장음표시 사용
291쪽
eonditisne ut qui 'sub iribus inuentis sigillatim in quartum adscita unitat sit quo
dratus, ponatur inueniendus esse 1 N. ergo I N - I. item 1 N -- I. item I Naruantur quadrato se oritur triplicata aqualitas cuiussolutis inuentioni nos/adebetur. ide quae adnotauimus ad quaesionem 2 . libri o.
NO N apparet ex verbis Diophanti quomodo proditisti ex secundo in tertium, di ex tertio in
quartum adscita vilitate quadratum faciant. Id autem omisit quasi euidens ex lemmate praecedentis quia secundus , tertius re quartus finguntur , quadratis continenter proxiinis, unde sequitur ex supra demonstratis prodiictos ex duobus proximis, videlicet ex secundo in tertium, di ex tertio in quartum addita unitate sacere quadrato,. Quamobrem ei ini etiam ex constructione manifestum sit productos ex primo in singulos ex aliis addita unitate facere quadratos, unum sane restat cinandum, ut i cilicet productus ex secundo in quartum adscita unitate fiat quadratus. Fit autem y a i . hoe ego aequabiimis quadrato a latere 3 N. Lot unitatibus, quarum quadratus supciet a vi
Haee etiam quasio ad quemlibet quadratum extendi potest, eodem artificio quo praecedens. vet. bi gratia. Quaerantur quatuor numeri, ut bini quem producunt adsumpto 4. quadratus fiat. Posito primo i N. fingantur quadrati a lateribus i N. 2.2 N. -- 2. 3 N. - - 2 erunt hi I 4 N. - 8 N. . 9 Q - Ia N. -- q. Asingulis auseratur 4.& erit productus ex ptimo in secundu i - N. ex primo in tertium 8 N. cx primo in quartum Ia N. arceum primus siu i N. erit secundus I N. - - tertius 4 N. - - 8. quartus 9 N. - Ia & quidem tam ex construdi i ne , qu m ex demonstratis ad precedentem, constat prodii s ex primo in singulos ex aliis, item que productas ex secundo in tertium, Mex Icrtio ita quartum adsumpto ε facere quadratos. Supe rest igitur ut productus ex secundo in quartii in adscito faciat quadratum. Sed facit v. - N -- 1 r. hoc ergo aequatur quadrato sit eius latus 3 N. - 8 fit I N. . . Sunt ergo qi siti numeri P. V. Producit ex primo in reliquos, adscito faciunt quadratos VI. latera V. Producti ex secundo in tertium N quartum adsumpto 4. Dciunt quadratos quorum latera 'b I. Denique productus ex tertio in quartum adscito 4. quadratum facit . T. cuius
Caeterii in quomodo in uniuersum soliti possit liuiusinodi quaestio , ut scilicet productus ex binorum mutuo ducti adscito quocumque dato numero faciat quadratum colligi non potest ex Di phanto, Nideum latuisse audacter asserere ausim, alioquin non in sola unitate vel in solis quadratis per ei set, quod in omnibus numeris absoluere poterat. Nos Pulcherrimum hoc problema explic uinuis ad duodecimam tertij. Et rursus idem perfecimus additione in detraeironem mutata ad deci
IN v ε Ni R s tres numeroS proporti nates, ut duorum quorumlibet interuallum sit quadratus numerus. Ponat ut minori N. Medius I N. - q. ut interuaulum sit quadratus. Tertius autem sit i N. H. I3. vi&huius excessus supra medium
sit quadratus. Porro si maximi & minimidi iliarentia esset quadratus, iam indefinite satisfacti ina esset parti quaestionis qua postulatur, ut differentia duorum quorumlibet sit quadratus. At maximus minimum stiperat unitatibus i 3. de 13. est summa quadratorum q. de ρ. . aerendi igitur sunt duo quadrati aequale S quadrato. Mod facile fit trianguli rectanguli sumptis lateribus, suntque ρ. 5 4 statuo minimum i N. Medium i N. -- 9 tertium I. N. - 25. & sic duorum qiaorumlibet
292쪽
TMA diuersitas solutionum pendet illa 2 duobus quadratis qui simul iurusti quadratum ess-ciant , nam si viatis iisdem, eadem semper eontinget solutio, qtiani uis pro primo qiuaesitorum mimetorum statuas quemlibet Numerorum numerum, sic quamuis statuas quaelitos numeros 3 N. 3 N. -- 9. Ecet N. - 2F. eandem solutionem inuenies quam reperit Diophantus politis iisdem numeris Irti N. t N. - as.&sic quantumuis varietur icimus, dum in iecumio dc Lertio ponantur iidem quadrati 9. deas. eadem continget solutio, quod patet experientia, & facile est de-
telum est quod moneam ex duobus quadratis qui simul quadratum conficiunt, minorem statuendum in mecio numero, non autem maiorem , sic Diophantus medium rivit 1 N - 9. non IN. - Ι6. Humnuis posito eoi N. - I6. tribus quoque pollulati partibus latisfiat . eum binorum interualluna iit quadratus. Sed in aequatione qua media quadratus aequatur plano iub extreinis, inueniuntur tandem 32 N. 216. ae litates sty N. inod est impossibile, quia 3a N. sunt plus quamas N. fiunt autem 3a N. ex duplo quadrati i6. qui positus est in medio, at 2s N. est sumina quadrat rum i6. N p. Oportet igitur duplum quadrati qui ponitur in medio minus esse summa quadratorum, quare oportet minorem quadratum collocari in medio. Quandoquidem duplum maioris duorum numerorum excedit summam ip tum, sicut duplum minoris descit ab eadem suinina. Porro ex ipsa operatione elicitiar Canon facillimus. Sume duos p aratos q-d vin conficienter , per horum interuallum Luide quAdratum maneris quadrati , oraetur minus quasitorum. Cui I adris minorem quadratum, siet secundia. Et huies avitis maiorem quadratum, siet tertιus.
IN v E N i R a tres numeros, ut Glidus sub ipsis contentus adscito quolibet ipsorum faciat quadratum. Ponatur ibi idus sub ipsis contentus i a N. &&primus i. vi selidus ascito primo faciat quadratum. Rursus quia volo solidum uib tribus contentum cuin secundo sacere quadratum , si ab aliquo quadrato, detraxero i. a N habebo secundum. Formo quadratum ab i N. 3. huius quadratis detractis i -- a N. facit N. q. Pono ergo secundum ψ N. - '. lain cum solidus sub tribus contentus sitI a N. & ex primo in secundum producatur N. - - q. si diuidatinis i-- 2 N. Per N. -- q. habebimus tertium. Verum haec diuisio non est possibilis. Vt autem fieri possit curandum est ut se habeat i in ad N. sicut a N. ad 9. Sc
293쪽
at i Q. sentissis est quantum ad unitates attinet) de a N. xt ii N. quoque eodem modo suillent semissis ex 9. institui possct diuitio. Atqui N. oriuntur ex eo quos
N. stiperant a N. Sed 6 N. orti sunt ex duplo eius quod fit cx 3. m i N. hoc est ex duplo ternarij. Vnitates autem y. est quadratus de a. Cogor igitur inuenire numerum loco ipsus 3. cuius duplum multatum b inacio fit semissis quadrati ipsius numeri. Esto quaesitus 1 N. Huius duplum binario multatum est a N. - 2. qt dratus autem eiusdem esti Volumus igitur et N. - 2. esse dimidium de i Proinde ich aequatiar N. - q. & fit I N. r. Revertor nunc ad primo propositum. Posueram primum I. solidum autem sub tribus contentum 1 ι- a N. Oportet autem Glidum adsumpto secundo facere quadratum. Ergo si an aliquo quadrato rubduxero 1 - 2 N. habebo secundum. Formo quadratum abi N. & tot unitatibiis , ut duplum unitatum dempto binario sit dimidium quadrati earum, eas autem iam ostensiim est esse 2. Formo ergo quadratum ab i N. -- 2. is est i N. - - φ. Ausero itine s lidum sibtribus contentum, nimirum I Q. et mrelinquitur secundus a N. -- . Itaque si solidum sub tribus contentum diuido per productum ex primo in secundum, nempe per a N. - habeo tertium, nimirum
IN. Restat ut i olidus sub tribus contentus adscito tertio iaciat quadratum, sed solidus ille adscito tertio init I se 2 N. Hoc ergo aequatur quadrato Q. & sti N. I Ad positiones. Erit prinausi secundus V. tertius ζ l. θωὸς . . t ι τυο σι ι ο ιδὴ πρω
OP g R A ri ci Diophanti Lbtilis est, sed tamen perspicua. Lemma quo quaerit numerum, cuius duplum binario multatum sit semissis quadrati eiusdem numeri , soluitur per tertiam regulam com sitarum, nam manent N. aequales Ixh-- q.& quia quadratus semissis Numerori im aequatur unitatibus, sequitur ipsium semissem Numerorum esse valorem Numeri, ut liquet ex ipsius t gulae demonstratione. Verum alicui non immerito videri possit easti quodam fieri ut lemmatis huius solutio eontingat rationalis, clim regulae eompositae si nulla eautio adhibeatur solutioneni vi plusimum exhibeant irrationalem. Quamobrem ut hoc scrupulo careamus, aliam placet tradere operationem similem prorsus illi qua in sequenti quaestione utitur Diophantus. Ponatur primus numeri 1 N. solidus autem sub tribus contentus esto i i N. sie enim prinio adsumpto fici quadratus
294쪽
Iain si solidus sub tribus contentus per primum diuidatur, quotiens i N. - i erit productis ex secundo in tertium. Ponatur secundus i. erit tertius I N. - I. Superest ut solidus I I N. tatu secundo quam turtio adscito iaciat quadratum. At secundo adscito iacit I i -I N. adscito tertio Acit I. viciquc igitur aequatur quadrato. Hic iam duplicata Occuirit aequalitas, quae resoluenda est modo quem ad decimam quintam tertii explicauimus, quoque rursus usus est Diophantus vigestina & vigesima prima eiusdeni. Horum videlicet inter allum est a - i N. proinde quato duos numeros, quorum mutuo ductu id fiat ita ut tam in semisse suininae ipilarum , quam interualli, inu niatur IN. sunt hi ἰ& - a N. horum summae semillis quadratus aequatur i Q I l N. N fit IN. . . tantus est Himus, secundus i. tertius qui soli iunt quaestionem. Nam lolidus sub ipsistentus est qui adsumens sigillatim ipsos tres numeros, facit quadratos os. I a.. R. qui latera sunt . Quoniam vero siue ita opereris, siue secundum Diophantum , semper uniis quae itoriam ponitur unitas, placet explicare modum quo perficiatur operatio Diophanti , α reddatur uniuersalior, ita ut primus statuatur quilibet quadratus numerus, re absque lemmate illo quo ad regulas compositas deuellitur, instituamur commodὸ positiones secundi di tertii. Ponatur ergo primui, quilibet quadratus puta 9. de fingatur quadratus an I N. - 3. is erit i Q - 6 N. 9. unde auferendo9. statuaturi - 6 N pro solido sub tribus numeris contento. Itaque quoniam prinius est 9.oportet talem statui
secundum , ut eo ductis in m per productum diuidi ponit solidus i Q -- 6 N. ut Otiatur ex hac diuisone tertius. Fingatur igitur quadratus ab i N. -- c. tot scilicet unitatibus quot sunt Numeri in s lido, sicut fecit Diopnantiis , estque haec regula generalis eritisi DF D N. -- unde auserendo solidum, restat secundus 6 N. - quo Iucto in primum 9. fit N. μ 32 . per quem si diuidas solidunii λ - 6 N. oritur tertius fi N. Superest igitur ut solidus adlumpto totio faciat quadratum, iacit autem I Q. - - 6 A. N. hoc ergo aequatur quadrato. Esto quadrato a Q fift i N. N. T. Ad positiones. Erit primus p. secundus tertius qui soli iunt quaestionem. Nam solidi sub ipsis contentus est qui ad adsumens sigillatim ipsos tres numeros, facit quadtatos . z:
portb ne quis supersit dubitandi locus, positionibus ita institutis, diuisionem solidi tat productum ex primo in lecundum scin r commodὰ fieri in quo totum negotium consistit sic demonstrabitur. Sit solidus 1 Q. - Α certo Numerorum numero & semissis numeri A quadratus esto D. primus quaesitorum numerorum. Tum fingatur qua- ' Bia N: HV 3 ginii, ab i N. - . A. qui siti in in B - C. patet ergo Dumς orun ' V 3ρ' Numerum B. esse duplum ipsius A. &vnitates C. esse quadratum nu-F N. - G 3 4 - , e elim auseretur solidus I Α. a quia to nH. C. relinquetur E -- C. eritque Eaequalis ipsi A. cum sutat sit E au tendo A. ex B. duplo lui Caeterum constat ex modo operandi tradito E. -- C. fore hymi asina secundi Numeri. Ducatur ergo minius D. in secundum E - - C. & sat F - G. dico tar hoc productum comm E diuidi solidum a Q. - hoc in eandem esse rationent i Q d F. quae est A ad G. Nam quoad specierum denominatanes spectat patet quadratos ad Numeros se Lauere ut Numeri ad vilitates. Quare obetur ipsos numeros a b ciebus denominatos eandem quoque seruare rationem, hoc est esse I ad F. sicut A ad G. Quia igitur ducto eodem D. in ipsos E C. fiunt F G. erit F. ad G. vi E. MC. hoe est ut R. ad C. cum AE ostensi sint aequales sed vi A. ad suum quadratum C. ita & unitas ad A. tur uti. ad Α. sic&F. ad G.&perui utando uti. ad F. sic A ad G. Quod erat demonstrandum.
Non solum absque lemmate Diophanti, sed etiam absque duplicata aqualitate soluetur quae o. Ponatu olidum sub trabas 1. q.- a. N. primus numerorum sitvnιtas fecundus a. N. Ita namque duabus partibus propositionis satist , pro tertio diuidatur folidum sub trιbus r. a N. per rectangulum sub primo Ofecundo quod est a N. orietur ex hac diuisione tertius N -I quo addito ad solidum sub
tribus fit a quod aquari drbet quadrato. Oportet autem valorem numerimat rem esse binario propter position s iam satras. aequetur igitur quadrato ea ius
latus I N aliquo unitatum numero binario maiori. Omnia constabunt.
sub ipsis contentus dempto quolibet J N V ε Ni R a tres numeros, ut solidus
295쪽
ipsoruni faciat quadratum. Ponatur primus i N. solidus autem I -- i N. de dempto primo facit quadratum. Et quia solidus sub tribus est a QV-I N. at primus i N. erit productus ex secundo intcitium I N. - r.esto secundus i. ergo tertius erit i N. - i. Superest ut solidus sub tribus dcmpto tam secundo quam te tio faciat quadratum. Dcmpto vero secundo faciti a N. - I aequalem quadrato , at dempto tertio facit I r. aeqitalem quadrato. Et existit it iplicata aequalitas. Capio interuallum quod est 1
tuo ductii id fiat, ij sunt qui nactiuntur rN nimirum: &Σ N. qtiod est duplum lateris quadrati. Est ergo si .am nostri aequatio , de fit i N. . . Ad positiones. Erit priuemus secundus i. tertius O NE II XTIMO Ps R ATro Diopiranti facilis psi, de utitur duplicata aequalitate modo quem explicauimus
ad decimam quintam tertii. Caeterum moneo secundum poni posse non tantum I. scd di quemlibet unitatuni numerum. Ponatur verbi gratia a. eum igitur productus ex secundo in tertium sit iN. tertius se N. - - . Solidus autem i α- i N. detracto tam secundo quam tertio fiet, ' v N. ' . quorum uterque quadrato aequandus est eorum interuallum est N. -Il. quod producunt mutuo ductis a N. 6.& horum ianimae semisiis quadra-1 . N. aequalis eii I Q - I N. a. de fit i N. V. tantus est primus, secundus a. te eius o. qui soluunt quaestionem, nam solidus sub ipsi; contentus est QT. qui detractis si statim ipsis tribus numeris, facit quadratos . :T'. 'I'. quorum latera i . : l. z. Sed di quadratorum numerus qui ponitur in solido , pro arbitrio variari potest, dum ponatur quadratu: Etenim sit primus i N. solidus I N. erit ergo productus ex secundo in tertium 4 α ε I. Ponatur secundus quotlibet unitatum, ruta a. erit igitur tertius a N. - . superest ut solidus quo i N. adscito, tum secundo, tum tertio faciat quadratum, proinde Q. - IN. - Σ& U. i. N. - aeqtiamur quadratis. Horum interuallum est a N. - r qi ioci producatur ex in N. 3. Quare horum summae semissis quadratusqQ.-s N. - aequatur QL- IN. - 2.&fiti N. tantus est primus. secundus r. tertius qui Ouunt quaestioneni. nam solidus sub i. sis contentiis est X qui singulis detractis quadratos facit . . 't. quorum latera ἰζ. Eodem prorsuς attificio ioluetiit quaestio sequens, aliae & hie desiderati vid: ur.
Ita uenire tres numeros, ut qui sub iis continetur solidus detractus a quolibet imiorii in quadratum relinquat.
Esto primus i N. solidus autem IN. -I Q ut detractus a primo quadratum relinquat. Iam solido per primum diuiso , fiet I - i N. productus ex secundo in tertium. Ponatur sec undus r. erit tertius I - i superest ut ab utroque detrahendo solidum I N. - i Q lupersint quadrati, oc renianent IA et i l a N. Vtcrqxie igitur horum aequatur quadrato. Eorum interuallum est I N. quodsi exa N. in ζ. Q 're horum sultimae temissis quadratus, puta I Q. - Naequatur I. Q. - Ι -i N. unde si i N. tantus est primus, secundus i. tertius i.& solliunt quaesti' neim Nam solidus sub ipsis contentus est qui a quolibet sigillatim detractus relinquit quadratus
DAxv i numerum diuidere in duos
numeros, ut productus cκ eorum multiplicatione sit cubus suo multatus
296쪽
latere. Esto daius o. Ponatur primus i N. relinquitur ergo secundus i N. Superest ut productus eoru multiplicatione sit cubus tuo multatus latere. Est autem hieproductus 6 N. -iαHunc ergo aequari oportet cubo cui sui ini desit latus. Formocubum a numeris quotlibet cum desectu vilitatis, esto a 2 N. - I. huius cubus latere detracto fit 8 C.' N. - 12 Q arca quantur 6 N. - i inscii numeri viri m-que risiiltitudine aequales essent, restarc it cubi aequales quadratis, & rationali numero exprimeretur solutio. At 4 N. , proficiscuntur ab excessu extera N. supra a. N. & si ter a N.amittat a N.fiunt utique bis r N. At vero f. dantur ex hypothesi. Eo itaque redactus sum ut inueniam loco et N. aliquem numerum cuius duplum faciat ε. Est autem 3. huiusmodi numerus. Quaerens ergo/N. - I Q quales cubo
cui suum latus deest, statuo cubi latus a N. - 1. dc huius cubus latere ipsb multatus facit 27 C. ---N. - 27 Q, quod aequatur G N. - i Q. & fit i N. V. Ad positiones, erit primus: At secundus
ARTIM CIose Diophantus ut aequet 6 N. - i Q. cubo uitiliato suo latere, fingit cubum 13N. -- I. ut incubo illius contineatur-- a. quod aboleatur detractatione lateris , in quo etiam -- i. positum est. At Numeri aboleant ut per Numeros qui fiant ex altera aequationis parte, & sic remaneat aequalitas inter cubos di quadratos. Vt autem incubo multato suo latere reperiantur 6 N. eum ex formatione cubi tradita ad primam huius consut numerum Numerorum in cubo coniciatorum triplum fore numeri Numerorumpositorum in latere, quia in latere eum Numeris ponitur unitas; oportet utique talem Poni in latere numerum Numerorum , , cuius triplo auferendo ipsum numerum . supersit 6. sed a triplo alicuius numeri auserendo ipsum numerum, superest duplum eiusdem numeri. Igitur redi E concludit Diophantus ponendum in latete cubi, numerum Numerorum, euius duplum sit 6. hoc est Itaque nulla hic solutionum varietas accidit, eum per hujusmodi oporationem unica duntaxat reperiri possi solutio. verum inde tiarmatur Canon satis expeditus. Dod antem quadrati dati numeri νηιtate militatum Haide per octantem cubi eiusdem, ortitur primus quassora. . a me huius irritione a dato numero, halebis secundum. Porro productus ex primo insem sem uti numeri unitatemhatus, estiatus cubi quasili.
Eodem quoque artificio soluetur huiusmodi quaestio. Inuenire duos numeros dato litteruallo differetues , ut productus eorum multiplicatione sit cubus suo multatus latere. Sit datum interuallum 6.
Ponatur primus IN. secundus si N. erit productus 6 N. -- qui aequandus est cubo multato suo latcre, qui ob causam supra traditam niagi debet a latere; N. - I. fietque cubus tuo latere multatus 27 C. - 6 N. - Στ aequalis 6 N. - i inta fit i N. tantus est trimus. Secundus autem II. N soluunt quaestionem, nam productus eorum multiplicatione cit cubus I. . latus suo la: ere Hine fit Canon. . Dudrantem adrati dati numera υnitate austum, aeui de per octantem cui eius Am, orietur primus quaeptorum. Cui aduendo datum interualium, fiet fecunio. Porro prodiatas ex prisuo ια
scissem duii nureret unitate multarus , est utus csbi qua ii.
297쪽
DA rv ii numerum diuidere in tres numeros , e quibus ortus sblidus sit cubus latus habens flammam interuatilorum, quibus bini inter se distant. Esto datus . Si quia selidus sub tribus contentus est cubus, esto 8 C. cuius latus a N. Iam interuallum primi & secundi, & interuallum secundi Sterti),itemque inte uallum primi & tertij, duplum faciune interualli primi & ter iij. Hoc est. Si fuerint numeri tres inaequales, trium inte ualla sunt duplum liuerit alli extremorum. Habemus autem in positione lateris cubia N. Qii are oportet a N. aequari summae interuallorum. Proinde interuallum tertis supra primum est 1 N. Esto primus numerorum quotlibet, Puta a N. erit ergo tertius 3 N. Et quia solidus ex tribus ortus, est 3 C. at productus ex primo in tertium est serit utiqtie secundus 1 I N. Hoc locos secundus tertio minor , maior primo extitisset Bluta erat quaestio. Sed secundus prodiit diuisb 8 per productum ex
primo in tertium. Primus autem & tertius non sunt temere sumpti, sed unitata differentes. Eo itaque deii enimus , ut quaerendi sint duo numeri unitate disserentes, ut diuiso 8. per productum multi. plicationis eorum, fiat quotiens minore illorum maior, & maiore minor. Pon tur minori N. maior eriti N. - - 1 & si diuidam 8.prr productum militiplicatio nis eorum quod est 1 4-i N. fiet medius et Q pu. Volumus autem hunc maiorem quidem esse quam IN. mitiorem vero quam i N. - I. Cum igitur horum interuallum sit i. erit interuallum primi& secundi unitate minus, ideoque secundus addita unitate maior erit primo. A qui secundus adscita unitate, Ac reseli tus in minutiam , cuius denominator x Q. - i N. st 'NI TV. Hoc ergo maius eii quam i N. -- r. & omnibus per den minatorem multiplicatis fit r c -- 1 μ- 8. maior qu.im I C. - 2 Q - - 1 N. Auserantur similia a similibus, relinquia tur8. maior quam I C. -- ι orino cin
298쪽
tus eius IN. - . a. & quoniam 8. maius sint quam 1 C. - - i Q Cubus quoque a latere i N. - maior est quam I C. I si aequemiis latera, nempe r. N IN. - . - . fieti N. l. Ad positiones. Erit primus secundus i. tertius e. & omnibus per II. multiplicatis. Erit primus o. secundus 27. tertius et s. Communis enim denominator hic abiicitur , & inuenti sunt tres numeri, quorum ex multiplicatione ortus selidus, est cubus latus habens summam interuallorum ipsorum. POno ergo primum o N. secundum 27 N. tertium dis N. & est solidus sub ipsis contentus cubus cuius latus aequatur interuallis ipserum simul junistis. Volo autem trium sorquantur q. & fit i N. rii. Ad positiones.
OV AE R v N s Diopbantus tres numeros quorum summa sit ε. Ita ut soliduς sub ipsis eontentus
sit cubus latus havns summam interuallorum quibus bini inter se distant, seu quod idem etsi latus haben duplum interualli maximi & minimi , primum quaerit in uniuersum tres numeros reliquis propositi partibus satisfacientes nulla habita ratione summae ,m conficiunt, his enim inuentis, puta M. 27. 21. Iam statuit quaesitos numeros 4o N. 27 N. 21 N. quorum summam 92 N. aequalem inciendo ipsi 4. soluti quaestionen propositam. Itaque totum negotium in eo consiliit ut inueniatitur tres numeri, ut solidus sub ipsis contentus sit cubus latus habens duplum interualla maximi rumillimi. Ponatur solidus ille quilibet cuborum numerus cubicus, puta 8 C. Cum ergo illius latus sit a N. patet hoe esse duplum interualli maximi & minimi, quare ipsum interualluin maximi ει minimi erit i N. Ponendi ergo sunt maximus & minimus certi numeror uni numeri unitate distantes s sed quia per eorum productum diuidendo 8 C. solidum , debet oriri medius qui minimo maior esse debet, & minor maximo , apparet necessitas assumpti lemmatis, quo quaeruntur duo numeri unitate distantes per quorum productum diuidendo 8. fiat quotiens minore maior, & mitior maiore. In huius autem lemmatis enodatione quantum , scopo aberrarit Xilander, qui eius commentarios legerit, facile intelliget. Nobis non vacat in refellendis i ianitius illius eoniecturis diutius immorari, quibus propositum est Diophantum explicare . non aliorum errata Omnia petimui. Ponuntur ergo quaesiti numeri r N.&I N. I. fitque productus eorum multiplicatione I - . i N. per quem diuidendo R. fit quotiens debet esse maior quam TN. minor quis IN. - r. hie si quis asserat Diophantum non satis accurate rem persequi nisi quid ex illius verbis exciderit J non falletur, ut puto. Nam ut utrumque quod instat, ritὰ procuretur , omnia reducendo ad eandem denominationem patet 8. maiorem esse debere quam i C. i Q. minorem autem qu in I Q - 2 Q. -- t N. N primum quidem sollicite cauet Diophantu . nostremum vero nectigit omnino. Atqui si hoe neglecto ad illud tantum respiciamus, saepe in absurdi imdeueniemus. Nam verbi gratia ut L sit maior qu,m IC. - I Q. sussicit si aeqtiemus 8. alicui cubo maiori quam I C. --r in dum is non sit maior qu ira 3. Attalis est I C. - 3 - 3 i Hule ergo aeqtiemus 8. & latus lateri comparantes fient a. aequales rN. -- I.&erit I N. I. Qi are sua siti numeri erunt l. & a. quod est absurdum, nam per eorum producitam a. si diuidas 8. fiet . qui maior est utroque, eum deberet esse maior minimo, minor maximo. Non sussicit igitur ut cubus cui aeqiuatur 2. sit maior quam i C. -- i insed oportet simul ut sit minor quam I C. - 2 Q --I N. Hoc ut arte certa consequamur fingemiis cubit in quo praeter i C.contineatur I Q aliquid amplius,quod tamen nori aequet a stimare cum latus cubi ponendum sit i N. - aliquot unitatibus, ac proinde quadratorum numerus in cubo contentorum sit triplum illarum unitatum, patet in latete ponendas tot unitates, ut earum triplum sit minus qu ni a. sed non minus quina I. Quare utriusque mentem sumentes concludemus , fingendum latus cubi I N. - . tot unitatibus quae sint minus quis
sed uori minus quὶm se Diophantus posuit huiusmodi latus I N. I quod aequans lateri ipsius 8. puta a. inuenit valorem Numeri l. de si fingas latus I N. - - .. hoc aeciliabitura. & fiet
299쪽
x N. l. Erunt ergo quaesiti duo numeri Τ& quorum producius V per quem diuidendo8. sit medius tres enim l l . l. satisfaciunt proposito, hoc est udux sub ipns contentus, est elibus latus habens summam interuallorum quibus bini inter se distant, & Omnia reducendo ad integros, fient 41. 6 per quos sit velis soluere quaestionem propositam, pones quaesitos Numeros N. 6 N. 77 horum iumma I84 N. ae iratur 4. & sit 1 N. sunt ergo quisti Numeri r . di Itaque ut eompendiosissime propositum lemma perficiatur, cum fiat v lor Numeri auferendo binario unitates positas in latere fisitio eubi, & ostensum sit unitates illas minores esse debere quavi: non minores quam his autem a binario detractis, si persint j & b valorem Numeri maiorem esse debere quain i non maiorem quam se sumi poterunt pro valore Numeri b b infiniti. Vnde constat allucinari Xilandrum, cum asserit valorem numeri esse posse nam is cadit extra limites eonstitutos, eumque propositio non latisfacere senties experiendo. Restat videndum cur Diophantus loco ipsistum j. sumat ipsia M. 27.2s. in iisdem rationibus. Quod ne eui scrupulum moueat, demonstrabitur hoc Theoremate. Sifuerint tres ni-eri, ita ut selidus sub ipsis contentus,sis cubio latus habens a tum inter uri m xima inminιmi, O tres aliI cIM unoe in ιisdem rationibus idem Hasabunt. Sint tres A BC.&interuallum extremorum esto E cuius duplum D. At
solidus sub ipsis ABC. esto F cubus,cuius latus sit D.& sumamur tres G H Κin iisdem rationibus eum ipsis A B C. N si t extremorum interuallum M. cuius duplum L. & solidus sub ipsis G H Κ esto P. di eo P. esse cubum cuius latus est L Etenim cum latera A B C. G H Κ sint proportionalia, erunt solidi F psimiles ex definitione. inare' habebunt inter se rationem cubi ad cubum, ae proinde cuin F sit cubus, ' erit& P cubus. inioniam vero ex hypothesi est A ad C Qt G ad K. erit diuidendo Ead C. vi Mad X. ae proinde erit D, duplus ipsius E, ad C; sicut L. duplu, ipsius M. ad Κ, & permutando erit D ad L ut C ad Κ. Atqui solidi similes F P sunt in trist. cata ratione laterum C K. & si init iter cubi F P. sunt in triplicata ratione lateris D ad latus ipsius P. Igitur est C ad Κ. sicut D ad latus cubi P. sed ut C ad K. De est D ad L ut ostensum est. I tur L Alatus cubi P. Quod erat demonstrandum. Caeterum eodem artificio soluetur huiusmodi quaestio.
Inuenire tres numeros, ut solidus sub ipsis contentus sit cubus , latus habens summam interuallorum, quibus bini inter se distant, ipsa autem summa interuallorum
sit datus numerus. Esto summa interuallorum I s. Quaerentur ut prius tres numeri , ita ut solidus sub ipsis content tis sit cubus summae interuallorum,&inuenientur o. 27. 2s. Quare ponentur quaesiti M N. 27 N. dis N. de fit summa interuallorum 3o N. aequalis is. unde fit i N. t. Sunt igitur quaesiti numeri e
IN v ε Ni R s duos numeros, ut produ- ductus ex eorum multiplicatione vir libet adiecto faciat cubum. Pono primum, aliquot numerorum cubicorum, puta 8 N.secundum vero i I. Ita alteri postulatorum satisfit. Nam productus eorum multiplicatione adscito primo, facit cubum. Restat ut idem productus adscito secundo iaciat cubum. Sed productus ille adscito secundo iacit 8 C. I8 N. - I. haec ergo aequantur cubo. Formo cubuma a N. r.&fit i N. . Adpositiones. erit primus I. secundus M.
NV u η R I culm aequandi 8 C. - r Q. - 8 N. - r. latus ingenios E fingitur a N. - r. ut cubo utriusque partis elidantiit 8 Q-r & remaneat aequalitas inter Numetos & quadratos. Caeterlim positiones diuersis modi institui possunt. Nam primus quaesitorii in poni potest quilibet Nu- metorum numerus siue cubicus, siue non, dum secundus statuatur certus quadratorum numerus
300쪽
1. ita tamen ut ex primo in quadratos secundi fiat numerus cubus, ita si ponatur primus N. poneter secundus a QMI. fitque productus 8 C. AN. qui adscito prinio cubum iacit. Rcitat ergo ut idem
productus adscito secundo cubum faciat, facit autem S C. -- a Q. - 4 N. -i.Hoc crin cubo quatur, cuius latus fingetur a N. - i. di fiet IN. l. erunt ergo quaesiti nuuic Ii qui soluuiit quaestionem, nam eoruiti productus Vi utroque adscito cubos facit ' VS Verum a lucri e talent statuendum esse Numerorum numerum tro primo, ut sit maior vel aequalis nun .cro quadratoriani
qui ponitur in secundo, nam si ponatur minor, aequatio quidem rite pici ceciet, seci valoicin Numeri applicando positionibus, secundus inuenietur nihil , vel minor nihilo. Ita si ponas nimum a N. secundum - i. erit productus 8 C. 'a N. qui adscito primo cubum facit. Atii:em productus adstito secundo facit 8 C. - a N. - i. aequalem cubo a latere a N. - I. vir de fili N. . Quare secundus inuenitur nihil. At si ponas primum 8 N. secundum 8 i. siet tandem o C - 8 8 N. - I. aequalis cubo a latere N. - I. α fiet 1 N. x cruntque quaesiti numeri qui supra T
IN ve Ni R E duos numeros, ut productus eorum multiplicatione , utrolibet detracto faciat cubum. Vt prius ponatur primus 8 N. secundus autem i i. dc prodii tus eorum multiplicatione,
dempto primo si cubus ; sed idem produ- eius dempto secundo facit 8 C. --8 N.
I i. Hoc aequatur cubo , de estu impossibile. Statuo ergo rursus primum, numerorum cubicorum aliquot addita unitate, puta, 8 N. - i. secundum autem I Q. de producti is eorum multiplicatione depto seci do sit cubus; sed dempto primo fit 8 C. - i 8 N. I. Haec aequantur cubo a latere a Nini.& fit 1 N. li. Ad positiones. Erit primus secundus M.
E x et v s lacuuas malὸ eum repletiisset X ilander, non mirum est si Diophanti mentem mittimὰ assequutus est. Attamen satis apparet Diophantum primo voluisse imitati operationem praeeedentis quaestionis. Quemadmodum enun posuerat ibi primum 8 N. secundum i i ut producto 8Q-8 N. addendo primum fieret cubus. Ita hic ponere voluit primum 8 N. secundum i Q. I. ut a producto8C - - 8 N. detrahendo primum, cubus superesset. Verum ab eodem producto auferendo secundum relinquebatur 8 C. - - 8 N. -I Q. I. quod est impossibile eu aequari, nam is cubus non potest fingi nisi a latere a N. - i.ut tollantur cubi & unitates. inare hae aequatione tandem ii α - a N. remanent aequales nihilo. Idcirco ut hoc incommodum vitetur aliter instituendae suut sit ones, deprimus ponendus est8 N. - . secundus i Q. resque optime succedit. Caeteriim infinitis aliis modis institui possunt positiones, dum primus ponatur quilibet numerus Numerorum M. r. & secundus quilibet Quadratorum numerus, qui ductis in nu inerram Numerorum primi, cubum Aciat. Ita si ponas primum N. - I. secundum a . erit productus 8 C. --αQrici multatus secundo, cubum relinquit. At multatus primo, manet 8 C. -- 2χ - N. m. aequabiiiir cubo a latere a N. - I. & fiet I N. l. Erunt ergo quaesti numeri V & qui soluidit uastionem, nam prodi ictus fit Vnde auferendo ipsos numeros, remanent cubi Γ, N: 'I. sed illa etiam aduerte talem statuendum Numerorum numerum in ptimo, ut sit aequalis vel maior numero quadratorum qui ponitur pro secundo. Alioquin si ponatur minor, non poterit , prodiicto detrahi uterqtie numerus. Ita si ponas primum 8 N. - I. secundum 8 res bcne succedet, nam erit productus 6 Q- g olui multatus secundo cubum relinquit. at multatus primo, remanet 64ς - 'N i. ualis Obo latere N. - r.&st IN. sunt ergo quaesiti numeri qui su-C. -- 8 in