장음표시 사용
221쪽
quadratus Hic enim demptis A relan. quit quadratum no igitur alterum i alterum & productus multiplicationis dempto a Q relinquit quadratum. Superest ut idem productus demptis ci sit aequalis quadrato. Sed productus dempiis ζ: fit '. u. Hoc ergo aequatur qua drato. Omnia per sedecim multipliceritur, tum dividantur per 2 fit I r. aequandus quadrato. Fornao quadrat uni ab i N. - . Ipse igitur est i - Io. 8 N. aequalis i -- r. & si i N. v. Erit ergo primus Q. secundus se satisfaciunt postulatis. IN ION EM XXX.
EX et Ret M A verba huius propositionis, in Graeco monstm,ia deprauata sunt, ut ex ipsa aequa. tione manifestum fit, qua nitineri zy -a . latus fingitur et N. - . unde contingit 16 - 8 N. aequari as Q u. 8c in complexam aequationem deuenitur eum tandem qI. maneat aequalis et Q. - 8 N.& fit solutio irrationalis. ciste neseio quomodo sibi persiadere potuerit Senoliastes hane esse mentem Diophanti. Nam quod ipse ait valorem adrati esse I. atque adeo et idem esse atqueet4. sunt merae num, de se erilius etiam nugatur xilander, elim mirificam appellat rationem hane inueniendae simplicis aequationis. Si enim a Iesi t. norme etiam I N. e bi tesset non autem P. Si vero modus iste quo utitur Scholiastes admitendus est , nonne liectetiam ponere latus quadrati IN. a. N aequare N. - . numero as Qinas Sed haeratione tandem. et'. aequatur a et: -- Α N. Quod ut somniae Sehesiastes a inest r. Ze a Q. sunt a . fiet valor Numeri eritque alter PMittorum quadratorvm I alter rutius P qui nequa,
. istisiaciunt postulatis, M se aliis i innixis exemplis pronum est ostendere sutileni esse hine opum i rationem. Nee milii. Obiiciat liquis, vλlorcin Numeri Scholiasse inuentum neni xim iacete proposito, nam ex falio Hrum insem mest , di ex uno aut altero exemplo h filia eolligitur regula generalis. Falsitatis etiam manifestὸ arguitur haec aequatio, ex eo quod puratorum numeri rei blucndo hypotast 1 in 'a N. -- 16. non reperitur aequalis asin. M. Nam r. m 8 N. - i fit VI Ac as fio Valeat rem ridiculum Scholi stae eonini eorum, quo non esceus ad pedem, sed pei d calcetum accomodatur. Porio tribus in is corrigi potest te xyx DiOpltanti. Primo numeri zy Qir as ponendo i nunoni N- . Sed FN. - I unde fiet IN. t erumque quaesiti quadrati H de B Qua ratione numeri solutionis omnes mutatuli erunt. Secundo cui cipiendo Diophanium, numerum Q. -κ prius mulsificare per iis . unde fitai uinas. de hunc deinde diuidere per I unde fit 16 Q inquantasQtiar to, cuius latus sita itus non I N. - Sed 4 N. Idc fit i N. V de solutionis numeri non mu-xatiuir. Denique, qii maxima mihi arridex, dc mea in versione sequutus sum , diei potest
Diophantum non soluin multiplicare per Io. numerum μα- unde it a Q. -zy. Sed hune praeterea diuidere per as. unde hi tandem I Q t. aequandus quadrato, quod familiare Diophanto est, ut in minimis numeris Acilior sit operatio; dc ut iam monuimus quadratus perquadratum multiplieatus 3c diuisus, quadratus manet. Tum numeri I in I latus fingit IN. - de omnia optimὰ cohaerent, de solutionis numeri omnes eongruunt. Non ausus sum tamen in textu Graeco
tantam inducere mutationem, sed satis habui verba deprauata asseristis includere, quae s quis velit ex nostra versione corrisere, id ita commode fiet. Παν- ἐάκα διυ ης . e r κε. γ ni
&p ra ratione dato quadrato, ii uenietur alius, ut productus eorum mutuo ductu multatus dato quadrato, relinquat quadratum. Et tandem ex operatione Diophanti eliciet ut huiusmodi Canon. Cape ex duo ν quadrati/-. eui assita aAum a remis auadratum, si εquadretum dum Per auadruplum prodiati quadratorum si I - -- ; oriatur alter
222쪽
Vetbi gratia cineas conlpositum ex &I6.eui adde quadrarum cui , adratum DC divide per icio. ex i in V. quater, fici alter quaesitorum 2. Altet ucro in Nam
his temper du contingit talum. 1t T . Hi Cineium hie desiderari videtur huiusmodi quaestis. Dia .in . D I
Inuenire duos quadratos, ut uterque multatus prodiscis multiplicationis eorum quadratum telinquat.
v a Ni R E duos nul ner , Ut sinod cius ex eorum multiplicatior intumni
summa est 1 N. Igitur Ir. aequantur1 N. & fit i N. n. seu L erat itaque priimus i N. erit ergo ἔ. Ad secundus qui erat V N. erit i in m. & soluunt quae
LEMMA quod assumit Diophantus, nil aliud continet quὶm quod ostensum est quarta secundi Euclidis, quarta secundi potismatum. Nam altera illarum propositionum demonstratur
otinararii in silminae numeror uim , altera
duplum producti additiim summae
, summae quadratorum, eiscere quadratum summae numerorum I altera vero eoncluditur duplum producti detractum , summa quadratorum, relinquere quadratum interualli numerorum. Caetetum toxa operationis &soliationis varietas pendet , duplici capite 1 rimo enim loeo 2. N 3. simi possunt alii duo quilibet numeri, & aggregatum quadratorum ab ipsis statui pro producto inultiplicationisi de duplum prodincti, pro summa ipsorum numeronim. vi
223쪽
si sumas a. & . Pones productum multiplicationis ao. summam numerorum in Secundo, manem: eadem prini, positione. ipsi numeri vari poni potiunt, ut in hypothesi Diophanti possibproducto is a & iumma ia in I pii numeri poni pollunt duo quilibet quorum mutuo ductu fitra I; in authot vi vitandas tractiones posuit a N. 13. N. sed poni possent a N. & 6. N. vel 3. N. & in infinitrum. At posito producto ao Q ni poterunt ipsi numeri et N. 3: ra N. vel N. & s N. vel duo quilibet alij numeri quorum mutuo ductu sant zo Canon quoque hine tarmabitur. Hi ed parum in eo erit compendii simili quoque artificio soluetur huiusmodio inuonire Aios numerosi, ut summa eorum, producto multiplicationis siue ad dito, sive dempto quadratum faciat.
Ponatur summaa; productum ia c ipsi vero numeri r N. & ra N. fiet ergo summa i3 N. aequalis 13 Que si i N. r. suntque quaesiiti numeri I di I a.
quadrato ut proditimis eorum multiplicatione siue addita , siue dempta am- rum sinima quadratum faciat. Quo niam si sint duo numeri in dupla rati ne, & duplum producti multiplicationis eorum quadratus est, & si imma qu dratorum ab ipsis, siue addito , siued tracto duplo producti quadratum Tacit, exponamus q. &a.'& patet quod duplum priaucti eorum facit quadratum 16. d lumma quadratorum'ab ipsis puta ao. siue addito 16. siue dempto facit quati
tos 26. & . Ponantur emo in quadrato.&esto productum multiplicationis io summa vero numerorum I 6. Qi, sit autem altera N. alterio N. ergo uterque simul 1a N. sed&16. Q. Proinde I6Q, a qua tur ii N. & fiti N. H. hoc est . eritque primus :. secundus p. & siluunt quae-itionem. IN QV SτIONEAM XXX M. LEMMA bie assumptum idem fere est eum illo quod in praeeedente explieatum est, cui tamen
superaddit, expotatos numeros debere ede in ratione dupla , ut duplum producti eorum sit quadratus numerus, cuius rei ratio euidens est, quia ducere numerum aliquem bis in sium dimplum , idem est atque ducere eundem numerum in suum quadruplum; At numeri in ratione quar. Mui. drupla sunt plani similes. ' Quare patet ex eorum mutuo ductu fieri quadratum. Variari autem potest operatio & solutio totidem modis, quot & praecedentis, di easdem ob causas ut manifestum est. Caeterum etiam aliter operari possumus, hae arte. Sumantur duo numeri qui sint latera eirca
rectum trianguli rectanguli, seu quorum quadrati simul quadratum eonficiant, quod fiet per telatiam terii, potismatum, sintque hi 3. & Eritque summa quadratorum 2s duplum producti 2 Et stati tantur in Quadratis, ponaturque produsium as Q. summa numerorum 2 Q. Ipsi veromerii N. de as N. vel alii duo quilibet quorum mutuo ouctu fiant as in erit re umma 26
aequalis 2 Q 3e fit x N. η. suntque quisti numeri li de l. Hie etiam λsiderari videtur huiusmodi quaestio. Inuenire duos numeros, aequales quadrato , ut summa eorum, producto multiplicationis siue addito siue dempto, quadratum faciat.
224쪽
ionatur numma numerorum 23 roductum ipsi diis quili quotalin mutuo ductu fiam et inpura N. de 6 fiet summaru N. aequalis as. Qi de fit IN. l. iunt ergo quaesiti numeri P . Caeterivri huc quoque pertinere Videtur x li, quoi - - . e Inuenire quadratum cui siue addatur, siue adimatur uium latus, nat quadratus. Ponatui quaesitus quadratus as matus illim igitur aequantur x N. α fit I N. n. Hi odem arti ἱcio reperietur quadratus, eui addendo & adimendo situm latus quoties quis lusi iis, sat quadratus. Vt si quaeratur quadratus , cui addendo & adimendo quater suurn latus,fat quadratus. Potinui quaesitus quadratus as Q. Tuin ipsius ' sumpto quia nie , sumὸς uelatus 6 Q. Nam eius quadruplum a ditum vel ademptum ipsi as in quia initi ruit. I tuto equantur 1 N. fitqMI N... Est ergo quaesitus quadratus
IN v E Ni R a tres numeros, ut cuiusuis illorum quadratus adstito proxime subsequente numero, faciat quadratum. Ponatur primus I N.& quoniam si numerus numeri duplus fuerit , 3c adhuc unitate maior , quadratus minoris adscito maiore facit quadratum, ponatur secundus primi duplus & unitate maior, erit itaque a N - - r. Rursumque tertius huius duplus & unitate maior, erit utique 4 N. -- 3. & accidit quadratum primi adstito secundo fieri quadratum I 2. N. - desintiliter secundi quadratum ad--pto tertio facere quadratum 4 8N.-- q. Oportet ergo & tertij quadratum adiecto primo sacere quadratum. Sed tertu quadratus adiecto ptimo iacit 1ε -- 23 N. - '. Hoc ergo aequatur quadrato. Formo quadratum a latere 4 - Ipse igitur erit Is -- 16. - 3a N. de tit i N. Erat ergo primus p . secundidus tertius 'l. de soluunt quaestio
IN I VAESTIONEM XXXIII. a N. pone: secundφΑ ni rid. vii inii numeri quadrato aequandi
Iatus fin i potest 4 N. - quotlibet unitatibus quarum quadratus superet 9.' id latus fingi 3 quotlibet Numeris, quotlim quadratus supciet I 6 put33 FN. 3τετραγωνο. - ο τ μου προ Ἀμων
225쪽
IN MI TIO FAEM XXXIV. i. a , ta T EMM A quod assimit Diophantiis nil aliud dicit , quam quod ostensum est propositi tute de cima nona prima por limatum, operatio & Alutio totidem modis variari potes, quot dipta cedentis, ut diutius . mora up .non sit in re manifesta. INvε Ni Re tres numeros, ut cuius iis quadratus detracto proxime se sequente numero, faciat quadratum. Quand quidem si numerus numeri duplo unitate minor sit, quadratus minoris dempto quadrato maioris , facit quadratum estatuo primum i N. -- r. secundum a N. t. Tertium similiter N. --I..& ac
, cidit quadratum primi dempto secundo sacere quadratum, & adhuc quadratum secundi dempto tertio facere quadratum. Restat ut& tertii quadratus dempto prinmo quadratum faciat. Sed terti j quadratus dempto primo facit is in in 7 N.
IN v x , i κ a tres numeros utvnhiscuiusque quadratus adscita summa omnium faciat quadratum. Quandoquidem si mimeriis numerum metia turo & sumamus eum per quem metitur; & duorum metientis scilicet , &eius per quem metitur) minorem de maiore auseramus, residui semissis quadratus adsumpto proposito initio ad metiendum numero , quadratum facit. Ponos linamam quidem trium aliquem quadri
torum numerum, qui habeat tres ipsumlnetientes. Esto itaque ir. Nam ipsum metitur unitas peris.&2. pere .per
. & si detraxero metientem ab eo diquem metitur, & residuorum s i ,
sui aps ero . Ponam tres numeros primum quidem 3 ἰ. secundum vero a. tertium autem & patet horum uniuscuiusque quadratum
226쪽
dratum adscito ia. sacere quadratum, nimirum ia: & i6. Sc r. .. Statuo igitur illos in numero primum N. secundum a N. tertium i N. Oportet autem trium summam aequalem esse ia in sed trium summa est 8 N. . Proinde 8 aequantur Ia i N. ri seu r. Erit ergo primus; seciuidus P. tertius ἰ de constat propositum. ο τρίλ β'
LEMM, Diophanti coincidit prorsiis eum quinta secundi Euelidis, vel eum feeunda secundi potismatum. Solutionis varietas a duplici pendet capite. Primo enim summa numerorum pom test non sollini ra ed & quilibet alius quadratorum numerus. Deinde posita eadem summaria ipsi numeri diueclinio M poni Possunt, prout sumentur semisses interualloriim duorum quorundiet numerorum , quorum mutuo ductu fiat 12. Nam quod metientes sumendos este ait Divoliantus, id iacit iacilitatis o tia , ad vitandas stactionum in testias. Caeteriim quinta secundi ui innititur haec operatio, abstrahit , numeris integris, de a factis, ut liquet ex ipsius demo stratione. . 'nse si placet sol abis huiusmodi ' n M. i . - . ne miramlibet nurneraran, tum capcter duas p -- - fiat , - - et simul additas dumis. ro si t- --- , γρtientem sigiliatim in, fetis e sita m . - . in Verbi gratia sume 8. qui it tum ex . in mm Gq. in I a. tum G 6 in s. interuallorum s ni isses sunt Ii. . i. quorum summa i6. qua diuisa P s.fit quo ducto sigillatim in ipsos 11. . i. fiunt quaesiti numeri τ l l. i
INVεNI 1 a tres numeros, ut unius cuiusque quadratus, multatus summa amnium, faciat quadratum. Pono simi- iter aliquem numerum qui tres ipsi mnetientes habeat. Esto rursus Ia. additoque metiente ad eum per quem metitur, de semisse summae capto, statuo tres numeros, primum set N. secundum N. tertium 3 ἱ Ν. de contingit liorum unius. cuiusque quadratum demptis Ir acere quadratum. Surerest ut trium summa sit aequalis 11 med tres smul iuncti sa-ciunt i N. Igitur I N. aequantur Ia & fit 1 N. I. Erit ergo primus V q. secundus v. tertius satisfaciunt quae stioni.
E M M A lite assumptum iisdem inititur fundamentis, quibus de lemma praecedentis, ut manil festum est solutio quoque totidem modis variari potest. Et ex ipsa operatione λrmabitur huiusmodi Canon. M
227쪽
sinisses simia initos draude per sumption - - , ducito sigiliatim ni tis semisi , sient mι meri. Verbi malia, sume qui fit tum G a. in 24. tum G q. in 12. tum G 6. in L Aggregaroniae semisses itine 13. 8. 7. quorum summa 28. qua diuisa per q8. sit A quo ducto sigillati iti in ipso I3. 8. 7. fiunt quaesiti numeri N. e trium Diophantus more Graecorum utendo sex onibus stactionum. Primum quidem cibi. buit I. id est P.&dimidium ἰ. hoc est S Tertium vero b id est . di dimidium tiseus.
Patet autem eodem prorsus artificio, & hanc de praecedentem ad quotlibet numeros extendi posse , quod unico exeinplo docuisse susticiet. Quaeruntiir quatuor numeri, ut uniuscuiusque quadratus multatus summa omnium, quadratus remaneat. Vtendo Catione allato, stimatur 'qui sit ex 2. in Σ . tum ex3. in 16. tum ex q. in Ia. tum ex s. in8. Aegregatorum semisses sunt i s. l. 8. . tuorumianima 37. z. qua diuisa per Q. fit quo ducto sigillatim in ipsos i3. p. i. 8& . de omnibus ad eandem reductis denominationem, sunt quaesiti numeri V. .
228쪽
qiradratum. N V E NIR E tres numeros , ut uniuscuiusqtie eorum quadratus a summa trium numerorum detractus, faciat Expone duos quadratos, 2terum ab rN. alterum a 2 N. & sit summa quadratorum ab ipsis Pono ergo
summam trium numerorum sin&quaestorum primum I N. secundum vero a
N. Ita duabus propositi partibus est satisfactum. Et quoniam habemus 3. qui
diuiditur in duos quadratos, nimirum I. ει . diuidatur idem rursus, ut supra demonstratum est, in alios duos, quadratos , videlicet in ii. de 'C. Pono igitur tertium latus unius horum, puta i N. Menim illius quadratus a summa omnium de tractus facit quadratum superest
ut tres simul aequentur ue sed tres simul efficiunt 3 ζ N. Igitur i N. st ea.
Li III. Lilrum Diophanti comment ij.
OPaR A τ io Diophami facilis est. Numerus ex duobus quadratis compositus, puta s. rursus diuiditur in alios dilos quadratos per decimam secund. Vnde patet hanc quaestionern ad quotlibet numeros extendi posse. Etenim quarantur quatuor Numeri, ut iussi temrum quadratus a summa numerorum demptus, relinquat quadratum. Ponatur summa s timiis veto I N. secundus a N. Diui que s. rursus in duos alios quadratos, quorum latera N, ponatur tertius N. Quartus V N. erit summa omnium si N. aequalis 1 fiti N. Sunt ergo quaesti numeri i. T. Diuersitas porro operationis & solutionis e dupliei capite oritur. Primo enim summa numerorum poni potest, quilitat quadratorum numerus ex duobus quadratis eompositus, Puta io in I3 Q. II in&c. Deinde manente eadem summa numerorum
229쪽
putas Q.: sunt ipsi numeri poni diuersimodε, prout s. diuidetur in alios atque alios quadratos.
mam ἀκι de in nu--- Διιιa sumptum , intientem ducito sigiliatim in i ι latera, sotr si numeri. t tantiit ε. numeri. Sumeis. quem diuide bis in duos quadratos, erunt horum latera r. 8. q. T. quorum summa am qua diuisa peris. fit quo ducto sigillautii in supradicta latera, fiunt quaeuti numeri AE
IN v ε Ni R a tres numeros, ut quadratus senimae ipserum , quouis ipserum adium to quadratum faciat. Ponatur quadratus summae trium numerorum I
Tunc statuam primum 3 Q secundum Stertium Is ut quadratus summae trium, nimirum I inadscito quolibet ipserum faciat quadratum, hunc quidem 4 in illum vero ρ. illum deniquea 6 oportet autem & tres coniundi aequari lateri quadrati summae omnium, hoc est i N. sed tres coniuncti efficiuntis Q. fit igitur i N. τι erit ergo primus . secundus tia. tertius si & si unt quaestionem. IN STIO N E M ILHIc.etiam duplici de eausa variati inest de operatio & solutio. Primδ enim quadratus summae numerorum statui potest quili det quadratorum numerus quadratus, Puta I Q. die. Deinde qua to suininae manente eiaem, ipsi numeri ponentur diuersi mod/, prout quainatus summae auferetur 1 diuersis quadratis , & residua rnentur pro quaesitis numeris. sapomo quadrato summae I inponi possunt ipsi numeri, non solum ut secit Diopstantus et Q 8. etiam a RII Q AL .& sie in infinitum. Unde patet eadem arte quaestionem ad quotlibet numeros extendi posse. Et hinc quoque formatur Canon uniuersalis. nili et quadrat ran, quemai a totidem quadraris, quot petumur numeri, persι- a resiamran distri ianu fimprias initio a drare , austentis Miratum ducito sigiαπι- in insa iam residua, flent ruisti m .ri. E D
is qui detractis tum 7 um ra in
rum is facit quadratum. Matuo ergo primum insecundum ia interdium a Q. Reliquum est compositum ex tribus aequari summae illorum. Sed summa trium posita est N. Compositus autem ex tribus est 3 Proinde fit 1 N.
Quadratus .li. erit ergo primus QP . se-
230쪽
cundus ita tertius & soluiuat quaestionem. IN v v Ni R a tres numeros , Idratus composita ex tribus , detractus a quolibet ipsbrum faciat quadratum. Ponatur, compotitus ex tribus i N. Quadratus autem illius I Q A sunto tres numeri ; hic quidem a QVile vero 3 tertius Io. uam horum quilibet detracto quadrato compositi ex tribus, hoc esti facit quadratum. Et quia quadratus compositi ex tribus, latus habet, patet hoc esse compositum ex tribus. Summa, igitur trium est i N. sed est quoque i Fit igitur i N. h. quadratus ἀτ. eritque primus A. secundus M. tertius M. α sitisfaciunt quaestioni.
V L L A n his diffleuitas. Eadem sese illa dici possitnt, quae ad duas praecedentes sunt adnotata. λ'de Canones eadem iacilitate formabutitur. Caeterum his quatuor quaestionibus idem agit Di phantus inuibus numeris , quod secit in duobus, libro seeundo quaestionibus 23. 24- 2D M. unde etiam eolligere licet huiusmodi quaestiones ad quotlibet numeros eadem arte extendi.
IN v a Ni R a tres numeros , quadrato aequales , quorum bini reliquum superent quadrato numero. Ponantur aes simul aequales quadrato ab I N. - I. hoc est i - a N. I. Quorum primus & secundus superent tertium unita te. Erit ergo tertius i N. sic enim primus & secundusnperabunt illum unitate. Rursiis secundus & tertius superent primum quadrato, nimirum I erit similiter primus i N. -- Reli- auum ergo habemus secundum Ἐ--t. superest ut primus & tertius superent secundum quadrato numero. Sed quo primus & tertius superant secundum sunt a N. Hoc ergo aequatur quadrato, puta Is.& fit i N. 8. erit igitur primus 8 l. secvndus 32 . tertius o & satisfaciunt proposito.