장음표시 사용
321쪽
acidita fiet aequalis r . di tandein 1 o. aequanturis Q Udest I N. q. sunt ergo quaesiti numeri 2.3. . Itaque vides addita unitate ad datos numeros II. N I9. seri IN & M. ex quorum mutuo ductu producitur 2 . qui ad reliquum unitate audium, nempe ad is. habet rationem quadrati ad quadratum. Hinc facile est Onynein formare. Datis numeris aurium te sigit aram, productum ex binorum mi miltiplicatioris Litidetre
reliquu- , quot sent/ι Litus , erit unus quaesitorum unitate metus.
Quod autem ait XAander duobus rimis ut eoi libuisset per praecedentem quaestionem postis, pura I& 7. lieuisse tertiit in inuenite& satissaeere quaestioni, fusum est ri ex hac ipsa hypothesi sotis colligere. Nam duobus primis ira positis, impossibile est tertium inueniri qui reliquas postulati partes impleat.
IN VENi R a duos numeros indesinite, ut productus eorum multiplicatione multatus suriama ipsbrum, faciat datum numerum. Hic esto 8. Ponatur primus i N. secundus 3. & productus eorum multiplicatione , utroque dempto facit a x,-3. aequales 8.&fit i N. s. Ad positi nes. Erit primus 3 - secundus a. Rursum igitur dispicio unde factum sit quod i N. est ue P. nimirum ex diuisioue ii . per a. sedit. est compositus ex dato & secundo, &a N. est numerus unitate minor secundo. Itaque si statuero secundum quantumcunque, eumque dato adiecero, & silii mam diuisero per unitate minorem secundo, inueniam primum. Esto secundus a N. - . huic addito fit 1 N q. quem diuido per unitate minorem se cundo, hoc est per I N. & fit 1 - H. Itaque soluta est quaestio indefinite ; nam productus eorum multiplicatione, an inrum suinina detracta, facit 8. IN EI AEsTION EM XXXIX.
HIc soluitur indefinitὸ quaestio, ita ut nullus omnino numerus excludatur a valore Numet LQuod euenit quia in rofitionibus nulli bi repetitur signum desectus, ut ex dicendis ad O dragesimam primam clarius patebit.
IN vs N in a tres numeros, ut producti ex binorum mutua multiplicatione detracta amborum summa faciant datos numeros. Oportet autem datos esse quadratos unitate multatos. Statutum sit productum ex primo in secundum utroque detracto facere 8. Productum ex secundo in tertium utroque dempto facere 13. dc producti ina ex primo in tertium, Vtroque ablato sacere et . Qitia volo productum
322쪽
ex primo in secundum detracto utroque iacete 8. si secundum statuem quantumcunque, &eum adiecero ad 8. & summam diuisero per unitate minorem secundo , habebo primum iuxta lemma iam expositum. Esto secundus I N. -- I.
addo inii 8. fit i N -- 9. diuido hoc per
unitate minorem secundo, hoc est per i N. fit I - 'L. Tantus est primus. Simili ratione inuenietur tertius I -- s. Ita dii bus postulatis est satisfactum. Superest ut productus ex primo in tertium utroque dempto faciat et . facit autem '. c - I.
hoc aequatur et . & fit 1 N. 't. Ad positi nes. Erit primus i . secundus Tertius:: Quos si velis idem habere nomen, omnia ad sexagesimas. Erit primus P. secundus tertius
HIc quoque conditio nimis strictὸ protinnitur a Diophanto, de proponenda est omnino ut ad trigesimam octivam dictum est. Etenim summa pruni de seeundi detracta a plano sub ipsi, fiat
M. Geundi & tertii im ter iij & primi I . Quamuis nullus datorum num rum sit quadratus unitate multatus, tamen quia cuilibet addendo unitatem, productus ex binorum mutua multiplicatione ad reliquum est in ratione quadrati ad quadratum . optimε soluetur quaestio. Esto enim secundus 1 N. -- I. erit ergo primus I -- Ei. At tertius I -- . . ita satisfit duobus postulatis. Superest ut productus ex primo in tertium, utroque dempto faciat I . facit autem M. - I. hoc ergo aequatur M. & fit a N. Quare quaesiti numeri sunt . s. 6. Hine etiam elicietur iste Canon. Datis semeris . Me sigiliatim unitatem, tradu rumpis ex binorum n- multiplicatione Δ- uidererrati et Uri, quotientis Drus, erit unus quasitorum unitate mul M.
IN vs Ni ηε duos numeros indefinitd,
ut productus eorum multipl icatione ad summam eorundem datam habeat rationem. Esto productus fiammae triplus. Ponatur primus IN. secundus, . & est productus eorum multiplicatione. 3 N. hunc volumus triplum este ad IN. Quamobrem 3 N. - I s. aequantur ue N. & fitae N Ad postiones. Erit primus 7 .
secundus s. Considero hic unde IN. factus sit 7 . nimirum ex diuisione is per a. At 13. est multiplex secundi secundum datam rationem. At a. est excessus quo secundus superat denominatorem rationis. Ergo si secundum statuamus quantumcunque, & multiplicemus eum per denominatorem rationis, & productum diuidamus per excessum quo secundus seeptat denominatorem ratio-ET P E I N αριθμους αο - δυο. σπως ο
323쪽
e-M: Mu,' nis , habebimus primum. Esto secundus f τῶ λον, i, 1 N. Hic in denominatorem rationis, ta-
P mirum per I N - 3. fit primus i . IN RUAESTIONEM XLI.
QU A M v I s posito altero mi inermini I N. altero qii aestio indefiniti soluta sit, non tamen quilibet numerus statui potest pro valore Numeri, sed sumendus est omnino numerus si quis maior quam 3. Heuidens est. Vt haberi trussit i N. -3. per quem dividantur et N. Itaque quinniam huc reiecimus tractationem de inueniendis terminis intra quos consistere debet valor Numeri iii huiusmodi quaestionibus quae indefinitδ soli iuntur, esto haee regula generalis. Quotiescunque ex lege problematis institi itis positionibus, in aliqua vel in aliquibus illarum reperiuntur unitates cum desectu numerorum vel potestatis alicujus; aut Eeonuerso numeri vel potet uti, cum desectuvnit Mum; vel etiam utrumque: necesse est vel dari terminum infra quem, vel terminum supra quem, vel denique terminos intra quos sumi debet inlot Numeri. Triplex ergo easus dari potest, ae proinde tria haec obsecitanda. Primo si Numerus vel potestas alia adiumstum habeat desectum unitatum , diuide unitates petNumerorum vel potestatis numerum , quotiens erit terminus supra quem sumi debet valot Numeri vel potestatis, ut in hac quaestione Diothanti, quia in una positione repetitur I N. -3. diuiso 3. pax. fit quotiens 3. supra quem necesse est sumi valorem Numeri. Et si in aliqua positioniani repetite tur a N. - io. diuiso Io. per a. fieret f. terminus supra quem eonsistere deberet valor Numeri; idemque de alijs dicendum notestatibus , nam si haberes 3 n. diuidendo Ia. m 3. quotiens Φ incitet minus supra quem in mendus esset valor quadrati. Secundo si uni lites adiunctum habeam deiisum Numerorum vel aliarum potestatum, diuideriirsus unitates per Numerorum vel potestatum numerum , quotiens erit terminus inita quem sumi debet valot Numeri vel potestatis ut Meidit in secunda analysi quam tradidimus trigesima semina huius, ubi ponentes alterum quaesitorum I N. alter positus est Quare eum diuidendo 8. peti. fiat quotiens S eonclusimus Numerum minorem sumi debuisse quam 8. 8: sic de aliis. Denique si in una positionum reperiantur Numeri vel potestate, aliae cum de stu unitatum , dc simul in alia positione reperiantur unitates eum deiectu Numerorum, vel poteritis. Tunc uti i-que diuidendo unitates per numerum Numerorum vel potestatum, fient quotientes, qui terminierunt intra quos sumi debet valor Numeri vel potestatis. Ut in analysi Diophantaea, quaestione trigesima septima citata, quoniam in vin positione reperitur I N. - r. in altera 9 -I N. Vtrobi sue diuisione producuntur l.& 9. termini intra quos hi mendus est valor Numeri. Quamobrem etiam linde facilὸ cognoscetur an proposita quaestio sit impossibilis, si enim tales termini reperiantur intra l
uos sumi nqn possit aliquis numerus, impossibilis erit quaestio. Veibi gratia, si in una positione lut 3 - Is N. in alia a N. - tr. Quia diuisor F. per 3. fit s. terminus insta quem sumendus est valot meti. at diuiso Ita per a. ne 6. terminus supra quem valor Numeri sumi debet, eum euidens sit eumdem numerum non Posse esse maiorem quam 6. minorem qu in s. quaestionem impossibilem esia prono iactabimus.
Caeterum si inditieisspositionibus eaedem species ab iisdem deficiant, sed inaequali multitudine sumendus erit terminus quaesitus ab illa positione in qua de elux est maior. Vt in primo casu, si in una positione sita N. -6. in altera a N. - S. sumendus erit terminus a postrema, diuidendo scilicet 8. per a. unde se q. terminus supra quem sumendus est vallae Numeri. Sie in secundo easu si in una positione sit 8 a N. in altera8- N. sumetur etiam vallar Numeri apostrema in qua est defectus maior . Vel aliter, in primo casu sumendus est terminus ab illa positione, in qua diuisis unitatibus per Numeros vel potestates, fit quotiens maior. Conti, in secundo casu sumendus est terminus in illa positione, in qua dimisis unitatibus per Numeros vel potestates fit quotiens minor. Sic in Prim casu si occurrant N. - Is. de 4 N. ia. sumetur terminiis a priore quia diuisb is. per 3. fit quotien
maior qii in diuiso ia. per sed in secundo casu si occurrant 8 - a N. dei a 3N. inmetur tem inus posteriore ob contrariam causam. His sanὰ praeceptis, tota de inueniendis huὶusmodi terminis domina comprehenditur, quae exim Laellia snt, de e re ipsa nata, ita ut suam secum serant demonstrationem , tamen a nemine ante n stradita iunt, ut vere aiserere possim quaestionum quam plurimarum quae indefinite siluuntur, perse- imcnodati oriem neminem hactenus calluisse; quod uno aut altero exemplo fiet manifestum. Sitent M propolit in solucre pulcherrimum problema, quod omnium qui nos praecesserunt Arithmeticorum ingenia mire torsit, quodque olim ex parte explicaui miti libello nostio extremo iucundo'
324쪽
rum problematum qui per numeros absoluuntur, ante aliquot annos Lugduni edito nimirum.
Datum numerum diuidere in quotlibet numeros, ita ut singulis in datos numeros ductis , lumina productorum datum conficiat numerum. Oportet autem suminam productorum cadere inter productos, ex numero diuidendo in maximum de in
multiplicatorum. Verbi gratia. Sit 2o. diuidendus in tres numeros , ita ut primum ducendo in Φ secundum in : tertium in summa productorum comaciat etiani 2o. Esto primus i N. ergo reliqui duo simul erunt aci- IN. S cum primo diicio in . fiant N. his subductis a summa productorum , remaneteto - N. continen, utique secundi&:. t et iij. Quare ducendo 2o- N. in A. set - 16 N. continens bis securidum, & tertium semel. Proinde si hinc auseratur summa secundi S tertii, puta χο - IN. relino uetur secundus 6o- is N. quem si auferas a summa secundi & terti j, nempe 1 2 o. - I N. remanebit terti iis ι N. - o. Itaque primo posito I N. fit secundus 6O. - IF N. tertius 34 N. - .&quaestio ii definite soluta est Quoniam vero secundus continet unitates cum desectu nunterorum, tertius ei minet numeros cum desectu unitatum, diuidendo utrobique unitates per Numeros, fient
termini intra quos consistere debet valor numeri, nimirum A. de a Quare soluetur quaestio si i N. ponatur quilibet numerus minor qu,m q. maior quam 2 . Uerbi gratia ponatur 3. erit primus 3. se
Rursus sin propositus 4 .diuidendus in tres numeros ea lege, ut primum ducendo in .seeundum in y tertium ui summa produictorumst o. Esto primus i N. ergo reliqui simul erunt qi - i N.& cimi primo ducto in sant 4 N. his detractis a qo. summa productorum, remanet qo N.continens ter secundum, S i ter iij. Quare ducendo o - ' N. inet. fiet rao -Ia N. continens secundum novies,& tertium semel. Ae proinde si bine auferatur lumina secundi & totii, nempe I - i N. relinqueturo plum secundi, puta o-IIN. Quale secundus et it 9.: -i : N. quo subducto a summa secundi& tertij, remanet tertius 3i - - ἰ N.& quaestio indefinitὰ soluta est. Quoniam veto signum desectus reperiti triant viii in secundo numeros ἡ-I: N. unus tantum hie erit terminus, insta quem scilicet sentendus erit valor Numeri, qui habetur diuidendo unitates per numeros, est'ue 7 , Qua resoluetur quaestiosii N. ponatur quilibet numerus minor qu Ponatur Erunt quatiati numeri y. 3, 33 Saepe autem huiusmodi quaestiones ita proponuntur, ut requitatur solutionem in integris exhiberi secluus fractionibus, quod accidit ex rerum quibus applicantur natura quae non patitur diuisionem in partes, ut si de hominibus vel animalibus mentio fiat .verbi gratia proponatur ita prior quaestio. Fu runt in symposio personae 2o. iiiiiiirum viti, mulieres,& pueri δε expenderunt simul solidosao.ita tamεVt quilibet vitorum soluerit . solidos quaelibet mulierum . solidi, quilibet puerorum - solidi. Quaeritur tam virorum, quam mulierum,atque puerorum numeriis sigillatim.Similiter sic proponatur posterior 'uxilio. Fuerunt personae r.ex nderuntque solidos 'o & virorum quilibet persoluit q.solidos, quaelibet mulier 3. puerorum quilibet I solidi. Qii aeritur idem quod ptius. Hie patet solutione iii in integris omnino exhibendam esse. Quod quide facit taestabit ut in priore quaestiolie, quia in positio
imbus nullae omnino interueniunt seaetiones, nam sum ciet si sumat ut quilibet numerus integer cadens inter terminos inuet vos .de ahqualis est 3. unde fiunt quaesiti numeri qui supr13. is. 2. At in posteriore, ubi positiones habent tractiones admixtas, maiore artificiores opus habet. Verulitamen ita Cxpedietur. niam tertius numerus ponitur 31:-q N. ut solutio contingat in inte- is , oportere pro valore Numeri sumi numerum integrum minorem qu1m 7 m. . cuius tres omitae partes adscita. unitatis siciant integrum. Quia vero ut habeantur : cuiuslibet numeri, ducendus est ille numerus in a. de productus diuidendus per 8. Patet quaerenduin esse numerii in minorem quam quo duc in 3.& producto addendo I. fiat numerus multiplex ad 8. seu quod idem cst. Quaerendus est numerus multiplex ad 8. qui excedat . unitate multiplicem ad 3. ita tamen ut multiplicator
ipsius . si minor quam 7 Id autem qui ficii possit abundὰ docuimus in elementis, immo demonstrauimus uniuersale hoe problema.
Datis duobus numeris inter se prui ais, inuenire multiplicem unius, qui alterius multiplicem superet dato numero, ita ut inuenti multiplices sint minimi qui hoc praei lent.
Intientisque minimis, alios omnes ordinatim multiplices idem praestantes ostenilimus inueniti posse undet fanae propositae quaestionis solutio manifesta est, iii uenieturque i 6. multiplex ad 8. qui excedit unitate is . multiplicem ad 3. & diuiso is per 3. fiet s. quaesiiciis v ior Numeri. Quare numeliqui prius reperiuntur 3.37. Huius naturae quaestio proponitur iri veteri Epigrammate quod extat apud Pithoeu in lib. 4. de tale est.
325쪽
Vt tot emantur aues, bis denis utere numinis
Perdix, Anser, Anas empta vocetur auis. ii Sit simplex obolus pretium Perdicis, ematur. α Sex obolis Anser, bisque duobus Anas. Vt tua procedat in lucem quaestio, mentem Consule, sic loquitur pectoris arca mihi. Sint Anates tres atque duae, simplex erit Anser. Accipe Perdices quatuor atque decem.
Huius quaestionis sensis est. Viginti Nummis, quorum quilibet duos obolos valet, seu s. ob
lis emuntur Aues 2o. videlicet Perdices , Anseres, Anates, sed Perdix obolo uno constat, Anis 6 obolis, Anas 4. Quaeritur Perdicum numerus, itemque Anserum atque Anatum. Ponatur Anserum numerus i N. erit Perdicum & Anatum simul numerus 2o- r N. erit autem Anset noninium pretium 6 N. quo detracto 1 o. obolis, remanet pretium Perdicum & Anatum simul o- is N. Quare o - 6 N. continet. Perdicum numerum semel, & Anatum numerum quater, ac proinde hinc auferendo numerum Perdicum & A natum semel, inempe 2O-I N. remanet 2o - y N. triplum numeri Anatum, unde Anatum numerus est 6 l N. quo detracto 2O - i N. rem
n et Perdi eum numerus D. -- N& quaestio indefinite soluta est. Sed quia innumero Anatumr perium ut unitates eum desinu Numerorum diuiso οἱ per t. fit terminus infra quem sumenia est valor Numeri. Rursus obstactiones adiunctas, ut sinitio contingat in integris, quia Perdicum numerus est II : -- l N. patet valorem Numeri esse debere, numerum integrum cuius ladscisceor es; faciant in testum. Seu quod idem est quaerendus est multiplex ad y qui excedat unitate multipli.
cem ipsi iis 2. ita tamen ut multiplicator ipsius a. sit minor quina . inuenieturque ipse; qui excedit unitate ipsum a. Quare diuisor. iret a. st I. quaesitus valor Numeri. Est ergo Anserui in unietusti Anatum p Perdicum I . ut voluit Epigrammatarius. Iam vero diuidendus sit i . in quatuor numeros, ut primo ducto in secundo in 1. tertio in quarto in o. summa productorum sit roo. Ponatur primus I N. er*o reliquoium summa erit i - I N. & cum ex primo in 3. fiam 3 N. erit summa trium reliquorum productorum I - 3 N. Superest igitur ut partiamur Ioo- i N. in tres numeros ut primo ducto in i . secum
do in . tertio in summa productorum sit Ioo. - 3N. id autem ut fieri possit, propter adiectam
ab initio huie quaestioni conditionem , oportet productu ni ex I. maximo multiplicatorum in I - IN. nempe ioo - IN maiorem esse quam I--3 N.&riarsus prodii istum ex minimo multiplicatorum in Ioo I N. nempe N. minorem esse quὶm I N. Et primum quidem manifestum est, nam per se patet Ioo - I N. maiorem esse quam ioo - 3 N. quod si iam est mindati minimum terminum supra quem sumi debeat valor Numeri, sed rit E solui posse quaestionem
suantumlibet exiguus statuatur primus quatuor quaesitorum numerorum At vero ut secundum com sequamur, cum non statim appareat an - sit minor quam i--3N. fingamus aequari , I N. o. maximus terminus, infra quem utique sumendus est valor Numeri. Hile iam constat quaestio item infinitas recipere solutiones, cum primus quatuor quaestorum numerorum statui post quilibet numerus minor quam 3o. Ponatur verbi gratia ro. erit ergo trium reliquorum summa D. x cum exa o. in 3. fiat μ quo subducto at . remanet qo. erit utique itium reliquorum producto.
rum summa o. Superest igitur ut diuidamus D. in tres partes, ut prima ducta in I. secunda in s te tia in o summa productorum sit 4o. Ponatur prima I N. erunt duae reliquae simul λ -i N. Sc quia ex ptima parte in I. st I N. patet duorum reliquorum productorum summam esse o I N. quae --que continet ἰ seeundae partis & - tertiae. Qitare multiplicando per T. fiet Go - 7 N. continens semestertiam &ἰ secundae. Proinde si hine auferatur summa secundae & tertiae, puta IN. restat et - 6 N. eontinens i secundae. Quamobrem ipsa pars secunda reperietur quam auferendo a 8o -i N. testat pro tertia: N. & quaestio indefinitE soluta est. Nana posito primo quatuor quistirum numerorum 2o. erit secundus I N. tertius -- N. Quartus N. quoniam in tertio sunt
unitates eum desectu Numerorum diuiso D. per v fit 3a ' terminus initὶ quem sumendus est valor Numeri. Quod si sumas 3o. fient quaesiti Numeri zo. N. 8. o. qui satisfaciunt proposito. Et sie i finitis aliis modis solui potest quaestio, cum admittendo franones infiniti numeri sumi possint in
Verum si requiratur solutionem in integris exhiberi, utendum erit eodem artifieio quod supra explieaulinus. Ut si quaestio haec ita proponatur. Fuerunt in syniposio personae r . viri, mulieres, pueri, puellae. Et vir quilibet expendit tres aureos, mulier I. puer puella Quaeritur virorum , α
mulierum, puerorumque de puellarum numerus, eodem utentes ductu euidenter initiemus sit mendum esse pro vallo Numeri aliquem Numerum minorem quam 3; ἰ quem quinarius metiatur, M sic
sex sol utiones in integris per hanc operationem reperientur, prout posito virorum numero M. Pone tur mulierum numerus s. vel Io. vel ii. vel 2o. vel 2I. vel 3 o. Itaque ut omnes solutiones quae in in-
326쪽
tegris possunt exhiberi, reperianius, eum iani deterini natum sit virorum numerum poni posse quem . libet in se. 3 toties repetenda erit haec operatio quot sunt numera integri infra 3o. nimirum novies de Piee sies. Sed rem succedere non posse inueniemus, si numerus virorum ponatur I. vel 2. vel 3. vel 29. Nam si ponaturi. de mulierum ni inactus IN. erit puerorum numerus 232 - N. At puellarum: N -I33. Quare termini intra quos cadere debet valor Numeri erunt 97. de m. I. inter quos nullus cadit integer numerus. Similiter si virorum numerus ponat ut a. mulierum I N. erit puerorum numerus za - V N. Puellarum vero . N. - Ia6. Quare termini intra quos consistere debet valor Numeri erunt m l . de vo. inter quos nullus eadit integer quem quinatius metiatur. Rursus si statuatur virorum numerus 3. mulierum I N. erit puerorum numerus 236 -IN. di puellarum i N. --II9. Quare termini intra quos sumi debet valor Numeri reperientur m. & 8s inter quos non e it inte- er quem quinarius metiatur. Denique si numerus virorum ponatur 29. mulierum I N. erit puer rum numeras 8-V N. puellarum vero I N. -- ι'. Quare terminus infra quem sumendus eli valor Numeri reperietur 3 . Intra quem nullus est numerus integer quem quinatius metiatur. Caeterum si virorum Numerus statuatur quilibet cadens iniet a. & 29. res optime succedet, & reperientur in integris solutiones numero 8t. quas omnes in sequenti diagrammate exhibeo, monens primum numerum esse virorum, secundum mulierum, tertium puerorum, quartum denique puellarum. 28 27 26262 2sa 24.
327쪽
Hine apparet qiuestiones huiusmodi a nobis persectissime resolui, eum tamen Nicolaus Tartalea asserat, neque pet Algebratii, neque per aliam certam res iam id fieti posse. Sed& alius non con temnendus Arithmeticus, cum hane ipsani quaestione sub eadem prorsus hypothesi sibi proposuisset
nodandam, unicam tantum illius solutionem afleti, eam scilicet quae primum in superiore di grammate locum obtinet, eamque etiam non satis certa ratione inuestigat, sed illa utitur regula Iamin libello nostro Iucundorum Problematum olim explicauimus, quamque ut nimis inriti
Q 'dii postuletur exemplum in quo unicatallitio contingat in integris. Sit Personarum num
rus fio. aureorum Expensorum summa ioo. & vir quilibet expendat a. aureos. Mulier Puer Puella Ponatur virorum numerus I N. Igitur 6o -I N. erit numerus mulierum, puerorum & puellarum simul, & I- - a N. erit reliquorum aureorum summa , quare ducendo tum -. tum inoo - I N. fiet 4o --ἰ N. maior qu,m rom a N & 3o-ὁ N. minor quam Ioo - a N. & utraque aequatione sigillati in resoluta fient termini intra quos consistere debet valor Numeri ης. Sq6. Proinde cum inter eos cadat solus numerus integer q6. patet virorum Numerorum non
posse poni nisi 46. Atque ideo relinquentiar personae I . Aurei 3. statuatur mulierum numerusi N. tandem initentetur puetorum numerus io - N. Puellarum velo - : N. Quare cum diuiso Io. rer prodeat 6. patet pro valore Numeri sumendium esse Numerum insta 6. quem ternarius metiatur Ob fractiones positionibus admixtas. Itaque cum inse, 6. solus numcrus 3. habeat tet. tiam partem in integris; unica continget solutio posito scilicet valore Numeri 3. de erit virorum numerus 6. Mulierum 3. Puerorum 3. puellarum 6.eodein prorsus artificio diuidetur datus num rus in quinque aut plures numeros, ita ut singulis in datos numeros ductis, summa productorii in datum conraciat numerum. Mamobrem ex omni parte satisfactum est proposito. Camerum ad hane quaeluonem facilὰ reducuntur Alligationis regulae , quarum perfectam ei dationem , neminem ante nos tradidisse audacter asserere ausim. Etenim cum tria rei alicuius generi proponuntur alliganda, Patet vulgati resula uni eam tantum reperiri solutionem, quamuis infinitae tradi possint. Quod ut exemplo comproiamus. Sint alliganda tria Auri genera. Plinium et . graduum bonitatis quos vulgo Κaratios vocant. Secundum 22. Κarat torum. Tertium I 8. N conscienda sit Massa librarum 6o. auri Karat totum 2o. sanὰ pet vulgarem illam Alligationis regulam unica reperietur solutio, & sumetidae erunt librae I a. ex auro a . Κarat torum. Itemque librae I . ex auro ariΚaratiorum. Ac denique librae 36. ex auro 18. ΚMattorum. Sed quaestio suapte natura infinitas recipit solutiones, quas sic indagabimus. Quoniam ducto 6o. in eto. fit Iroo. patet in tota massa conficienda contineri gradus bonitatis sev Kat attos iroo. Quare superest ut diuidamus6α in tres num e ros, ita ut primo ducto in 1 . seeundo in ar. tertio in summa productorum sit imo. Ponatue primus i N. erit summa reliquorum 6o -i N.& cum ductor in i N. fiant 24 N. erit reliquorum productorum summa I 2 o - 24 N. quae eontinet secundum numerum bis& vicesies. Tertium veri, decies de octies. Riare cum 6O - I N. contineat secundum & tertium semel, ducto eo in 18. fiet icto - 18 N. continens utrumque decies&octies,&si hie auserat ut , Iaoo. - 24 N. remanet Iro 6 N. continens secundum quater. Proinde secundus est 3ο - : N. quo detracto a clo - I N. remanet tertius 3o quisio indefinit E soluta est. Ut ergo habeamus terminum infra quem consistere debet valor Numeri diuidamus 3o. per i fiet sto. quaesitus terminus. Igitur ex auro a
Karat torum sumi potest quilibet libratum numerus minor qu,n ro. unde constat infinitis modis soluui posse quaestionem. Verbi gratia, sumantur ex piaedicto auro libraei 3. sumemus ex secundo libro 3. ex tertio libras 39. Rursus mantur primi auri librae 16. secundi 6. tertii 38. Rursus sumantur. primi auri librae I . secundi p. tertii 37. vel sumantur, primi auri libra io. secundi I s. tertii 3s. vel si inantur primi auri librae 8. secundi is . tertii 34. vel sumantur primi auri librae 6. secundi ai. tertii l. vel sumantur primi auri librae q. secundi et . teriij 3a.vel etiam sumantur primi auri librae a. secun di a . terti j 31. His omnibus modis, etiam per integros soluitur quaestio, quod si tractiones admi tere libeat , quae ab hoc quaestionum genere nou excluduntur, infinitas alias solutiones reperiri posse manifestum est. Haec dixisse iassiciat, ne pulcherrimum utilissimumque inuentum posteris inuidisse videamur.
κις. τὸν b αρι A Theta υIN v a N ia E tres numeros , ut quem bini producunt, is ad eorum semimam datam nabeat rationem. Sit prodia eius e primo in secundum , ad siminam ipsbrum triplus , productus E secundo iri tertium, sit ad summam eorum quadruplus,
328쪽
& productus ε primo in tertium, summae amborum sit quintuplus. Statuatur secundus i N. erit ex praecedenti lemmate primus eodem modo tertius erit: e .. Restat ut productus ex primo in te
rium ad seminam ipsorum si quincuplus. Sed productus ex primo in tertium est summa vero primi & terti j est quae sic habetur. Quoniam
Oportet addere minutias .lu', & AEd Ipsi quidem numeri in denominatores alternatim multiplicabuntur verbi gialia 3 N. inde nominatorem alterius, hoc est in i N. - q. &rursus N. in denominatorem alterius, puta in IN. - 3. sic facta est summa 7 Q. -a N. sub denominatione partis quae fit ex denominatorum mutua multiplicatione , hoc est I in- - D - 7 N. Habemus autem & productum ex primo in tertium nox; i. Quamobrem quincuplum est summae. Proin de summa quinquies pura . Uzzz.aequalis est & omnia ducantur in communem denominatorem, Puta I-- Ia - N. fiunt Ia inaequ)lis 33 'iro N.& siti N. E. Ad hypostases. Posteram primum secundum I N. te tium .m At i N. inuentus est .. . hunc si ducas in primum, eo ducto in 3 N. fiet
At eo diicio in denominatorem i N. - 3. fient erit igitur primus R. secvndus autem non enim habebat numericam minutiam. At tertius similiter iiii ie
versione Xdandet multa omisit, quae elatioris do miliae gratia posuit Diophantus, ut apparet ex textu Graeco , 5 ex nostra versione.
IN v a s i κεitres numeros , ut quem bini producunt mutua multiplicatione , is ad compostum ex tribus datam
329쪽
habeat rationem. Sit productius ex primo in secundum ad summam trium tritus; at productus ex secundo in tertium,t summae quadruplus. Denique prod eius ex tertio in primum , summae omnium sit quincuplus. Quia igitur productus ex binorum mutua multiplicatione ad summam trium datam habet rationem. Quaero primum tres numeros, dc aliquem ut cumque adscitum , ad quem producti ex binorum mutuo ductu datas habeant rationes. Arbitrarius estos. Tunc quia productus ex primo in secundum triplus est arbitrarii numeri, nempe ipsius 3. viique productus ex primo in secundum eritis. esto secundus i N. erso primus E, Rursus quia productus ex secundo in tertium est quadruplus ipsius s. utique prinduetias ex secundo in tertium erit ro. At secundus est i N. ergo tertius erit Ii. Si perest ut productus ex primo in tertium,
nimirum tr. sit quincuplus ipsus s. Proinde sunt 3oo. aequales aue in Hic si
species ad speciem rationem haberet quae est quadrati ad quadratum, Gluta esset quaestio. Enim vero 3oo. Orti stant ex I . in zo. At I s. triplum est ipsius s. & ro. est eiusdem s. quadruplum. Volumus ergo ut triplo ipsius s. per quadruplum eiusdem multiplicato, producti ad quinci plum eiusdem s. ratio sit quae quadrati ad quadratum. Atqui s. arbitrarius est. Hoc igitur mihi negotij incumbit, ut quaeram numerum , cuius triplus & quadruples inter se multiplicati numerum producant qui ad quincuplum eiusdem, rationem habeat quam habet quadratus ad quadratum. Esto qui quaeritur 1 N. & triplus eius ductus in quadruplum facit iam o tet igitur nunc ad quintuplum eiusdem rationem habere quae est quadrati ad quadratum. Volumus ergo ii Q ad 3 N. esse in ratione quadrati ad quadratum. mobrem altero in alterum ducto fiet qua dratus. Proinde so C. aequantur quadra
stiones, erit quaestus I s. Pono ergo eumis. Qitare productus ex primo in secundum erit 3. Atqui secundus est i N. ergo primus erit El. similiter inuenietur tertius ita superest ut productus ex primo in ter
330쪽
Arithmeticorum Liber IV. et or
thim, hoc est Pr ipsius 13. quincuplus reperiatur. Isitur aequatur 73. & fit 1
N. Ad fositiones. erit primus 7 v secundus 6. tertius io. Horum summa si foret is. soluta plane esset quaestio. Statuo itaque summam trium is in Ipsos autem tres in numeris, quales eos inuenimus, primum scilicet ἰ N. secundum 6 N. tertium io N. Superest igitur ut trium sum
u δὲ Adri est in o θ τ ιτα υο h. XLIII.
HIC restituto tractu, ut secimus, omnia sunt perspicua , nee maiore explicatione indigem rnonnulla etiam onii serat Xilander, quorum descAu res obseurabatur, ut videte est si veilio illius cum nostra conseratur.
IN v ε Nis E tres numeros , ut compositus ex tribus imultiplicatus in primum iaciat triangulum ; in secundum, saciat quadratum, in tertium faciat cubum. Statuatur umma trium i rimus autem stactio quadratica unitatum triangularium , puta , . secundus fractio quadratica unitatum quadratarum , ut Tertius denique fractio quadratica viait tum cubicarum, nimirum oc- & quidem
IV multiplicatus in primum facit f. qui est triangulus, & i Q multiplicatus inticundum saeit 4. qui est quadratus, α rursus 1 multiplicatus in tertium facit 8. qui est cubus. Superest ut trium summa sit 1 sed trium summa est hoc' ergo aequatur i α& omnia pera ς multiplicentur, fit i in aequalis s. oportet igitur i8. esse quadratoquadratum. Atqui 18. est compositus ex triangulo, quadrato, & cubo. Proinde reperiendus est quadratus, latus habens quadratum, de diuidendus in triangulum, quadratum , de cubum. Esto is 1 in . Quadratus autem I. Q in I 'a .uergo dei mi abstulero i Q - Ι - aQ. relinquetur a I.Hunc ruruis oportet diuidere in cubum, & triangulum. Esto cubus 8. relinquitur ergo triangulus