장음표시 사용
241쪽
Licet etiam 'nostram analysim soluere quaestionem hac arte. Datus esto ro Oui mis
decima quarta secunda potu malum. Potio j su i Elis, ETieta rugna ultiplicatione de
interuallum laterii, . Eiit ergo multa quid.
Restat ergo ut productu, eIectio in qui uris N
242쪽
Arithmeticorum Liber III. li 3
sit enim datus zo. sumatur unus quadratorum, ex quibus D. componitur, puta I6. &statuamur ptimus & secundus quaesitorum, duo quilibet numeri quorum mutuo ductu fiat 16. puta 8. do a. tertius vero ponatur talis unitatum numerus, qui ductus in secundum a. faciat datum numerum 2o. est is numerus io. cui addat ut desectus tot Quadratorum, ut secundo 2. in eos ducto fiat quadratus. Statuatur ergo tertius Io --Σ sic enim duabus propositi partibus satisfit. Restat ut produ- eius ex primo in tertium detractus 1 ao. relinquat quadratum. Sed relinquit 16 6o. Hoc et aequatur quadrato cuius latus fingetur a N. - tot unitatibus, ut per valorem Numeri resoluendo
hypostases fiat a inminor quis s. quia scilicet tertius positus est Io. - 2-Itaque cum quadratus debeat esse minor quam s. oportet valorem numeri minorem esse P m ah fiet autem valor Numeri a quodam quadrato adsumente co. de diuiso per octuplum tui lateris. Quae tendus ergo est quadratus qui adstimens co. & diuisus per Muplum sui lateris, det quotientem minorem quM al. siti, i QIgitur i,inbr est quam a ' Et omnia ducendo N. st i Q. -- clo minor quam is N. Quare aequemus I 8 N. numero paulo maiori quim I Q -- 6o. ruta numero I Q -- cs. fiet i N. s. vel I3. Proinde oportet latus quadrati fingere 4 N. - tot unitatibus , quae non de ficiant a s. nec excedant 33. fingatur 4 N. - s. fiet i N. F. sunt igitur tres quaesitis. 2. constat.
IN v a Nist a tres numeros ut productus ex binorum multiplicatione adiecio reliquo quadratum faciat. Quaudo quaerimus productum ex primo insecundum addito tertio sacere quadratum, si exposito aliquo quadrato, partem illius aliquam statuamus pro tertio, residuum autem pro producto multiplicationis primi & secundi unum postulatorum
praestabimus. Formetur quadratus abr. N. - 3. erit utique I QU---N. - '. esto itaque tertius p. relinquitur ergo pro diaetiis ex primo In secundum i -- 6N. Ponatur primus I N. erit igitur secundus I N. - - 6. Oportet ergo & productum ex secundo in tertium adsi impio
Primo, hoc est io N. - s . aequari quadrato, & praeterea productum ex tertio in primum adsimpto secundo, nempe Io . -- aequari quadrato, & fit duplicata aequalitas. Est autem ipserum interuallum G. Quamobrem oportet inuenire duos quadratos quorum interuallum sit
M. Quod iacile est, & infinitis modis fieri
potest , estque minor I s. maior 6 . virinorum aequationem accommodemus, reperiemus quantus sit i N. si enim dicamus6 . aequari maiori , puta ro N. 3 . inuenitur I N. i. Rursus si dicamus minorem Is. aequari Io N. - 6. fit etiam i N. i. Ad positiones. Erit primus I secundus 7. tertius s. de soluunt quaestionem.
243쪽
BE Me monet Xilandet hie duelicem contingere posse variationem. Primo enim Quadratii, qui ponitur fieri ex producto primi in secundum , adscito tertio fingi potest, cereis numerii
quotlibet unitatibus , finxit Diophantus ab I N. - 3. sed fingere potuisset ab i N. a. veli N. - vel etiam 2 N. - 3 2N. q. &c. Deinde duplicata aequalitas infinitis modo retia uir terat, sumendo scilicet duos quoslibet quadratos, quorum interuallum sit o. adhibita tamen eautione quam tradimus ad duodecimam secundi, ut videlicet maiores sint sumpti quadrati numeri,1 &6. Verum suod praecipuum est, non attigit Xilander, quomodo nimirum postiones primidi secundi ita instituat Dioptimius, ut tandem in utroque numei' quadrato aequando reperiat ut idem Numerorum numerus, puta io N. Hoc enim si non curasset, inexplicabilis sitisset aequatio. Cum enim unitates s & 6. nec aequales sint, nee quadrati numeri, oportuit numerum Numeto rum utrobique eundem reperiri. Itaque cum Noductus ex primo in secundum positus siti Q. 6 N. ex infinitis numeris quorum mutuo ductu gigni poterat ira. - 6 N. tales deligendi suerunt, ut in eorum utroque idem esset numerorum Numerus, queses sumpsit Diophantus i N. & i N. -- 6. nee alii eroposito satisficientes sumi potvissent, quia vidi Gm est, oportet ducendo eundem tertium s. in vir mlibet ipsorum, & productis adcendo reliquum, fieri utrobique ei indeni Numerorum numerum, quod fieri non posset, si Numerorum numeri primi & secundi non eni
ρ . Gi Hyca τα τῆς me ianως. IN v πηi tres numeros , Ut priductus ex binorum multiplicatione dempto reliquo faciat quadratum. Po natur primus I N. secundus I N. -
Productus ipserum multiplicatione eriti N. Oportet igitur hunc demrto tertio facere quadratum, si ergo pinnamus tertium 4 N. satisfictum erit via postulatorum. Superest itaque vide pro ductus ex secundo in tertium dempto primo faciat quadratum, de prarierea pro ductus ex tertio in primum dempto tacundo faci t quadratum. Sed productus ex secundo in tertium dempto primo estis N. aequalis, quadrato. At prinductus ex tertio in primuna dempto secundo est Q- I N. - . aequalis quadrato. Et occurrit rursiis duplicata aequalitas. Cum itaque interuallum ipsbrum iit 16 N. ' ψ. Quaero duos niuueros, quorum mutuo ductu fiat i6 N. - q. sunt autem q. & N. r. Rursus ergo vel summae semissis quadratus aequatur maiori, vel interualli semissis quadratus aequaturn inori ; & fit i N. I. Erit igitur primus d. secundus Eugenius T.&constat propositil.
NOκ temerὸ, ut mala arbitratur Xilander, secundum numerum posuit Diophantus iN - - . min necesse est unitates secundi numeri, quadratum esse numerum, puta 4. vel O vel 15. Ece. Cuius rei ratio ex ipsemet operatione subtilitis considerata, statiin initotescit. Tertius enim numerus semper aequalem Numerorum multitudinem contiit et, unitatibus in secundo i N. -
244쪽
vel IN. - 9.&c. erit triti qN. vel 9 N. dic. Quamobrem rursus ex ductu tertii tam in ptimum quis in secundum, in quorum utroque est I N. fient totidem quadrati, ut vides in hypothesi Dio. phanti . fieri Q & si secundus positus esset I N. - fierent f in Si autem in numeris quyadrato
aequandis 4 -- Is N.& 4 -IN. - numerus quadratorum non esset quia ratus, exrlicari non pol duplicata aequalitas. Nam si, ut fecit Xilander, ponatur secundus I N. -- Io. atque adeo totius et N. Mnt tandem quadrato aequandi Io - - N. & Io in I N. - Io. que autem fingas quadratorum latera nunquam produces Io. cum nullus iit numerus qui in te ductus effetat ici. unde necesse erit in aequationem complexam deueniri, & duas species, uni aeqira: les remanere, ac proinde solutionem ut plurimum contingere irrationalem. Praeterea etiam ritesacta positione secundi numeri, statuendo scilicet in eo unitatum numerum quadratum , aduerte, posse te adhuc in easdem cautes impingere, nisi magna cum cautione seligas duos numeros, quorum mutuo ductu fiat interuallum numeroriim quadrato aequandorum. Ete
nim in Diophantaea hypothesi, ubi interuallum est 16 N. - q. licet id ex infinitotum nulnerorum mutuo ductu produci possit, nulli tamen idonei sunt quaestioni soluendae praeter N. -- q. tenim Verbi gratia, sumas a N. - . di 8. horum summae semissis quadratus, puta r 8m N. - Uxquabit ut A G-- is N. unde fiet solutio irrationalis. Itaque tales migendi lunt numeriit ut o ductu producentes propositum interuallum, ut in e in iumma contineatur dii plum i teris Ouadratorum, ovi in numeris quadrato aequandis reperiuntur. Vt in eadem hypothesi , ubi quadratotum numeru; est euius latus a N. cuius duplum 4 N. Oportet tales deligi numeros , quorum mutuo ductu fiat i5 N. - ut eorum summa contineantur 4 N. Quia vero patet primum illorum neeessario constare debere ex Numetis & unitatibus, secundum autem ex solis unitatibux, sequitur in ptimo necesse esse constitui N. atque eo ut ex secundo in primum hane 16 N. oportet secundum esse 4. Vt autem praeter 16 N. fiant etiam ' cum totum interuallum sit 16 N. - necesse est primum esse N. - I. seeundum . moniam autem eodem artificio istin sequentibus utendum erit, vires tyronum memoriae firmius inhaereat, age alio eam exemes' illusuemus. Posito ptimo numerorum quaestorum I N. sit secundus I N. - lenius y N. ducto ergo tertio in primum, & inde ablato iecundo remanet p. Q I N. - s. aequandus quadrato. Rursu
ducto tertio in secundum, Se inde ablato primo remanet y F D N. aequandus quoque quadrato. Horum interuallii in est Si N. - s. Quare sunt inueniendi duo ii umeri , qu in mutuo duuid G cum cautione stim, explicata. itaque cum quadratorum numeras sit p. uius latus 3 di. cuius duplum 6 N. Oportet in primo quasitorum statui 6. N. Ceramobrem vim secundo in primum. sim ti N. necesse est secundum est i l. Rursus autem ut fiat alia pars intemti, puta 'euidensen
Primum debere esse6N. l. secundum 3, . Reliquim opera irem absolue,si vacat.' . . Caeteriim moneo totam sedulionum diuersitatem, otiti ex illo quadrato mu ynitur in laeundat umero. Nam eodem ibidem posito quadrato, licet primus ponatur a N. vel IN. vel 4 N. . eadem tamen semper eontinget solutio. Quod uno aut altero exempla fiet mani sestum. Potiatur primus a N. secundus a N. - tertius 8 Q productus ex secundo in tertium ab o Φ eto N. aequandus quadrato. Et rursu productus ex primo in tertium adiecto secundo hi 16 --ΣN. aequandus etiam quadrato. Horum interuallum est 32 N.' mui fit o 8 N. γ r m Uu enim soli apu* quod fit ex ia
Diophantus. Rullus pone primum 3 N. secundum 3. N. 4. 1 uin Ia . di qx drato UR. - M N&36. -3N. - quorum interustum 48. N. N. - . I in horum summae semissis quadratus est et6 --3ON. - . qui N.defiti N. A suntque quaesti numeri, ut iv n Denique animaduersone dignum est, qualiscunque numerus Numerorum tacitatur pro mi Dum idem statuatur pro secundo -- aliquot unitatibu quadratis , de tertius ponatur prodii primo in unitate secundi, temper contingere in numine is quadrato aequandis , ni erum qua 'torum esse quadratum, ut in Di istianti exemplo proxime allatis 16 Q&36 uo: - . in sitate fieri, de dembnstrabitur. - Α numereri. Numerorum primi. ει B ' unitatibus quadratis esto secundus Et totius esto D. productus ex A in B. Itaque ut patet ex operationis processu, ex D In L fiet quadratorum numeriis oui triti
P N L3si in numeri quadrato aequaudii, sit is E. Hune dico esse quadratum. Nam sump
tis tribus numeris A. B. A. idem E fiet siue A ducatui in B. de prodi s D in A. siue A ducatur in A. de quadratus ipsius A in B. Quare cum S: B si quadratus, patet E Oroductum ex quadrato in quadratum, &ipsum esse quadratum. Ri etat demonstrandum: Sed de his lati L
245쪽
IN v K Ni η κ tres numeros, ut productus ex binorum multiplicatione adsumpto reliqui quadrato, faciat quadratum. Ponatur primus 1 N. secundus Fq. tertius autem i. ut duabus propositi partibus satisfiat. Superest ut pro eius ex tertio in Primum adsumens quadratum secundi faciat quadratum. Sed productus ex tertio in primum adsumens secundi quadratum facit i6 Qi-33N. 16. Haec igitur aequanda quadrato, nempe a latere N. - s. qui est I6 - as - . N. &sti N. o. Erit igitur primus P. secundus 328., tertius N. de satisfaciunt quaestioni. IN XVI. FALLaxv κ lili etiam Xilander eristimans positiones pro arbitrio variati posse, nulla adhibita
mutione, hoc enim mani sesiae finitatis arguitur ipso exemplo quo suam nititur comprobare sententiam, ait enim licuisse pon e primum I N. secundum I N. - . a. tritium t. Quod nequaquam
Vritin est, nam productus quidem ex primo iri secundum adstato quadrato tertii, Aeli quadratum a N. - i. At produi 'cundo iut lium adscito quadrato primi miti Q, - 1 N -- qui quadrasus non eli, eum tamen per ipsas tiones duabus propoliti partibiis sapisfieri velit Rivmus. Itaque tali artificiqipso positiones instituentus. statuatur pro secundo quili numerus Numeroru ri quotli t Vnliatibus. Et ponatur primus quadrans Numeror una , terisu Quadrans unitatuni es undi. Sic piopha sius ponita secundo N. - - 4. posuit primum i N. ne dum h Riuod si ponas secund- N. s. erit primu i N. tertius a. Et si ponas seeundulfi 8 D. Erit primus a N. Tetti iis a.&se de illis, Hoc autem ne quis absque cindamento diei uir. ιν sic de iistratur. - sit seeund Is certus: Numerorum numerus Α - unitati, ius. Tun .ducatur C in An edis scilicet quadratorum numerus
Numero um, hisque adiiciatis adrati, ritus b. Dico tot uni G HX esse quadratum. Quod
ut probetur, omitet ostendere ipsos ΑΚ esse a radratos , d ex emum lateribus bis inuicem de m ci H. Ec quidem ipse Κ quadratus est ipsiust D. ex constructione. ' At a cum fiat ex mutuo Igitur eidem H Quare in Asit dulus ipsius ta fiet idec in ii ex E in D bis. Quod erat probandum. Similiit et si Dducatur in Α - R. via de fiat M. P. certushdaei numerus Numerorum M. certis unitatibus: hi sique diiciatur L quadratus ipsius Edico ibi jm L M P quadratum esse. mod iisdem probatiit' mi mentis. Nam Lex constructione quadratus est ipsus C. At P. qui fit ex mutuo diibu planoruini Dinitium B D. quadratus est medii proportionalis F. Denique ut ostensum est M, qui producitur ex Ai pr licetur etiam ex C in B. hoc est ex C in s bis. Igitur ex omni parte constat propositum. Ex dictis pate; dupli ei de causa diuersas coiningere posse solutiones. Primo prout diuersimonitis ituemur positiones eum tradita cautione. Secundo proiit producti ex primo in tertium adsumentis quadratum feei indi latus diuersimodὰ fingetur , ut iam caene in simili, fieri posse docuimus. Caeterum huius quaestionis ope , lieebit & sequentes abloluere.
246쪽
Arithmeticorum Liber III. ii I
D A T v M numerum diuidere in tres numeros, quoriun bini mutuo ductu quem producunt, is adscito reliqui quadrato, quadratus nat.
Esto datus I sumantur tres numeri per superiorem quaestionein inuenti, & statuamur in Numeris. Erunt ergo quaesitis N. 73N. 328 N. & productus ex binorum multiplicatione adscito reliqui quadrato, quadratum iacit. Restat ut eorum summa sit Io. Quamobrem Io N. aequantur Io. α fit 1 N. c. uine
ergo quaesiti numeri λwU seu L UESTIO SECUNDA.IN vs Ni Ru tres numeros, ut producti ex binorum multiplicatione adscito rei qui quadrato quadratos faciant, & quadratorum latera datum constituant numeriun.
Datus esto s. statuantiir riirsus pro quistis, numeri per decimam sextant inuenti, nimirum s N. 73 N. 328 N. sic enim producti ex binorum multiplicatione adscito reliqui quadrato, quadratos siciunt Ictaqlina as. 828i Q uorum latera 329 N. isy N. si N. Restat ut horum laterum summa aequetur 2F. are 17IN. aequanturas.& fit IN. . . Sunt ergo quaesiti numeri sit: Q.
IN v KN i R a tres numeros ut productus eκ binorum multiplicatione adsilmpta, eorumdem summa quadratum faciat. Enim xero productus multiplicatione duo nim quorumlibet quadratorum proximorum, adscita ipserum summa quadratum facit. Ponatur itaque primus . secundus . vi productus eorum multiplicatione
uadratus, nempe 36. adscita utriusque umina faciat quatatum. Restat ut &productus ex secundo in tertium , adscito utaraque: itemque prodestias ex tertio in primum utroque adsilmpto faciat quadratum. Statuatur tertius i N. fitque productus ex secundo in tertium, utroque ad si impio io N --9. aequandus quadrato At productus ex tertio in primum adsumetis utrumque fit s. N. - aequalis quadrato. Hic quoque rursus duplicata aequatio occurrit'; estque interuallum sN. - s. Quaero igitur duos numeros, quorum mutuo ductu fiat 3 N. -- s. & sunt, hic quidem et N. -- r. ille vero 3. Atque ut in secundo libro docuimus, vel summae horum semisss quadratus arquatur maiori: vel interualli semissis quadratus aequatur minori. Et fit i N.a8. Erit igitur pri-
247쪽
Sunto quadrati A. B. quorum latera C. D. unitate distent. Et roductus ex A in B. esto G. cui it . Octavi. C a. D 3. AB. fiat H. Dico H esse quadratum. Quia enim inietao. septimi. . B h. qxradratos Α v. cadat medius proportionalis productus ex C in D. patet G esse qua. . i. p m. o iratum producti ex C in D. At vero summa quadratorum Α Β aequatur duplo mo. 'γ' ducti ex Cin D. de quadrato interualli ipsorum CD, hoc est unitati. Igitur eadem summa quadratorum aequatur duplo lateris quadrati G unitate aucto. Quamobrem cum addendoia. i DHI ,.qua rato G duplum sui lateris unitate auctum fiat H, ' patet H esse quadratum, cuius latus unitate superat latus ipsius G. Quod erat demolistrandum. autem attinet ad positiones primi & secundi numeri quos Diophantus vult esse quadratos continenter proximos, puta de s. allucinat ut etiam Xilander eum putat alios quos ibet numeros potuisse poni per trigesimam primam secundi iuuentos. Nam si huiusmodi ponantur qui non sint qu rati, hi quidem uni parti propositi satisfacient, sed duplicata aequalitas ad quam per hanc oporationem deuenitur, inexplicabilis erit. Etenim ut patet, numeri pro primo & secundo positi, suntndem cum unitatibus quae reperiuntur tandem in muneris quadrato aequandis, ut in hy thesi Di phanti, tam primum & secundum posuisset q. & 9. Inuenit quadrato aequandos Io N. -- p. de pN. mare eum hic Numerorum numeri sint inaequales, nee habeant rationem quadrili Mquadratum , necesse est unitates adiunctas quadratas esse, alioquin resolui non posset quatio. Cum enim horum inter talium sit 1 N. - . tales deligendi sunt numeri, quorum mutuo ductu id fiat ut in quadrato semissis summae illoriim reperiantur unitates 9. Ac in quadrato semissis interiisti reperiantur unitates q. Vt scilicet unitatibus in aequatione se mutuo abolentibus una species uni aequalis remaneae , tuta quadrati Numeris. Hoc autem fieri nequit, nisi in semisse summae sint unitates Linus in ipsius ς.&nisi in semisse interualli sint unitates a. latus ipsius 4. Proinde nisi s. & qu drati sint, rem per fiet non posse est manifestum. Hinc Deile est videre cur ad conficiendum intes uallum s N. - s. sumpserit Diophantus numeros i N. - & s. Nam ut ex dictis constat tales.sumendi sunt ut summa unitatum in ipsis contentarum sit o. interuallum vero earundem 4. Quare per monem primae primi reperient ut unitates ponendae in illis numeris esse I. 3: s. Atqui posito est multiplicatorum s. euidens est alium esse non posse nisi IN. - - i. vleotaim mutuo ductu fiant 1 F. Posse quidem alter poni I. alter veros N. s. Sed horum summae& interualli semis iis qua- crati lecundum omnes suas partes maiores sunt pr-ositi ad aequandum quadrato numeris, unde inuenitur vallar Numeri minor nihilo. Quare restat solos s. & I N. - . quaestioni soluendae id neos reperiri. Α ttamen Ostendemus ad quadragesimam quintam quarti hane aequationem etiam i 'nnitis modis resolui disse per modum utendi duplieata aequalitate a nobis inuentum, quem ibi explicabimus. Quod ad Hypotasim tertii numeri spectit, is non solum poni potesti N. sed etiam quilibet Nilmerorum numerus. sed si iidem ponantur primus de secundus eadem semper eo Mnset solutio ut experiendo deprehendes. Quamobrem omnis solutionis varietas pendet exprimi Mecundi positione, quae infinitis modis fieti potest. Cum sumi possint alii atque alii Quas ius unetit et proximi. V ri
Extat huius quasionis Diophori problema in libro quinto quaestione quinta, Num
ro problema sequens ιpse Diophantussciens praetermisit,an pulus in aliquo tre- aerim librorum Gornctum erat , nescimus. Inuenire s. quadratos ut productus ex binorum multiplicatisne adsumptί eorundemsumma quadratum faciat. Huius tamen quaesionis infinitas solutiones dare pos verbi gratia ferueniems.lationem ;satisfaciunt nempe problemati tres qua rati sequentes. λ
a. quadratu . modis construximus.
Inuenire q. numeros sub quibus binis quod ι planam adscita
Insentantur per s. tropositionem lib. s. tres quadrati ut quem bini faciunt planum cae ciscens ambo am Iummam faciat quadratum se sento illi numeri quadrari su V is ενε ρη ti, tres prιmι numeri nostrae qua sionis , Ponatur
248쪽
N-,' primum. Hae igitur tria aequanda quadrato , se oritur triplicata v secundum. aquatitas cuιus explicationem dedimus ad rosiomm a tertium. libri sexti.
IN v ε Ni R a tres numeroS, ut productus ex binoriun multiplicatione adsumens utriusque flammam iaciat quadratum. Ponatur primus IN. secundus veros. & eil productus eorum multiplicatione addito utroque 4 N. -- 3. aequandus qua drato. Esto quadrato 23.&fitIN. 3bergo primus 3 et erit, secundus & vni p 1tulatorum est satisfactum. Nam eroductus eorum multiplicatione adsumens utrumque facit quadratum 23. Oportetigitur ut & prodiibus ex secundo in tertium , itemque productus ex tertio in primum adstito utroque faciat quadratum. Ponatur tertius I N. & fit productus ex secundo in tertium utroque adstitoxurs N. -- 3. At productus ex tertio in primum addito utroque fit 6 N. --ue l. Horum uterque quadrato aequatur. Sed quia alterius& numerorum &vnitatum multitudo, iis qui sunt in alter stmaior, neque eorum inter se ratio est quae quadrati ad quadratum, inutilis est huiusmodi positio. Eo itaque deuentum est ut quaerantur duo numeri , ut productus corum multiplicatione utroque adscito faciat quadratum, & praeterea ipsorum unitate auctorum ratio sit quae quadrati ad quadratum. Quandoquidem si
numerus numeri quadruplum ternario excedat, ipsi unitate aucti rationem habent ad inuicem, quam quadratus numerus ad quadratum numerum. Pono primum I N. secundum vero N. - 3. Restat ut productus eorum multiplicatione utroque addito iaciat quadratum. Sed productus eorum multiplicatione viroque addito est -- 8 N. - 3. hic erEO aequatur quadrato pomo quadratum aDsa N - 3. & fit quadratus 4 Q. - - '. IaN.&st i N. o. seu fierit igitur primus secundus I seu Ita postulatorum vni est satisfactum. Superest ut productus ex secundo in tertium, itemque prodii cius ex tertio in primum addito utroque
249쪽
faciat quadratum. Pono tertium i N. Est autem secundus fit productus eorum multiplicat he addito utroque ue I N - ς aequandus quadrato. Esto quadratoas. Rursus quia tertius est a N. primus
autem: . erit prodilistus eorum multiplicatione adsumpto utroque . .' N. -- ἰ.
aequandus quadrato , puta ioo. Duco 3έ N. - - - : in 23. fiunt N. - Iob. aequanda quadrato. Similiter duco N. in ioo fiunt rao N. - 3o. aequanda rursiis quadrato. Et est eorum interuallum et . de duplicata rursus occurrit aequatio, Sc fit i N. . erit igitur tertius A. erat quaestionem
SV a tic t est hoc problema,& elegans modus utendi duplicata aequalitatae in eo continetur,quonchm non perceperit Xilando , mirimi non est si parum seliciter eum explieauit. Quamuis cornipto, solutionis numeros benε restituerit. Nos ergo triplicem Diophanti possitionem percurientes no latu digna quaeque percenseamus, de obscura dilucidemus. Prima positione quaeruntur duo numeri, ut productus illorum multiplicatione adscita summi eorundem, quadratum faciat, de reperiuntur Fe&3. Quamobrem hos statuendo pro primo deiscundo , ponitur tertius I N. quem ducendo sigillatim in priores duos, di productis addendo summis eorrum ex quibus producuntur, fitant quadrato simul aequandi N. -- 3 & 6 N - - 1 3. Ho iu-tem aequatio inexplicabilis est, quia cum numeri quadrato aequandi componuntur ex Numeris unitatibus, oportet vel numeros Numerorum aequales esse, ut contigit propositione decima dua: in huius, ubi aequatur quadratis IO N. - - y α Io. N. - s. vel numero Numerorum inaequalieri siente, oportet unitates esse quadratas, ut in praecedente quaestione, ubi aequantur quadratis io N. .s di s N. - 4. vel denique quod bucusque Estn accidit eum unitates quadratae non sunt, nec nimeri Numetorum aequales, oportet saltem numeros Numerorum inter se rationem habere quadrati quam trademus insta. Hoc igitur ut consequamur. Videndum est unde prouenerint Nuinet oi uni ad quadratum, ob causam numeri N. &6: N. At prouenerunt ex ipsis initio inuentis numerui.&s 3 unitate auctis, eum ducendo sigillatim in ipsos i N. de productis addendo i N. fiant 4 N & 6 N. Corrigenda ergo est pruna positio, & loco ipsorum 3. & 1ήalij duo numeri sunt inueniendi , quo mini productus adticita eorundem iunima quadratum ficiat, ita ut ipsi numeri unitate aucti rationem inter se habeant quadrati ad quadratum. Id fiet per secundam politionem. Secunda itanue positione ut inueniantur huiusmodi numeri, re alterum postulatorum per ipsis positiones consequat nur, tali utendum lemmate. VSi fuerint duo numeri quorum maior minoris quadruplum ternario excedat. ipsi numeri unitate aucti erunt plani similes. Cuius lemmatis demonstratio Acilis est. Sit enim maior Α E minor C D. & a maiore auferendo B. . . E. p B S si'periit AB quadruplus ad CD. Dico si utrimque indat ui c. . D. G unitas EF. D G. totos A F. C G. esse planos similes. Cum enim BF qua ternarius sit quadruplus unitatis DG. Est ut AB ad CD, ita BF ad D G, Q re & totus A F ad totum C G est in eadem ratione quadrupla; quod erat propositum. Ponitur
ergo primus i N. secundus N. -- 3 unde restat ut Productus eorum multiplicatione adseira eorum simina quadratum faciat, & peracta aequatione fit 1 N. '. suntque quaesti numeria & 44 Qui . utentes tertiam instituemus positionem. ri u Tertia igitur positione quaesitorum ab initio numerorum ponitur primus Secundus '. Te Uus i N. unde tandem proueniunt quiarato aquandis N. -- Α:& N. -- Vbi quia Nume- forum numeri sunt plani similes, sic explicabitur aequatio, sumant ut duo quadrati in edem ratione illorum numeroriim, puta Ioo.&2 . ductoque minore in maiorem, & maiore in minorem sientiam quadrato aequandi rio N. -- IOD & 73O N. -- 3α ubi numeri Numerorum sunt aequales , quia datis quatuor numetis proportionalibus, ex Primo in quartum idem procreatur nuruerus , qui
250쪽
se ex secundo in tertium. Nee per huiusmodi inultiplicationem immutatur aequilitatis ratio, quia Quadrato per quemlibet quailiai uni siue nullii plicato, siue diuiso, temper sit quadratus, unde patetu iro. N. - iC . aequetur quadrato, & illius puta N. - fore quadratum. Et si lao. N. -
γα ponat ut aequari quadrato, de eius centesimam partem, puta N. - torc quadrato aequalem. Sumpsit autem Diophantus quadratos 21. N i . Potius quam alios quotcunque in eadem ratione, ut vitaret seactiones, alioquin expeditius res ager c ut ducendo denominatorem rationis, puta . in
minorem numerum N. - . . unde fierent qua irato aequandi s : N - - & 1 N. rib Iiaque
subtili artificiores deducta est ad primum modum duplicatae aequalitatis, quo usus est Diophantus tum duodecima, oc decima quarta secundi, tum decima quarta huius. Etenim ipsorum IIUN. ros.&I3o N. --30. Interuallum est7s. qui fit, si libet, ex3. inas. quorum iuuamae semissis quadratus i . aequatiit maiori 13ON. - Io .& fit N. n. . Caeterum varietas in operatione N in solutione , multis oritur capitibus. . Primo enim iiiiieniri possidiat infiniti duo numeri , quo iam productias adurita eorum summa quadratum faciat, quique unitate aucti fiam plani similes. Tum quia, ut benE monet Xilander, quod de quadruplis asserit Diophantus, potest congruenter applicati omnibus aliis numetis seruantibus rationem quadrati ad quadratum; similiter enim si numerus numeri noncuplum superet octonario, addita utrimque unitate fient plani similes ;& si numerus numeri sedecuplum excedat numero is adstiis uterque unitate, sent etiam plani similes , di sic de aliis. Tum quia numeri quadrato aequandi, qualis est in hypotbesi Diophai iti Q - 8 N. - 3. latus diuersimode fingi potest, ut patet. Secundo talis is in secunda eadem positione alia vatietas considerari potest. Primus enim non solum potest poni 1 N. sed & quilibet Numerorum numerus lemmate tamen tradito utendo congruentet inpositione secundi. Vis ponatur primus a. N. erit secundus 8 N. - 3. vel 32 N. - Is. dee. si ponatur primus; N. erit secundusia N. - 3. vel 27 N. F 8 d. c. . . - .' Tertio in tertia positione iisdem manentibus primo de secundo potest etiam tertius infinities variari, de poni non solumi N. sed de quilibet Numerorum numerus, sed ad hoc intelligemus ampliati lemma traditum hoc pacto. . Si fuerint duo numera, eri Dimn irem orb- --ιι terrat os peret, ducatur ιn tertium mimcirum , producti pu addatur ιdam tertius, fient duo plana simini.
Quod ita demonstrabitur. . - -
Sit A C superans temario B C ipsi im A B quadruplum ipsius P E. & tertius B. . . C quilibet nitinerusF ductus in ipsos A C. DE. iaciat GH. quibus addendo D. . E F s sigillatim ipsen, F fiant K L. dico ipsos Κ L esse in ratione quadrupla, atre
G t. H io nAb sanos similes. Etenim quia G. cyti fit ex F. in AC. aequatur uiuis N H. ex F. in A B. de B C. At plodutas ex Rin Α R quadruplus est producti ex F. in DE seu ipsiu, H. cum A B. D E. sint in quadrupla ratione γ productus autem ex F. in ternarium B C. triplus est ipsius s. patet G. continere quadruplum ipsius H. N triplum ipsius F quate, si eidem G. addatur P. summa K. quadrupla est ipsorum H F. seu ipsius L Quod demonstrandum erat. Non aliter idem ostendetur de alia qualibet ratione quadrati ad quadratum. Ut si A C. Ponatur excedere noncuplum vel sedecuplum ipsius D E. ternario, co ludetur & Κ ipsius y . esse: uplum vel sedecuplum , & sie de aliis. Quare manifestum est iisdem manentibus primo de secundo puta : N . Tettium poni posse i N. vel a N. vel 3 N. dcc. Denique ipsa duplicata aequalitas infinitis modis resolui potest, prout sumentur alii atque alia numeri , quorum inutuo ductu fiat 7s. dummodo horum summae & interualli semissis quadrati maiores sint ipsis ios. de 3o. ut docuimus ad duodecimam secundi.
IN v a Nin E tres numeros, ita ut bino rum multiplicatione producitas dempta amborum summa sit quadratus. Vim praecedenti ponatur primus i N. secvndus ynitatum qii uis, & eodem modo in dissicultatem inexplicabilem incidemus. Vt ergo mellitudinem Numerorum ad multitudine ni Numerorum habeamus sub'iuione quadrati ad quadratum, eo deuoluitur res vi quaerantur duo numeri,qu