. r. λαι.α ω - ον τινὰ τύα M. quem quadratum, a quo auserendo duos δύο τινας ἄρι-ζναπιλοίπω aliquos numeros,supersit quadratus. Esto μα -- ν. σου δὲ α ιῖ. α δο - ἐας -
215쪽
alterum 7 MAt summae quadratrum Issic enim summae quadratus, Vtroque dempto relinquit quadratum. Oportet itaque summae quadratum aequalem esse
is Quare & latus lateri, hoc est tyaequari oportet N. de fit i N. erit igitur primus in . secundus S: satisfaciunt proposito. IN AEsTION EM XXVI.
VARI ARi possunt hic positiones sietit in praecedente. Nam posito quadrato summae is stati ieimis pro sua sitis duos quonibet numeros, qui detractii i6. sigillatim relinquam qua dratos, quales infiniti reperiuntur, si ponas eos 794& as fiet eorum sui una eta ualu N.&erit i N. . . & quaesui numeri ni& Rurius aute Joco i6. statui potest quadratus summae quilibet alius quadratus, puta a1 36.c sc in infinitum. Vnde sanε diuersarii in tot tionum ampla seges suppetit. Potest ςtiam huiusmodi quaestio ad quotlibet extendi numeros. Ut si petantur quatuor numeri ut lammae quadratus quolibet illorum deuin' relinquat quadratum. Ponatur summie quadri tus rue in ipsi vero sint et i inro. in horum summa fit V inaequalis 1 N. est ergo i N p. suntque quaesti numeri ita O R quorum summa ha cuius quadrato si auferantur Ggillatim inuenti numeri semper relinquitur quadratus. Hi ne quoque fiet huiusnodi Canon. Sume auadratum numerum , a avo .infer soliatιm tot alio dra 1 , quot petinuum Lia Getis si illatim in sumptis piaciratum , producta seorsim diuisa per Pad imo summ
erem dem residuorum, σι sitos exhibent numeros.
erum hἱe desiderari suetur huiusmodi quaestio, quae soluitur eodem artificio. Inuenire duos numeros , ut summae illorum quadratus a quolibet illorum detra ctus, quadratum relinquat. Ponatur summae quadratus I Q qtiem auserendo tum a i Q tum a ro in clim relinquaἡ-tur quadrari, ponamur quaesiti numeri y Q. & ro Q tit'igitur illorum summatum i N. tum is Q diatefiti N. bsuntque quaesiti mime ih.& satisfaciunt proposito. Variati posti
nes potiunt iisdemmodi, , suibus&s aecedentium quaerionum. Et eodem modo ad plures numeros extendetur quaestio, & demum so abitur iste Canon. Diatum que bes adde totidem aliis quadrar ιν. petuntur numeri. Megata aeuito sigiliatim in addititium quadratum, producta seorsim diuisa per quadratum eorundem Varogatorum, quaesito exhibent numerer.
I s ex eorum multiplicatione adscibto alterutro quadratum faciat, quadratorum autem latera iuncta datum conficiant numerum. Imperetur ut iaciant f. Iam clim duo sunt numeri, quorum ma ior est quadruplum alterius unitate deminutum, productus eorum multiplicatione adscito minoro facit quadratu M. pono ergo minoremi N. maiorem veto
N. - i.& contingit producium multiplicationis addito minore fieri qua' tum. Oportet ergo similiter eundem p o- ductum adscito maiore, puta N. I. fieri quadratum, cuiu, latus sit f. cum desectu numerorum qui sunt latus mino-
216쪽
ris quadrati, ut scilicet quod requirit
quaeilio ) duorum latera contusaeia laciant 6. sed productum multiplicationis adiecto maiore facit ' 3 N. I. Quadratus autem a latere 6 - r N. est ψ '36 - et N. Haec ergo aequantur inter se , & fit i N. C. Ad positiones. Postieram minorem I N. erit ergo H maiorem vero posueram N. i. erit igitur T. & constat proposi
HEsa' monet Scholustes lemma quod assumit Diophantus, non de solis quadruplis, sed de Domnibus numeris intelligendum esse qui sint plani similes. Quare sic uniuersaliter proponendum
sint duri mi A B Sc D. tales ut additamitate B C maiori A B, fiant plani similes A C. N D. Eho Hoductum ex AB in Dadscixo ipso D si i quia λ um' . .. a Pi Quia enim A C.&D sunt plani sinites, eroductus ex Α C in D quadratus citi A v C Ai ὀductu, e, A C in D ' aequatur productis ex A B de ex BC in D. productus.
' autem ex unitate B C in D. aequalis est ipsi D. Is tur productus ex ΑΒ in Dadsumpto ipso D. quadratus est. Quod demonstrandum erat. Hine patet positiones infinitis aliis modis institui ρ'tuisse. Nam posito minore IN. toni poterat maior non sollim N. - I. ut fruit Diophantus, ted etiam 9 -LI6N. - i. de sic inm-tum. Vel etiam posito minore 3 N. poni posset maior Ia N. -L vela7 N. - I. dee. & relato rursus minore 9 N. poneretur maior IC N. - I. vel 23 N. - I. Ece. Ex ipsa autem Operatione elicie
Sit data sumnia laterum 7. Cape quemlibet quadratum unitate multatum, puta S. cui adde M i fit bis ex 7. in latus quadrati sumpti, erit aggregatum so. per quod diuide quadratuim ipsius 7. miste auctum, puta so. fiet I. minor quaesitorum, quem si ducas in quadratum s. initio lumptum, productus unitate multatus, nimirum 8.erit maior numerus. Itaque r.&8. satisfaciunt proposito. imotirem in huiusmodi Canone tradendo allucinatus est Raphael BOm lius lib. 3. Pini mite M. & E filis Canone salsos elicuit ibi utionis numeros de Mi. quos mimis soluere quaesti nem experiendo deprehendo - . ε' Caeterum sicut per suum lemma Diophantus sic suas instituit postiones, ut productus adicito minore numero iaciat quadratum, sic riteri inius eas rursus ita instituere, ut productus adscito maiore numero iaciat quadratum, tali praemisso iςmm ς' . . . i.
Datis duobus numeris, quorum minori desit unitas quo minus ad maiorem, na-beat rationem quadrati ad quadratum, productus ex datorum multiplicatione adsim to maiore quadratum facit. . c. εSit maior Α,&BC minor, cui addita unitate CD fiant Α. &BD. plani sinitIes. dieo productum ex Α in B C adsumpto ipso A ficere quadratum. u v V' D B D quadriius. Sed productus ex Α in B D aequatur productis ex A in B N iuC D. N productus ex A in C D aequatur ipsi A. Igitur productus ex A in B C. addito ipso A. fit quadratus. Quod demonstrandum ς I Hoe supposito statuatur maior N. minori N. I. sic enim producitis 4 q. N. adicit nutiore iacit quadratum 4 in restat ut idem productus adscito ininore, faciat quadratum , cuius latus sit 5 - 2 N. facit autem in Q 3 N. - . Hoc ergo aequatii r quadrato A Q. Hai N. - 36. A fit i N. E suntque qua siti numeri :: Ecg. Hine eficietur Canon alter. usae ruran Demittit .nitate multis, sera ob plo prociacta ex iatere ipsius in sanniam tale I. Max
217쪽
, a. qui fit ex ipso . bis in latus ipsius y. relinqititur 3 . per syiem divide quadratum ipsius I. unitate aucti ina, ni mitium m. fiet mi unde ablata unitate relinquitur π minor quaesitoriim; At ducto η in quadratum v. fit maior V, .sed & nicito uniuersalius proponi potest hare quaestio, nimirum sic. Inuenire duos numeros, ut prini ui ius eorum multiplicatione, adscito quolibet alterutrius multiplice quadratum saciat, & quadratorum latera iuncta datum conficiam
numerum. Soluetur autem eadem arte auxilio eorundem lemmatum , quae & ipsa in unum contracti sieproponentur uniuersalius.
Datis duobus numeris quorum uni desint quotlibet unitates, quo minus ad alium rationem habeat quadrati ad quadratum , productus ex datorum multiplicatione adsit impio alterius multiplice secundum unitates quae alteri desunt, fitqtiadratus.
Quaerantur ergo duo numeri, ut productu; eorum militiplieatione adscito alteruttius duplo q-dratum faciat, & latera quadratorum conficiant 6. Ponatur minor i N. maior per lemma praece
dens elici a N. - 2. se enim producti is - a N. adscito minoris duplo facit quadratum Restat vi idem producitis adscito duplo maioris saciat quadratum 1 latere 6 a N. facit autem 6 N. - . Hoc ergo aequatur N. - 36. dc fit 1 N. . Sunt ergo quaesiti numeri & quorum productus V adscito sigillatim utriusque quplo quadratos iacit 3 dera'. quorum latera& P. quorum summa I seu 6. Rursus. in rantur duo numeri ut prodκ his eorum multiplicatione adieno primi duplo, tum secundi triplo quadratum Actat. α latera huadi Motuip conficunt o. Ponatur primus i N. 1 undus
N. - se enim productus a N. adscito primi illipta sicit quadratum 4 Q Restat ut ident productus ascito secundi triplo faciat quadratum a latere s-a N.Acit autem - πια ε Moeer aequatur Rra N. et fit v. sunt ergo quxsiti numeri V: & μ quorum productus vaeseito primi duplo dc secuta triplo, qua stato, ficit : de quorum latera: : de V quorum tam via P seu 6. Hine etiam canon elici potest, quod exercitationis gratia tibi faciendum relinquo.
IN va uia a duos numeros, ut productus ex eorum multiplicatione detracto alterutro quadratum laciat. At quadratorum latera coniuncta faciant da tum numerum. Faciant itaque s. & qu niam si duo sint numeri, quorum maior sit minoris quadruplum auctum unitate, producti is eorum multiplicatione, detracto minore facit quadratum. Pono maiorem N. - . minorem vero I IL&productus eorum multiplicatione detracto minore facit quadratum AE Q. cuius latus a N. Superest ut idem pro suris detracto maiore faciat quadratum , & ut quadratorum latera coniuncta conficiant imperatas unitates s. sed productus ex militiplicatione illorum dempto maiore,
iacit in in 3 N. - 1. hoc ergo aequatiuquadrato a latete s - i N. & fiti r Erit igitur minor maior de citissa- ciuiu quaestioni.
218쪽
LEMMA, quo utitur Diophantus sic uniuersaliter proponendum est. Datis duobus numeris quorum maior unitate multatus , ad minorem sit in ratio
ne quadrati ad quadratum, productus ex datorum mutuo ductu, detracto minore quadratum relinquit. A A c in ior A C. & D minor, de , malo i auferendo unitatem B C. suoet sit A B
' qui ad D sit in ratione quadrati ad quadratum, dico productum ex Din AC ' detracto ipso D relinquere quadratum. Etenim prodia, ius ex Din A C ' aequa- ε .sicinia. t ut productis ex D in Α Β & in B C. At productus ex D in unitatem B C aequatur ipsi D. Igitur productus ex D in Α C detracto D relinquit pro lumini ex D in Α B. Sed productus ex D in Λ B qua dratus est, ' cum Α Β & D ponantur plani similes. Ergo constat propositum. 1Hinc etiam patet positiones infinitis modis vaclari posse. Nam posito minore I N. maior poni 'poterit non solum N. I. ut fecit Diophantus, sed etiam V N. I vel IO N. - - I &c. & si minor ponatur 3 N. ponetur maior iaN. - I. vela N. - . i&e. Rursus si ponatur minor N. y netur maior 9 N. - i. vel I6 N.-t. vel as m. si &e. Ex ipsa quoque operatione sormabitur huiusmodi Canomunitate iratum aufera dupis extitere ipsius in summodaraim
Sit data summa laterum sumpto quadratos. aufer ab eo unitatem siperest L quem aufer 3o. duplo producti ex s. in 3. superestra. per quem divide quadratum ipsius y. unitate auctum puta acu fiet minor quaesitorum, quo dino in quadratum s. fit cui addendo unitatem fit maior quaesitorum & satisfaciunt proposito. Possumus etiam ira instituere positiones, ut produmis detracto maiore riuuacro relinquat quadratum, tali praemisse lemmate.
Datis duobus numeris, quorum minor unitate multatus, ad maiorem sit in ratione quadrati ad quadratum, prόductus eorum multiplicatione, detracto maiore quadratum relinquit.
d demonstiatur eodem prorsus modo quo praecedens demonstratum est. Hoc autem praemisso. Ponatur maior N. minor i N. -- I. Sic enim productus , nimirum N. detracto maiora quadratum relinquit cuius latus a N. Superest igitur, ut idem quadratus detracto mi nore licdratum relinquata laterus --a N. relinquit autem Q -- 3N. - hoc et aequatur quadrato as ao N. - demi N. E. Sunt ergo quaesiti numeri Wdess. Hinc etiam elicietur alius Canon. Quadratuim in is et unitate multatum auri duplaniarum ex latere ipsius insem-am distam lusetemo , per auregatum diuide quadrarum summa laterum , vestare auctum , orietur no 7- istorum untiate A intra, quemsic matiatum tacito in quadratum initios mira ,siet minorqua,
. . Potest α uniuersalius proponi quaestio.. Inuenire duos numeros, ut productus eorum multiplicatione, detracto quolibet alterutrius multiplice, quadratum relinquat, di quadratorum latera iuncta, datum
conficiant numerum. Et soluetur eodem prorsus artifisio , auxilio lemmatum traditorum , quae de ipsa in unum tracta proponentur uniuersalius, hoc pacto.
Datis duobus Numeris quorum unus quotlibet unitatibus superat numerum , qui ad alterum rationem habet quadrati ad quadratum, productus ex datorum multiplic tione, detracto alterius multiplice , secundum unitates quibus alter abundat, quadratum relinquit. Maerantur duo numeri, ut productus eorum multiplicatione detracto primi duplo, &secu implo, quadratum relinquat, & laterum sumina estos. Ponatur primus i N. secundus i N. - , sic enim productus I a N. detracto primi duplo resimquit quadratum et uius latus I N. Restatuturo idem productus detracto secundi triplo saeiat quadratum, cuius latus sit 1 cit aurem I I N. s. Hoc ergo aequatur I io N. - 2y. x fit i N. sumque quaesiti nurineri F &Caeterii in hie desiderari videtur huiusmodi quaestio. Inuenire duos numeros, ut productus eorum multiplicatione, detractus a quolibet , ipsistum, quadratum relinquat.
219쪽
Ponatur minor I N. maior quilibet Numerorum numerus qui ad minorem rationem habeat qua diati ad quadratum, puta e id productus Q idctratius a qu iubet ipsorum, relinquet i N. - N. - aequales quadrati , di quia Numerorum numeri sunt plani similes, du.catur denominator rationis eorum , in minorem ut Numeri aequentur, fient ergo N. i5se N. - aeciliandi quadratis, horum interuallum estia Q. Quare sumendi sunt duo numeri, quorum mutuo ina diu fiantra Q.&horum summae semissis quadratus aequabit ut maiori, vel in te alli semissis quadratus aequabitur minori, sunto hi a N.&6N. erit suminae semissis quadratus is
aequalis N. - numeri :& horum productus ei detractus ab ipsa relinquit quadratosquksitos H & Mod n eui sorte modus iste utendi duplicata aequa-
litate obscurior videbitur, legat quae adnotauimus ad quadragesimam tertiam quarti, ubi funiis a nobis explicitur.
IN venias duos ninneros quadratos, ut productus eorum multiplic tione adscito alterutro iaciat quadratum.
Si ergo posuero unum quadratorum ialterum veto r. erit productius eorum inultiplic tione quadratus I Opinctigitur hunc adscito utroque sacere qu dratum. Pramobrem res eo deducta est ut quaeramus qui quadratus adiecta unitate faciat quadratimi. natur quadratus quem volo esse productum nrultiplicationisi insi ergo is adsumat unitatem, se I i. hunc oportet aequari quadrato. Formo quadratum a latere i N. - a. hic aequalis erit is i. & sit r. N. :. est edigo alter A alter ὐ dc accidit productum multiplicatione illorum adsi impia unit, te fieti quadratum. oportet ergo eundem productum adsumpto altero seri
quadratum. Et quandoquidem prod cius ille est eis ponatur nunc in quadrato, nimirum ' δ- ω de omnia sedecies. Igitur 9 ρ. aequantur quadrato r-mo quadratum R. latere 3 N. - se igitur quadratus erit' in ε - 2 N. S fit 1 N. d. Erit ergo primus N. secun dust s& sbluunt quaestionem. ιουσι MONEM XXIX. OB seu fit bibitur m Maia lux, ii athhna scholiasta vel Miandr6 sitis explicatur. Ita hos e quisibili fila lucem iis M , , i 'in mxonimi uisonitur Iter ad libitum puta 1 quorum producto, si ipsissilui inia re tar, fiAstri, et intum I ' L aequandi quadratis, quae duplicata aequalitas inen icabilis in. ni obretii posito primo i Meeundus nonesi ad libitum ponendus, sed ut saltem uni propiniiti parti satisfiat pet ipsas positiones, talis delirendus est secundus vi ductus in is N producio
dendo i iat 'uadratus. Quia vero primus in a Q. & unitas non immutat numerum quem mul- ficat, patet in sodiaei, ut inueniamus quadratum, eui addendo t. fiat qυadratias. Id ergonet Persiam operationeui, hoe pacto. Statuatur quaesitus quadratusi utari adscita unitates i
220쪽
t aequandus quadrato, cuius latus modo insuperioribiis quaestionibus saepe usitato fingeturaba. N. -- tot unitatibus quarum quadratus superet i. Fingit illud Diophantus I N. - 2.&fiti N. . de quaesitus quadratus A. Itaque δε propositana quaestionem redeuntes ponamus primum ira secundum L. Sic enim productus . Q. adiumpto primo facit quadratum A igitur ut idem productus adiumpto secundo quadratum faciat, facit autem K. Hoc ergo aequatur quadrato. Sed ad vitandas fractiones, omnia per eundem quadratum I 6. multiplicantur, de fies Q. - - 9 aequandus quadrato. Nec immutatur per hanc multiplicationem aequalitatis racio, quia enim quadrato per quadratum multiplicato seu diviso, semper fit quadratus, patet si ' --9. aequetur quadrato, oc eius partem decimam sextam, quadratum sese, de E conuerso. Huius igitur latusfins mus 3 N. - tot unitatibus quarum quadratus superet9. puta 3 N. - . fieti N. . & λ-lutio est manifesta. Hi ne formatur Canon. Cape Δοι quaarator auadratum vi conflatentes, aliero te riterum , fer alter quaslio . Tum diuisem Diaratum a est a tertio alia quouis q drata , resiam 1 draim d uiso per εὐ- druplum ' iacti ex tertia eodem quadrato in viata ratum initio disi MN , auemm exbιbebit. . Verbi gratia. Cape quadratos 16. & 9. fiet alter quaesitorum p. Tum aufer I5. , quouis alio quadrato 36. restat ata cuius quadratum 4 . diuide per quadruplum Producti exis. in 36. nimirumperetro . fiet alter quaesitorum Diuersitas autem tum operationis , tum solutionis E triplici capite 'rici potest. Plinio enim utriusque numeri resitioite eadem manente, primo scilicet posito a se secundo in ultimi numeri quadrato aequandi, nimirum ipsus 9 9. latus diuersimodὰ fingi potest, via ieetr N. - . vel 3N. 6. de Min infinitum. Secundo. Quamuis primus maneat I γotest secundus aliter atque alit et poni ecum inirentii
possit ut infiniti quadrati diuerit ab ipso A qui adsumpta unitatς quadratum faciant, quales λα
Denique primus quoque numerus diuersim E poni potest, nimirum quilibet quadratoriam numerus quadratus, puta 6 Dcc. Sed tunc pro secundo sumendus erit quadratu, alia quis numerus, quo ducto in primum Se producto addendo ipsum prunum, quadratus fiat. Vnde prius soluenda erit huiusmodi quaestio
Dato quadrato, alium inuenire, ut productus horum multiplicatione adsciscena datum quadratum, faciat quadratum.
Datus esto Quaesitus quadratus ponatur i Q horum productus est ui adscito 4. Reit a Q. - quadrato aequandum, cuius latus esto a N. -3. fiet I N λ. de est quaesitus quadritua, A. quo ducto in A. de producto addendo fit quadratus ut a latere V. Hinc, si lil, et . fiet leminei es Canonem. Dat .m -isatum in ' a p. olibet gi adrato, ct per p--plum productι horum quadrato diuide residui imus quadratum, vel e conmerso. Utropumodo orietur quasitus quadratara.
Vt in hypothesi aufer . s. dcresduis. quadratum 2F. diuide per quadruplum producti ex itis. nimirum per i Φ fiet quaesitus quadratus vel diuide IV. per M. fiet etiam quaesitus quadratus, Nam hie semper duplex contingit solutio. Hae praemissa quaestione soluetur Diophantaeum problema, hoc pacio. Ponatur primus seeundus e se euim satis fit uni parti postulati. Restat ut productus horum multiplicatione, nimirum : adscito secundo faciat quadratum , facit autem Hoc ergo muatur qua diato, de omnia dueendo in t 4. tum diuidendo per ets. fiunt 4 QL- I. aequales quadrato, cuius
latus esto 2 N - 3. de fiet I N. l. erunt ergo quaesit; quadrati di de P .
INV Nixa duos numeros quadratos , ut productus eorum multiplicatione dempto alterutro iaciat quadratum. Et si positem primum I Q. alterum I. erit productus eorum multi Ricationei Q Oportet ergo illum dempta unitatefieri q i dratum, est autem i quadratus. Eo itaque redacti sumus, ut quaeramus quis quadratus dempta unitate remaneat quadratus. Est autem huiusmodi ET PEIN δυο αριθμους μελιο σακο υοτ αυει λειψει ποινγουσον. 6 εαν τάξω - ῖον δύναμh. μαν, τὶν ἔτερον πιναία μιαν. ἔ- ό i αυγγ δύναμυς iusα. δείσει συε αυσψει πινυα ωαξ πιειν τετρώγουσαν, si ἡ δύναwe τεγῶὸν M. ἀπλυι ερν ἀο ἀ