장음표시 사용
271쪽
fiet i N. 7. Sunt igitur latera cuiarum 7. & ra. & satisfaciunt proposito. V V STIO SECUNDA.Inuenire duos numeros in data ratione, quorum cubi distem numero quadrato quadrato.
Sit data ratio dupla. Ponantur latera cuborum IN.&a N. Erunt cubi a C. & S C. quorum liueruallum 7 C. aequatur quadratoquadrato. Esto is quilibet quadratoquadrato tum numerus quadra loquadratus, pura i sit i N. 7. & sulit latera cuborum ut prius 7. & t .
S s πιο TERTIA. I alienire duos cubos quadrato distantes, quorum latera distent clibo numero.
Sit unius e ubi latus i N. alterius vero I N. - quolibet cubocubo puta i N. - 6 . crit cuborum interuallum 262i -- I2288 N. - - 192 in a quale quadrato, fingatur cius Iaius yia. - I N. fiet quadratus Mai I 336 N. - 1 dc fiet i N. 6616. Sunt igitur cuborum latera 6616.3: 67ao. quorum interuallum est cubus 6 . sunt autem eubi 2948763 8 16 & 3o; 6M M . quorum interuallum 818 9918 . quadratus est a latere viora. Eodem artificio inuenient ut duo cubi quadrato distantes , quorum Iatera distent eu boeu .etunt enim iidem proximε inuenti. Similiter inuenientur duo cubi quadrato distantes, quorum latera distent quadrat uadrato, si ponatur unius latus IN. alterius I N. - quolibet qliadratoquadrato, puta I N. - Ι6. Ac demum inuenientur duo cubi quadrato distantes, quorum latera diitent quadratocubo, si potiatiir unius latus i N. Alterius veru i N. - quolibet numem quadrato simul de quadrato bo, Puta I N. - Io24.
Inuenire duos cubos, quorum interuallum ad interuallum laterum sit in latione quadrati ad quadratum. Interuallum autem laterum sit datus numerus.
Esto interitali uni laterum 3. Ponatur unum latus I N. alterum i N. - 3. erit cuborum interual- Ium 27. - 27 N. - s Q. quod cum ad 3. debeat habere rationem quadrati ad quadratum, diuisci eo per 3. fiet 9 - 9 N. - 3 in quandus Madrato. Fingatur eius latus 3 - a N. fiet I N. ri. Sunt ergo cuborum latera ai&a . de satisfit prosesto. Huius ultimae quaestionis auxilio uniuersalius adhuc qii in per lemmata supra tradita soluetur Diophantasti m noblema. Licebit enim adiiciendum nummimponere quemlibet Numerorum ni merum , tuta 3 N. sed tune quaerendi erunt duo cubi, quorum interuallum ad interuallum laterum sit ut qiuadratu, ad quadratum.'Interuallunt autem laterum sit 3. 8e reperientur qui itini Quaremnetur latus eubi et i N. ipse elibus 926i C. quibus si addas sigillatim 3 N. sent et N. de M C. - a N. quotum ille istius latus cubicum esse debet. Quare a 38a C. aequantur M6I C. -- 3 N. Z:t em qs63. C. ae litamur 3 N. do fit I N. ita. Est igitur latus cubi re ut apud Diophantum, L adii
ciendus numerus Et hie aduerid inuentis semel duobus cubis, quorum interuallum ad laterum intelliallum sit ut quadratus ad quadratum, si stimanvrduo alii quiculaque numeri in eadem eum lateribus ratiotae, interuallunt quoque cuborum ab ipsis ortorum fore ad ipsorum numerorum interualluiu ut quadratus ad quadratum. Ita quoniam io O. N aio. interuallum 78 . ad laterum io.& 6. interuallum . est ut quadratus ad quadratum, si loco ipsorum 6. N im sumas . & e. eu eum quoque 27. deras. interii allum 98. ad laterum interualluiti a. est ut quadratus 'se ad quadratium I. cuius rei demotilitatio ex iis quae ad sequentein ostendein iis, liquido con it. 8
erit a N. Ponatur autem adiiciendus, alius cuborum numerus cubicus, minias
latere prioris cubi, esto itaque 27 C. HaN. 5 s addatur ad a N. fiunta 7 C. qui est
272쪽
bus a latere 3 N. si autem addatur ad 8 C. sunt 33. C. - 2 N. volumus autem haec esse latus cubicum factorum 27 C. hoc est 3 N. Proinde 33 C. - a N. aequantur 3 N. α sunt 3 N. aequales 33 C. & si omnia per numerum dividantur; inaequantur 1. & non contingit sellatio rationalis, propterea quod species ad speciem non habet rationem quam quadratus ad quadratum. Sed 33 est summa duorum cuborum, ipsi iis 27. re ipsius 8. unitates veros. est summa laterum ipsorum. Res itaque eo deducta est, ut inueniendi sint duo cu-bi, quorum summa ad summam laterum ipsorum rationem habeat quam quadratus ad quadratum. Sunto latera illorum coniuncta unitatum quotlibet, Verbigratia r. & ponatur prioris cubi latus I N. Igitur alterius latus erit a i N. & cubi illorum iuncti faciunt 5 -- 8 -ia N. volumus ergo haec ad laterum summam, hoc est ad i. habere rationem quam quadratus numerus ad quadratum numerum , Atqui
2. duplum est quadrati. Quare & 6-- .s -ia N. duplum oportet esse quadrati. Semissis igitur, nempe 3 in- - 6 N. AEquatur quadrais. Esto quadrato a laterea - N.&fitIN. e. Ad positiones. Erit altera latus PI alterum 'Tollo decimas tertias, &semissus ipserum capio, fiunt cuborum latera s. 8. Venio ad propositum ab initio, & eono cubi latus 3 N. cubus ergo est iis C. Addendum vero statuo cubum a latere 8 N. minus latere prioris cubi, nimirum sit C. - N. & additus quidem ad 3.N.facit cubum,additus vero ad iis C. facit far C. - N. Volumus ergo haec esse latus cubicum de uela C. Quare 8 N. aequantur 637C.-s N.&fiti N. Ad positiones. Erit cubus El. latus vero b At numerus adiiciendus η δε πλιορα ε ὀ
I P s o initio Graeea deprauatissima erant. Nam legebatur, κυον e τὶν -ὸ, ρλων, proqito reposui. κύμ e πλwρῶ.&ς. Deinde legebatur. κυωκυζεκ- g - Nntim , ἔ- δε η. pro quo reposui, κυαν κυω - Ο - δ-ra , ἔς κ' αPraeterea deerant multa, qiue omnino fla tante sententia fuerunt Hiicienda, quae omnia more nostro vitetuli, inclusimus. Denique denominatores passim omissi erant quos restituimus.
Porro manifestum est quaestionem pendere , lemmate quod inuniit Diophantus, quo scilicet
273쪽
quaerit duos Cubos, quorum sumnia ad summam latenim sit ut quadratus ad quadratum. Qui d quia tequenti quoque quaestioni inseruit, & inulta sunt notatu digna in eius enodatione, pluribus a nobis explicat itur. Aduene iotiit primo lateriim siminam poni potuisse non solum a. ut se it Diophantus, sed αquemlibet unitatum numerum , puras q. . .
Adurite secundo summam eliborum 8- a N. diuidi per laterum summam a. di quotientem 3 - Φ-6N. aequari quadrato. Quia summa cuborum S summa laterum debent esse plani similes. At ex duorum planorum similium mutua multiplicatione vel diuitione quadratum neri manifestium est. Adverte tertio non potuisse fingi latus ipsius 2 - - Φ -6N. nisi vel quadratorum, vel unitatum numerus quadratus lauset; ut in sit nili iam saepe docuimus. Quare videndum quomodo unitatum numerus inueniatur quadratus, ne casu non arte certa id fieri putetur. Proueniunt autem
unitates ex cubo 8. diuiso per suum latus a. amobrem cum quolibet cubo per latus suum diuiso, oriatur quadratus ab eodem latere, patet utique propositum. Aduerte quarto cautὸ admodum formandum esse latus iupradicti numeri 3 -6 N. Etenim eum alterum laterum positum sita I N. patet valorem Numeri debere cile minorem qu mri fit autem valor Numeri. , quodam quadrato subtrahendo ternarium, & per residuum diuidendo quadruplum lateris multatum senario. Quare s ponatur huiusmodi quadratus i Q satet ' debere esse minus qu in x Atroinde N. - minus sunt quam a. s. & tandem N. minore, este debent quam a Q in aequarentur fieret i N. z. Igitur patet quaesiti quadrati latus maius esse debere quam et Quare ipsius 3 - --6N. latus fingendum erit,a - quotlibet numeris, quorum mi illiti ido sit maior quam a. sic Dio intus finxit nociatus a - N. & fingi posset a s N. a.
Praeterea eauendum est ne cuborum latera aequalia reperiantur , atque adeo ne ipsi cubi fiat aequales, quamuis enim si hoc accidat, lemma propositum nihilominus soluatur, quia quilibete usus ad suum latus rationem habet quadrati ad quadratum, citin inter eos cadat medius propintionalis quadratus ab eodem talete, ac proinde duplum cubi ad duplum lateris sit in eadem ratio attamen per liuiusmodi aequales cubos quαstio Proposita nequit commode expilaati, quoniam msoluendo hypostiles numerus additius inueni cur nihilum. Qumobrem non temeia additum est
in textu. Ponatur adficiandus alius culorum ni erus,&c. Etenim ponatur verbi gratia cubus quastus 8 C. euius latus a N.& ponatur addendus numerus 8 C. -- a N. patet laudem aequationem procedere inter 16 C. & N. seu tuter I 6 di unde fit 1 N. Ier ouem resoluendo hypostases fit cubus
ruaesitust. latus r. Addendus vero- numerus fit 1- I. id est nihil. Idemque semper eueniet, si in asitio. nu muro ponatur idem cuborum numerus qui ponitur pro cubo quasito, ut Deila est de momstrare, quia hypostasis additi, nil oleri est semper in hoc casu numerus ille cuborum euiaeus, minus suo latere. Q are cum ita opeiando cubus semper inueniatur ac proinde latus I. necesse est addititi in numerum esse 1 - 1. Ne igitur in hoc abii irdum deuenianius, cauendum est in lemmatist lutione ne quaesiti cubis aequales reperiantur, hoc est ne valor Numeri sit aequalis semissi summae laterum, ut in hypothesi Diophanti ubi summa laterum ponitur a. cauendum est ne valor Numensit i. sit autem valor Numeri, ut iam ostensum est erg' non debet aequati unitati, sed si ponatur aequati unitati, sient qN. -6. aequales 3 Q. 3. & tandem 4 N. aequabuntur I c - ae litatione resoluta fit I N. 3. Mamobrem ad utramque cautionem sinul respiciendo tingem dii est latus quadrati 3 QE - -6 N. 1 a. 'tot Numeris qui excedant a. dum non sint a. Aduerte postremo cui Diophantus inuentis cuborum lateribus p & adiiciat denominatorem, re sumat semisses Numeratorum, eam non esse causam quam asseri Nilander, liae enim ex parte
hil aliud est quis manifesti petitio principij ἔ ex parte vero nescio quid ad rem protias impertinens. m quot loco ipsoruin & sumantur semisses eortim, nempe si eam dicit esse eausim quod oporteat eorum cubos aequari quadraxo, quod sanὰ non facit ad rem, non enim quaerunt ut duo sumeti , quorum cubi simul aequemur quadrato, sed quorum cubi simul ad ipsorum numerorum summam sint in ratione quadrati ad quadratum. Deinde quod adiecto communi denominatore, sumantur numeratores s.& 8. eam reddit rationem quod denominator communis est, ut si de cubis numeratorum constet eos ad ipsorum numeratorum summam habere rationem quadrati ad
quadratum , abundὰ sit rei satisfactum. Hoc vero est petere principium , cum hoc unum sit quod
controuertitur, non enim ostendit cubos numeratorum ad laterum summam esse in ratione quadrati
ad quadratum. Atqui certum est cubos ipsorum ' ad unitatem quae est summa ipsorum, to ge diuersam rationem habere, ea quam habent cubi numerorum' de L ad summam ipsorum i a. quamuis sit utrobique ratio quadrati ad quadratum. Huius ergo rei causam adaequatam asseremus
Si ueritu duo numeri, quorii in cubi sinul ad summam numerorum rationem ha beant
274쪽
M o96. beant quadrati ad quadratum, si sumantur alij duo numeri in eadem ratione, circa illos, ipseruinque cubos idem eueniet. Sint duo numeri A B. quorum cubi C D. & ipsorum C D sum-C Α s. maesto F. ipsorum AB. summa est O E sintque FE plani sinities, D B 8. sumanturque Id K in ratione ipsbrum A B. & sint eorum cubi LM. R a quorum summa P. ipsorum vero H Κ summa esto N. Dico ipsos quoque P N. esse planos similes, sumatur R denominator rationis S ipsorum H Κ. ad ipsos A B. ita ut ducto R in ipsM A B. fiant H Κ.Hio. T 8. α sit S quadratus ipsius R.&T. eiusdem cubus. Patet ergo excubo Κ 16. T in eu s C D. fieri etiam eubos L M. At quia ex Rin ΑΒ. suiu H Κ. ex eodem it in Esummam ipsorum A B. fiet utique N. summa Pso 6. Q 36q. N ict ipsorum HK. Eademque de causa ex T in F. fiet P. Itaque quoniam F E ponuntur plani similes , ' cadet inter eos unus medius proportionalis, esto is G. quo ducto in S fiat Jsit ut quia F G E sunt continuὸ proportionales, S ipsi quoque R S T. continuὰ proportionales iniit, & ex primo R. in primum F. fit P. At ex secundo Sin secundum G fit in Ae demum ex tertio Tm tertium E fit N, ' erum & ipsi P N. continuE , . r. p. s. proportionales. Quare cum inter ipsos P. N. cadat unius medius proportionalis sunt ipsi P N. sini similes. Quod demonstrandum erat. Hinc eatet cut loco ipthrum sumantur s.&8. quia scilicet hi sint in eadem ratione eum illis, quia fiunt ducendo virumque in n. tum prodiit , Io. N i6. diuidendo per a Hinc etiam
constat demonstratio eius quod diximus ad quartam earum quas attulimuς ad praecedentem , nimirum . A fuerint duo ni neri quorum interualium au inseruatium cuborum ab aphs orto m sit in ratione quadrati ad quadratum, adem eueniet atiis qmbuscunque numeris in eadem ratione sumntis. Nam
eadem ratione ostendetur ex R in interuallum ipsorum A B fieri interuallum ipsorum H K. & ex Tin interuallum cultorum C D. produci interualluin elaborum L M. & rursus ex S in medium proportionalem qui cadit inter interuallum cuborum CD. & interuallum laterum A B procreari moditam proportionalem qui cadit inter interuallum eu tum L M.& interuallum laterum H Κ. Qua
mobrem eodem argumento concludetur propositum.
Porro loco lemmatis 1 Diophanto assumpti, licebat assumete aliud lemma simile illi quo usus
est ad praecedenterii, nimirum.
Inuenire duos cubos, quorum summa sit quadratus numerus, & laterum summa
sit etiam quadratus numerus. . Ponatur laterum summa . ut sit quadratus, & sit alterum I N. alterum I N. Erit summa cu- horum 6 . - 12α-- N. aequalis quadrato, cuius latus fingetur8 tot Numeris ut fiat valor Numeri minot quain . dum is non sit a. ob causas supta explicatas aduertendo quarto. Quare sinitIi artifieio determinando numerum hunc Numerorum in latere fictilio ponendum inueniet nuseum maiorem esse debere quam 4. dum non sit 6. Ponatur ergo latus fictilium 8 - ia N. set quadratus 6 IM N. aequalis 6 -- ia Q - N. defit i N. . . igitur cuborum Ia- eum addendo cubo fit C - Η N. aequalis V N. Quare tandem aequantur & fit i N. a. Est ergo latus eubi quaesiti ipse cubus si Numerus addititius constat. Hic etiam possumus alter re nonnullas quaestiones ad instar earum quas ad praecedentem attulimus Videlicet.
Inuenire duos numeros in data ratione, quorum cubi simul quadr. atum conficiant. Esto data ratio tripla , sit unus I N. alter 3 N. horum cubi simul conficiunt 28 C. quod aequatur quadrato. Sitis quilibet numerus quadratorum quadratus , puta r96 Q fit i N. 7. Sunt ergo quae uti numeri 7. de 2 i. quotum cubi 3 3. & yrsi. quorum summa o . quadratus cst a latere 98.
S AESTIO SECUNDA.Inuenire duos nu neros in data ratione , quorum cubi simul quadrato quadratum conficiant. Esto dita ratio dupla , sit alter I N. alter 2 N. horum cubi sit nul conficiunt V. C. aeqtiales quadrato adiato. Sit is quilibet quadratoquadratorum numerus quadrato quadratus puta I Q infit 1
275쪽
N. s. Sunt ergo quaesiti numeH9.&18. quorum cubi 729.&quorum summa 86L quadrat quadratus eii a latere 9.
VI STIO TERTIA. Inuenire duos numeros cubum simul conficientes, quorum cubi simul quadratum iaciant.
Ponatur summa quaesitorum Numerorum numerus cubocubus, puta '.&sit alter I N. alter64 1 N. horum cubi faciunt 26at - I9a in Irata N. quod aequatur quadrato, cuius latus debet fingi siet. - tot Numeris, vivator Numeri reperiatur minor quam D. Q sare per artificium traditum aduertendo quarto, inuenietur hanc Numerorum multitudinem quae ponenda est in latere fictitio, maiorem esse debere quam 16. fingatur ergo huiusmodi latus sir-I8 N. fiet i N. F. Sunt istitur quaesiti numeri quorum summa 6 . At eorum cubi sunt alli quo rum iunima in minimis ' Γ' quadrinus est a latere
OP s R A TI o Dioplianti facilis est & perspieua, 3c tota innititur lemmati ad praecedentem explicato. Caeterum eodem fere arti io solvemus huiusmodi quaestionem. Inuenire duos cubos, quorum summa ad flammam laterum sit in data ratione, dummodo denominator rationis sit quadratus, vel triens quadrati.
Eadem ad enda hute determiarat oni qua in notis sequentis addidimus , c miror Zachetum non quod methodum generatim, quae fanὸ est docilis , non vi aerii jed quod saltem non admonuerit Lectores hanc quae ab ipso traditur, non essegens ratem.
Sit primum data ratio quadrupla, cuius denominator quadratus est. Ponatur unum latus 1 N. ait m a N. erit summa cuborum v C. aequalis quadruplo summae laterum , putata N. dc est sis-lutio irrationalis, quia 9. ad ia. non habet rationem quadrati ad quadratum. Qi elidi ergo prius
aequales silmmae laterum, hoc est S. N. &omnia per numerum dividantur. Igituras inaequantuῆ s. Et non fit numerus rationalis. Atqui summa fiunt dum rum cuborum 8. & 27. Sc s. N. est summa laterum ipsorum. Itaque res eo rediit, ut inueniendi sint duo cubi quorum sim maher laterum summam diuisa, quotientem faciat quadratum. Hoc autem iam ostensum est, &sunt cuborum latera 8. des.
Redeo igitur ad propositum ab initio,& pono latera cuborum 8 N. & s N. Sc fit summa cuborum 63 7 C. seminae laterumae litatis nimirum is N. Sc fit 1 N. l. Ad positiones. Erit prioris cubi latus l. alterius Ipsi vero cubi &
276쪽
sunt duo cubi, quorum lumina ad oviariaplum summae laterum sit in ratione quadrati ad quadritum. Ponatur summa laterum quilibet unitatuin Numerus, puta 6. di sit unum i N. alterum 6 N. erit luinnia cubotum 2I6 - - 18 II N. quae ad quadruplum summae laterum, nimirum ad 23. debet habere rationem quadrata ad quadratulari Quare altera summa per alteram diuila,fiet y- aequalis quadrato , Somnia ducendo in q. fiet' -- 3 Q I8. N. aequandus quadrato. Et per aniticium ad praecedentem explicatum inuenies tingendum Iarus 6 tot num ris qui superent a. fingatur 6--1 N. fiet I N. Sunt ergo cuborum latera H&-sumendo minimos in eadem ratione, fient elaborum latera I & is. Redeo igitur ad propositam initio quaesti nem, pono quaestorii in latera cuborum 7 N. &-N. fit summa cuborum 37i8 C. laterum eta N. cuius quadruplum M. N. aequatur 37i8 C.& fit i N. Sunt ergo latera cuborum Pi & α satisficiunt proposito. Deinde si data ratio tripla,cuius denominator 3. est triens quadrati s. erunt ut prius quaerendi duo Obi, quorum summa ad triplum summae laterum sit in ratione quadrati ad quadratum. Ponatur Iatus unius ut iupra I N. alterius 6 - I N. igitur summa cuborum 18 2ι6 -Io8. N. ad trisplum summae laterum 18. debet habere rationem quadrati ad quadratum, unde altera summa per alteram diuisa fit i a -6 N. aequalis quadrato cuius latus fingendum esti N. - tot unitatibus, ut superet 3 4 latus iplius ia. ita tamen ut valot Numeti sit minor quam 5. Q te cium per artificium ad praecedentem explicatum constet unitates ponendas tu latcre n uitio debere esse minores quam l. Patet fingendum latus i N. tot unitatibus, ut cadant inter 3i de v. t. Fingaturi N. -6. fiet quadratus I 36 -Ia N. aequalis I Q. - Ia - 6 N. &fiti N. . Sunt ergo latera cuborum 4., et. vel in minimis a. N I. Venio itaque ad initio propositam quaestionem. Et pono latera cuborum i N. M a N. fiuntque s C. aequales 9 N. unde fili N. r.&patet cubos t.&8. soluere quaestionein. Quod ni quadrati I ia. - 6 N. fingas latus t N. -8. net i N. di latera cuborum quotum summa vi triplum summae laterum habet rationem qi drati ad quadratum, erunt in minimis a & i3. Qui-Bus utendo pones quaesitorum cuborum latera a N. de i3 N. unde fient tandem aros C. aequales Asta.&fiet I N. I erunt ergo latera cuborum quae soluent quaestionem.
IN v a s i Ra duos cubos quorum interuallum aequale sit interuallo laterum ipserum. Sunto latera a N. & 3. N.& erit interuallum cuborum I9 C. Interuallum autem laterum I N. Igitur I N. aequatur I9 C. Et non est numerus rationalis , quia species ad speciem non habet rationem quae est quadrati ad quadratum. Eb itaque sena redactus, ut inueniam duos cubos, ut ipserum interual- Ium ad intericillum laterum rationem habeat quam habet quadratus ad quadratum. Sunto latera cuborum i N. & 1 N. - r. vi & ipsorum interuallum sit quadratus, nimirum I. & quoniam unum latus est i N. alterum i N. - I. erit quidem laterum interuallum I. cuborum vero 3 -- 3N. I. Volumus ergo 3 3N. -- I. ad unitatem, interuallum scilicet laterum, rationem habere quam habet quadratus ad quadratum. Igitur productum eorum multiplicatione oportet esse quadratum. Est autem hoc productum a
Q. - - 3Ν. - I. Hoc aequatur quadrato a
277쪽
8. Venio ad id quod initio propositu erat,& pono latera cuborum 7 N.& 8 N.&est
horum litteruallum i N. At interuallunt cuborum ab ipsis ortorum est, C. igitur I 69. C. aequalituri N.& fit i Adpositiones. Erunt latera cuborum &
V Trum verὸ inuenire Iiseat duo quadrato uadrata quorum interuallum aquale sit interuallo laterum ipsoram , de hoc inquiratur tentetur ariscium nosse methodi, quod haud diabse succedet. uaerantur enIm duo quadratoquadrata ita ut disserentia laterum H i. disto rentia quadratoquadratorum sit cubus. Erunt latera per primam operationem-2 se Sed quia primus numerus notatu gno - iteretur operatio iuxta nostram methodumor ponatur primum latas i N.- fi secundum erit i δέ incidetur in nouam aruationem quae ιu veris numeris quasioni satisfaciet.
LEMMA Diopbanti est idem penitus eum quarta quaestione earum, quas ad nonam huius attulitnus, quamuis uniuersalius operati simus ibi, qu ni hic faciat Diophantus, vult enim i terualliini cuborum poni quadratum, cum nos interii allum cuborum poni posse quemlibet num rum docuerimus. Itaque vide quae ibi adnotatiimus. Caetetum, sicut ad praecedentem factum e Proponetur etiam haec quaestio uniuersalius , nimirum sic.
Inuenire duos cubos, qubrum interuallum ad interitalium laterum datam habeati Mionem, dummodo denominator rationis sit quadratus vel triens quadrati,
DEterminatio est illegitima, quia non generalis, addendum igitur , vel mal-ti plus per numeros primos qui superant unitate ternata multiplices , aut ab ipsis compositos vi I. 13. 19. 37. oc. vel 2 r. FI. cstc. demonstratio confractio ex nostra. methodo petendae.
Pthnum sit data ratio quiatupla, cuius denominator quadratus est. Hic etiam'redigimur, Himieniamus duos cubos, quorum interuallum ad quadruplum interiisti laterum sit in ratione uadrati ad quadratum. Ponatur unius latusi N. alterius i N-- 2. Erit eu rum interuallum L . ia N. 6 inlaterum a. cuius quadruplum 8 ad cuborum interuallum debet habere rationem quadrati ad quadratum. Proin te illo per hane diuiso fiet i -- N. aequalidus quadrato, &omnia per . multiplicando, fit O N. -- 3 Q aequalidus quadrato. Esto latus eius a - 3 Asiel IN. 3. Sunt ergo cuborum latera a. Venio ad propositam quaestionem , & pono quaesit rum cuborum latera a N.& s N. fit cuborum tuteruallum 98 C aequale quadruplo interualli late--m 8 N. viidefit i sunt ergo cuborum lateras S . . quae soluuiu quaestionem. Deinde fit dita ratio tripla , cuius denominator 3. est triens quadrati st. Sunt ut prius quaerendi duo eubi, quorum' interuallum ad triplum interualli laterum sit in ratione quadrati ad quailratum. Ponatur unius latus t N. alterius I N. - 2. erit cuborum interuallum 6 - - ia N. - 8. ad triplum interualli laterum, nimirum ad 6. in ratione quadrati ad quadratum, quare illo per hune diuiso fiet i Q -- 2 N. - aequandus quadrato, & omnia per se. multiplicando fiet y Q - is N. - - i . aequaalus quadrato, sinpatur eius latus 3 N. - 4. tiet I N. - Sunt ergo cuborum latera & seu in minimis i.&ra. Redeo ergo ad propositam initio quaestionem , &pono quaesitorum abortim latera tN.ra N. cubonim interuallum est i C. quod aequatur triploimet ualli late- tum , puta 'N. dc iii N. sunt latera cuborum 4 α .& soluunt quaeuionem.
278쪽
Arithmeticorum Liber IV. l 9QIT STIO XIII.
INVε Ni rex duos numeros, ut maioriscubus adscito minore numero , sit aequalis cubo minoris adsciscenti maiorem numerum. Esto alter 2 N. altera N. maioris cubus adscito minore numero fit 27 C. - a N. At minoris cubus adscito maiore numero facit 8 C. - 3 N. Igitur 8.C. -- 3. N. aequantur 17 C. - 2 N. Omnia per numerum dividantur , fiunt inaequales I N. & non provenit IN. rationalis. At: ρ Q. sunt interitalium duorum cuborum. nitas vero est laterum differentia. Eo itaque res rediit, ut inueniantur duo cubi, quorum interuallum ad interuallum laterum ipsorum sit in ratione quadrati ad quadratum. Hoc autem supra demonstratum est, de sunt cuborum latera 7. & 8. Venio ergo ad id quod primo quaerebatur, & pono alterum 7 N. alterum 8 N. sunt 3 3. C. -- 8 N. aequales siet. C. - - 7 N. & fit I. N. d. Ad positiones. Erit alter t. alter , de dei ustratio euidens.
P x R A Tt o Di hami nil habet dissieultatis. Verum moneo absque noua opreatione pota solui quaestionem nane auxilio praecedentis, nam numeri quicunque Praecedenti satisfacient ,
hine quoque soluunt, quod sic dem nitro . . . . . . - H
o ., Sint Numeri satisfacientes praecedenti, nimirum cubi A B. N eorum latera χ M.' ita ut cuborum A B interiistum sit aequale interuallo laterum C D. Dico per eosdem numero, hiile quaestioni satisfieri, nimirum maiorem cubum A adsciscentem minus latus D, aequati minori cubo B. adsciscenti maius latus Q Etenim ob aequalitatem interuallorum est ε. t. in medietate Arithmetica A ad B. vi C ad D. Quare extremorum A D summa aequalis est lumniae nediorum B C. Quod erat propositum. similiter per praecedentem ibi uelut adhuc huiusmodi Quasi . . se .
Inuenire duos cubos, ut interuallum maioris cubi & maioris lateris, interuallo monoris cubi, Se minoris lateris aequale sit.
sint enim iidem qui sipr, numeri satisfacientes praeeedenti, dico interuallum maioris cubi Αει maioris lateris C. aequale esse interuallo minoris cubi B. & minosis latetis D. Quia enim eri in medietate Arithmetica A ad B ut C ad D. ' Erit & permutando A ad C ut B ad D. Quod demon- - . 'DI'.
Non aliter per undecimam huius soluetur quaestio sequens. Inucilire duos cubos, ut maior eodem interuallo superet latus minoris, quo latus maioris suptrat minorem cubum.
ii 1 Sit maior clibus A.&eius latus R. sitque minor cubus C.&eius latus D. mqtie sum- mi cuborum A C. aequalis summae laterum B D. ut requirit undecima. Dico eodein C in eruallo Alii perare D. quo B superat Q Quia enim extremorum AC summa summae medior im D B aequalis est, ' est in medietate Arithmetica A ad D ut B ad C. Quod erat osten- 4 , i . pdendum T ii
279쪽
soru in interuallum addita unitate quadratum faciat. Si unitatem auferam ab aliquo quadrato, habebo primum. Formo quadratum aliquem a numeris quo libet dc unitate, esto a 3N. - r. ipse erit 9 N. . & sinde auseriam vini ratem , ponam primum 9Q. - 6 N. Rursus quia volumus primum & secundum simul, addita unitate facere quadratui sed & secundum adscita unitate esse quadratum , quaerendum mihi obtigit quis quadratus coniuracius cum ' Q - - 6 N. faciat quadratum. Expono duos numeros, quorum mutuo ductu fiat 9 --εN. &sunt ρ. N. -- 6. & i N. horum interuallum, N. -- s. cuius semissis N.
- quo in se ducto fit 16 α - Σ N.
- - 9. Hinc aufero unitatem, α pono secundum is Q se 2 N. - - 8. Est autem
primus q Q. - 6 N. & alteruter, de uterue simul addita unitate facit quadratum. uperest ut& interuallum ipsorum adscita unitate faciat quadratum. Igitur 7 4
8 N. -- 9. aequantur quadrato a latere
3 3 N. & fit i N. 13. Ad positiones. Erit primus 3or . secundus sors & demo stratio manifesta.
subreptilia sunt, & omnino reiicienda. Ut contra fuerunt adiicienda illa quae virgulis inclusa vides. Sic emen lato textu nulla est hie dissicultas. Ad inueniendum quadratum qui additus ad y Q - - 6 N. faciat quadratum, non recurrit ad duplicatam aequalitatem Diophantus, ut male ai&ttatur Xilandet, non enim fiant ii e duo numeri quadrato aequandi. Sed utitur Canone ultimo vi decimae secundi. cuius etiam usus est in duplicata aequalitate ad repetiendum duos quadratos dato interuallo disserentes. Diuersitas autem operationis , & solutionis a triplici capite oritur. Primo enim primus diuersimode poni potest, nimirum quilibet quadratorum numerus quadratus -- duplo
Iateri illius. Ut 9 in 6 N. vel 4 Q - - N. vel i6 4 μ 8 N. &e. Secundo eodem manente pri mo, secundus variari potest in infinitum, quia verbi gratia in hypothesi Diophanti per undecimam secundi, repetiri possunt infiniti quadrati dauerit, qui eum 9Q. - 6 N. quadratum faciant, quorum singuli multati unitate statui poterunt pro secundo. Denique in fingendo latere quadrati qui numerorum litteruallo aequetur, mira contingere potest varietas. Nam verbi gratia in hypothesi Diophanti quadrati - 18 N. - s. latus fingi potest , 3 - quolibet Numerorum numero, cuius quadratus su neret T. Non est etiam dissimulandum quaestionem hanc ad quemlibet quadratum extendi, ac proinde uniuersalius proponi posse hoc pacto.
Quaerantur duo numeri, quorum semina, ipserum uterque, sed & interuallum
280쪽
ipserusia addito dato quadrato, quadratum iaciant. Esto datus quadratus A.
Si auferam 4. ab aliquo quadrato habebo primum. Formo quadratum a Numeris quotlibet a. latere dati quadrati. Esto a 3 N. - a. ipsi erit 9 α-- Ia N. -- a. hinc auferendo . statuo primum o Q. ia N. Iam ut habeam secundum, quaeram quis quadratus adsumpto se iaN. faciat quadratum. Expono dum numeros quorum mutuo ductu fiat se irN. hi sunt se N. -- ia.& i N. horum interualli semissis est N. - cuius quadratus Io N. -- 36. vi de si auferat ii restabit pro secundo numero iis N. -- 32. Primus autem est se. Q - ΙΣN. Et hi tribus postulati partibus satisfaciunt, iram& alteruter, & utriusque summa adsumpto quadratum iacit. Restat vi& eorum interuallum adiecto ε. quadratum iaciat, facit autem '-- 36 N. - - 36 Hoe ergo aequatur quadrato, cuius latus fingo 6 -3 N. de sit i N. 36. sunt igitur uaesiti numeri iro . N aa 96. qui soluunt quaestionem, tum utrique sigillatim addendo unt quadrati taloo, &227 . quorum latera Ilo. &iso. At si summae amborum, & interuallo eorundem addatur rursus 4. fiunt quadrati 34796. & Io o . quorum latera i 86 de ioa.
IN v ε vi κ ε tres numeros quadratos, qui coniuncti aequales sint interuallis ipfbrum coniunctis. Quoniam differentia maximi & medij, & differentia medijS: minimi, & differentia maximi & minimi, simul iunctae tribus numeris aequantur, at tres differentiae sunt duplum differentiae maximi & minimi Ergo dupludifferentiae
maximi & minimi aequatur tribus numeris. Ponatur minimus quadratus I. maximuS IQs 2 N. - I. iam duplum interualli maximi & minimi est a QV-- ψ N. Ergo tres quadrati simul sunt et Q IF qN. quorum duo cum sint I Q. - a N. 2. relinquitur utique medius I 'χN.-a Oportet isitur haec aequari quadrato. Esto quadrato a latere IN. - q.& fit i N. q. Ad positiones. Erit maximus medius minimus i. & omnia
TE x T v restituto, vi nos fecimus , non masna est hie dissicultas. Aduertendum tamen quod nec attigit Diophantiis, nee vidit Xilander in fingendo latere quadraia r Q. - a N. - a ali quam adhibendam esse cautionem. Cum enim tres inaequales numeri quaerantur, ovortet utique medium maiorem esse minimo. At minimus positus est l. medius - - a N. - 2. oportet igitur talem inueniri valorem Numeri. ut per eum resoluendo hypostases i Q. -- 2 N. - a. sit plus quani I. Hoc autem ut fiat, oportet 1 - . a N. excedere ternarium, S hoc etiam ut comi Fat, oportet valorem Numeri excedere unitatem , ut manifestum est. Porro fit valor Numeri a quodani quadrat Ibinatio aucto, &diuti oper di iplima sui latetis binario auctiliati mare si ponatur hiaturi odi clu dratus Icmi et valor Numeri Hoc ergo cum maius esse oporteat unitate, erit de maior quam a N. -- a. & tandem I Q. nisior erit quam 2. N. unde constat viaitates in latere naitio ponendas plures esse debere quam a. Ita Diophantus finxit huiusmodi latus I N. - Poterat etiam poni I N. 3. vel I N. - s.&c. Sed si ponas IN. - I. vel I N. a. incides utique in aliquod ablut-
Aduertendum pCeterea minimum quaestorum, non sollini poni posset. sed& alium quemlibet quadr xum, puta 8. 9. 21. Sc. Sed tunc maximi latus ponetur certus Numerorum numerus