장음표시 사용
311쪽
ductiis ex Din ΑΒ. Et idon quadratus F fiet idem quadrariis C. Igitur E est quadratus ipsius AB. Quod demonstrandum erat. n Hac quaestio quoque ad quotlibet numeros extendetur, ut aliquot exemplis ostendere libet, tam hic ad propositiones libri quinti recurrere minimὰ coramur. Itaque.
Inueniantur duo numeri , ut summa quadratorum, laterum summa detracta conficiat datum numerum. Oportet autem dari numeri quadruplum auctum binario componi ex duobus quadratis.
Datus euo Igitur ad s. addendo duos mi adrantes unitatis, patet 64 diuidendum in duos quadratos, & utrique lateri addendo ἰ sent quaesitoriam quadratotum latera. ducantur omnia in ' fiet 26. diuidendus in duos quadratos. Diuiditur autem in as. & I. quorum latera & I. quorum lemii sis, puta & - sunt latera quadratorum ex quibus 5 omponitur. Addo ergo unicuique, defiunt latera quaesitorum quadratorum 3. &i. quae soluunt quaestionem, nam summa laterum est quadratorum Io. unde auferendo q. manet Rursus.
Inueniantur tres quadrati, quorum summa, laterum summa detracta datum conficiat numerum. Oportet autem dati numeri quadruplum auctum ternario componi ex tribus quadratis.
Datus esto 8. Igitur ad g addendo tres quadrantes unitatis, fiet 8 in diuidendus in tres quadratos, omnia per . fiet 31 . diuidendus in tres quadratos. Diuiditur autem in I. 9. 2 quorum latera I. 3. F. uorum semissis . . l. f. sunt latera quadratorum, ex quibus 8 . componitur. Quare unicuique adendo ζ fient quaesitorum latera quadratorum x. a. 3. Nam summa quadratorum fit i .utule auferendo G summam laterum, si pereu8. Rursus.
Inueniantur quinque quadrati, quorum summa, laterum summa detracta, datum
faciat numerum. Datus esto 3. Igitur ad 3. addendo quinque quadrantes unitatis set τ diuidendus in quinque quadratos omnia per q. fiet i . diuidendus in quinque quadratos. Diuiditur aut ' in &si duo ex illis in duos dividantur,totus.17. in quinque diuisus erit,dividatur ergo in quadratos: τ&K.&rursus s. diuidatur in duos quadratos do.& sic totus 1 . diuisus est in quinque qua - os, quorum latera a. n. l. -'. quorum semisses I. l. m. i. sunt latera quadratorum ex quibus componitur . unde singulis addendo P. sunt quaesitorum quadratorum latera et. l. . . &soluunt quaestionem. Item. Inueniantur quatuor quadrati, quorum summa, detracto sextuplo summae laterum, datum conficiat numerum. Datus esto . Quoniam, ut constat ex lemmate sepra tradito, omnis quadratus multatus sextisplo sui lateris,&adsumens s. quadratum facit, cuius latus adscito 3. exhibet prioris quadrati latus. Quatuor utique quadrati multati sextilplo laterum &adsumentes quater s. nimirum 36. iacient quatuor quadratos. recum quatuor quadrati multati sextuplo laterum faciant . patet addito 4. ad 6. fieri 'o. diuidendum in qu atuor quadratos, quorum lateribus si addatur 3. sigillatim , fient latera quae-Htorum quadratorum. Porro M. diuiditur in duos quadratos 36. & 4. quorum quilibet si diuidat ut rursus in duos, puta in & zi.& similiter 36. in . Iam toriis o. in quatuor quadratos diuisu erit, quorum latera ,. v. quibus addendo ligillatim ternarium, fiunt latera quH- eorum quadratorum V. H. v q. & soluunt quaestionem. Rursus. Inueniantur quinque quadrati, quorum summa, detracto sextii plo summae laterum, datum faciat numerum. Datus esto Io. Igitur ad Io. addendo quintuplum novenarii, nimirum s. fiet, diuidendus in quinque quadratos , N eu iussitat lateti addendo 3. fient quas corum quadratorum latera. Diuiditur autem ys. in quatum quadratos I. r. q. 9. Quare unus illorum puta l. rursus in duos diuidatur, nimirum in si sic totus v. in quinque quadrato, diuisus erit , quorum laterat .. I. a. 7. quibus addendo sigillatim 3. fient latera quaestorum quadratotum 'i'. V. S soluunt quae-
ο inici, di πάγωνον. ἔ- P . --octi m . . e πο A MU αὐῖVN i r A τ ε M diuidere in duos numeros , utrique addere datum numerum, & productum eorum multiplicatione facere quadratum. Esto diuidenda unitas in diuos numeros, & OPorteat
312쪽
alteri addere 3. alteri s. & productum eorum multiplicatione facere quadratum. Ponatur primus I N. ergo secundus eriti - i N. & si primo addantur 3. fit IN. - 3. At si secundo addantur .fits - IN.&productus eorum multiplicatione est 3N. 18. - I aequalis quadrato. Esto quadrato Communis addatur dese- eius , fiunt 3 N. - - Ι 8. aequales 3 Nnon est rationalis aequatio. Atqui 3
est quadratus numerus unitate auctus. Oportet itaque hunc ductum in unitates 18. & adsit mentem quadratum semissis 3 N. nimirum 2 z. sacere quadratum. Eo igitur nunc redactus sum, ut quaeram quadratum qui adiumeta unitate, & per i8. multiplicatus, adscitisque et i faciat quadratum. Esto quadratus ille I Q. Hic unitate auctus & ductus in 18. adscitisque ast 18 ao ἰ aequalti quadrato. Omnia quater, fiunt ra - 8s. aequalia
quadrato. Formo quadratum a 8 N. - 9.& fit 1 N. 18. Ad positiones. Erit quadrarus 31 . Redeo ad propositum initio, &3N.-i8 -r in aequo quadrato iam inuento. 3r fit i N. ili hoc est 4- Ad
HI si Diophantus in solutione lemmati, assumpti ad regulas compositas deuoluitur. Sed subtili sane artiticio cauet, ne incidat in numeros sui dos , euius desectu cautionis non arbitratus sum ad huiusinodi regulas deueniendum esse vigesima tertia quaestione libri huius. Quamuis enim in proposito ibi exemplo res bene succedat, αλlutio contingat rationalis, atramen non cndlxauthor quomodo id necessario eueniat si aliquo modo mutetur operatio, quod in quaeuione eleganter praestitit. Caeterum quid fibi velit Diophantus, non satis adsequutus est Xilander. I 'utat enim eo quod F Q. aequantur 3 N. - . Ix aequationem reducendam esse ad I diuidendo omnia per svnde hii equalis L N- P. Quamobrem cum Diophantus ait quadratum icti tuis de 3 N. addendum producto ex s. in 18. eenset Xilander sumi debere semissem non de limpliciter, sed de l. & eius quadratum esse non Σ simpliciter, sed a. - de ' quae interpretatio nimis coacta est,& ὶ mente Diophinti prorsus aliena. Tenelatas autem e lit Xilandro, ignorantia melliodi qua re gulas eompositas resoluit Diophantus, quam ad trigesimam tertiam primi explicauimias. Nam ad vitandas fractiones, rato Diophantus aequationem reducit ad i Sed ducto numero quadiatorum in numerum unitatum, addit producto quadratum semissis ianitieti Numerorum, & retuli a perficit, ut loco citato docuimus. Hine est eur velit s. numerum quadratorum duci in unitates 18.&producto m. addi a. quadratum semissis numeri numerorum 3. Quoniam vero, ut solutio rationalis sit oportet hac additione fieri quadratum, apparet necessitas lemmatis assi impii. Cum enim numerus quadrato aeqxiandus sit 3 N. - Ι 8 - I Q patet quaerendum esse quadratum, qui unitate auctus & petimulaiplicatus, itaque adsumonsa - . faciat quadratum. In huius quoque lemmatis explicatione insgnis oecurrit dissicultas, cuius tamen ne verbi mi quidem Xdando. Cum enim tandem D. Q -- 8i. aeqitandus sit quadrato, euidens est quadrati latus commodῆ fingi non posse, nisi vel quadratorum vel unitatum numerus, quadratus iit. Ostendendum ergo est necessario euenire ut unit3tum numerus, qualis est illa M. quadratus sit alioquin easu, non arte certa res succedere videbitur. Atqui 81. est quadruplum ipsius . l. Quare ut 8s. quadratus
sit oportuit prius is i quadratum esse. Porro ro fit ad 18. addendo a Videndum igitur unde pt
313쪽
uenerint G.&2 . factus est autem 18.ex3. ino.&a . est quadratus semissis de 3 N. riunt autem; N. addendo simul - 6 N. de - 3 N. in multiplicatione I N. - 3. per ι - 1 N. aret cui nobsignotum contrarietatem additio in subtractionem mutetur, patet 3 N. tandem seriau serendo; N. a GN. Quamobrem 13. est productus ex 3. in o. At a lest quadratus semissis interualli eorundem 3. & Constat autem producto multiplicationis duorum numerorum addendo quadratum imitiis interualli eortindem, fieri quadratum semissis summae ipsorunt. Quare patet propositum; sic vides .eto seu V quadratum semissis duorum 3. & 6. se ii ipsius Rursus m fingendo latere quadrati 7 a QE - - 8I. magna cautio adhibenda est, quod non vidit Xilander, nee attigit iple Diophantus. Etenim si ad hane aequationem solum respicias, sui scit si ponas hoc latus 9 - tot Numeris, quorum quadratus sit minor vim D. Sed si ponas hoc latus 9 - - 6N. vel 9. - - aliquo numero Numerorum minore quam 6. netvator Nuincti qui prioribus positi nibus nullatenus accommodari poterit, cum enim eius quadratus aequabitur 3 N. - i8 -i iet I. N. maior unitate, quod est absurdum, cum I N. ponatur pars unitatis. Hoc igitur incommodii in vivitemus. sieratiocinandum est. inii a 3N. - Ι 8 I ic quadrato aequandus est, visu I N. ni notunitate, in hac autem aequatioue debent tandem 3 N. -- i aequari cuidam quadratorum numero: at si I N. ponatur aequalis unitati, utique 3 N. - - I8. aequabuntur at in Quo vero minor ponetur valor Numeri, eo maiori numeri quadratorum aequabuntur 3 N. -- 18. manifestu est ut fiat i N. minor viii tate Oportere ut 3 N. - is. aequentur numero quadratorum maiori quina 2 l. Porro numerus iste quo dratoria fit ex quo iam quadrato unitate aucto, quare sublata unitate dear. conseqtiens est quadratum
cui aequari debet 3 N. -- ιη - I in maiorem esse quam zo.Cum ergo latus proximum ipsius 2o. sit naani testu est, latus qua irati a - - 8. ita ponendu esse ut fiat valor Numeri maior quam infit au- tem in hac aequatione valor Numeri auferendo a 72. quendam quadratum. N per residuuin diuidendo prodiicium ex i8. in latus eiusdem quadrati. Igitur maior esse debet quam 4 -. & tandem re ad integros redam i8 N. maiores sunt quam 32 addito desectu, atque etiam Diri parat abolismo, quia commodύ potest fieri, tandem a. maior esse debet quiuia 4 N. - i Q. Q ra aequaticine resoluta cum fiat i N. 6 sere patet latus fictilium ponendum 9 - tot numeris, qui ex cedant f sic Diophantus posuit 9 -- 8 N. Poni quoque poterat 9 -- 7 N. vel 9 -- aliquot Numeris , qui excedam 62. & quorum quadratus sit minor quam 72. Eodem prorsus artificio quaestio haec ad omnem numerum extendetur. Quod ut exemplo comprobemus. Esto a. diuidendus in duas rartes, ut primae addendo 3. secundas. & summas inter se multiplicando, fiat quadratus. Esto prima pars i N. ergo secunda a - I N. & s prima addatur 3 secun dae s. fiunt I N. 3. & 7 - I N. N productus eorum multiplicatione est N. -- 2I - I Q aequandus quadrato, videlicet alicui quadratorum Numero quadrato, qui talis sumendus est, vi auctus unitate,& multiplicatus inai. itaque adstimens q. faciat quadratum. Ponatur is i in Iptur zi- et s. quadrato aequandus est. Secs curandum ut talis hic proiieniat valor Numeri, ut applicatus priori aequationi, nat in ea i N. minor quam a. quia I N. ponitur esse pars binar ij. Cum ergo aequando N. -- 2I - I alicui quadrato, tandem N. 2 i. aequentur aliquot quadratis , si autem I. N. ponatur a. fiant N. - i. aequales 7ἰ patet visat i N. minor quam 2. Nortere N. at. aequari quadratorum numero maiori quam 7 . Et quia ille quadratorum numerus est quadratus unitate auctus, auferendo unitatem de T. sequitur quadratum qui aequalis ponetur N. - 2i-- I
maiorem esse debere qu&m 6 l. atque ideo latus eius maius esse oportet quis,h iam obtemnumeri 2i -- as. latus ita fingendum est,ut fiat i N. maior quam J. vii autem I N. auferendo quadratum quendam de ai. N per residuum diuidendo decuplum late is illius. mare maior esse debet quam qua aequatione tit Epr parata, tandem si unt ε N. I Q maiores quM at. Unde e stati N. excedere debere 3. Ponatur igitur latus fictitium 3 - N. fiet is adratus 2s- - sso N. is inaequalis at -- 21. N fieti N. 8. quadratus' . Redeo ad propositum initio, de N. - - 2:- i in aequo quadrato Q. & fit 1 N. I . Prima pars binarii. Secunda vero est quae soli iunt quaestionem nam primae addendo 3. secundae s. fiunt & VP quorum mutuo ductu fit V. 'quadratus a latere P; .
VN i r λ τ ε u diuidere in duos numeros, addere utrique datum
numerum , Δ productum eo riam multiplicatione facere quadratum. Sit unitas diuidenda in duos numeros, M oporteat alteri addere a. alteri s. &ita facere quadratum productiam multiplicationis e rinia
314쪽
rum. Ponatur primus I N. -3. quando quidem 3. debet illi addi , relinquetur ergo secundus i N. & si primo addantur; siti N. si autem secundo addantur s. fit ' - i N. & st eorum multiplic tione 9 N. - i aequalis quadrato. Esto quadrato fit 1 N. si ad positiones hoc applicare coner, non possum auferre 3 de i N. Oportet igitur numerum maiorem quidem esse quam 3. minorem vero quani . Atqui i N. factus est diuiso'. per 3. Ipie alitem s. est quadratus unitate auctus. Iam si ρ. diuisus per quadratualiquem unitate auctum facit numerum maiorem quam 3. oportet eum per quem dii iiditur minore esse quam 3. sed his per quem '. diuiditi irest quadratus unitate auctus. Ergo quadratus unitate auctus minor est quam 3. Auseratur unitas. Igitur quadratus minor est quam r. Rursus quia volumus secundum diuisum per quadratuvnitate auctum, facere numerum mino rem quam ψ. oportet eum per quem diuiditur maiorem esse qtiam et z. Is autemper quem q. diuidit tir est quadratus unitate auctus , proinde quadratus unitate auctus maior est quam di . . Austratur unitas. Ergo quadratus maior est quam I . Sed iam ostensiis est minor quam 2. Eo itaque res deducitur , ut inueniam aliquem quadratum maiorem quam x minorem quam a. Beseluo haec in partes quadratas, nempE in sexagesimas quartas , & sunt 8o. 5 18. Facilὰ ergo inuenietur quadratus seu J . Revertor ad id
quod initio erat propositum. Quaerebam 9 N. - I aequare quadrato. cito inuento
quadrato a L&iiii N. Ad positiones. Erit primus P. secundus IN AEST IONEM XXX IGFADEM est quaestio Laee eum praecedente, sed diuersia operatio, qua videtur Diophantus rem absoluere voluisse absque auxilio regularum compiaitarum. Nam ita suas instituit positiones, ut tandem sat 9 N. - 1 quadrato aeqitandus , quod fit per simplicem aequationem qua quadrati Numeris aequales sint, & nt valor Numeri diuidendo ν. per aliquem quadratum unitate auctum. Quoniam vero altera pars unitatis rosita est I N. - 3. altera - I N. debere esse maiorem quam . Igitur quaerendus est quadratus qui unitate auitas , de diuidens s. det quotientem minorem quam 3. maiorem quam . Quare cum diuidendo 9. tum per a. tum per q. fiant 3.& a. ' patet quadratum unitate auctum consistere debere inter 3.& 2 ac proinde auferendo vitiinque unitatem, quaerendus erit quadratus minor quain a. maior quam I l. Tales infiniti reperientur reducendo a. & xἰ ad fractiones quadratas ab eodem aliquo quadrato maiore denominatas, ut secit Diophameus qui reduxit ad sexagesimas quartas. Caeterum&hane operationem cuilibet numero applicabimus, quod iam antὸ nos praestitit victa nosterreteticon. lib. s. Sit diuidendus 3. in duas paries, ut alteri addendo 6. alteri tr. & summas in- Aa
315쪽
ter multiplicando , fiat quadratus. Ponatur pars altera I N. 6. altera erso erit s. -- IN&primae addendo 6. secundae ix fiunt I N. Nai. - I N.quorum mutuo ductu producitur 2I N. I Q quandus quadrato. Sed ex ipsis positionibus apparet quaerendum esse quadratum qui unitate auctus de diuidens ai. det quotientem maiorem quam O. minorem quam p. Itaque cum 23. diutius tuni per Glum per p. det quotientes 3 γ& a Quadratus unitate aucius sumendus erit inter 3 dia . de lata Vnitate quaerendus quadratus minor quam a P. maior quam IJ. Reducatur uterque ad trigesinias sextas, fient inter quos sumi possunt quadrati Proposito satisficientes si sumas ultimum seu raequabis ai N. -i Q unde fiet i N.6Sunt ergo quaestae partes ternarii & quae soluunt quaestionem, nam primae addendo 6. secundae ia. fiunt 2 & et: quorum mutuo ductu fit 'EI: quadratus , latere Sed & aliam anabsim hule soluendae quaestioni exeo rauimus, Diophantaea utraque non deteri rem, atque etiam tacit orem . sit a. numerus diuidendus, & addendi 3. &o patet ergo summarumasgregatum scire io. Quare res eo deducitur ut Io. diuidatur in duos planos similes, quorum alterruperest 3. alter excedat Sie enim ab altero auserendo 3. ab alteros. remanebunt quaesitae bina-rij partes. Porro io. diuidetur in duos huiusmodi planos similes hac aute. Sumpto minore addend rum 3. comparo illum eum residuo de io. puta eum 7. &'u roduos quadratos, quorum sit minotratio quis 3. ad r. quales sunt dem vel si deis. de alij inliniti. Diuidatur ergo IO. in duos numeros in ratione 4. ad 9. Inuenient ut hi per Canonem secundae primi Quare si ab altero detraxero 3. ab alteros remanebunt quaesitae binarii partes δε & et .stutias si diuiset O IO. in duos numeros se uantes rationem s. ad 16. erunt hi P & , primo auferendo a secundo s. remanent quaesitae
binarii partes 'Eadem arte licebit de sequentes quaestiones soluere. S.AESTIO PRIMA. Datum numerum in duas partes secare, ut ab utraque auferendo datum numerum, ex residuorum mutuo ductit, fiat quadratus. Oportet autem numerum diuidendum maiorem esse semina detrahendorum numerorum.
Diuidendus sit ita in duas partes, ut altera auferendo 3. ab alteras. ex residuorum mutuo ductu, quadratus fiat. Ponat ut altera i N. - 3. altera ergo erit s. - I N. & prima auferendo 3. a secunda . remanent I N. & 4 - i N. quorum mutuo ductu fit N -I Q aequandus quadrato. isto cuilibet quadratorum numero quadrato , pura 9 in fiet i N.: Sunt ergo partes quaesitae 3 8 l. di solutine quaestionein. Aliter. Quoniam summa detrahendorum est 2 qua ablata de ia. sudet est . oportet diuidere q. in duos quoscunque planos similes, sic enim alteri addendo I. alteri y. nent quasitae partes numeri ia.
QUOESTIO SECUNDA. Datum numerum secare in duas partes, ut utramque auserendo a dato numero, ex residuor in mutuo ductu fiat quadratus. oportet autem numerita diuidendum minorem esse summa numerorum, a quibus partes detrahendae sunt.
Diuidendus sit . in duas putes, ut alteram auferendo 1 3. alteram 1 s. ex resduorrum mutuo ductu fiati quadratus. Ponatiar altera 3 -I N. altera ergo erit t. -- I N. & primam auferendo 1 3. s cundam a s. remanent I N. de 4 -I N. quorum mutuo ductu fit 4 N. - aequandus quadrato, qui sic ponendus est, ut unitate ait his & diuidens det quotientem minorem quam 3. quia scilicet altera pars posita est 3 - 1 N. At diuidendo per 3. se l. patet ergo quadratum unitate auctum, debere esse maiorem quam : & ablata unitate, quadratus debet esse maior quis l. sit is se Q. fiet 1 N. VSunt ergo quaesitae ipartes a : & ij. & soluunt quaestionem.
Datum numerum secare in duas partes, ut alteri addendo datum numerum, ab altera datum etiam numerum detrahendo, ex mutuo ductu summae & residui, fiatqoadratus. Oportet autem numerum diuidendum maiorem esse detrahendo.
Sit diuidendus L in duas partes, ut alteri addendo 3. ab altera detrahendos. ex summa in residuum fiat quadratu . Ponatur altera pars I N. -3. ergo altera erit Ii-I N. N prim, addendo 3. a secunda auferendos. fiunt I N.&6 -I N. Ru rum mutuo ductu fit 6 N. - i aequandus quadrato, qisi sic ponendus est ut unitate auMs & diuidens s. det quotientem maiorem quana 3. inare eum diuiden-M. o. per 3. fiat a. patet quadratum unitate auctum de re esse minorem quam 2. α detracti unitate,
316쪽
sumendus erit quadratus minor quain I. Ponatur e tet IN. I. simi ergo quaesitae partes ἰ &
Datum numerum secare in duas partes, ut alteri addendo datum numetum, alteram detrahendo a dato numero , ex summa in residuum fiat quadratus.
Hie duplex casus datur, quia numerus a quo fit detractio nune minor, nune maior esse potest ni inero diuidendo. Primum ergo sit 8. secandus in duas partes, ut priui addendo 3. secundam auia- tendo fiat quod postulatur. esto secunda y- 1 N. ergo prima erit 3 -- i N.& secundam auferen do a& addendo 3. primae sunt a N. N 6 - I N. quorum mutuo ductu fit 6 N. -- I inaequandus quadrato. qui sic ponendus est, ut multatus unitate&diuidens 6. det quotiemein minorem quam . Quare cum diuiso 6. per s. fiat f. patet quadratum unitate multatum, debere esse maiorem quiside addita unitate, sumendus est quadratus maior quam I. esto fiet 1 N. Sunt ergo quaesitae partes prima V secunda . Deinde si X. seeandus in duas partes, ut mimae addendo 3. secundam auferendo a in. s at quod petitur. Ponatur secunda χο - I N. ergo prima est i N. - ia. & secundam auserendo a zo. addendo primae, fiunt i N. N I N. - quorum mutuo ductu fit I Q 9. N. aequandus quadrato , qui talis ponendus est ut detracto eo ab unitate, de per residuum diuidendo v. fiat quotiens minor quam zo. maior qu in ira. Cum itaque diuidendo p. tum per zo. tum per ra. fiant ri dc utriunque auserendo ab unitate, relinquantur εc patet sumendum esse quadratum maiorem quam minorem quam E. sumatur, miet ergo i N. V dc erunt qua sitae partes. Prima secunda
DA x v xi numerum diuidere in tres numeros, ut qui fit primo in secundum ducto , siue addito tertio, siue detracto quadratum faciat. Esto datus s. Ponatur tertius I N. secundus unitatum aliquot quae sint minus quam f. puta a. Primus ergo erit I N. Restant duo postulata, nimirum ut productus ex primo in secundum , tertio siue addito siue detracto faciat quadratum. Et occurrit duplicata aeqitalitas,nam 3 - I N.aequantur quadrato, & 8 -3N. aequantur quadrato. Expediri autem non potest , quia numeri inter se non habent rationem quam habet quadratus ad quadratum. Sed i N. unitate minor est quam 2. & 3 N. unitate maior eodem a. Eo itaque res deducta est, ut imi eniam numerum aliquem loco ipsius a. ut qui eo unitate maior est ad eum qui unitate minor est eodem, rationem habeat quam habet quadratus ad quadratum. Esto quaesitus I N. erit ergo unitate maior I N. - . r. At unitate minor iΝ - I. Volumus igitur hos inter se rationem habere quam habet quadratus ad quadratum, iit ut 4. ad i. Itaque c aducto in IN.-I. fiat N.- . & ductor. in I N. - I. fiat i N. -- r. vi habeant expositi numeri rationem quam habet quadratus ad quadratum.erunt. 4 N. - 4.
317쪽
Ira faciliusfiet veratis, datus numeras s. utcunque diuidatur v. s. in s. es r. productus dempta unitate hoe es per ε. datum numerum diuidatur, eueniet I em s tum aue. tam ab I abstuleris duo residua π erunt dua priores partes numeri diuidendi s. igitur erit PIN IN AESTION EM XXXV.
OVi o hie praestiterim in Diophanto restituendo coniicere est ex versione Xilandri , cum ine dicem emendatiorem non inciderim, sed textus lacunas replere, de passim deprauata emendare certissimis coniecturis eoactus sim ; ubi legebatur ipso initio s O . Urim μ' ω, τρ t restitui vi in Q ς. ut sit sensus, Ponendum secundum aliquot unitatum super quas sit 5. idest quae sint minus quam ct quod necesse est ut pars inueniatur minor toto. uerum emendato textu satis perspicua est operatio Diophanti; utitur duplicata aequalitate eo modo quem explicauimus ad decimam octauam tertii, & nihil amplius h e addendum , nisi quod limitationes quaedam attendendae sunt, quibus neglectis in absurdum aliquod incidamus necesse eae Primum ergo cum quaeritur numerus qui unitate auctus ad seipsum unitate multatum rationem I, beat quadrati ad quadratum, unde colligitur I N. - - I. ad I N. - r. debere esse in ratione quadrati ad quadratum , non temerὰ sumendi sunt duo quadrati quibus tropositi numeri proportionales sint. Etenim IN. debet esse secundus Numerus quaestorum , ae proinde pars totius numeri diuidendi G& per consequens minor quam s. amobrem tales duo quadrati actigendi sunt quorum summa, ad ipsorum interuallum minorem rationem habeat qxitin s ad I. Alioquin I N. maior inuenietur quam s. ut si esse ponatur IN. -- r. adi N. - I. sicut '. ad 36. fiet enim per decimam nonam se timi-N. - 3σ. N. - 36. aequalis 40. N. - '. de tandem a N. fiet 6. Q est absurdum. Deinde in duplicata aequalitate resoluenda eum quaeruntur duo numeri, quorum mutuo ducta fiat i s. hi tiles sumendi sunt ut quadratus semissis summae eorum sit minor quam 26o. vel ut quadriiux semissis interualli eorundem sit minor quam Θ. quia scilicet numeri quadrato aequandi sunt aso a N.&6ς-24. N. Quare cum latus proximum de 6s. sit 8. Oportet interuallum eorum non meedere is. Idcirco sumi non potuerunt i M. dc I. nesue 39. dc s. neque ulli integri praeter Is α Ia. quos sumpsit Diophantus, sed per fractiones infinitis modis res expediri poterat.
aequales I N. - . i. & fit x N. l. Pono igitur secundum nam tertius est i N. ergo primus erit I - i N. Restat ut postulata perficiantur, videlicet ut productus ex primo in secundum siue adscito tertio, siue dempto iaciat quadratum. Sed pro ductus ex primo in secundum adscito tertio facit 3-ἰ N. lioc ergo aequatur quadrato , & idem productus dempto tertio facit P - : N. hoc etiam aequatur quadrato. Oinuata novies, fiunt sue - 6 N. aequalia quadrato. &63 - 2 N. aequalia
quadrato. Exaequo numeros aequationis
unius, multiplicans per . & est et fo - et N.aequalis quadrato, itemqxie σ3 - 2 N.
aequatur quadrato.Horrem nunc interuablum sumo quod est i s. & expono duos
numeros, quorum mutuo ductu sat lys.
ij sunt i s. de i3. Horum interualli semissis in se aequatur minori, & fit i N. Ad postiones. erit primus , secundus i. tertius . & demonstratio est euidens.
318쪽
IN v ε Ni 1 a duos numeros, ut si alter ab altero eandem partem sue easdem partes acceperit, ratio ad reliquum sit ea quae poscitiar. Iubeatur ut primuS accipiens secundi partem aliquam vel partes, si ad residuum triplus. At secundus sumens a primo eandem partem, vel easdem partes , si residui quincuplus. Ponatur secundus I N- 1. Pars autem vel partes eius esto t. Primus igitur erit 3 N I. sic enim primus sumens a secundo partem aliquam vel partes, nimirum I. fit residui triplus. Volumus itaque & secundum sumentem primi eandem parten vel easdem partes, residui quincuplum csse.
Sed quoniam ambo simul faciunt & secundus aliquid accipit, primusque id dat , & summa residui fit quincupla
Caeterum summa eadem cum residuo iuncta facit N. residuum utique habebitur si sumamus sextantem de N. nem-e : N. si ergo a 3 N. - i. tollamus ἰ N. abebimus primi partem vel partes. Si autem tollamus,relinquitur i N. I. Hoc ergo pars est vel partes primi. Nam secundus accipiens a primo I N. - i. sit quincuplus ad residuum ex primo.Superest hic ut quaeramus an quae pars Vel partes est l. de i N- - i. eadem pars, vel eaedem partes si I N - I. de 3 N. - i. Cum autem tale aliquid quaeris productum ex IN. - I. in I N. - I. aequale est produ-OOex3N. - i. ini. hoc est partes alternatim multiplicantur, & fiunt adi. - I. aequalia 3 N. - i.&fit i N. l. Ad positiones. Erit primus 7. secundus r. Erat autem i. partes secundi, videamus ergo quae partes secundi sit r. Est utique L. Multiplico per . duos numeros; erit Primus 8. secundus tr. Partes autem . Et quia primus non habet duodecimam, multiplico per a. utrilinque, ne incidamus in diuisionem unitatis, & fit primus di . secundus 36. Partes autem seu A illius quidem l . Huius vero zi. de demonstratio manifesta.
319쪽
INons Ios A operatione quaestionem hane soluit Diophantns. Sed emaculato textii , ut secimus, omnia sunt perspicua. Caeterum placet & aliam tradere analysim paulo compendiosiorem. Pon tur quaesitorum numerorum sutia maciuotlibet unitatum, puta Ia.& sit primus i N. secundus Q - i N. Cum ergo primus sumpta parte secundi fiat triplus ad reliquum, si ia. diuidatur in partes seseuantesproportionem triplam , per secundam primi nempe in s. & patet primum sumpta parte secundi fore Quare inde detrahendo primum, fiet pars secundi 9-i N. similiter diuisora. in partes seria antes rationem quincuplam, puta in Io. Se a. Patet secundum sumpta parte primi, iate io..are fient quaesiti numeri a . & 36. ii deni quos reperit Diophantus. Supponimus enim eum Diophanto inuentis semel duobus numeris quaestionem soluentibus, idem euenire duobus aliis quibuscunque sumptis in eadem ratione. Qeod facile est demonstrare, quia de partibus proportionalibus agitur intinetorum proportionaliurii, ut tibi considerandum relinquo.
IN VzNi η a duos numeros indefinitὸ, ut productus ex ipserum multiplicatione cum utriusque summa datum faciat numerum. Faciat autem 8. Ponatur primus i N. secundus 3. & productus eorum multiplicatione cum summa utriusque fit N. 3. Haec aequantur 8. & sit i N. . Ad pontiones. Erit primus r. secumdus 3. Nunc considero unde 1 N. sit factus nimirum ex diuisione s. per q- sed ue. est excessiis quo 8. superat 3. Et ipse a. est secundus unitate auctus. Si ergoatuam secundum numerorum quotlibet. Et auferam eum de 8. & reliduum diuidam per secundum unitate auctum, habebo primum. Verbi gratia sit secundus IN. - i. haec auserode 8. restant; i N. Haec diuido per secundum unitate auctum, id est heri N. & fit primus, P. Et sie indefinite Gluta est quaestio, nam productus ex eorum multiplicatione, cum utriusque summa facit 8. Indefiniti autem Glui dicitur, quia quotcunque unitatum ponatur I N. satisfaciet postulatis.1 v RVAESTIONEM X X X VI L. . QVinsit indesinitd quaestionem solnere, iam alibi docuit Diophantus,& lite rursus explicat.
Id enim sit elim ita institiiuntur positiones, ut quilibet numerus sumi possit pro valore Numeri Quod tamen cautὸ accipiendum est. Etenim tam contingit non omnem omnino numerum sumi posse pro valore Numeri, sed omnem qui eadat intra certos limites . Vt in hypothesi Diophanti, clim. alter quaesitorum sit i N. - I. alter ij patet IN. maiorem esse debere quesn I. minorem quam Quod si pon*s alterum qiissitorum I. N. erit alter unde patet pro valore Nu isti sumi posse
320쪽
ma libet nunierum minorem quis RPorro se huiusmodi terminis intra quos sumi debet vivit Numeri, plura dicemus init, ad quadragesimam primam.
IN v K Ni an tres numeros , Ut qui fiunt ex binorum mutuo ductu, adscita eorundem summa, iaciant datos numeros. Oportet autem datos esse quadratos unitate multatos. Imperatum ci ut productus ex primo in secundum adlinito utroque faciat 8. Productus ex secundo in tertium cum utroque faciat lue. Denique productus ex primo in tertium cum utroque faciat et . Quoniam igitur volo productum ex primo in secundum cum utroque sacere 8. si posuero secundum quemlibet, & eum de 8. detraxero, &rinduunt diuisero per unitate maiorem secundo, habebo primum. Ponatur secundus iN - i. dc si eum abstuleto de 8. de residuitum diuisero per unitate maiorem secundo, erit utique primus ει- I. Rursus simili ratione , quandoquidem volo productum ex secundo in tertium cum utroque sacere is. Ab his aufero I N. - I. de reliduum diuido per unitate maiorem secundo, hoc est per i N. siund 'A- - I. tantus est tertius. Superest ut productus ex primo in tertium cum utroque faciata facit autem Haec aequantur 24.& siti N. Ad positiones. Erit primus secundus I. tertius V. & omnia ad eundem denominatorem, fit primus . . secundus tertius 'E.
CV R his requirat Diophantus datos numeros esse qliadratos unitate multatos, ratio est euidetis; Cum mi verbi eratis 2 inaequentur I . ut solutio esset rationalis, Oportuit diuidendo unitates per quadratos, qLientem fieri quadratum, fit autem as. addita unitate ad 2 vitum datorum
'umidi L. Similiter i 4. fit ex mutuo ductu 9. de is. qui fiunt addita unitate ad datos nun tas.&rs. unde sequitur ipsum esse quadratum, cum m Mur. QxiamCem quadrato 1 4. per quadratum 21. diuiso , produci quadratum necesse est , de 344. & 21. quadratos fuisse , sed sussciebat ut essent quadrat Tm similles , elimi etsi nilmetam siue multiplicatione, sue distisione mutua semper procrearitur praescribi debuit haee conditio. iatorum minoorum ainam in 1 m ex bininim ninlii beatione, ad res ouum habere μι-em quadrati ad quadratum. Verulgratia. Summa primi & secundi adscito plano sub ipsis eontento esto ii. orimi la Hic nullus datorum numerorum est quadratus unitate multatus. Attame pPrimi 4 V si uitionem. Nam ponatur secundus di 'olimi ta Hie nullus datorum numerorum eii quacra us V, i M -
2 st ou aio: ob eonditionis , nobis allia obseruationem. Nam ponatui secundus I N. - L
tu, rei iii, Vera ductoque primo in tertium, dc summa illorum producto