장음표시 사용
231쪽
IN TFAESTIONEM V. OV o o supponit hic Diophantus . tale est.
Datis ινιbus 11 mi, si interuamum quo duo ex illis superant tertiam auferasur a si a
trιum numeroram , remanet duplum tertis.
Hoe ipsum vero iam demonstiatum est ad decimam o flavam primi. Dupliciter autem vatiari possunt tam operatio quani solutio. Primo enim quadratus qui ponitur pro summa trium nuine. totum fingi potest non soluin a latere i N. - i. sed a quotcunque Numeris -- quotcunque unitatibus. Deinde interuallum ptimi & tertii supra secundum, quod in hypothesi Diophantaea reperitur a N. potest aequari cuilibet unitatum numero quadrato, vi maiiifestum est.
QUAERO primum tres numeros quadratos aequales quadrato. Si autem uuos quadratos composuero, ut de ρ. de quaesiuero quas quadratus ads)ito 13 iaciat quadratum, an ueniam 36. deerunt tres quadrati aequales uni quadrato Restat ut quaeramus tres numeros, ut bini iuncti reliquum sitferent dato numero, primus scilicet & secundus, tertium sit perent unitatibus secundus & tertius primum excedant unitatibus si . tertius ae primus secundo superaddant unitates 36. Hoc autem suera demonstratum est. Et est primus ro. secundus tertius ra l. &satisfaciunt proposito.
Dy o sipponit Di' phantus. Primum reperiri posse tres quadratos , quadratum simul conficientes, quod quidem Deilὸ fit auxilio undecimae seeundi. Nam sumptis duobus qilibustibi ς quadratis puta &9. quor mi Iam quaero per undecimam secundi duos quadratos quomin interuallum sit 13. de horum minor 36. est tertius quaesitus. Secundo supponit author tres excessus binorum supra reliquum , aequari summae ipsoruni numerorum . quod iam , nobis est de- monitramur ad decimam octauam primi. Porro tum ex hae operatione , tum ex Canone deci eoetaliae primi eruitur huiusmodi Canon. S me tres quadratos quariatum lentes, ab emim ma aufer si intim unumsuemaue i
& non vulgari artificio quaestio extendetur ad quatuor numeros, & sic proponetur. Ita uςitare quatuor numeros quadrato aeqitales, quorum rerni reliquum superent quadrato numero. VPonatur summa iamnerorum quilibet numerus quadratus, puta . Quia ergo ut ostensula est an vigesimam primi , summa excessuum dupla est summae numerorum, crit excessuum summa L n quatuor quadratos, quorum quilibet si minor quisi A. Id autem 1acile siet si . diuidatur bis in duos quadratos per octauam secundi, eruntque hi te EItaque appli ndo hic Canonem vigesimae primi, hoe est a semisse excessuum qui est . auferendo nulos excessus, A residuorum capiendo nitisses, fient quaesiti numeri :l R 'I. . sie li bitqumonem ad quotlibet numeros extendere, sed aliquando utendum erit artificio quo duodecima
quinti utitur Diophantiis. Vt si quaerantur quinque numeri quadrato aequales, quorum quaterni relictuum viperent quadreto numero. Quare quaellionis huius explicationem reiicimus in decimam septimam quinti, ubi commodius asterctur.
232쪽
IN x η Ν i R ε tres numeros aequales quadrato, ut bini iuncti faciant quadratum. Statuantur tres simul aequales quadrato I - - 2 N. - I. & esto primus cum secundo i relinquetur ergo tertius a N. -- r. Esto autem secundus cum tertio I I - 2 N. a latere i N.
- I. Et quia tres simul sunt I Q. - a N. - i. relinquetur utique primus N. sed primus cum secundo positus est rerit igitur secundus et N. Oportet itaque & primum tertio iunctum, nempe 6 N. - - I. aequari quadrato. Sit ergo is iri. & fit I N. zo. erit igitur primus M. secundus 32o. tertius M. &Bluunt quaestionem.
Aliter. PO N A N x v x tres simul I a N. - - r. &sint primus & secundus rQ relinquitur ergo tertius a N. - I. Estoriirsus secundus cum tertio I - ΣN. horum ergo tertius cinn sita N. - - I. relinquitur secundus L N. est autem de primus cum secundo I Q. quorum secundias est i N Relinquitur ergo primus N.& tres coniuncti faciunt imperatum quadrarum I in- 2. N. - I. vi primus cum secundo, itemque secundus cum tertio iaciunt quadratum. oportet itaque & tertium cum primo iunctum, nimirum 6 N. - . t. aequari quadrato. Esto quadrato, &fiti N. V. Erit ergo primus K. hoc est P. secundus S. tertiussi'. SI seluunt qii aestionem.
operario aliter at sue aliter explicata. Diuersitas in eo eomistit, quod in septima inmenta pri tertii nismeti hypostas. inuenit deinde hyposusini primi, unde elieit hypostasini secundi. At in octaua initento prius tertio, inde elicit secundum , atque inde primum. Eodem tamen recidit utraque opeetatio, vi mani sestum est. Itaque ut omnia explieentur dilucidξ, ε: varietas omnis tum operati is tum solutionis persee E eomprehendatur. Adueere primo , ut ben/monet Xilancer, pro quadrato quem tres numeri simul constituunt statui in ure quemlibet quadratuin, cuius latus constet ex quolibet Niunetorum numero - - quot-
233쪽
libet unitatibiis. Posuit Diophantus latus illius I N. I. sed poni poterat I N. - . a. vel 1 N.
Aduerte secundo pro flumina secundi & tertii statui posse quadratum quemlibet minorem quadrato , qui positus est pro ianima trium numerorum. Sic Diophantus posita summa trium et O. Qi -- a N. - I. posuit summam secundi deteriij I a N. - r. sed si ponatur summa trium I N. - - poni poterit summa sui indide tertii I Q -- a N. ' I. vel etiam I Q. - a N. - I. Vel I in N. -- q. & sic in infinitum. Aduerte tertio summam primi & tertii quae quadrato aequanda manet, aequari debere tali qua drato , ut inde auferendo unitates quae eontinentur in cadem summa, de diuidendo residuunt per numerum Numerorum eiusdem summae, prodeat quotiens maior numero Numerorum, qui reperiuntur eum signo desectus in hypostasi secundi numcri. ut in hortesi Diophanto, ubi summi primi di tertii 6 N. -- i. est aequanda quadrato, quia hypostasis iecundi cita N. Oportet inuenire quadratum qui unitate multat ire, &diuisus peres det quotientem maiorem quam id autem ut arte certa consequamur. Ponauit huiusmodi quadratus I in unde ablata unitate, fiet ir. quo diuiso per 5 fiet i maior quam 4. eo supplendo desectum , fiet consorquatri
omnia per 6. multiplicando fiet I nurior quam 23. Qui inobrem quabimus 6 N. - . r.eui. libet quadrato maiori quis ets. In prima operatione Diophantiis aequavit 6 N. -- L quadratorat. In secunda vero, quadrato 36. Eodemque artificio reperietur terminus supra quem consistere debet talis quadratus, si primae positiones aliter instituantur. Porro ex operatione Diophanti elicio satis artificiosum Canonem. Care με dratos q--n ratio fluminor Pamas adet, h-- inremur Ili best emtimet diri
piasium ;-σuadrato quotiemis piast aevidendo ιdem interi Γ, mrer se reptam noras iatreis, virae se nauis. D Pu si sum ante Ita menti a das minori ιμ-d Gum, fel tertius. Verbi oratia cape quadratos Iar.& r. lior utriunt eruanimi est Iro. euiust sunt M. primus numerus. Tum diuide Iao. pero. sextuplum minoris lateris fiet 2o. cuius quadratus Α . unde auferendo D. hino. secundus numerus. Denique trienti ipsius Iro. qui est εα adde minorem quadratum l. fiet M. tertius numerus. sunt ergo tres quaesiti n' meri M. 3ao. t.
τουπο θ - δεδεια rara , s c,σ- αἰ τὸ θ -οι I v ε O st a tres numeros in aequali interuallo, ut bini iuncti quadratum efficiant. Quaero primum tres; quadratos numeros aequalibus interuallis distantes, quorum summae semissis maior sit quouis ipserum. Ponatur igitur primus I in se
cundus autem I R. - a N. - I. & est ipserum interuallum a N. - - I. si autem addidero secundo a N. -- i. fiet tertius IQ -- ψN. - - 2. Haec aequantur quadrato a latere 1 N. 8. fitque quadratus I -- σψρο Is N. aequalis I -- Φ N. - - α &st i N. C. hoc est El. Erit ergo primus 'si. secundus I 68i. tertius denique a or. de satisfaciunt proposito , sunt enim tres quadrati aequali interuallo distantςs, &semillis summae illorum, quouis ipsorum est maior. Venio nunc ad id quod quaeritur , scilicet quo pacto tres numeri inueniantur eodem interuallo se stiperantes, quorum bini coniuncti qua aliam iaciant. Primum quaero tres quadratos in aequali interuallo , uti iam demonstratum est, de sunt huiusmodi quadrati. Primus
234쪽
Primus, secundus I 68I. tertius a I. inueniendum iam est quomodo primus& secundus sacere possuit secundus& tertius a or. nam ob interualli aequalitatem inuertitur ordo, tertius de primus 158r. Statuatur trium summai N. Cum ergo tres simul sint i N. si inde detraxerosi immam primi & secundi nimirum Oo I. habebo tertium i N. - quei. & rursus si ab i N. abstulero summam secundi de terti j , nempe I OI. habebo primum IN. - 2 or . si autem ab I N. dempsero summam ter iij & primi, nimirum I 68r. habebo secundum i N. - i68r. Restat ut
tres simul iuncti aequales sint 1 N. & fit i. N.23 ri. et & factum est quod imperabatur.
HIc multa obseruanda sunt quae minimὸ attigit Xilander, sine quibus operatio Diophanti nequit persecte intelligi. Primo , quaerit tres quadratos aequalibus interuallis distantes , quorum simimae semissic malo se quolibet ipsorum, quia vult ut quasiti numeri bini & bini constitia alit huiusmodi quadratoc ad
autem fieri non poteu, nisi trium quadratorum summae semissis quolibet ipsorum sit maior, ut d monstratum est ad decimam sextam primi , ad quam tandem reducitur haec urit . ut liquet vltima operatione quae prorsus eadem est eum seraxione decimae sextae primi. unde etiam uti politis Canone ibidem tradito. Secundo, sumit huiusmodi quadratos aequalibus interuallis distantes, quia inde fouitur ipsis tres numeros quasi s , qui bini hos quadratos constituunt, disiae etiam inter se interuallis aequali bus, ut postulat quaestio. Quod pendet i tali propositione. et
Si fuerint tres numera, qui bini conuituant sumnias aequalibus interuallis dista tes, & ipsi numeri aequalibus distabunt interuallis, & E conuerse.
ALA Cs Sint tres A B Q quorum AB simul laetant D. At AC simul eomponant E. D Eio pii constituant E sintque DEF. aequalibus distantes interuallis. Di eo de ipsos A B C. aequilibus interuallis distare, imo iisdem prorsus quibus di sunt ira D ER Etenim quia idem A. additus utrique B & C. Acit D & E .etit idem inter num inter D & E
quod est intre B&Q nam idem numerus duobus inaequalibus additus, mimis facit eodemin teruallo itiaequales. γ Similiter quia idem C additus virique Α & B. eomponit ipso E de P. Glaea dem ob causam,.idem interuallum ipsorum EF. quod est ipsorum AB. e constatiror tuin unde etiam innotescit inversio illa ominis de qua loquitur Dioph ntus, nam primus & lecunil eonstituunt D. At secundus de tertius iaciunt F. Ae aemum tetrius de primus e ponunt E. Q eciose in quadratis inuentis Ordinem inuertit, vult enim primum quadratum esse summam primi α Dreundi numeri. At tertium quadratiam esse summam secundi de twij numeri. Ac demum cundum quadratum esse summam terti, Se prinii numeri. '. Tertio numeri quadrato aequandi N. - a. litus fingit Diophantus a N. -8. taliar' ut resoluendo hypouases per valorem Numeri, fiant quadrati quaesiti quales postulantur, nimirum ut quilibet ipsorum, minor sit semisse summae eorumdem. Id autem quomodo certa scientia eos sequi possimus non statim apparet. Et Xilander quidem experiendo didicit latus finitium esse non P ei N. --6. Sed non docuit modum inueni di terminum iupra quem consistere debet init tum numerus in di latere ponendus eum desectu, quem sane si esse 8. existimauit, alii in tus est, cum optime fin0 mssit latus illud x N. 7. ut mox patebit. Itaque ut rem 1 sun- clamentis aperiamus. Quia ii sint tres numeri quorum quilibet minor sit semisse summae illorum , hoe idem est, atque si duo quilibet ex ipsis maiores sint reliquo ut manifestum est. Aecluo quilibet maiores erunt reliquo, si duo minores simul superent maximum. Eo redacti sumus ut inueniamus tres quadratos in medietate Arithmeti ea , ut medius & minimus simul excedant maximum. est autem minimus I Q, medius Ια-- a N. - I. Horum ergo summa a Q.
235쪽
a N. I. MMt-imior maximo qui est a Q. - 4 N. a & auitiendo utrinque similia, rei na-Met I Q aior a N. I. quaaeauatione resoluta, fit IN. maior quam R. a -- I. sculii a . mobrem in fingendo latere quadrati a Q. A N -- a. curandum est ut valor numeri non si minor qu,ra et Atqui valor Numeri fiet 1 qucrina quadrato, multato binario diuiso petali Oum sui lateris quaternario auctim. Imieniendus ergo est huiusmodi quadratus. Ponatur is i Igitur non minor esse debet quam ab de omnia ducendo in a N. fit inon miuor quam N. - IO. α tandem I non minor auam N. -- Ix c re aequabimus I mimero paulo maioriquim N. - - ra. putas N. -- r . de ii N. 7. Itaque in latere fictilio ponentur unitates non minores quam 7. Quod si fingatur latus illud a N. - ' fiet quadratus i i N. aequalis 1 - N. - α de fiet a N. E. sunt ergo quaesiti quadrati aD9. 4221. oa a. I ine ad soluendum hoe lemma elicitur huiulinodi Canon. Suma ε πιι --rum non misi orem Pam p. est eius eruadratum bimmo multa disii per δε- μι iareris te Fio auctum . quatientu P- -- is addas dupia semiateris viritale auctum, fer Dumlus, das idem interuae , fer totius. Semei autem inuentis tribus huiusmodi quadratus, repetientur alij infinita idem mactantes, si Iam inuenti per eundem aliquem quadratum multiplicemur vel dividantur, nam Mnt quadrati κqualibus quoque interuallis distantes, ut iam monuimus ad vigesimam secundi, quae causa est cur Diophantus omisso communi denominatore, solli manu inimeratoribus. Denique hoc temmate expedito, soluetur iam ipsa quaestio per Canonem deeimam-sextam primi, ut euidens est sic inuentis quadratis azo . aas. 62 r. horum summam cape fiet Iaon. euius semims 6337 ..de auferendo sigillarim eosdem quadratos, remanent ordine inuerso quaesiti numeri Aia8 2Da
D Aro aliquo numero, inuenire tres alios, ut compositus ex binis qui- sibet adsumpto dato numero iaciat quadratum; sed & summa trium dato iam mero adiecto iaciat quadratum. Esto datus numerus 3. Compositus autem ex
duobus primis sit et Q - N. -- I. ut
adscito 3. faciat quantum. Duo verbdeinceps snt i Q, -- s N. --ε. Tres autem simul r α--8 N. - 13. ri&hiad- sum' 'raaciant quadratum. Et quoniam trium summa est i R- - 8 N. - Ι3. quo- . rum primi duo sunt N. - I. R linquitur utique terebis N. D. Rusesus quoniam tres simul stant 1 α-- 8 -- u. quorum secundus & tertius sunt l. . - s. N. - 6. relinquitur utique pri hmus a N. - 7. sed & primus & seci indus sint i N. I relinquitur ergo si cundus i Q -- a N - 6. Superest ut pri- mus & tertius adstito 3. faciant quadratum. Sed primus & tertius adscito 3. Ω-ciunt6N. - . 22. Haec ergo aequantur quadrato. Esto is mo fit I N. 13. Erit igitur primus 33. secundus I89. tertius 6 . &Ω-tisfaciunt proposito.
236쪽
Q Ux. incnet Xilandet de positionii in varietate, verissima sunt. Sed allucinatur cum ait numerum o N. - 22. aequari poste cuilibet quadrato maiori qu vi 22. Nam oportet talem quadratum deligi tuo auscrendo ra. & residuum per 6. diuidendo nat quotiens cuius quadratus auctus duplo sui lateri, luperct 6. aliter habere non posset secundus numerus qui positus est 1 Q. - a N. Ita si ponas 6 N. -- 2a aequari quadrato 2y. secundus numerus inuenietur minor nihilo. Quamobrem iiii iesidiis est quadratus 36. vel quilibet alius maior quam 36. vi certa ratione facit E concludi potest. Etenim quia i 2 N. debent excedere 6. hae aequatione resoluta , fit i N. maior quam M i. seu umi minor quam I fit autem valor numeri, ut dictum est, quodam quadrato interemto 22. S rcsiduum diuidendo per 6. quare quaeratur huiusmodi quadratus, 3e esto IIgitur : v. non minor esse debet quam i . de tandem I reperit ut non minor qualu 3a
. qualis cli 36. N alius quilibet supra 36
Qi modo inueniendisnt numeri τι compositus ex binis quibustiber adsumpto dato num ero conficiat quadratam inuenimus ad propositionem I. libr/ I.
DA τ o aliquo numero, inuenire treSalios , ut compositus ex duobus quibuslibet dempto dato numero faciat quadratum, sed & trium summa detracto
dato numero faciat quadratum. Esto rursus datus numerus Ponatur compositus ex duobus primis I Q. --3. ut detracto 3. faciat quadratum. Duo vero deinceps sint et inis a N. - Trium vero summa I N. - 7. ut & hi dempto 3. faciant quadratum. Et quoniam summa trium est I - N. 7. quorum primus & secundus faciunt I. 3. re linquitur tertius N. - . Rursus quia secundus & tertius sunt i - - 2 N. - q. quorum tertius est N. - q. relinquitur secundus i Q 1 N. fiant autem primus& secundus et Q -- 3. quorum secundus est 1 a N. relinquitur ergo primus a N. - - 3 oportet itaque tertium & primum detracto a. facere quadratum. Sed tertius cum primo, detracto a. facit 6 N. - 4. Haec igitur aequantur quadrato.
Esto is 6 . de fit 1 N. io. Ad positiones. Erit primus 23. secundus 8o. tertius qq.&fitisfaciunt quaestioni. Ap I Θ Μ Ο Υ Φινος δεθεωρ
C quoque lapsus est Xilander clim putauit numerum 6 N. - - aequari potuisse qua ratistis sic enim seeundus qui positus erat 1Qrra N. Inuenitur aequalis nihilo. Quare determi nandum est de huiusmodi quadrato, hae arte. Vt Ii fit maior quam a N. oportet utique I N. maiorem esse quam a. Itaque quia aequando quadrato 6 N. - . fit valor Numeri a quodam quadrato auferendo . & residuum pet 6. diuidendo: Eo redacti sumus ut inueniamus quadratum qui multatus quaternario ,& pet 6. diuisus det quotientem insolem quam et. Esto is i Jgitur: π e. m aior est quis 2. dc tandem I eperitur maior quam i6. Quamobrem numerus 6 N. - aequandus erit quadrato cuilibet maior quis Io.
237쪽
ara notauimus Hiertiam s. docebunt quomodo inueniendi numeri, bini suiΔιρι jamprι demis dato numero conficiant quadratum.
IN v ε N a tres numeros ut quem bini mutua multiplicatione producunt, is adscito dato numero faciat quadratum. Datus esto tr. Quoniam igitur postulatur Vt productus ex primo in secundum adi cho Ir. sacsat quadratum, si ab aliquo quadrato demptero ia. habebo productum ex primo in secundum. Eito itaque quadratus et . Si ergo ab eo detraxero 1 . reliquum habebo productum ex primo in secundum, nempe r3. Esto igitur primus i3. secundus autem i. At iratu 'tur innumeris, ira tamen ut productum multiplicationis eorum sit is. de sit primus r3N. at fixundus ciet. Itaque ii ab tero quadrato dctraxero tr. laabel, productum ex secun ψ in tertium. Et laa 'x Mato 16. relinquitur ergo productus ex secundo in tertium ε. statuantur m sus in numeris, ita ut productum multiplic tionis eorum sit A. Cum ergo secundus sit τ . erit utique tertius ψ N. Oportet laitur & productum ex primo in xcrtium addito ia fieri quadratum. Sed productus primo in tertium est set Proinde D rti aeqv ntur quadrato. Et si H. numerus ero primo postu quadratus ruisset, facilis esset aequatio. Quod ci in non sit, mres deduista est ut duo numeri sint inueniendi , ut productum multiplicationis eorum sit quadratus , depr*ter ut ςrque cum Ia. faciat quint tum. Sed & si loco numeroruin quia .ros inii emam, ij si a multiplicati e quadratiim producent. Oportet ergo inuenire d quadratos quorum uterque ads cito ia. iaciat quadratum. Hoc a men facile est, Se aequationem ex diei est alter alter uterque enim a duora. secie quadratum . His repertas redeo ad id quod initio actum erat , dc pom Limiim N. ste uidiim zm tertium Q N. eitat ut i ductius ex pruno in deteri
238쪽
adiuncto 12. faciat quadratum. Sed pro- Min I τοῦ χί/ωνον ductus ex primo in tertium eis I 'roin- s. usi
XII. HAEC quastio eum sequente est de earum numero quas pro deploratis reliquit Xilander, inquam eum iam ita infeliciter commentus sit, textum tamen Diophanti leuiter admodum prauatum restituet c non potuit. Sata tota deprauatio in eo est, quod fractionem Numericam et, . mi petitus libratius ambigue semper expressit, nam primo loco lie eam exhibet c. σου. deinde passim cum tamen aliarum fractionum more potius fuisset se exprimenda αι. Hine et tis ansam accipiens Xilander, vertit ubique IN. loco . u. unde in difficultates inextricabiles seipsum coniecit. Porro dupliciter variari possunt positione,& solutio, nam loco ipsorum . litaniti sis quadrati inueniri per undecimam secundi, qui adscito Ia. quadratum iaciant. Deinde numeri quadra to aequandi I -- Ia. latus diuersimode fingi potest, videlicet ab I N. - tot vilitatibus, qu tum quadratus sit maior quam 12. Diophamus aequauit quadrato , latere I N. -- 3. unde fit I N. iuntque quaesiti numeri a. aἰ. . ' Placet etiam in artis specimen aliam tradere analysiin, Diophantaea utique non deteriorem. m excogitaueram priusquam mihi eoniisisset Graecum videre Codicem. Sit ditus numerus . quaeratur quadratus qui adsumpto Io. facta quadratum, is erit I6. Iam erso statuantur. Primus & seeundus duo quilibet Numeri, quorum mutuo ductu fiat I6. Et sit primus S secundus a. nam euidens est sic uni parii propositi satisfieri. Tum vero statuatur mo tertio certus quadratorum numerus. qiu ductus in iecundum a. iaciat quadratum , puta a Ptes 8 veli8 ke.& diiciatur ei deserius tot unitatum , ut nae multiplicatae per eundem secundum numerum a. iaciant datum numerum 2o. Hunc unitatum numerum reperies diuidendo 2o. pera unde fit Io. Qia mobrem p netur tertius a Io. sic enim eo ductu in secundum a fit m. cui addendo datum nume-xum m. fit quadratus Q. Superest ut prodii ius primi in tertium adsumpto sto. faciat quadratum, Dcit autem is 6o. Hoc emo aequatur quadrato. Esto eius latusqN. - 2. fiet I N. q. sunt ergo quaesiti numeri 8. a. 22.& satisfaciunt propinato. Hac ratione operando poni positat primus & seeundus duo quilibet numeri, quorum mutuo ductu fiat quadratus qui adsumpto dato numero quadratum iaciat. Vnde iam duplex oritur variatio , tum quia huiusmodi diuersi quadrati infiniti reperientur per undecimam secundi tum quia eodem sumpto quadrato sumentur alii atque alii duo numeri, quorum mutuo ductu is fiat. Plae terea in hypostasi tertii poni potest quilibet quadratorum numerus, qui ad unitates secundi ra. tionem habeat quadrati ad quadratum, ut in nostra hypothes, poni poterat tertius non solum a. -io. sed etiam 8 Q. Io. 32 in io. Ne. Denique ultimi quadrati latus puta ipsius isco. diuersim E fingi potest. nimirum a N. - quotlibet unitatibus. Vnde innε infinita solutionum diuersarum suppetit sylv - - α s . Canones ex his operationibus elici possent, sed non adra expediti. Quare praestat duox alios
elega uissii nos afferre, qui ex quibusdam propositionibus libri secundi potismatum manifestE dedu-
ntur. Primus itaque Canon esto. 'a d bH dratir, υι-npue res ιm diuide per interuallum raterum eorundem dratorum , duo quotientes una cum tradicto talenum intereatis quaesitos exhis
Verbi gratia datus numerus esto Ia. auser eum , quadratis 36. & 6q. remanent 2'.&N. quaeli liuidas mi a. interuallum laterum , fient quotientes la & 25. sunt ergo quaesiti numeri i2. 26. 2. Huius On is demonstratio facilis est. Nam ex ipsa constructione manifestum est, ducto x in ipsos ita di 26.& produbis ra. c yr. addito eodem tr. fieri quadratos 36. & 6 . Rursus proditi m ex
,a. in 26. aduimpto ia. tacere quadratum , demonstratum est undecima secundi potismatum. Quamobrem ex omni parte patet repositum. Secundus autem Canon est. I ,- --e-m aufer a d olia quadratis, utrum- roissimo sigiliatim diuide per inter Eum erum et dara orientes, cum duplosumma ipsorum , mactat. supradicto interuallo,
Itaque duo primi numesi per hunc canonem reperti. sunt iidem cum dilobus primis per superiorem Canonem inuentis, sed tetri ius ditiet sus est. Ita dato eodem ra.& sumpti iisdem quadratis 36. N 64. fient ut prius primus & secundus ra. de 26. sed et it tertius duplum summae illorum multatum binario, nimiriam r. i. Huius Canonis demonstratio integra continetur propositione decima tertia
239쪽
seeundi potismatum. Caeterum ni iustiue Canonis simul auxilio licebit propositionem extine Dad quatuor numeros, ct Pulcherrimum Noblema a nemine haetenus tentatum enodare in
Imicnire quatuor numeros , ut qui producitur ex binorum mutuo di ictu adscito dato numero fiat quadratus. - Datus cito 3.
Finge duos quadratos ab I N. tot unitatibus quarum, quadrati superent 3. ita ut .nteruallumeatuit m unitatuin sit quadratus numerus. Verbi gratia finge latera quadratorum a N. - . et dii N. a . quorum lateruallum est quadratus q. ei lint quadrati i q N. - . Si DN. 36. a quibus auset sigillatim datum numerum 3 S residua diuide sigillatini per inire Gallum laterum 4. Et statue primum quaesitorum N. - Secundum: N. Fq. Tertium duplum suinitiae utriusque imittatum intervallo Φ nimirum i -- 8 N. r; . lla enim productus ex binorum multiplicatione adscito 3. quadratus fit per secundum Canonem. Po natur .lcnique quartus ipsum interuallum laterum q. sic enim primus secundus, di quartus si biti inter se ducantur, & pti ducto addatur 3. fit quadratus per primum Canonem. Superest igitur ut producto ex tertio in quattum addendo 3. fiat quadratus. Fit autem Φ Q. -- 32. N. H.ss. Η ergo aequatur quadrato. Fingo eius latus abs a N. ' tot unitatibus quarum quadratus superet sitque illud a N. - io. siti N. l. Ad hypostases. Erunt quaesiti numeri T. . & qui sim . faciunt proposito. Nam ex primo in tres reliquos 'ut producuntur, sigillatim adii impio s.faciunt quadratos quorum latera Ez. G.. Η, At ex secundo in tertium & quartum pio cuta , adscito 3. faciunt quadratos 'a quorum latera re & P. Denique ex terito in quartum qui producitur. adscito 3. quadratum iacit cuius latus V. Aliter. Ex quadratis qui exponunt ut initio ponatur alter quilibet quadratus nutiteriis maior dato numero 3. puta Φ& fingatur alter ab I N. -- latcre prioris quadrati, nimirum ab i N. -- r. fiet quadratus I 4N - - 4. Tum ab utroque quadrato auferatur.& residua dividantur petinteruallum laterum quod est i N.& statuatur primus quaesitorum P . secundus IN. - - ,. Tertius horum summae duplum multatum liueruallo laterum I N. nimirum i N. - . R reus autem ipsum interuallum laterum, nimirum I N. Constat itaque ex utroque Canone odi nibus postulati partibus satisfieri, si productus ex tertio in quartum adscito 3. iaciat quadratum. Facit autem I 8 N. hoc ergo aequatur 'uadrato. Esto latus eius I N. -- 23. ει fit 1 N. Ad hypostases. Et unt qua siti numeri l. V I. π. qui satisfaciunt postulatis. Etenim ex primo in reliquos tres qui producuntur, adsumpto qu drato faciunt ε. quorii in latera '. a. At ex secundo in tertium de quartum producti, adscito 3. faciunt quadratos quorum latera Denique productus ex tertio in quartum, adsumpto 3. quadratum facit cuius latus PVtraque operatio elegans est, & multam recipit varietatem, ut curioso lectori considerandunt relinquo. Videtur ipse Diophantus in hoc problemate haesisse, ut apparet ex vigesima Prima quatri. Qua quaerit quatuor Numeros, ut produAus ex binorum mutuo ductu adscita unitate quadratim faciat. Nam eius operatio cuilibet numero applicari nequit, scd solis quadratis, ut ibi docebimu
productum ex primo in secundum dem' to Io. facere quadratum , si alicui quadrato adieceroto. habebo illum prodi cium. Esto quadrato A. erit ergo prodinctus ex primo in secundum I . sit primusi . secundus igitur erit r. Statuantur rursus in numeris, ita tamen ut productus multiplicationis iaciat i . &esto primus I . N. secundus . . Riirsius si alteri quadrato adieceroto. habebo producti ina ex secundo in tertium. Adiiciarii r quadrato'. erit ergo productus ex secundo in ter-
240쪽
rium G. proinde cum secundus sit is. relinquitur tertius 19 N. Oportet igitur &prodii m ex primo in tertium dempto io. facere quadratum. Facit autem 266. Io. haec ergo aequantur quadrato.
Quare ob ea quae in praecedenti dicta sunt, eo deuentum est vi inueniendi sint duo quadrati , quorum uterque dempto Io. faciat quadratum. Hoc autem facilEst, inuenies enim si quaeras quis quadratus dempto io. iaciat ouadratum, &quoniam si cui numero add itur i. & sum mae dimidium in se ducitur, & a sic facto quadrato numerus initio sumptus detrahitur, relinquitur rursum quadratus. Addo i. ad io. & sumimae semissem nimirum
s duco in se, &a producto n. aufero
Io. & habeo quadratum dio. a latere b Pono igitur primum tertium autem I Oportet ergo ut de is 1 indempto Io. remaneat quadratus. Qirare I Q. Io. aequatur quadrato. Formo quadratum a lateret N. - 2. nimirum I q. -
N. defiti N. 3 l. Tertius igitur qui positus erat id erit ia ι est autem dc primus 3o
a. nam uterque dempto Io. remanet qua
dratus. Venio ad 4d quod initio ci aere-hatur. Et statuo primum 3o. N. secundum Hi, tertium 1a N. Superest itaque ut productus ex primo in tertium dempto Io. faciat quadratum. Atqui productus ille est 3 o Hic ergo de to Io. aquatur quadrato, de ut quadrati integristat,multiplicemus eos per Iσ. ergo 'a'. in Iso. aequantur quadrato a latere πN. - a. qui est 3yry Q. - - 3o8 N.&fiti N. n. Statueram primum 3o: N. erit igitur 'ra' t. secundum Aio erit igitur si tertium Ia. . N. is erit de constat pNositum. Ο Ριτον α ιβ . α ἔς αι φῆ- ροι - νὰ mc ποτάειν, τὸν bH τρύτω e προ- P ιε' ι. ποιῶ τι άγισαν. γίνν δε - , ι. p.
totidem modis potest variari. Nam infiniti quadrati reperientur pet undecimam seeue, quintulisti numero Io. quadratum relinquant. Et ultimi quadrati s 29. Q. - 16o. latus diuerum e fingi potest. nimirum 1 7 N. - quotlibet initatibus. Caeteriim Diophantus compendium quae rem ad mi decimam seeun)i, hoc utitur lemmate.
Si dato numero addatur unitas , & a summae semissis quadrato auferatur datus numerus, relinquitur quadratus.