장음표시 사용
251쪽
rtim summa sit quadratus, & ptaeterea ipsi vilitate multati rationem habeant quam quadratus ad quadratum. Enim vero snumerus alterum quater, dempto ternario continet, ij viiitate multati rationem
habent inter se quam quadratus ad quadratum ; quia scilicet utrimque ablatavnitate, fit diminutio hinc quaternarii, inde unitatis; &patet si a quadruplis quadrupla, auferantur, residua esse quadrupla , atque ideo in ratione quadrati ad quadratum. Pono igitur primum I N. I. secundum N.--I. & fit productus eorum multiplicatione, dempto utroque Q. - I aequalis quadrato a latere a N. -
soc est - - 8 N. & fit I. N. I. erit ergo primus secundus sia & sitis- fit uni postulatorum. Et quoniam primus est V secundus ab pono tertium I N.&fit secundo in tertium 3 e N. &utroque detracto, puta i N. . 3 et restat a. N. - s aequandus quadrato. Eilo quadrato Qui autem fit ex tertio in primum est ri Voc utroque dempto restat ἰ N. - aequam diis quadrato. Esto ipsi I 6. & per nunc illud multiplicetur fit Iod . - 26. aequamdus quadrato. Similiter a et Ν.-3. q. ducantur in . fit io N. - I . aequalis quadrato. Horum inter allum i a. quod fit mutuo ductu ipserum a. & 6. quorum summae semissis in se facit is . aequalem maiori, puta Io N. -Iq. & se I N. 3. Ergo tertius est 3. seu p. habebamus autem pruinum V. secundum 3 seu P. & seluunt quaestionem. i r L, δὲ G rερον μιν s. α C minIONEM XIX.
OM N I A quae ad praecedentem adnotata sunt, lila etiam locum habent. Modus utendi dua plicata aequalitate idein cit, de lemma quod assumit Diδphantus eadem ratione demonstratur. ipsiulque demonstrationis fundamentum attigit Diophantus his verbis. Qui ilicet utrim- as avara , fu tinumu hinc quat ry, inda unitatis, ct sinetsi--drup feram
Operationis quoque de solutionis varietas totidem modis contingere potest, ut diuti sis ni u
iuimorari in te ilianiscita. - x o
ό- o xx 'αυ- YNvENIRE duos numerus, ut Pr P I ἰαν τι -- τλαύη σαυαμφοτερον, I ductus eorum multiplicatione siue ali ar τὸ ε πιρον ποιν τετραγωνον. ora ita o rutrum, siue summam ipsorum adsciscati
252쪽
saciat quadratum. Ponatur alter i N. alter AN. i. Eomam si nutrieriis sit trumeri quadruplus dempta unitate , productus eorum multiplicatione adsumens minorem isacit quadratum. Iam duo postulat rum rellam implenda, ut scilicet productus eorum multiplicatione adscito secundo, & utroque simul faciat quadratum. Sed productus adsumens secundum fit 4-- 3 N. - I. aequalis quadrato. Et idem productus utroque addito fit Q. - - N. - I. aequandus quadrato. Et est duplicata aequalitas. Horum interuau
i N. Erit igitur primus . .. secundus M. & soluunt quaestior em.
MAON A est contarinitas huius quaestionis cum vigesima.septima secundi. Via quxtuntur duo numeri, quotum productiis adicito alterutro quadratum faciat. Sed hie praena post latui ut idem producius adsumpta amborum summa faciat quadratum. Itaque sitas positi ines dem modo instituit Diophantus, & eotundem lemmatum quae ibi demonstrauimus hic usus essem .io notandus hie modus inendi duplieata aequalitate , cum numerorum qu drato aequandorum interuallum constit ex .lis numet: s. Tune enim necesse est in numeris quadrato aequandis reperiti quadratorum numerum qua statum, ut his Numeros autem quorum mutuo dula fiat interuallum i N. aeeipit Diophamus N. & ' ob similem causam illius quam attulimus ad de cimam quintam huius. Oportuit enim talem sumi numerorum numerum , cuius semissis mi Idratus inceret Quare debuit pio altero sum N. unde sequitur alterum necessario esse. ut primis posivionibus consistit, quas diuersimode fieri posse eonstat auxilio lemniatum ad vigesimam septimam secundi allatorum.
ΙΝ v η Ni R a duos numeros , Ut pro ductus eorum multiplicatione siue alterutro siue utriusque summa multatusqOdratum saciat. Ponatur alter I N. I. alter N. Quandoquidem si numerus numeri sit quadruplus, demptis quatuormitatibus, productus eo rum multiplicatione detracto maiore quadratum facit. Restat itaque ut productum multiplicationis siue minore, sue utriusque summa multatus, faciat quadratum. d prodi
dium illud dempto minore si Q IN.
a. Et idem productum dempto utroque I N. - r. Horum viri inmite 'ira-drato aequale est. Interuallum N. Statuo illud mutuo ductu producentes N. diis di. oc manitella est demonstratio. ET P E IN δυο α' ο ρ ρ , αὐ-
253쪽
FA D a M aut similia dici possunt de hae quaestione, quae de siperiore dicta sum vide quam si conismis vigesimae oruuae secundi, & quomodo utrobique eodem utens lemmate Diohantus, eodem modo suas instituat positiones. Modus utendi duplicata aequalitate idem est, quo usus est in praecedente, dc easdem ob causas ad conficiendum interuallum N. sutii psit N. & t.
positi ex omnibus: quadra, , singuliγ-rum tam adiectione quam detractione mciat quadiatum. Quoniam in quolibet triangulo rectangulo quadratus hypotenusae siue alictus , siue multatus duplo eius quod fit E multiplicatione laterum circa rectum , iacit quadratum. Quaero primum quatuor triangula rectangula aequales habentia hypotentisas. Hoc ipsum vero est, quadratum aliquem diuidere quater in duos quadratos. Atqui di- discimus datum quadratum diuidere. in duos quadratos infinitis modis. Nunc et go exponamus duo triangula rectangula in minimis: numeris, quales sunt 3. q. . de 3. ra. IV. dc multiplicetur unumquodque ipsorum per hypotentium alterius,& erit primum triangulum 39. 32 6 . secundum et s. 6o. 63. & sunt rectan uti aequales habentia hypotenusis. Alluc aurem suapte natura numerus 6s. diuidi titu bis in duos quadratos, nempe in 16. dc M. r sus in s . & I. quod ei contingit quia fit ex multiplicatione muti in s. &I3. quorum uterque in duos diuiditurq dratos. Nune expositorum & r6. sui , latera, sunt autem 7. & . & sormo triangulum rectangulum a duobus numeris .
6 . &i. latera sunt 8.& I. a quibus riirsus sermo triangulum rectangulum , cuius latera sint i5. 63. cf. & fiunt qii amottriangula rectangula aequales habentia hypotenuses. Resero me igitur ad popositam initio quaestionem, & pono compositum ex quatuor mimeris σ3N.Qu na- libet vero ip sorum quatuor pono tiri quadratorum quot continet unitates quadruplum areae. Primum quidem '6 Q. Se
254쪽
Arithmeticorum Liber III. iasiorum summa H 68M aequalis ON. O Ad positiones. Erit primus
PV L c Η v R Rr M v M est hoc problema & rarae subtilitatis, in quo eum multum desudarit Xilaim der, pers stam tamen eius enodationem actite non potuit, destitutus scilicet Tepotii matum Quae ad hoc requiruntur. Rupniam ergo gloriam rei perosculae explicandae nobis libenter reliquit, os eam libenti iis ainplectantur. Et ut omnia clariora fiant, singula quaeque notatu digna ordine
''Adum: itaque primo lemma quod assumit Diophantus de triangulis r se netis idem iere '
licet aliis verbis enunciatum , quod iam usurpauit trigesima prima secundi, ubi de mIumus, inice hic repetere non pigebit, illo nil aliud contineri, quain quod ostenditur quarta secundi Euclidis , de uuat Iecutuli potasmatum. Etenim per quartam seeundi, eonstat summam quadratorum a duobus numeris adsumpto duplo producti laterum eiscere quadratum summam lateri . At perauartam secundi potismatum patet clii plum producti laterum detractum , summa quadratorum , relinquere quadratus: interualli rum. Quare cilii, in triangulo rectangulo quadratus hypotenuis sit is quadratis latetum circa rectune manifestum est, quo ait Hophantus, quadratum siue adsumpto, siue detracto duplo pioducti laterum circa rectum , ficere utrimque quadrat ui. Proinde res. Diophantus summain quatuor quaesitorum numerorum constituit molenusam alicuius trianguli relianguli, unumquemque vero ipsorum numerorum ponit duplum producit late
sic enim optimε satisfit postulatis. Quamobrem ut ipsi numera diures reperiamur, superest ut in Meniamus quatuor--αμ rei sit homenusa.
,r iti annula tectan a, quoriam eadem sit hypoxenu . , - . Aduelle igitur fecunn, ut bene monet Diophantus, reperire quatuor mangula rectangul
dem habentia hypotenusam, nil aliud esse quam quadratum quemlibet diuidere quater in duos quadratos. Quare niti si actiones in operando vitare voluisset , poterat rem absolum piis octauam stam di, qua docuit quadratum quemlibet infinities diuidete in duos ciuadratos. Vt autem tractiones in operatione vitentur, subtili sanε artificio quadratum inuestigat author, qui quater diuidatur in duos Quadratos intestros. Exponit scilicet duo triangula rectangula uon similia , puta 3. - . N F. Ia. H. Tunc utriusque latera per alterius hypotenusam multiplicans, inuenit ilia duo triangula, cadem est hypotet ausa , nimirum 3 . 12.6s. & 21. G. 6s. Nam de haee esse latera trianguli rectanguli Patet per priinalia tertii porismatum, cum fiant lateribus trianguli re i pellundem numerum multiplicatis. autem dixi exponenda esse triangula non limitia, id Actum est, ciuia si similia sint, non iam alia duo hae ratione formabuntur ab his triangula, sed unicum
se demolistratur. Sint triangula similia A B C. DEF- duo
- - latera fiat triangulum G. H. K dico idem triangulum GHK, de non aliud , heri, si hypotenula ducatur in singula latera alterius DE F. Nam primo ex hy-
ia ej C in E qui fit ex B in F. Quare constat propositum - Aduerte terti&Vt rursus inueniatur alia duo triangula quotum sit eadem hypotenuia 6s. optimium uti potismate, quod demonstrauimus propositione septima libri tritis duobus quadratis composti inter se ducamur, productus componetur bis ex duouus q . - . de causa triangula initio exposita ita delegit,aut nor,ut euiussi t hy tenusa compona usquadratis, puta s. ex quadratis i. 5: 4. M 13. ex quadratis 4.3c 9. vnta optimὸ concludit Q. componi bis ex duobus quadratis, nimirum semel ex i6. de 49. Atque iteraim ex I. dc 6 . Eu qm ut teperiamur ostendit septima tertii potismatum. Sed illius limitationes attendendae sunt, qua m prima requirit , ut quilibet expositorum numerorum compotiatur ex duobus quadratis inaequali nam sit alter ex duobus aequalibus quadratis compositus sit, productus eorum multiplicatione eomponetur tantuni semel ex duobus quadratis, ut si sumamur s. N R quoram 8 componit ar aequalibus quadratis q. Ac erit productus M. semel tantum ex duobus quadratis con litus, puta v. & q. secunda vero limitatio requirit, ut expositi numeri componantur ex qu- is minime pro-
255쪽
portionalibus , alioquin idem sequitur incommodum , vi si sumantur.& 2o. compositi ex quadraris proportionalibus I. . q. 16. erit productus ioo. ex duobus quadratis semel duntaxat coni positus, v delicet ex6 . omnia loco citato demonstrantur. Aduerte quattb. Inuentis quadratis 16. & ες. itemque r. & 6 . ex quibus Q. componitur ex iis Diophantum sormare triangula rectangula duo, quorum eadem est hypotentisa 61. eo quem demonstrauimus modo tertia vel quinta tertis pori nistum. Etenim si per tertiam libeat operari a quadratis i6. N 9. fiet triangulum cuius hypotenuia erit summa ipsorum puta 6s basis veto inte uallum eorundem puta 3υ Perpendiculum autem erit duplum medii primitionalis, puta 16. Rursus , quadratis i.& 6 . formabitur triangulum , cuius hypotenuia erit summa ipsorum, puta η. Bius vero interualliini eorundem, puta 63. Perpendiculum autem erit duplum medij proportionalis, putar 6.& sic habebuntur triangula duo quaesita 33. yσ.6y. deI6. 63. 6s. eadem reperientur per quintam terti j potita. Vetiam hic notandus est Casus, cum productus ex mutuo ductu duorum numerorum ex duobus quadratis, coinpositorum, componitur quidem bis ex duobus quadratis, sed una compositione componitur ex duobus quadratis aequalibus,ut sumptis 1.de Io. productus yo. componitur quidem semel ex quadratis r. N M. inaequalibus. Sed componitur iterum ex aequalibus eth &2s. Vnde per hanc compositionem inutilis redditur operationi Diophanti, non enim inde concludi potest eius quadratum componi ex duobus quadratis, cum ipsorum 2s & 21. nullum sit interuallum, ruod deberet esse latus unius quadratorum illorum. Porro id semper accidit, quando tales sumuntur uo numeri ex duobus quadratis compositi, ut quod fit ex interuallo latetum uniuς , in interuallum laterum alterius, aequetair duplo producti ex minore latere in minus latus. Quod ita demonstratur.
C ου Sint A n latera quadratorum unius, quorum interuallum C. & sim D E latera A, B o M qu dr torum alterius, quorum interuallum F. N productus ex C. in F aeque ' duplo producti ex A in D. Porro compositus ex quadratis ipsorum AB esto M. & productis esse quadratis ipsorum i DE esto N. dico productum ex M iii N. eomponi quidem bis ex duobus quadratis, sed una compositione componi ex duobus aequalibus quadratis. Menim ducto D in ipso, A nfiant G H. deducto Ein eosdem ΑΒ. nant KL. Paret ex demonstratis septi ina, productum ex M. in N. componi tum ex quadrato summae amborum G tadidi ex quadrato interualli ipsorum GK. Tum ex quadrato summae amborum Hia de ex quadratis iueritvit ipsorum H L. Verum so summim ipsorum H aequari interii allo ipsorum G L, ac priam de productum G M in N. hae compositione constare ex duobus quadratis aequalibus. Quia enim
L nt ex E in B. seu ex duobus D F. in duos AC si hine auferatur productus ex D in Α. puta G. at et interuallum ipserum G I. aequari productis ex Α in F, ex Cin D,& ex Cin F. & loco It ucti ex Cin P. ,suiniendo duplum producti ex A in D illi aequalem ex hypothesi, erit praeditim interuallum aequale duplo producti ex A in D. de productis ex D in C. de ex A in P. Sed eisdem productis patet aequalem e summam ipsoriim HK. Nam H fit ex D in B. seu ex Din A.& ex D in C. At K ni ex A in Eseu ex A in D. se ex Α in F. Unde eonstat duorum H Κ. summani aequati duplo naucti ex A in D, de productis ex Din C. de ex A in F. Igitur ipsorum HK summa aequatur tute u li' ipsorum G L. demonstrandum erat.
. Aduerte quinto. Textus Graeci lacunas a me esse repletas, tum descientes numeros restituendo, sum corruptos emendando, denotari Ehaereas in numeris Graecis, moneo Diophantu in maxinios
sum os in quibus ingens Myriadum multitudo continetur, sic exprimere ut Myriacis , reliquis ymratibus distinguat perspicuitatis ergo, signum autem Myriadibus apponit MV Myriadibus myrati dum μυ. duplex, At reliquis unitatibus signiim consuetum tit. Sic vides numerum I 'Gita . sie ab eo exprimi, Lia, . idest Mirias una myriaduin. Mq. id est Myriades 63oa. μῆjhst unitates ira . Et si e de aliis. i
Aduerte postremo, sine potismate Diophanti aequὰ bene inueniri posse in integris quatuor imm la rectangula eandem habentia hypotenusam, auxilio decimae tertii poti sinatum. Denim expotari sit in gulis non similibus 3 Q. . de r. a. ra. si cum Dioplianto formes ex his alia duo ducendo utramque iratenus mi in alterius latera, habebis 3 12.61. N u. 6o. . Tum si indecimam tetiij po fis n. ex iisdem trian 'lis prius expositis formes alia duo modo ibi tradito , fient utique 33. 16.ε s. dc 16. 63. os. Immo ex ibi demonstratis licebit ampliare Potisma Diophanti , de illud extendere oniblum ad numeros ex duobus quadratis compositos, sed etiam ad duos ex duobus planis sinit libus compostos viiii iersalissimὸ proponere.
. . Si numerus. ex duobus planis similibus composit 3s, ducatur in alium ex duobus punii similibus coinpositum, qui non sint proportionales iis ex quibus primus componatur; producetur numerus, cuius quadrariis componetur quater ex duobus quadratis. A ,, nai Cii sint im CF ς duobiis planissimilibus uterque eomposilux, qui nono E ii pii si V ympQxxi00.les. Et ex Cin F fiat T. dico T quatet eointoni ex disobii,
rum quia C componit ut ex clii obus platitas nitu bus, exit hy-
256쪽
potenuia trianguli reelanguli per tertiam tertij p sinatum. Sint ergo latei in circa rectum A. B. similiter F Ostenditur hypotenusa trianguli rectan- 7γρ' i' T 78 guli , cuius latera circa rectuini D E Igitur , duobus triangulis A B C D E F. :ii tormentur alia duci ducendo hypotentiam utramque in alterius latera, erunt U9 itiingula NΡT. QI T. Rutius forment ut alia duo per decimam tertii potissimatum, erunt haec G ΚT. LM T. Quare constat Propositum.
Caetervin animaduersione quoque dignum est, quaestionem hanc ad quotlibet numeros eadem arte extendi posse, eum si fractiones quidem minimὸ vitentur, quilibet quadratus infiititis modi, diuidi pol sit in duos quadratos. Si vero etiam per integros rem absoluere libeat, facilε sit Diophanti artificium imitando quadratum reperire, qui quoties quis jusserit componatur ex duobus quadratis integris, quandoquidem perporisina quod assiimit Diophantus, quodque demonstratum est septima tertii potismatum licet numerum inuenire quoties quis jusserit ex duobus quadratis compositum. Nam sicut per illud potisma inuenitur numerus bis compositus ex duobus quadratis, ducendo numerum semel ex duobus quadratis eoinpositum, in alium item semel ex duobus quadratis compo- ilium, ita si numerus bis compostus vos s. dueatur in alium semel compositum, quales sunt 3 13. I 17. productus ter aut quater ex duobus quadratis componetur, ter quidem si 8. ducatur in s. vel in 13. ex quorum mutuo ductu ipse sit, vel in aliquem illorum multiplicem. Quater autem si seeus. Verbi gratia productus ex s. in Μ. puta ars. ter tantum componitur ex duobus quadratis, nempe ex 22s. N I . ex 32 . & I. ex 289. & 16. Quod accidit quia s. & 6y. componuntur ex duobus quadratis. Q iare si intelligamus6y. componi ex leto necesse est productum s. in6I. puta 32s. componi ex duobus quadratis qui sunt etas.& ico. 32 . & i Rursus fero si capiamus 6s. ut comesitum ex M. α I. necesse est productum ex s. in 6y. puta 32s. componi etiam bis ex duobus quadratis, nimirum ex 289. de 36. de ex ars. de icio. Sed quia hieoincidunt cum duobus ob priorem multiplicationem inuentis, constat Ps. ter tantum diuidi in duos quadratos. At si ducas I . in Θ. fiet vos. quatereoni diutus ex duobus quadratis nimirum ex s76. de hy. quorum latera a M. ex Ioa . dc 8I. M tum latera 32.9. exmI. IV. quorum latera 3 i. Zd Ia. Ac demum ex Io89. N I6. quorum latera 33. dc q. Quod si velis numerum sexies compositum ex duobus quadratis, sume 'iquem ter compositum ut Ps. eumque ducito in semel compositum, dum non sit hi quis eorum qui metiuntur vel miss-tiplex eorum, sed sume v. g. I7. quodvis in Rh fit 1s s. sexies compositus ex duobus quadratis, nempe ex ἶ-F. 2No. quorum latera sy. so. ex 38 q. 268I. quorum latera G. I. o. Gyqu rum latera 7O. 2s. ex so I. O . quorum latera 7L aa. ex nas. I96. quorum latera n Iq. Ac demum in 1 76. 49. quorum latera 74.7- - . Ita si velis numerum octies ex duobus quadratis compositum, duces compositum quater in eo positum semel, vel bis compositum in bis compositum, dummodo inter eos nulla ut communica
tio, & sie in infinitum. Qua de causa si ducas 1; s. sexies compositum, vi omniam est, in rori. bis compositum, nimirum ex binis quorum latera eta. 8c 7. Et ruisiis ex binis qliorem latera etR i' fiet y has. eompositus quod mirabile est vicines.& quater ex duobus quadratis, quorum accipet
OBSERVATIO D. P. F. AD COMMENTARIUM,
praecipue ad locum illum, Aduerte tertio, M.
N erui primus qui superat unitate quaternarii multiplicem semel tantum est
trianguli quadratus bis quadratoiuadra tus erc. in infinitum. δ em numerus primus se ipsius quadratus componuntur semel ex duobus quaδε - eius cubus se quadratoqua aius, bis : quadratocubus es cubocubus ter c=ς. in in laeuo. i merus primus ex duobus quadratis compositus ducatur in alium prim m
257쪽
etiam ex duobus compostam quadratis, productum componetur bis ex duobus quadratis: si ducatur in quadratum ei dem prami: produ Iam componetur ter ex duobus quadratis si ducatur in cubum eiusdem primi productum componetur quater ex duobus quadratis, O sic in infinisum. 'Hime facile es determinare quoties nume=us datussi hypoten a trianguli rectanguli , fumantur omnes primι quaternardi multiplicem vn late superantes qui datum
numerum metiuntur v. g. s. 13. II. uodsi potestates diinorum primorum metiantur ἀatum numerum , Disponamur una cum reliquis iaci laterum metiantur datiam numerum I. per cubum, ιI. perquadratum es 17. per latus simpliciter. Sumantur exponentes omnium diuisorum Nempe numera exponens es s. propter eubum, numera 13. exponens es a. propter quadratum se numerι II. unitas tantum: ora nemur igitur ut volueris dicti omnes exponentes τι si velis. s. a. I. ducatur primus in secundam bir es tro icta adjiciendo summam primi se secundi st ι7. --
eatur iam I 7. in tertium bis es producto adiiciendo summam i teriij fit 1 r. datus igitur numerus erit Θtoren a s a. triangulorum rectangulorum, nec est dissimilis in quotcunque diuisoribus es usorum potestatibus methodus. Reliqui numeri primi qui quaternarii multiplicem unitate non operant nihil aut ad unt quaestioni aut detrahunt neque ipsorum potesates. Inuenire numeram qui quoties quis velis sti hypotennsa : quaeratur numerus qui tsepties hypotenusa, numerus 7. ductus duiutur fit 1 . adiice νηitatem fit is . fume omnes primos qui mensurant II. sunt ιι s. ct s. ab unoquoque dempta unitate sume reliquι dimidium, fiunt l. a. quaerantur ιοι primi diuers quot hic sunt na meri nempe duo es secandum exponentes I O a inter se multiplicentur nempe unus
in quadratum alterius, in boe eafusatisfiet quaestioni modὸ primi θοοs fumis superent quaternarium unitate , ex his constat facile posse inueniri numeram minimum
qui quoties quis velit sit hypotenuo.
Inuenire numerum sal quoties quis metit componatur ex duobus quadraris : sit datus numerus Io. eius duplum aD. cuius σmnes partes prima fumantur. a. a. s. ab unaquaque tolle unitatem fiunt r. r. q. fumantur igitur s. numeri primi, qui nempe unitate superant quaternarium , M. g. 3. 13. 7. se quariatoquadratus,uius propter exponentem ψ. ducatur in reliquos duos. Fiet numerus quastus. Ut autem dignoscatur quoιιes datas numerus ex duobus quadratis componitur. Sit datas numerus 323. numeri primi qui eum componunt nempe quaternarium vnitate fuerantes J sunt 3. I 3. hic semel, ille per quadratum. Exponentes disponantur a. I. pro maas multiplicatione iungatur summa,si s. cui adiuncta unitate sit s. cuius dimidiam 3 toties igitur numerus datus componitur ex duobus quadratis, si essent s. exponentes ut a. a. r. Ita procedendum roductum sub prioribus adiunctum fumma facit 8. duratur 8. in tertium cse iungatur productum fummas I 7. cui iunge unitatem si 18.eatus dimidium dat s. toties ise secundas numerus componetur ex duobus quadratissex his facile potest inueniri minimui numerus qui quoties quis velit componatur ex duobas quadratis. Si ultimus numerus bifariam diuidendus esset impar une dempta initate reti ai dimidium fumi iabet. Sed proponatu placet sequens quaesis. Inuenire numerum in integris qui ad myro dato numero conficiat quadratum, o sit Ρpotenus quotlibet triangulorum rectangulorum. Hac quaestio ardua est, proponatur v. g. inueniendus numerus qui sis bishnoienus, o adsumpto binario confiat qu dratum. Erit quaesitus numerus aoas. O sunt aty in iti idem prastantes , ut 33σa. Oc.
258쪽
D A et v M numerum diuidere in duos
qui dempta utraque parte diuisi faciat
quadratum. Esto datus io. Ponatur inueniendus quadratus I Q. -- a N. -- I. IS siue ei adimas a N. -- I. sive N. remanebit quadratus. Statuo igitur primum 2 N. -- I. secundum . N. oportet horum summam aequari dato numero. Sed horum summa estιN. - . Hoc ergo aequatur io. & fit i N. in Ad positiones. Erit primus . Secundus 6. Quadratus aurem 6 b
MIROR Xilandrum non aduertisse quaestionem hane eandem esse elim decima sexta secundi. sicut Ac sequens non diiseri a decima quinta eiusdem libri. Operatio quidem est paulo dii tersa Sed eodem fermὸ reeidit. letum varietas solutionis in eoeonsistit quod quadrati inueniendi latus potest fingi diuers--dd, nimirum ab I N. -- quotlibet unitatibus , quarum quadratus sit minor numero diuidendo, pura in hypothesi Diophanti I N. - I. vel I N. - 3. vel I N. - quotlibet unitatibus, quarum quadratus sit minor quim Io. sic enim totidem diuersae contingent solutiones quot modis variabitur unitatum numerus, praeterquam in uno casu, cum scilicet tales duo sutarentur unitatum numeri, ut utriusque quadratum auferendo dato numero , & residua diuidendo per sextuplum sumptorum numerorum, fient quotlantes eodem distantes interuallo, quo distant lumpti numeri. Vt u sumantur numeri 1. N a. in nostra hypothesi ; nam ab eodem Io. auiuendo quadratos eorum, pura I. & remanent s. Ac 6. quibus diuisis per sextuplum ipsorum numerorum, puta s. per 6. de 6.pet ix fiunt quotientes t de quorum interuallum idem est atque ipsorum i& a. Quamobrem siue fingas latus quadrati quislii N. - - I. siue i N. - a. eadem continis solutio, cuius symptomatis causam ex ipsa operatione paulo attentius considerata factu deprehendes. Sed & aminaduersione dignum est eodem posito unitatum numerori latere Quadrati, eandem semper contingere solutionem , Maium HKt variu ur Ni orum numerus. Sie in hypothesi Diophanti,siue latus fingatur i&. - i. siue a. N. - i sive 3 α - 1 Sec. semper eadem fiet tolutio, eruntque quaesitae partes cl.& &quadrati latinat. Si indito siue quadrati latus ponatui I N. --3. siue a. N. -- 3. sive 3 N. - 3. &c semper erit eadem solutio, quippe quaesitae partes inuenientur ἰ dc y l. At quadrati latus Η. Huius quoque symptomatis causam ex ipsemet operatione deprehendes , de ab huiusmodi theoremate.
Si fuerint tres numeri, S a primo detrahatur quadratus secundi, & residuum diuidatur per sextuplum priaucti ex secundo in tertium, ac quotiens ducatur in tertium, idem semper procreatur numerus quaintumlibet varietur tertius primo & secundo
Hoc vero nil aliud est quis ex e cie, numero per sextuplum eiusdem numeri diuisci eundem semper procreati numerum, ut tibi considerandum selinquo. Porro hine talem elicio Canonem. A dato numero A er quadratum residuam viride per fxtuplum titeris illius , quotiens austiis eodem talere, erit Litus suasiti piadrati deiusdem vero Porientis quadruplum ιrit alie-ra quaesitan m partium. Moneo demum, etiam eodem modo facta positione quaesti quadrati, ipsarum partium posti' nes variari posse. Nam posito quadrato I Q -- a N. - I. sciit alteram partium Diophantus posui τη N. qua detracta a quadrato posito, remanet quadratus I Q - 2 N. - i. sic de aliam ponere potuisset 6 N. - 3. vel 8 N. - 8. 3ce. quibus ab eodem quadrato detractis remanent quadrati I Q --N. - & I -6 N. - 9. Ita si ponas quavitaς partes N.&6 N. -3. fiet horum lumniam N. -3. aequalis Io. deerit IN. de quaesitae partes 2 de latus quadrati l. a ratione operan-
259쪽
do, necesse non est in quadrato quaesito reperiri plures unitates quam in dato numero. Nani ponatur quadratus quaesitus i Q. N. 16. S ponamur paries qualitae i6 N.& Ιου ii alti his ab exposito quadrato detractis,temanent quadrati s N. - io. N. - 2y. Partium summa est 3 N. -9. aequalis io. N iiii N. g. sunt ergo paries quaesiitae C latus vero quadrati
DA i v v numerum diuidere in duos
numeros, & inuenire quadratum, qui viralibet diuis parte assumpta faciat quadratum. Esto datus ro. Ponatur quadratus I Q -- a N. - I. Huic sitie addas a N. -- 3. siue N. - 8. fit quadratus. Statuatur ergo primus a N. --3. Secundus N. - 8. Erit utriusque summa 6 N. - ii. Hoc aequatur zo. de fit I N. i. . Erit itaque primus 6. Secundus i . Quadratus autem f., & demonstratio est eui
EA D t M est haec quaestio eum decima quinta secundi, sed operatio aliquantulum diuersa. P sitio quadrati variari potest infinitis modis, dummodo partes dati numeri sic ponantur, utvm rates in iis contentae simul sumptae minores sint dato numero. Pro panibus etiam dati numeri varia neri possunt positiones, sed cum eadem cautione. Denique Canon ad decimam quintam tradivus, in huius etiam oriratione formari Poterat.
260쪽
A τ v M numerum diuideret in duos cubos, quorum late-i rum summa data sit. Opor---teat numerum 37o. diuidere in duos cubos, quorum latera faciant io. Ponatur prioris cubi latus I N. - . hoc est dimidium si inaniae laterum. Relinquitur ergo alterius cubi latus 3 - i N. Ipsi autem cubi erunt simul ao Q. - aso.Haec aequantur 3 o. dato scilicet numero , &fiti N. a. Ad positiones. Erit prioris cu
In IV. Libram Diophanti commentari .
BINO MIOR vM 3N. --si N. bos sumit Xitando modo eommuni,sumendosei licte prius eorum quadratos , di eos ducendo in ipsa binotitia. Verum compendiosius erit, huiusis modi binomiorum cubos sumere per vigesimam secundi potismatum. sua ostensum est e bum totius aequari cubis partium , & productis ter ex quadrato cuiust bet in alterum, ita si velis cubum ipsius i N. -- y. sumes partium cubos, puta IC.&I2y. Tum duces ter quadratum pri mae partis in secundam, fient is QDenique duces ter quadratum secundae partis in primam fient 7s. N. Quamobrem erit cubus totus ι C. - - IF Q - - Π N. -- Ias. Eadem arte inuenies cubum residui 3 -I N.nimirum iry -- Is s.N. I C. Vbi animaduersione dignum est in binomii, & in residui eubis duas semper species eodem signo, duas vero contrario affici. Nam partis quae in utroque latere asscitur signo -- cubus etiam idem signum retinet vi in hypothesi ias. At partis affet, - Obus etiam idem signum habet in cubo residui, puta in I Q Productus vero tet ex parte aget, signo - - in quadratum alterius, idem retinet signum, puta Is At productus ter ex parte affecta signo - in quadratum alteritis, habet etiam signum in cubo residui, nimirum 71N. Carte iam ex operatione Diophanti elicitur huiusmodi Canon. Uis bumsumma Dierum a sum-- ν δ dialisper trinumμ- ω
terum , orietur quadratus immialti laterum. Habens itaque si immam numerorum. & eorum interuallum, inuenies numeros po primam primi, sed S: alium non deteriorem Canonem elicere possumus ex decima nona secundi pordinat uim Nimirum. Aufer fum-m msorum a cubo sot- lasera n , res Aindere trip n μ' vis laterum; rei tur Hamus I, o DieriaM.