장음표시 사용
261쪽
Habem autem summam numerorum, & productum multiplicationis eorundem, inuenies Nu-- . per ut mana primi Denique tam ex operatione Diophanti, qu na ex priore Canone colligitin, huic quaestioni hane Onditionem debere adiici.
Oportet quadruplum summae cuborum , multatum cubo suininae laterum, diuisumphi triplum iunimae laterum, quotientem dare quadratum.
teruallum numerorum 6.iii ruallum vero cuborum Fo . Ponatur rursis maioris cubi latus i N. -- 3. minoris vero I N.
3. & manet illoriun interuallum 6. Superest ut cuborum inteluallum sit . . sed cuborum interuallum est 18 Haec ergo aequantur ueo . & sit i N. . Ad positiones. Erit maioris cubi latus 8. mitioris vero z. Ipsi autem cubi siet. & 8. ω euidens est demonstratio. κύζοι φιβ. δε η. κώ η γα οδειξις
HIc ex operatisne Diophanti eliciemus huiusmodi Canonem. .
Drumia m rvrum inreri iti Cuba minatum obo interi si lateriem, per tristi m---5 Mimon, metur pis uua pomma tauraram Cum autem habueris summam numerorum & eorum interuallum, inuenies ipsos numeros pet imam pruni seddo alium Canonem non deteriorem eluiemus ex vigesima prima fremuli potuin tum, nimirum. Divide intem borum multatis rasa inter ita tare , per ritiam interualli Memmorierin planus μ' iateribus. Porro etini habueris interuallum numerorum, & productum eorum multiplicatione, inuenies ipsos numeros per trigesimam tertiam primi. Colliges etiam tam ex operatione Diophanti quinim .priore Cavone , huiusnaodi conditionem huic quaestioni praescribi debere. Qi Oportet quadruplum interii ali i Cuborum multatum cubo interualli laterum, diuismi per triplum interualli laterum, quotientem dare quadratum.
ii ut tritiones etiam aliquot hic desiderantur ad hane materiam pertinentes, quas subiicere non I nabor.
.' AESTIO PRIMA. Datis duobus cubis, inuenire duos alloc quorum summa aequalis sit datorum ii inruallo. Oportet autem duplum minoris cubi non superare maiorem.
sint dati cubi R&r. quorum interuallum ' oportet igitur diuidere 7. in duos cubos. Elio latus ynius, latus maioris datorum cuborum -I N. puta a. -I N. α fingatur alterius latus a certo Nutile--i in numerum latere minoris cubi, dum talis sit numerus Numerorum, ut fiat diuidendo quadratum maioris lateris r quadratum minoris. Esto itaque latus secundi cubi 4 N. - r. Est ergo sum- in cuboriun 7 -- οι C. Min aequalis γ&fiti N. i. suntque latera quaesitorum cuborum- de L.
. Aliter fingatur latus unius quaesitorum Oborum i N. - latere minoris datorum, puta I N. - I. Alterius vero latus ponatur latus maioris cubi - tot Numeris, quot fiunt diuidendo quadratum minoris lateris per quadratum maioris, ponatur itaque a N. Det summa Cuborum 7 - QT-M N. a. . suntque cubi quoti qui prius. Hic moneo in tyronum gratiam
262쪽
ingeniosε fingi cuborum latera, ut maneat tandem aequatio inter cubos & quadratos. Idcirco statuis
tur in uno tacerum fictiorum maius datoium laterum cum signo & in altero latere nretio punit ut mimis datorum laterum cum signO - ut facta additione cuborum, maneant tantum mitates 7 quae aboleantur per aequalem unitatum numerum , Qui est ex alia parte , aequationis. Peinde tales utrobique ponuntur numeri Numerorum ut in uno cudo totidem inueniantur Numeri cum signo - - quot reperiuntur in alio, cum signo ut his etiam per additionem se mutuo elidentibus,maiieatratidein aequatio inter cubos & quadratos, cum quadrati oblignum Hadiunctum trant eant in aliam aequationis partem. EY vitaque autem operatione formatur huiusmodi Canon h. .,
Vtruitaque datorum cuborum ducito ter in latus alterius, productos diuide per summam cuborum, a maiore quotiente aufer minus latus, & minorem quotientem aufer a maiore latere, relinquentur cuborum quaestorum latera.
Hinc conditionis adiectae ratio deduci potest. Nam si maior cubus ad minorem sit in dupla intione, vel etiam in minore, non posse perfici quod iubet hie Canon, sie demonstratur. Sint eu - - A minor, de B duplus illius, quorum latera C D. ductoque A in D tet nath v si E. quo diuiso per F summam cuborum A B. sit quotiens a Ergo per hunc
FR V3 UR ' ' Ononem, ut habeamus latus unius quaestorum cuborum, Oportet auter
Gab ipso D. Sed hac subtractione nil reli liqui se probatur. Quia Best duplus ipsius A. patet 'minam ipseritin A B, puta F triplam esse ipsius A. At Eest triplum producit ex Α in D. Caele umidem quotiens G fiet siue Ediuidatur pet F. siue triens ipsius Err trieotem ipsius F. diuidi eoncipiatur. Sed diuidendo productum ex Α i n D. pet A. fit quotiens D. igitur ipsi D G. sunt ae uales, ac proinde auferendo G ab ipso D nil remanet pro latete unius suaestorum Cuborum. od erat pro positum. Multo minus perfici potetit quod iubet Canon, H B ponatur minor duplo ipsius A, tunc enim G maior esse ostendetur qu,m D, ae proinde subtractio nullo modo perfici potetita Si enim B minor est duplo ipsius A. et it & F minor triplo ipsius A. Quare cum triens ipsius E nempe produ-- Α in D. diuuletur per trientem F qui minor erit quam δε quotiens utique puta G. maior erit ipso D. Nam si productus ex Λ in D. per Λ. diuideretur, fieret quotiens D, Quare si idem productus diuidatur per numerum minorem quam Λ , fiet utique quotiens maior quam D. Qine Patet Pt '
Hinc quoque pendet modus inueniendi tres eubos , qui simul additi cubum essiciant, quod
ἀ- -ns prariem nisior superet duplum minoris, ct ducito manu uisu insumi m resora fiet Drau-μ--m tritis aequoris. Duella mimu iatus insc-- cisorum. Dem n uiatus in μι- exbum multatum a ti minoris cubi. Ac deni minas Di u in duplum maioris eurimis. Inuum minore mas, fera ruina trium ρομφ'- έμε' - Ista pluribus explicare operae pretium filii, quoniam hae quaenio, tanquam Pontina m ad deminam nonam quinii , ut sito loco docebimus.
DEtermirationem operationis Deratione facillim tollimus se generaliter tum
hane quae Onem rura sequentes quaestiones construimus, quod nec Bachetus nee ipse mera expedire potuit. Sint dati cubi 6 o Ias. inueniendi alij duo quorumfum an a aequalissi iatorum ιnteruallo. Ex quaestione tertiasolio fe3irenti quaerantur duo arto cuba quoruns disserentia aequet disserenisaandatoruam. Iuos Bachetus inuenit Ofune se et , im duo cubι ex construictione habent interualium aquati inte uam datorum. Sed si δεο cubi inuenti per quaestunis tertia operationem possunt ians transferri ad quaestionem priuiam eum duplum minoris nonsuperet maiorem , datis laque his duobus cubis quaerantur alij duo quorum summa aequetur ιnteruallo δε- torum , id quidem licet per determinationem nurus quaestionis prama. At ιnteruallum Zatorum horum eaboram est per quastionem tertiam aquale interuallo cuborum prius sumptorum 6 .es igitur eon ruere nihil vetat duos cubos quorum fumma aqualis ix interuallo datorum 6 . o las. quod miraretur ipse Pachetus. Imo F tres
s quaeuton s eant in circulum se iterentur in infinitum, dabuntur duo cubi in in m idem praestantes, ex inuentis enim diti imo duobus subis quorumsumma aequet
263쪽
datorum , operationem quaerensus duo alios quorum disserentia aequet summam ultimorum,hoc est,interuallum prioram ct ex hac differentiά rursum quaremus summam ossc ιn infinitum. S. ESTIO SECUNDA. Datis duobus cubis, inuenire duos alios, quorum differentia aequet sumniam datorum.
Sint dati λ&Loporteat inuenire duos alios cubos, quorum interuallum sit s. Ponatur latus unius a -- IN. alterius veto N. I. ob causas in precedente explicatas. Erit igitur Cuborum interuallum y - C. aequalis s. & fiet I N. . Sunt ergo latera cuborum Ipsicubi de rAliter ponat ut latus unius eubi t N. - r. alterius vero a-: N. erit interuallum cuborum 9 3 il C. aequalis s. unde si IN. p. suntque cubi qui prius. Ex utraque operatione elicitur huiusmodi Canon. Vtrumpis datorum Camem ducito ter in titus alterius, pro os dimis per interualiam Goo- , ct minori oriemiadis maius iatus. a maiore quotiente aufer nun uiatus, seu mactresia, exhibistini 1uastorum iatera culo .Hine etiam alius ecilligitur modus inueniendi tres cubos , quorum summa cubum faciat , qui talis est. ι me duar missius numeros, Acito minorem in suam eisiam au tiran duplo minoris eisi , fitiatus cubi aquantur summam trium. Rursius d Neiro eundem maiorem numerum in interita. I Olorum. Itemqiu ducito minorem mineram . tum in duplum maioris cubi sectum cuba minorestum in reostrum interualium , sene Iatera trium Dassorum Oborum
Caeterum moneo inuentis semel tribus cubis, siue pet hanc, siue per Praecedentem quorumlumma eubum faciat, si eorum latera sigillatim per quemlibet numerum vel multiplicentur vel di- . uidantur, fore ut& pr 'uctorum& quotientum cubi idem praestent. Quod facile est demonstrale.. ex eo modeubi sunt in triplicata ratione laterum, unde sequitur numerorum proportionalium cubos este proportionales , & propositum nullo negotio concluditur. Ita eum per priorem regulam inuenti sunt evia , lateribus s. n. rs. qui aequamur cubo , latere a L si singula latera diuignia per 3. fient rursus latera 3. 4. I. quorum cubi simul aequabuntur cubo ipsius 6.
QV STIO TERTIA. Datis duobus cubis, inuenire alios duos, quorum disserentia aequet datorum disserentiam. Oportet autem duplum minoris excedere maiorem. Sint dati cubi 6 . & ias. quoriim differentia 6i. & quaerendi sint alii duo cubi, quorum itidem
interuallum sit 6 i. Ponat ut unius latus I N. - latere minoris cubi, puta I N. - q. Et ponatur latus alterius tot Numerorum quot sunt unitates in quot imite diuisionis quadrati a minore latere per quadratum maioris- latere maioris inibi. Sit ergo huiusmodi latus N. - s. Cu rum inter allunt
st ...., Q quod aequatur 61. & fit i N. seu in minimis Sunt igitur latera cuborum ἰ: de Ipsi vero cubi di quorum interuallum seu ci. Hpostulabatiar. Aliter. Ponatur latus unius cubi I N. s. Alterius vero AN. - & eadem reperietur solutio. Quamobrem ex utraque operatione hic formatur Canon. Pro A. .m o utro ' cubo ter in titur alterius diuide per summam eisorami. A maiore quo Dente a ἐν minus latura, a minore quotieme aufer mathra latus, retinsuentur Iaura sitorum
., conditionis adiectae ratio patet argumentando eodem prorsus modo quo ad primam illarum factuin et t. Nam similiter ostendetiit si maior cubus sit duplus minoris, minorem quotien tem 'quari maiori lateri, & si maior cubus minoris sitplus quam duplus demonstrabitur minorem quotientem, minorem esse maiore latere, ae proinde subtractionem huius ab illo fieri non posse. Hine etiam colligitur modus inueuiendiqάStuor cubos, ut bini binis sint aequales. nimirum.
Stime Lor numeros, ita dit duplum cubi minoris si peret maioris cubum. Drauda ae cito finorem numerum tum in duplum cubi maioris multatum cubo minore, tum in summa culorum , sentiat eradu cuborum quassoram. Rursus duoto maiorem numerem, tum an duplum minorix Obι muir. tum cubo maiore, tum in summam Oborum, fient reli rum culorum iatera.
nun eros s.& fient eubi Materibus 7 .nc. aequales cubis a lateribus s. de as. Et inuis endo omnia latera per 3. erunt eubi a lateribus et 8. & auem aequales cubis a lateribus 3ii. de s.
264쪽
HVius quaestionis determinatis/iem non esse legitimam simili ροί et si in ptima
quaestione fumus operatione Versemus. Imo ex supradictιs quaestionem quam Bachetus ignorauit,feliciter construemus. tam numerum ex da obus cubis compositum in duos alios cubos diuidere,idque in iiis modis per operationum continuatam ut supra monuimus , operationem. Sint duo cuba quibus alν duo aequales inueniendi 8. i. primum ex quaestione secanda quaerantur dao cubi qAorum disserentia aequet summam datorum, eruntqae: p ct Iah daptam mimoris excedit maiorem, res deducιtur ad tertiam quaestionem qua demum redueetur ad primam es constabit propositio , si velis fecundams lationem rursus quasio redibit ad secundam sec.
autem pateat quaestionis tertia determinationem non esse legitimam. datis duo-bas cubis 8. o a. inueniendi a se duo quorum disserentia aequet disserentiam dato-ram. Sanὸ Bachetas impossibilem hanc quasionem pronuntιaret , rubi tamen duo ex nostram methodum inuenti sunt sequentes quorum nempe. disserentia aquatur . dimerentιa 8.es i. cubi autem illi duo , sunt 'U. . . i. - . a. ., latera ipsorum
lii uenire duos numeros, ut senima cuborum ab ipsis ortorum, & productus eorum mult1plicatione, datos conficiant numeros. Oportet autem ut a quadrato summae cuborum , auserendo quadrupli in ubi producti multiplicationis remaneat quadratus,
Esto summa cuborum a. productus R. Pone alterum cuborum 36 . I N. ineruiu 36 - I N. Quia igitiit productus ex mutuo ductu duorum euborum aequatur cubo plani sub lateribus, si ducas 36-I N. in 36 -I N. fiet i aequalis sim Ae proinde I N. est G. suntque cubi quaesitio 3:8. de ipsa latera .dc 2. Hinc fit Canon. λ A quadrata semissis summa cuborum auser eulum nodum, restas latus quadratum adde Graim semissu ma cuborum, habebis curis quassos. Vel etiam A quia via summa cuborum auser quadruplum cubi producti, residui titus quadrarum addecst ad maserimma Disorum , aggregati est resita semisti quasios exhibebiint cubas. Vi e patet conditioncm propositioni adiectam non omnino susticere, ut solutio conti trationestis. Sed oportet ut a quadrato summae cuborum ausereno quadruplum cubi a producto, remaneat quadratus, cujus latus addendo S: adimendo summae cuborum, aggregati de residuis nusses sint cubi numeri.
Iinicia ire duos numeros, ut interuallum cuborum ab ipss ortorum ,& productus eorum multiplicatione datos conficiant numeros. Oportet autem ut quadrato interualli addendo quadruplum cubi prodiicti, quadratus fiat.
Esto interuallum cuborum 16. productus 8 POnatur alter cubomina I N. - 28. alter I N. - 28. Ergo productus eorum multiplicatione I 8 . aequatur cubo ipsius 8. putasia. Ecfiti N. 36. Sunt ergo cubi quaesiti 6 .deri ut prius. Hine fit Canon. aerato semissu ime alli cuborum adde cubum produm, summa Drus quadratum adde Ur assime senis is inieruam cuborum, feni cubi quasiti. Vel etiam. Hdrato interualli cuborum auue quadruplum cubi producti , siumma latus quadratum adde UT adime interualis cuborum, aggregati cr residui semisso su it cubi quosiis. Hie quoque conditio adiecta non susticit, ut tollitio sit omnino rationat s. Sed oportet ut quadrato interualli cuborum, addundo quadruplum eubi producti, fiat quadratus cuius latus addendo Se adimendo interuallo elaborum, aggregati & residui semisses sint cubi numeri. Porro cx nonnullis harum qisaestionum deducuntur Regulae Algebrae de cubo assecto sub latere, ut abiindo doeuit Vieta nollet libro de Recognitione aequativi una.
265쪽
IN quadratum numerum, & in latus
eius eundem multiplicare numerum, de sacere ex latere quidem , cubum , ex quadrato autem, latus cubi. Ponatur quadratus 1 in Erit igitur latus illius i N. Qui in hos ducendus est, sit unitatum cubicarum quotcunque per i N. diuisarum, esto e . Hunc igitur ducentes in I Q. inueniemus 8. N. adducentes in i N. in ueniemus 8. Volumus itaque 8 N. esse latus cubicum de 8. Proinde et . aequantur 8 N . de fit 1 N.Q. Ad positioites. Erit quidem quadratus eius latus l. Qui in illos ducetur erit 32. Si enim tN. est :. utique est . de demonstratio cuidens.
OV aes TIONI s hii ius trairitionem non percepit Xilander, eo quod signum Numeri mili hic insutum 'putauit , non videns numerum qui ducendus est in quadratum, & in eius latus non esse simpliciter unitates L sed ri. Allucinatus autem est Xilander, &hie&ubicunquesithiractiones Numericas adhibuit Diophantus, quia ut iam monuimus ad duodecimam tertii huiusmodi uactiones in textu Graeco passim ambiguE exprimuntur, ut ex hoc quoque loco colugete est. Nam legitur in manu exarato e iee, ο πομα τλα- μυος- ς' νύν κι cottii εσπι odia. σου δὲ κη κ . quae more nostro emendaui mi sic, o πολλαπλα- οι δραμ' κιζικοῦ δ ποαι. δὲ . Beia autem vidit idem Xilandet, ut adulterina expulia genda esse verba illa. γω ι o ο δὲ πωλαπλα si 4 ος ς . M. ia' λβ. utῖ δὲ θιλη- ti s ςς quae idcirco asteriscis inclusimus. Caeterum eme dato textu, ut secimus in nostra versione, operatio Diophanti facilis est & pelpieua. Vnde huiusmodi
Canon elicitur. Sume pumlibet numerum, ei mrue dis iis per Aum caum , orietur iatus drati. δεῖ merus antem in utrumque ducendus, est quadratocubus Iusti initio murieri.
Hie etiam desiderari videtur huius inodi quaestio. In quadratum numerum S in latus eius, multiplicare eundem numerum , de facere ex quadrato cubum, ex latere latus eiusdem cubi. Statuatur suadratus I in erit latus eius I N. Qui autem in hos ducitur, esto quilibet Numerorum numerus cubicus, puta 8 N. Eum si in t lueas fient 8 C. si in i N. fient 8o Debent ergo S inesse latus cubicum cubi 8 C. id autem est a N. Igitur a N. aequantiit 8 fit r. N. . Ad potitiones. adratus est latus eius Is qui in utrumque ducit ut a. Hinc formatur huiusmodi Uanon.
me quemhbet numerum, eumque Luide persino cubum, orae riatus quadrati quasiti. Numimantem in utrinque iacendus , e umptra inii ιν Numeras.
Simili artiseio solvemus quaestiones sequentes. V AESTIO PRIMA. Incubum &in eius latus multiplicare ei indem numerum, de facete ex cubo quadrato quadratum , ex latere latus. quadrato quadrati.
Sit eu bu i C. latus eius i N. Numerus in virumque ducendus sit unitatum quotlibet, Puta a. Igitur a N. erunt latus quadrato quadrati cuin de a C. ae proinde i6 in aequabuntur a C. α fiet 1 N. l. eruntque quaesiti numeri . . a. Et
266쪽
Et sc inuenietur numerus qui ductus in quadrato quadratum, & in latus eius faciat ex qiui oquadrato quadratocubum,& ex latere Iatus quadratocubi. Ac demum inuenietur numerus qui ductus in quadratocubum&in latus eius, faciat ex quadratocubo cubocubuni, di ex latere litus cubocubi. Vnde sit Canon uniuersalis. Orane numerum, eumque Haradae ter gradum ipsilia, s lem ei Pipem latuis feri, ories tatus a sita potestatis. Numerara aditem in viri. 'e ducendur, erit si ius m erus.
y STIO SECUNDA. In cubum&in eius latus multiplicare eundem numerum, de facere ex latere quadratoquadratum, ex cubo latus qiuadrat miradrati.
Esto eubusi C. latus eius I N. Numerus autem in utrumque dueendus sit seactio Nunietica mitatum quadratocu cubicarum, puta fient ergo ex multiplicatione asis. & a164 ille liuius esse de t latus quadratoquadraticum , quare 216. quantur 4. N iit i N. quaesitum latus, igitur cubus est G Numerus in utrumque ducendus a cite quoque inuenietur Numerus qui diicius in quadratoquadratum & in latus eius, faciat ex latere quadratocubum, & ex quadratoquadrato latus quadratocubi. Ac denique reportetur numerus qui ductus in quadratocubum , de in latus eius, iaciat ex latere eu cubum, &ex quadratocu latus cubocubi.
OV οκετο & lateri eius eundem adiicere numerum, & eadem sacere. Esto quadratus I inergo latus eriti N. Addendus autem esto tot quadratorum, ut additiis ad I aciat quadratum, esto 34. Is adiectus adi infacit quadratum Additus autem ad 1 N. Dcit 3. N. Haec aequantur lateri
HI C ποιων γα αὐτὰ nil aliud est quM quadrato & lateri eius talem addere numerum, ut hac additione fiant rursus quadratus & latus eius. Caetera sutat perspicua, de ex operatione formatur huiusmodi Canon
dem numerum & eadem sacere or- cine inuerso. Esto quadratus a inlatus ergo erit I N. Addendus autem ut ex latere quadratum iaciat, esto aliquot quadratorum quadrato numero, cum desectu Numerorum qui sunt in latere prioris
suadrati ; esto itaque 4 i N. & si adiiciatur quadrato fit I N. Haec aequantur a N. lateri scilicet facti qita drati ex priori additione, & fit i N. l. Ad
267쪽
addendo eundem numerum, fiat ex latere quadratus, ex quadrato latus quadrati. Operatio euidens est, & ex ea elicit ut iste Canon. me ι- rarum , per eum mitate aeum , di ide iatus elua unitate auctum, orietur πει siti quadrati. At qκ ιι-ν aram ducito in quadrarum initio sumptum, , a --ἀ cI. - l. a prasiti quadrati, res erit addendas mianem.
Monus quo lite inuenit Diophantus quadratum qui ad s. additus quadratum essetat dem est prorsus eum Canone Nitimo ad undecimam secundi tradito. Caeterum positiones quadrupliciter variari possunt. Primo enim cubus quaesitus statui potest quilibet cuborum numerus cubicus, putat C. 8 C. 27. C. Sc. seeundo quadratus quaesitus poni Potest in ilibet quadratorum numerus quadratus, puta I Q 6 9 Q ς' .. - . . Tertio addendus quadratus etiam innnitis modis variati potest, nam verbi gratia in hypothesi Diophanti, per undecimam secundi infiniti quadrati repetiri poterant, qui ad s. additi facerent
Denique ultima aequatio institui potest cum quolibet cuborum numero cubico maiore quam Obus initio sumptus v. g. I C. -- 16 Q. aequari possunt S C. ar. Q 64 C. vel euilibet eu mnumero cubico maiori quis i.
dem quadratum, & eadem facere. Esto cubus I C. Quadratus autem quotcunque quadratorum numero quadrato.
Esto itaque y Q. Et quia volumus aliquem quadratum adiectis 9 macere quadratum, exponamus duos numeros quorum mutuo ductu fiat 9. puta s. & i. Si ergo austro I de ρ. & residui semissem in se duco habeo r6. qui adsumpto '. facit quadratum. Pono igitur addendum qu dratum 16 QUEt sane si addatur ad 9 Q. iacit quadratum. si autem adiiciatur ad 1 C. st 1 C. Is. Q arc cubo aequantur. Esto 8 C. & fit 1 N. Ad positiones. Erit cubus Quadratus Adde diis autem ipsis quadratus
quadratum, & eadem facere ordine inuerso. Esto cubus , primus. Quadratus , secundus. Addendus autem quadratus, tertius. Et quia volo addendum qua-
268쪽
dratum, nempe tertium, additu quadrato,iacmpe secui, do,iacere cubum: iaciat cimbum nempe primunt Ita ut primus superet secundum,tertio, nimIrum quadrato, cum tertius quadratus sit. Iam quoscunque duos numeros expositero,eorum quadrati
adiecto duplo producti multiplicationis
eorum , quadratum iaciunt. Debeo ergo expositis duobus numcris ponere pro primo sit minam quadratorum quia primus aequalis est duobus quadratis, quaesito, & addendo , qui sunt secundus &tertius duplum autem producti multiplicationis , pro tertio. Atqui tertius debet esse quadratus, quare S duplum producti multiplicationis , quadratum esse
oportet. Ponatur ergo alter I N. altera
N. ut duplum producti sit quadratus. Sumens igitur summam quadratorum,statuo
primum 1 Q. Tertium vero duplum producti multi Micationis nempe inunde relinquitur secundus i quia is una cum tertio aequatur primo in superest ut primus sit cubus. Proinde Q. aequanturi:C. cic siti N. Ad positiones. Erit cu-
bus seu primus 113. adratus seu secundus as. Addendus autem quadratus, seu tertius Ioo. & manifesta est demonstratio.
MAGNO Metificio Diophantus suas ita instituit positiones, ut tandem aequatio procedat imiet 1 Q. & I C. unde sequitur primum numerum reperiri cubum , ut postulatur. Itemque silmmam seeundi& tertii cubum e ficere, quia scilieet fit aequalis primo. Superest igitur videte qua ratione reliquis propositi panibus satisfiat. Nimirum, quomodo secundus & tertius sit uterque quadratus , & simul additi sint aequales primα Ac demum tertius ipse primo additus quad tum emistituat. Hae autem omnia necessario euenire operando eum Diophanto,sie demonstrabimus. Sumantur duo quilibet numeri Λ B. ita ut duplum producti eorum Esit qua- di drariis numerus. Et summa quadratorum abios ΑΒ sit C.Αt numerux quo C sit u ao. n io. D si C ponitur primus D secundus E tertiuet satisfacium esse monibus propositae quaestionis partibus, illa exeepta qua requiritur primum C esse eubum. Primo enim D E simul conliciunt C ex constructione. Quare ii C fiat Obus, erit de summa ipsorum D Ecubus, ut postulatur. Secundo E quadratus est ex constructione, nam suppono tales sumptos esse A B, ut duplum producti eorum E sit quadratus . tales autem numeri qui iacile inueniantur inse docebo. Tertio ipsum D esse quadratum constat ex quarta secundi porismatum. Nam ex summa quadratorum C. auferendo E duplum producti, superest D qiiadratus interualli lateram. Denique E additum ipsi C facere quadratum concluditur per quartam ieeundi Euclidis, quam ideo assumpsit miliantu . Nam ianima quadratorum C & duplum producti Esimul faciunt quadratum summael terram. Quamobrem patet ex omni parte propositum, & restat ramum, ut C cubo aequetur quod facile fit supponendo ipsos CD Enota Q. insignitos esse, ut sint m αε ini6 Q une enim zo. AEquabuntur cuilibet cuborum numere cubico , puta I. c. R c. Sec. Inueniuntur autem Deilε duci numeri qui bi, imite dum quadratum saetant, si sumpto semisse cuiuslibet quadrati, quaerant ut duo numeri, quorum mutilo dum is fiat. Ita Diophantus silmpto a. semisse quadrati A. inuenit nu- neros Ide a. quorum mutuo ductu fit a. Et nos in superiore diagramin te sumpto 8. semisse quadrati inuenimus numeros et- & quorum mutuo ductu fit s. Poteramus 'etiam sumere r. α S. Malios infinitos mutuo ductu producentes 8. S ij
269쪽
cumlus : at adiiciendus quadratus, tertius. Quia igitur volo quadratum adiiciendum, additum secundo, hoc est quadrato sacere cubum, faciat primum. Rursus itaque quia volo primum additum tertio , sacere quadratum, id mihi oneris incumbit , ut inueniam duos quadratos, quorum summa cum altero ipsoriim coniuncta quadratum exhibeat,& praeterea
duo quadrati addendus scilicet secundo,& ipse secundus simul iaciant cubum, videlicet primum. Ponantat duo quadrati, primus quidem i Q seci indus & summa ipsoru ni cum altero juncta iacit a Q. q. aequalem quadrato a latere a N - a. fitque quadratus QU- - -8 N. & si I N. q. Ad positiones. Erit alter . alter I6. Nunc ergo statuo quadratum addendum is secundum autem Primus ergo eriteto. uia volumus eum ambobus aequalem ine. Superest ut eto inaequentur I Q& fit 1 N. ao. Ad positiones. Erit Primus
8ooO. secundus rooo. tertius addendus
EA D E M est haec quaestio cum praecedente. Sed operatio paulo diuersia lemma quod assumit Diophaluus ad inuenienduin duos quadratos, quorum summa adscito altero ipsorum quadratum iaciat, poterat reduci ad undecimam secundi, u propositum fuisset hoc modo. Inuenire duos quadratos, quorum interuallum sit duplum alicuius quadrati. Hoe enim idem esse manifestum est: Quia eum summae quadratorum addetur alter, hoc aggregatum eontinebit additum bis, Et alterum semel. Porro ex operatione sormatur huiusniodi Canon. re a s quadratos quorum se a cum altero im q dratum faciat. Ho ma cinis ei Z primu epissit rum. Et iam sumna piadranu ductus in sumptor quilraus, dat reliquos
CV κ o & lateri eius eundem addere
numerum , & eadem facere. Sit addendus numerus i N. latus vero cubi Numerorum quotlibet. Esto a N. Ergo cubus est 3 C. Iam si i N. addatur ad a N. fiunt; N. si ad 8 C. fit S. C. N. haec aequantur 27 C. Auserantur utrinque S C. relinquuntur 19 C. aequales i N. Omnia per numerum dividantur ly in aequantur i.& est unitas quadratus & si I9. nu-
270쪽
inerus quadratorum quadratus esset, explicari aequatio posset. Sed ly proue munt ab excesiit quo 27 C. stiperant 8 C.&27.C. est cubus a latere 3 N. At 8 C. eit cubus a latere a N. Proinde 19 saeti sunt ex excessu quo cubus a 3 N. superat cubum a 2 N. Atqui a N.habentur ex positione, de 3 N. fiunt unitate addita ad
ipsos positionis numeros. Eo ergo res rediit, ut inueniantur duo numeri unitate differentes, ut interuallum cuborum ab ipsis, sit quadratus numerus. Esto alteri N. alter I N. - I. & interuallum cuborum est 3 Q μ 3 N. -- I. Haec aequanturiquadrato a latere 1 - 2 N. & st i N. I.
Ad positiones. Erit alter 7. alter 8. Iam redeo ad postulata ab initio, & pono adiiciendum numerum i N. latus autem cubi 7 N. Igitur cubus erit 3 3 C. de si iN. utrique adiiciatur, facit hunc quidem v N. illum vero 3 3 C. -- I N. Volumus e rgo hunc esse cubum, cujus latus sit 8 N. Quare si a C. aequantur 3 3 C. --I N. &i N. Ad positiones. Erit cubus . s. latus autem l . Adiiciendus m.
VE R s A Diophanti perspicua sunt, & ad erudiendum aptissima. Clim enim in prima operatione positionibus ad libitum sviris, ad aequationem ine illicabilem deueniatur, ubi Is inaequantur i. de lolutio est irrationalis, repetitis anairseos vestigiis considerat unde ro prouenerit fit quippe ex intctuallo cuborum L & 27. unde recte inseri quaerendos esse duos cubos quadrato distantes, itavi de cuborum latera unitate Astent. Quod tamen lemma poterat etiam uniuersalius proponi, nimirum sie. Duos cubos inuenire quorum interuallum sit quadratus Numerus, & quorum latera distent etiam quadrato numero.
Sit unius latus I N. alterius i N. - ut laterum interuallum se quadratus numerus, erit cuborum interuallum Ia - - o N. quod aequatur quadrato. Fingatur eius latus 6 N fiet i N. 6. Erunt ergo Oborum latera 6. & Io. Ipsi cubi ais. de Io . quorum interuallum 78 . quadratus , latere 28. Huius autem lemmatis ope licebit etiam variate 'Micionem numeri adiiciendi, nam poni potetit quilibet Numerorum numerus quadratus. Verbi gratia ponatur N. Quaerendi ergo erunt duo cubi, ut laterum interuallum sit A. & cuborum interuallum sit quaὸratus numerus. Hi sunt per allatum lemma 6. & io. Quare ponetur quaesiti cubi latus 6 N. ipse cubus eti6 C. Se viri- qtie adiiciendo N. fient ro. N. &216. C. - 4 N. quorum hic cubus esse debet, ille vero latus huius tubi. Igitur ais C. - - N. aequantur Io . C. Et tandem N. aequantur C. 3c fiti N. te. En igitur cubi quaesiti latus I ipse cubus Adliciendus vero numerus quo utrique additosiane j de Cubus scilicet & latus eius. Caetetum licebit etiam soluete huiuimodi quaestiones ad hanc materiam pertinentes.
Inuenire duos numeros in data ratione, quorum cubi quadrato distent numero. Sit data ratio dupla. Ponantur lateta Cuborum I N. & a N. et unt eu bi i C. de 8 C. quotum interuiatum et C. aequatur quadrato. Esto is quilibet numerus Quadi totum quadratus, puta 49 Q.