장음표시 사용
281쪽
latere eiusdem quadrati, qui pro minimo positus erit. Et tandem in fingendo latere quadrati qui pro medio statuetiit , adhibenda erit eadem cautio, de qua supra est actum , erit enim necesse ut per v lorem Numeri resoluendo hypostases, medius timentatur maior minimo. Denique communi denominatore abiecto , solos numeratores retinet Diophantus, quia hi aequὰ bene soluunt quaestionem. Cuius rei ratio est, quod intractionibus eiusdem denominationis, tam summa quis interuallum penes solos Numeratores consideratur, unde ad hoc ut trium fractionum Eiusdem denominationis summa aequalis sit ipsarum interuallis, necesse est prius Numeratorum summam, ipsorum interuallis aequati. Sed &uniuersaliter verissimum est. Quamcunque rationem trium Numerorum summa habeat ad ipsorum interualla, eandem habere, summam trium aliorum in eadem ratione sumptorum, ad ipsorum interualla, ut iacile est demonstrare. Sed hoc tyronibus catricitationis gratia relinquatur.
INVENi ηε tres numeros , quorum bini quilibet coniuncti, & in reliquum ducti , faciant datos numeros. Imperetur vi summa primi & secundi in tertium ducta faciat 33. summa secundi & tertij in primum ducia faciat 27. At summa primi& tertii in secundum faciat ra. Ponatur tertius i N. Ergo primus & secundus simul erunt L . Esto primus R. secundus igitur erit 34. duo adhuc postulata restant implenda, nimirum ut secundus Se tertius simul in primum ducti iaciant et . & ut tertius &primus simul in secundum faciant 3r. sed necundus & tertius in primum faciunt Iollo Proinde Io- b aequantur 27. At tertius & primus in secundum faciuntas. - rio Proinde a - . , aequat tur 3r. sed ut ostensum est, etiam io - ' aequantur 27. & excesssiis unitatum super unitates est . ut si ctiam 23. - ultra io: i habuissent s. aequalia utique sui sent ii iterualla. Sed a s. unitates a secundo
282쪽
TExτvs alio imorbo non laborat, nisi quod fratriones Numericae & Quadraticae ambi Ecxprimunt; ir, ut lana semel atque iterum monuimus passim in hoc codice contingere. Scu ex nostra versione omnis tollitur ambiguitas. Operatio artificiosa est, quam etsi totam ita tradat Xi lander, veram tanten eius causam , & aequationis resoluendae rationcm non intellexit, ait enim abiici debere utrimque 3 .& comparandos inuicem antecedentes i3. & 2O. itentque conreqvcmc, 27. α3a. quorum idem inter allum valor Numeri. In quo turpiter errat, si existi inat idcircoseuc valQ-iem Numeri. Quod fiet manifestum si statuas secundum vel tertium i N. quod fieri posse docebimus infra. Tunc enim simili piorsus tofismo iii uenies valorein Numeri longe diuersum ab interuallo sit uilium antecedentium de consequentium. Itaque resoluitur aequatio via ordinati . comparanc verbi gratia is 3 . cum 27 inauserendo i cilicet viri inque a 3 in unde tandem 12 Q . nati ni aequales 3oO. & si ι zy. proinde i N. similiter aequando ro Q. -- To. & 3a auferendo scilicet utrimque 2O manent ut prius 12 Q. aequales 3 . unde fit ruisiis idem valor Numeri s. Cum autem utraqxie aequalitas iacccssario inseratur, nectae est utique eundem utrobique teperiri valorem Numeri, in quo totum artiscium Diophanti consistit. Si enim auserendo is Q. a 27 dem ib- pellit quod supcrest a uiciendoro ,32 Q sultius in vado, nam illud residuum virobique aquabitur eidem numero 3DO. Id autem continget si inter Is.& χα idem fit interuallum quod inter 27.N 3r. Nam datis quatuor Numeris II. 2o. 27. 32.ita ut inter is. & eto. primum & secundum idem sit interuallum, quod inter 27. & 32. tertium & quartum, ctit & permutando idem interuallum, inter is. & 27. pri- r. inmin& tertium, quod interro.& r. secundum & quartum. in est intem uni. Hinc patet verati germana causa totius operationis Diophanti, & cur cogatur diuidere 3s. in paries tr. & 2o. eodem distantes interuallo, quo distant 27. & 3a. Caeterum, ut jam monui, tripliciter variari potest operatio, quia I N. pro quolibet trium quaesitorum nun crorum statui potest, quod in tyronum gratiam non pigebit uno exemplo confirmare. Ponatiir jcundus I N. erunt igitur ptimus di tertius simul . u. Iani, uiueniantur primus & tertius separati ,& duplicata aequalitas ritin procedat, oportet diuidere in duas partes, tervantes idem interuallum quod est interas. & a . nimirum 8. id fiet per primam primi. Erit ergo primus i u tertius Itaque ducendo primum & secundum simul in tertium sit aci aequalis 31. Et riursus duincendo secundum & tertium simul in primum, fit ia -- aequalis 27. de omnia duc cndo in I Q. fit hinc quidem ro α-- 2 o. aequalis 3s Q Inde vero Ia Q. - - 2 o. aequalis 27 & utraque aequatione resoluta fit utrobique x inis. ae proinde i N. . sunt igitur quaesiti numeri qui prius 3. q. s. Hine error Xilandri mani ste deprehenditur. Nam si vi ipse argumentatur abiicias utrimque 2M.&comparando antecedentesao.& ia. itemque consequentes 3s. & 27. quorum interuallum idem S. Inde colligas valorem Nuincti in e S. vides quantum aberres a veritate. Porro ut sellatio sit rationalis, oportet, ut uno datorum numerorum diuitis in duas paries, quarum idem sit interuallum, quod est inter duos reliquos numeros, planus sub dictis partibus comprehennis habeat rationem quadrati ad quadratum, ad interuallum quo maior dictarum partium superat minotem ex duobus reliquis numeris, vel quo minor pars superatur a maiore duorum reliquorum
IN v ε Nin a tres numeros aequales quadrato, ita ut quadratus cujuslibet ipsbrum adscito sequente numero iaciat quadratum. Ponatur medius, Numerorum quotlibet, ac si N. & quia volo quadratum primi adscito secundo facere quadratum, eo res redit ut inueniam quis quadratus adiectis N. faciat quadratum. Quaero duos numeros quorum mutuo, ductu fiat N. hi sunt qui eum metiuntur, nimirum a N. &r. S: si interualli horum semissem statuo pro primo, erit isIN - i. Iam ergo hoc consectum est ut Primi quadratus cum secundo numerosa-
283쪽
Ch κα ς ψ ο δὲ δευ ροο ii, ςψ o δὲ τὲ τος μ' λα , OI Jψε ciat quadratum. Restat ut secundi quadratus, hoc est i 6 Q adstito tertio faciat quadratum. Si ergo ab aliquo quadrato
auferam is Q. habebo tertium. Formoquadratum a latere ipsius io Quiempe abs N. - - i. is erit 16 - 8. N. - . i. hinc ablatis 16 reliqlius est tertius 8 N - . Rursusqilia volo trium summam aequari quadrato, est autem trium sunmaa N. hoc aequabitur quadrato , csto itaque quadratis numero quadrato, puta is' in
de fili N. 13 Ad positiones erit primus
t. secundu S a Q. tertius io i. Ita indesinite impeta sunt tria postulata. Restat ut quadratus tertij, nimirum Io8i 6 Q. - - ao8 'I. adscito primo numero, hoc est 13 r. iaciat quadratum. Facit autem io816 --ari inhoc ergo aequatur quadrato. Omnia per quadratum dividantur, filio 8i6 in se ari. aequale quadrato a latere io N. - . r. & fit i N. V. Ad positiones. Erit primus v '.'. secundus tertius
EL gantisi fortas e ita fotaemr haec quaesiis , ponatur prinos numerus i. N. focus dus a N-- Iut cum quadrato prim conficias quadratum , ponatur tertius quil bet unitatum se numerorum numerus , ea conditisne ut additus quadrato fecundi conficiat quadratum , V. G. Ax q. N. - 3. ita igitur da abus pro sti a tibus f fatis , superes risumma trion , sed squadratus tertii vns eum primo consciat quadratum, f*mma trium es N. verb quadrati teri es primi est. 9-- rs N - io φ oriturque duplicata aquatitas cuius mutio in promptu si unitates quadratas ad eundem numerum quadratum in utrovis numereo
Ead mque via facillimὶ extendetur quaestio ad . nameros es in sinitos cauendum enim foummodo erar vi summ/ unitatum quae in singulis numeris ponuntur consciat quadratum quod quidem Iacillimum es.
Altri ac Iosissi Me Diophantus per duas operationes propos tum absolvit problema Hie itaque multa sunt obseruanda, quae vel non vidit Xilaiidet, vel parum seliciter adnotauit. Primo enim medius quasi torum numerorum poni poterat non solum in N. sed α alius quilibe Nilmerorum Numerus, ut non obsciitia indicat Diophantus. Seeundo sumi possulit etiam diuersi numeri, quorum mutuo ductu fiant N. & siς piam, Numeri positio variari, eum inueniri possint infiniti quadrati qui adsumptis N. quadratum faciant. sed bie aliqua eautio adhibenda est. Curandum enim ut ex duobus huiusmodi Numeris , quorum mutuo ductu fient N. ille qui eonstat ex solis unitatibus absolutis habeat pro semisse quadratum numerum. Sie Diophantus selegit a N. N a. ubi vides semigem ipsius 2 esse 1 quadratum numerum. Sie etiam sumi possent i N.& 8. quia semissis ipsius 8. est quadratus . de se alii infiniti cum eadem exutione deligi possunt. Huius veto rei causa subtili indiget indagatione. Equidem certum est semisi
284쪽
sem huiusmodi unitatum abs tutatum semper reperiti in hypostasi prinii numeri cum signo ut 'in hypothesi Diophanti ponitur primus Numerus i N. - I. Eui sumptistes & 8. ad conficiendunt
N. mutuo ductu, statueretur primus Numerus - N. - . hoc autem accidit, quia primus Numeras habetur sumendo iemii sena interualli duorum numerorum quorum in v. uo ductu fiunt 4 N. totum unitates quae ponuntiit in primo Numero cum signo desectus debere conflare quadratum ex eo colligitur, quod nae debent aequari illis quae ponuntur in tertio numero cum signo --. ut sic unitatibus se mutuo clidentibus cum tres numeri simul adduntur, eorum summa constet ex solis Numeris, it in Diophanto fit hujusmodi summa i3 N. Atqui unitates quae ponuntur in tertionumero semper quadratas esse manifestum est. Etenim tertius Numerus est pars cuiusdam quadrati, cuius latus colutat ex Numeris qui ponuntur proseeundo litot libet unitatibus, sic Diophantus posito secundo N. ut inueniat tertium, fingit quadratum a latere N -- I. qui est is 8 N. - i. vnde ablatur 6 inflatuit tertium 8 N. - i. Quare uirilites tum est unitates tertii Numeri semper esse quadratum unitatum in latere dicti quadrati positarum. Vt ergo illis aequentur unitates primi nuincia, illas oppotiet conficere quadratum eundem. Tettio in prima operatione Diophantus aequare potuit 13 N. cuilibet numero quadratorum quadrato, puta 16 a1 6Qsc. Sumpsit author 169. Q. ad vitandas fractiones. Voluit autem in hae operatione valorem Numeri exhiberi in diatis, quia per eam non inquititur vltimus valor Numeri per quem proposita quaestio soluatur sed tantum id agitur ut peream hypostases trium quaesitorum numerorum ita constituatitur, ut per eas tribus propositi partibus indefinitε fatisfiat, ut disertis vel bis indicat Diophantus. Rectὸ itaque concludit si N. aequentur 169. Q. sequi I N. aequari II Q QMd ex sola proportionum regula perspiculini est. Deinde ad hane Numeri aestim tionem reducendo ante sacras militiones , inseri primum qui erat i N. - L fore iam i3 Q -- r. s , eundum qui erat N. soce iam sa in Ae demum tertium qui erat 8 N. - i. re iam Io I. Mare patet allucinari Xilandrum cum putat i3 N. aequari i69 Q qua aequatione quid ad rem conducens consequi possit non vide Sive enim per regulam trium colligat i N. aequari i69 indisiue depressis characteribus 13. aequari I QC. unde fit solutio irrationalis, in manifestum abiu dum eum incidere neeesse est. Adde in Graeco rectὸ reperiri ad rost. adiectam notam uisnon autem ut vere dici possit eorruptum hoe loco Diophantum a Xilandro. rto in ultima aequatione ubi fila tui latus numeri io8i6 22 t. qui fit addendo primum numerum ad quadratum tertii, magna etiam cautio est adhibenda. cista enim primus p situs est 13. I oportet talem inueniri valorem Numeri, ut 13 QIxcedant unitatem. Hoc autem ut fiat, oportet I Maiorem esse quam quare cum latus vero maius ipsius di sit L. Oportet valorem Numeri exeate Porro fit valor Numeri auferendo quadratum aliquem Iaa I. & resduum
diuidendo per latus eiusdem quadrati ductum in a . Quare posito illo quadrato I Q fit valor Numeri z22 qui debet excedere quare ari - i indebet excedere ly N. & tandem i Q lebet esse maior quam T N. - etai. aequatione per approxiniationem resoluta fici N. Quamobrem
manifestum in fingendum latus quadrati io4 N. - tot unitatibus quae non excedant .. Unde si ponas latus illud Io N. - ineides in abiurdum , nam ficti N. quem resolue Ohypost Ies , Primus numerus inuenitur minor nihilo, S sic de aliis. Denique ne nos ignauiae arguat Xilander, examen quaestionis subiicere libet. Summa trium numerorum est quadratus a latere I. Quadratos autem primi nempe adscito secundo
quadratum facit a latere M. Quadratus porro secundi , uumpe adicito tertio quadratum facit lj G latere M. Denique quadratus tertii, nempe adsumpto Primo quadratum conficit a latere
IN v a Ni κ η tres numeros aequales quadrato, ut cuiusuis ipsorii in quadratus dempto qui eum ordine sequitiir, faciat quadratum. Ponatur rursus mediuS q.
N. & quia volo primi quadratum dempto
secundo facere quadratum , oportet inuenire quadratum, qui demptis N. faciat quadratum .Quaero prinistin duos numeros, quorum mutuo ductu fiant N. hi sunt qui eum metiuntur a N.&a. Nunc ergo si immae illorum semissem capiens,
285쪽
pono primum a N. - I. sic uni postulatorum sitisfit. Rursiis quoniam volo se- ciuidi quadratum, hoc est, in dempto tertio facere quadratum, si abs t6. Q seramus aliquem quadratum , habebimus tertium. Formo quadratum a 4 N. I. fitas I -8 N. hunc aukro de i6. relinquitur tertius 8 N. - r. & alteri postulato satisfactum est. Rursus quia volo trium summam, hoc est 13 N. aequari,
quadrato esto 169 Q. & fit 1 N. i. Ad positiones. Erit primus quidem Q -- i. secundus uer Ctertius autem Io r. & rursus indefinitὰ tribus postulatis est satisfactum. Superest ut&teriij qua dratus dempto primo faciat quadratum. Sed tertij quadratus dempto primo facit lo8i6 - rar aeqjale quadrato. Omnia per quadratum diui- dantur , fiunt Io8i6 - 22I. aequalia quadrato a latere ro N. - I. 8c fit I N. El. Erit primus I ad secundus ter
Φερο- ξφ. θOBSERVATIO D. P. REO Gm quoi veriori quaestione usi fumus
ad ναοιlibet numeros extendemus.
ratiocinio hane quoque oluemui OIA MI AESTI INEM XVIII.
OM Mia quae ad praecedentem dicta sunt, hic etiam loci in habent, ut non opus sit ea rem tere Eodem errore lapsus est Xilander, eum notam temet E inserit loco no O sed ruta et niuet numeros solutionis. ut videre est ex comparati Aerorum quos in Diope ii eo Vtamus. Examinen quaestionis tale est. Summa trium numerorum fit
A quadrato primi qui si secundum,supe est qtiadi I uia
quadrato secundi qui est si auseras tertium, superest quadratus
qui est si auseras primum , supe est dii ri ...' ar
tere Hic et i m vides in Graeco ita optimi solutiotii, numei M. ; talibus distinauantur, quod familiare esse D phanto iam monuiuiu, Is Vimet sed
or o πρῶτοι ς α. ο σφα μιροι lim φάδες κυcisn η λι ψει T. 6 ὀυ τὐπρωNυ κυζος προσλαζω F δcrmor, IN ua Ni κε duos numeros, ut primi cubus adscito secundo faciat cubumat secundi quadratus adscito primo i ciat quadratum. Ponatur primus i N secundus ergo erit 8 -i C. de cubus prioris adsumens secundum fit cubus. Restat ut& quadratus secundi adsumpto primo m
286쪽
ciat quadratum , sed secundi quadratus adsumpto primo facit et CC. - I N. - σψ --C. haec aequantur quadrato a la
& additis utrimque communibus d e sectibus, de auferendo similia a similibus relinquuntur 3a C. aequales 1 N. Sc omnibus per numerum diuisis 32 inaequantur I. dc est l. quadratus. Quare sar Milet quadratus, explicari posset aequatio. Sed 3et. Q. proueniunt ex duplo, C. Ipsi autem 16 C. orti sunt ex duplo producti 8. in i. C. hoc est ex duplo ipsius 8. Proinde D Q gignuntur ex quadruplo elusi
fit Q C. aequandus quadrato. Eito I 6 4. δ Dοα τετεκγωνώ. sti N. Ad positiones erit cubus 6 s sis. - ο ι- μῆ P. Uri in ca C. 3e su -ὀ-ω M. dici, δε Pono itaque secundum ε . IC. dc superest ut quadratus secundi adsumpto primo iaciat quadratum. Sed quadratus iucundi adsumpto primo facit et CC.
My6. -- IN. - 128 C. hoc ergo aequatur quadrato a latere i C. - - 6 . hoc est et CC. -- Αoyse Ia8 C. de reliquuntur
TExxvs lacunas replevimus, ut vides; quo praestito parum, aut Hhil superest disseultatis, huius quaestionis tractatione. Unum est quod moneam numeri quadrato aequandi et CC. - eao6 -- i N. - 128 C. latus ingenios ε fingi i C. -- 6 . ut quadrato utriusque partis hant et udita Λοω. ae proinde cubo bis de unitatibus utrimque sublatis, maneat aequatio inter Cubos MNumeros, unde fit solutio rationalis , quia prouisum est, ut utraque Cu tum de Numerorum multitudo si quadratus Numerus, lemmatis scilicet auxilio, quo repetitur cubus, cuius quadruplum, faciat quadratum. Possumus etiam ex ipsa operatione satis expeditum formare Canonem, hae arte. - et dociat, Oper iatius ut G p dratum. μι de unitatem, O tima erat prι-
totum, cuius Obum ; si inseras ab . ipsius 6 . videlicet ab i. relinquetur secundus i. Sunt ergo quaesiti numer ει ι Nam primi cubus adsumpto secundo iacit cubum r. At secundi quadratus ad simplo primo, iacit quadratum. n. - Quod spectat ad verbum ὁ ρδειν, quo in hac & in sequenti quaestione, de alibi etiam usum esse Diophantum existimat Xilander, pro eo quod est quadruplicare , moneo adulterinam vocem librarii inscitia, vel oscitantia in tςxtum Diophanti irrepsisse pro vera & germana τετρακις, quam ubique reposui. Porro erroris ansam praebuit quod hae vox ut plurimum expressa erat nota quater se ij δ eum ae supersetipto, hoc modo δύ, unde sciolus nescio quis efformauit. Si epropositione ista post illa verba, sis αἱ δε-άωις - τετράκις sequitate M codice manu exarato , γιγνε μμ ευρειν κυζον, ἴς α γενοH et ει τετραγωνον.
287쪽
Tum paulo post. γ ε Di s , &e. Vbi patet idem esse prorsus quod primo pinsitum est τετραχις , deinde demum vigesima etiam propositione sequenteeadein dictio ter repetitur, ubi euidens est eam loco ri tuo esse politam. Primo enim legitur,ccou. Deinde θελω ο κεκα ον υ -&e. Ac demum. - -' e -ντων δυο α δ κεκρi γυπ' αὐγγ ,&e. ubi etiam, O OGκροψ o nuitatur statim in τε γράπις ι Sequitur enim ἐανδ - σὸν ssνάμμίαν era πιαν - μ, Ο τεγακι: 'αυο ,&e. Facessit igitur subreptilia vox,&eius insolentiam cum Xilandro miretur nemo. Equidem me non latet verbum δ ρινω inter ea quibus utuntur Arithmetici eonumerari a Polluce lib. q. cap. 22. sed quo sensu soleat usurpari non docet Pollux. Ergo sanὸ nunquam adducar, ut credam iuini pro eo quod est quadruplicare. Quid auicui sigirificet u eant eruditi.
IN v E N r R R tres numeros indefinitὸ, ut quem bini producunt mutua multiplicatione , adscita unitate faciat quadratum. Quia volo productum ex primo in secundum addita unitate facere quadratum, si ab aliquo quadrato abstulero unitatem, habebo productum ex primo in secundum. Formo quadratum a numeris quotcunque S unitate. Esto ab I N. - . I. erit is rQ.' a N. -- I. hinc ablata vittitate, quod superest I QU- a N. est productum ex primo' in secundum. Esto secundus i N. Piimiis ergo erit r N. -- a. Rursus quia volo productum ex secundo in tertium facere quadratum adscita unitate, si eodem modo ab aliquo quadrato abstulero unitatem , habebo productum ex secundo in tertium. Formetur qua
i. unde ablata unitate, relinquuntur st Q. -- 6 N. Oportet ergo productum excundo in tertium esse 9 N. At secundus est i N. erit igitur tertius 'N. -- f. Rursus quia volo productum ex primo in tertium addita unitate sacere quadratum, erit utique y χ- 2 N. - II. aequalis quadrato. Et numerus quadratorum est quadratus. Quod si etiam unitates quadratae einent, & duplum producti eae latere quadratorum in latus unitatum aequale esset Numeris, indefinite iam satisfactum esset tribus postulatis. At unitates i3. fiunt diicio a. in s. de addita viaitate. Porro et . fit ex IN. in I. bis. At c. N. in i. etiam bis. Volo itaque vi bi numeri in bis numeros duisti faciane quadratum adscita vultate. Sed bis nume-
288쪽
ri in bis numeros est quadruplum prodii-ctim numeris in numeros. Volo igitur quadruplum hoc addita unitate sacere quadratum. Enimuero quorumclinque duorum numerorum unius in alterum pro ducti, quadruplum cum quadrato interualli ipsorum facit quadratum. Proinde si quadratum interualli constituamus unitatem, quadruplum producti aes cita unitate faciet quadratum. Atqui si quadratorum interuallum sit i. erit & laterum interuallum i . Oportet ergo formare quadratos a numeris deinceps, puta ab 1 N. - - r. & a a N. -- I. inadratus ab i N. - I. fit i - N. -- I. Vnde ablata . unitate relinquitur I - a N. Quare oportet productum ex primo in secundum citer. -- 2 N. Ponatur secundus i N. ergo primus erit i N. -- r. Rursus quia quadratus abs 2N - i. est H- N. i. Vnde sublata unitate relinquitur ψα- - N. Oportet productum cx secundo in tertium este N. Sed secun-
dus est l. N. Ergo tertius erit ψ N. - - q. Atque ita Gluta est quaestio indefinite, ut bini quique mutua multiplicatione producant numerum qui addita unitate fiat , quadratus. Et fit i N. quot quis voluerit unitatum. Hoc enim est indesilite quaerere , cum ita positiones instituuntur , ut quamci inque numeri aestimationem iis accommodes, semper postulatis satisfiat.
P Roponatur inuenire tres numeros ut quem bini producunt mutus multiplicatio adscitί unitatefaciat quadratum espraeterea unusquisque trium a ciιά unitate Laciat quadratum. Hujus quaestionis solutionemsubiungemus sejam confecta est. Ita flat solutio inde nita praesentis quaestionis ut 'unitates primi is ter iij numeo addita unitate eos fiant quadratos v. g. Hi tres numeri indefinite primus ἰ P. N. - Secundusi N. Tertius on A - Patet solutionem hanc inde nitam satisfacere conditionibus huius quaestionis fecundae. Supereis ut singuli ex illis numeris a cita usitate conficiant quadratos se orietur triplicata aquatitas cuius solutio ersi in promptu ex nostrά methodo cum numerus nitatum in quolibet ex istis numeris unitate auctis sit quadratus. IN E VAEST IO N EM XX.LE u si A quod assumit Diophantus, nimirum. Quorumcunque duorum numerorum unius in alterum producti quadruplum eum quadrato interualli ipsorum . iacit quadratum , idem est prorsus eum quinta secundi potismatum, per quam constat etiam fieri inde quadratum summae ipsi rum numerorum. Vnde optimE concludit Diophantu , si Numeri unitate distent, quadruplum producti eorum adscita unitate iacere quadratum. Sed de hine colligo uniuersalitu.
Si quadruplum produci duorum numerorum unitate distantium ducatur in quemlibet quadratum, & producto addatur idem quadravis, fit quadratus.
289쪽
Hoe enim nil aliud est quam quadratum summae duorum nurnerorum unitate distantium ducere iii alium quadratum. amol reni indent uel quadratum necesse est. Ita si sedecuplo producti
non statim apparet quomodo positionibus trium numerorum simplis a quadratis continenter Dr ximis constet productum ex pruno in tertium adicita unitate isicere quadratum. Hoc emo ut per EMA N. - - B . Hr. AH B. tertius C. D. nam secundus
C si N. --D6. Κ ;. N & meth o a Diophanto tradita sint A & QE 36 - F 6o N. - . G ae 'ς uincti qu drati continenter proximi. Ipsi vero B D stite is , Ut xx tum num ti di ipli laterum ipsorum A C. Ductooue A ii, C fiat E quadratomim numerus, ductiique A in D. N B in C. fiat summa prodiictorum F Numeri r - P -- G. eiic quadratum. Hoc ut probetur, oportet ostendere ipsos E G. Quadratos esse & ex re unius in latus alterius bis produci F. sie enim per quartam se nili tutu E FG uuadratum
otuita latera H Κ quae unitate distent. Primum iguur patet ex quadrato A in quadratum C prodi
Dad K productus ex Bin D. adscita unitate, puta G. aequatur quadruplo producti ex H in K adi cita vi mate. Igitur G quadratus est per lemma supra ex dicatum, cui , lam est lim . 'osorum H Κ. Denique quia F constat prodi is ex A in D N ex E in B. seu ex A in Κ bi,. & C in . . . A ' Υ ς C in H. sumpl ' aequantur productis ex summa ipsorum H Κ in planurit r. sub ipsis contentum s ac proinde summa rodugor uni ex A in D.& ex C in B. seu P aedi, mi producti ex sinima ipsorum H Κ in planum sub ipsis, latus autem ipsius G est stimitia ipsorum i Κει latus ipsius E est planus sub H Κ eontinens, ut ostensum est, patet F produci ex latere ipsius Ein
des eodem prorsu, artificio, anit iando lemma Diophanti, ut supra docuimus. Verbi eratia. o-ratitur indesinito tres numeri , ut i iiii quem producent mutuo dii sit is adscito s. faciat d adt' imVehatas productitia ex pruno ini utidum, aufers. ab aliquo quadrato, cuius latus Zoii Tn
que Numeroruin sit latus I N. -- 3. erit quadratus I Q. - 6 N. - o. Ergo Prodit. δες diri
tertium . finge quadratum a latere 2 N. -- 3. c ut scilicet nume us Numerorum superet unitare merum Numerorum lateris prioris quadrati λ erit quadratus R. -- ia N. - o. und aufer Vmanet productus ex lecundo in tertium Q ia N. Mare Otii secundus sit: N. erii teritu N-- 32. Ig'tur tres numeri quaestionem infinitE soluent eclunt i N. -- I N. 4 N.-ia Por ma Diophanti hic ampliari intelli itur modo supra tradito, nam patet 6. aitates primi Nisi ii esse sescuplum numerorum lateras prioris quadrati, & ia. unitates ter iij Numeri esse es Iplum Nutarorum posterioris quadrati. Quare cum productus ex sescuplo unius numeri iri sit aequale tr Guplo sescuplo producti eorundem numerorum , patet hie suppon , tribeupli, duxe quidem Diophanti vestigiis insistendo Deit E suit exeoeitare. Verum si oro si i-, C. nire tres numeros indesinit E ut bini quem producunt mutuo ductu , is adscito quo Te num quadratum faciat; iam non licebit Diophantaeani malusim imitari Nee
ferare huius problematis enodationem sum ignorasse V 5T
doquidem , ut veris sinὸ cecinit poeta, Non omnia possumus omnes. kobis tamen one ad dii cimam tertii traditorum , rem absoluere pronum erit. Etenim sit propositum d iri definite tres numeros , ut bini quem producunt adscito 6. saeiat quadrat uni. Fineantur' dodrati a quotlibet numeris Numerorum diuersis -- eodem numero unitatum euis, ' ' peret 6. puta fingantur quadrati a lateribus i N. - a. & a N. - 3. erunt hi i 6 si ta N. - 9. auferatur 6. ab utrooue, & residua dividantui per interua ni laterum oti nIN. siet ergo primus quaestorum 1 M. -- 6-- . . secundu ra 'satisfaciunt postulatis ex Canone primo duodecimae tertii. vel iisdem manentibus timo M
290쪽
erit tetitiis duplum summae illorum multatum laterii in interuallo I N. puta 9 N. ----- ut eo stat ex secutulo Canone. Eadem arte per Canones ad decimam tertiam tertii traditos licebit & hane soluere quaestionem.
Inuenire tres numeros indefinite, ut quem bini producunt mutuo ductu, detracto quouis dato numero quadratum relinquat.
Datus esto Io. Finganti ir duo quadrati, alter liquotlibet unitatibus, alter ab i N. latere prioris. Sint i rite latera t. c N. - . erunt quadrati I.& t -2 N. --. r. Utrique addatur ro.& summae dividantur sigillati,n per laterum interuallum I N. Eritque primus q laesitorum m. secundusi N. - - Σ - . . teritus horum suminae duplum multatum I N. pura i N. - - I N. vel iisdem manentibus primo & secundo, erit tertius ipsum interuallum laterum, nimirum I N.
IN v v Ni ix v qiratuor numeros, ut qui fit ex binorum mutua multiplicatione adscita unitate faciat quadratum. Quia volo productum ex primo in secundum cum unitate facere quadratum, si ab aliquo quadrato detraxero unitatem , habebo productum ex primo in secundum. Formo quadratum ab I N. -- r. & fit r- a N. I. hinc aufero unitatem, restanti sin-a N. pro producto ex primo in secundiam esto primus i N. ergo secundus erit I N. - . Rursus quia volo productum ex primo in tertium cum unitate ocere quadratum, sermo quadratum absu N. - I. nimirum a numeris continenter
proximis, ob ea quae supra demonstrata sint, & ab illius quadrato, ausero unitatem, & statuo productum ex primo in tertium Q. - N. Quare cum primussit 1 F. erit utique tertius N. -- q. Rursus quia volo prodii,stim ex primo in quartum cum vilitate sacere quadratum, sermo quadratum a numeris continenter proximis, nimirum a 3N. . & a quadrato sublata unitate statuo productum ex primo in quartum ρ - ε N. Proinde cum primus sit 1 N. erit quartus 9 N. -- 6. & contingit praeterea productum ex tertio in quartum cum unitate sacere quadratum. Caeterum ex secundo in quartum productus addita unitate facit 9 Q - 2 N. - - I3. Hoc ergo aequandum quadrato, estolatus 3 N. - .&fiti N. Ad positiones. Erit primus D secundus l . tertius
Uueniaνtur tres numeri quilibet ut quis binorum mutua multiplicasione adscita
unitatefaciat quadratum, v. g. sint illi numeri. 3. r. r. quaeratur iam quartus ea