장음표시 사용
331쪽
2χ-9. Porro quiuis triangulus per 'multiplicatus, & adsit mens unitatem, sa-cit quadratum.Proinde Q 7i.aequantur quadrato. Formo quadratum a qN - 1.nt IN. 9. Ad positiones. Erit triai gulus i 3. quadratus f o. cubus 8. Ve
nio ad id quod initio propositum fuit &
statuo compositum ex triuiis quadratumi Primum autem n . ut fiat triangulus. Secundum . e. ut fiat quadratus. Tertium denique pa .ut fiat cubus. & r incum sitque adratus ductus in vivumquemque, facit primum triangulum , secundum quadratum, tertium cubum. Oportet autem tres
fimul esset sunt autem Ei . hoc ergo aequatur i de omnia in i Q. ducantur, fit I aequalis 6 61. desti N. q. Ad
positiones. erit primus ' . secundus tertius L. &demonstratio manifesta.
HI c tota obscuritas nascitur ex tactionibus quadraticis, quae ut iam saepe monuimus semper
ambiguὰ exprimuntur apud Diophantum. Deerant & nonnulla verba quae reposuimus, eam nostro virgulis includentes. Numerus triansulus dieitur summa progressionis arithmeticae ab unitate incipientis, & per unitatem progredientis, cuius vitinius terminus, qui di idem est eum numero qui exprimit multitudinem terminorum dicitur latus trianguli ut quinque ternii norum a. a. r. 4. e. si nimais. est triangulus cuius latus s. ec sex terminorum I. a. r. q. F. 6. si imma ar. est triangulus cuius latus 6. Quod fusius explicat Diophamus libro de mimetis multanguli L Nos quoque in appendice ad eundem librum uniuersalissimE demonstrabimus Theorema quod de Numeris triane prosert Diophantus. nimirum. Omnis triangulus per octo multiplicatus & adsciscens unitatem quadratum iacit. Interim tamen peculiari demonstratione libet id ostendere, supponendo modum illum communem inueniendi lummam cuiuscunque progressionis arithmeticae, ducendo scilicet summam extremorum in semissem numeri terminorum, quem etiam demonstrat Diophantus loco citato. Vnde insertur in progressione cuius summa est numerus triangulus, ubi primus terminus est r. m ximus vero aequatur numero terminorum , seu lateri trianguli, ipsum triangulum haberi si latus in lius unitate auctum ducatur in semissem eiusdem lateris. His positis, sic pronuncio.
Omnis numerus triangulus per octo multiplicatus, & adsciscens unitatem, qua dratum facit, cuius latus est duplum lateris ipsius trianguli unitate auctum. Α ,i. sit numerus triangulus A cuius latus B D. cuius semissis B C.& sit unita, D E. B... C. . . D E &-tPsiv Aςsto Faddita unitate fiat G. laniaturque HK duplum F u g. G. iso. η- dico G esse quadratum a latete H L. ei; nimi. mina H κ. L P di β ηst x xx Ugulum A aequari producto ex B Q in totum B F.
hie productus aequatur producti sim B C in BC. dein CD. dein DE. hoc
est duplo quadrati ipsius B C N ipsi B semel. Quare odi uplum ipsius A puta F. aequatur sedecurio quadrati ipsius B C. & inuplo ipsius B Q Ergo G continet sedecuplu quadrati ipsus B Q octuplum η situs BC de praeterea unitate.Porro clim BD sit duplus ad B rursus HK sit duplus ad B D. tet H Kesse quadruplum ipsius B C. ac proinde quadratus ipsius Η Κ aequatur sedecuplo quadrati tostiis BC de duplum ipsius HK aequatur octii plo eiusdem BC. Igitur G aequatur quadrato ipsius Id K. ec. t. ias urpi'ipsi unitati scd dc quadratus ipsius H L ' inquatur quadrato H K. & quadrato Κ L. hoe
' est unitati, de duplo prodi icti ex H Q in unitatem ΚI. hoc est duplo ipsus H Κ.Ergo G aequalis est quadrato ipsiuς HL Quod erat demonstrandum. Nec refert utrum B D. seeari possit bifariam indi- ulla unitate, necne , cum haec dein i stratio nitatur solum propositionibus libri secundi Euelidis, quae abstruliunt ab integris de , fractis, ut manifestum est. Porro hinc euidenter eolligitur omnem quadratum imparem unitate multatum, esse multiplicem octonarii, nam metitur eum obonarius
332쪽
Per numenim triangulum, cuius latus aequatur semissi lateris quadrati unitate multati. Diligenter autem attendenda est operatio Diophanti, qui positiones suas appositissimὸ instituit
ut solutio contingat rationalis. Etenim cum quaerendus sit quadratoquadratus constans ex triangulo, quadrato euoo, ponit eum i Q a Tum arguid quadratum statuit i I. - 2 Qes, laterer . I. quo ablato abi in superest a Q. - I. qui excubo Sex triangulo componi debet. Hinc ergo si austratur cubus quilibet, puta 8. rPat a I9. aequandus triangulo. Quamobrem oportet
ut duris in L adsciscens unitatena, faciat quadratum per theorema supra demonstratum. Vnde fit 6--Π. aequandus quadrato. Hoc autem fieti minimὰ posset, ni fi 16. quadratorum numerus, esset quadratus. Itaque. Adverte primo in quadrato detrahendo ab I Q talem meriti debere quadratorum numerum, ut is ad 8. habeat rationem quadrati ad quadratum, quales sunt l. s. P.&c. sic poni poterat quadratus ille I .. - 19-8 a latere vel etiam I latere i in de sic de aliis. vetbi gratia si ponatur quadratus et cm - 16 - 8 in eo detracto ab irestabit 8 Q. -I6. unde si auilias cubum aliquem , puta 8. remanebit 8 et . aequandustriangulo, ac proinde ducto eo in R producto addendo unitatem, set 64 Q - 19 .' aequandus quadrato, cuius latus si fingas 8 N. -- i. fiet I N. Ia . cuius quadratoquadratus Optime satisfacit proposito.
Aduerte secundo, alium etiam quemlibet cubum quam 8. sumi posse, ut in hypothesi Diophantis sumatur cubus 27. fiet a Q. - 28. aequandus triauulo, quem si ducas in 8. N producto addas r. setis. 223. aequalidus quadrato, cuius latus u Pon qN. -- i. fiet i N. 28. cuius quadratoqua.dratus timus implet postulata. Aduerte postremo in fingendo latere vltimi quadrati, talem adhibendam esse cautionem, viva-Ior Nummi repetiatur in integris mimetis, cisii numeras triansulus nota possit esse nisi integer. autem semper luccedet operando modo a Diophanta, tradito, u quadrati latus fingatur a tot numeris qui sint Iaius quadratorum in numero quaarato aequando contentorum - t. Caeterum vix aliter
id fieri posse, satis experiendo deprehendes. Ex operatione autem Diophanti saetae est elicere Ca-nonem ad inueniendum quadrato quadratum qui constet ex triangulo, quadrato, & cubo nimirum.
Eueris striam non satis exactam fecit Rachetus.Sumatur quilibet cubus cuius latus multiplici Ierirariisuperaddat unitate Erunt α-3 aquando triangulo ergo is . - 273 I aequabuntur quadrato cuius latus sveis obeι--3.Nιhil enim vetat quo minus generali methodo loco etiam ipsas 3. reliquos in infinitum impares usurpemus , variando cubos. Sume cubum quem5bet, hiae adde unitatem, set iami quasiti quadratoquadrari. Quod si velis reperire quadratum , & cubum, & triangulum , ex quibus inuentus quadrat uadratus comeonitur. Addet. quadratoquadrato inuento, &hinc auter duplum quadrati ab eodem lytere prosebi, relinquetur quadratus quaestus. Cubus vero is est quem ab initio sumpsisti. Triangulus vero reperietur si ab inuento quadratoquadrato auferas com tum ex quadrato & cubo talia inuentis. Verbi gratia, sume cubum I. cui adde i. fiet a. latus quaeliti quadratoquadratis. Is ergo est 6. quem dico componi ex quadrato, eu , 8ctriangulo. Nam adde I. ad I6. fit i7. unde aufer duplum quadrati a latere a. puta 8. remanet quaesitus quadratus s. eubus vero est is quem sumpsisti ab initio, nempe r. Quare , quadratoquadrato is. auserendo & i. simul, remanet triangulus 6. sed di quadratum sie alitet inuenies, auret r. a quadrato ab eodem latere prosecto, a quo proficiscitur quadrat uadratus inuentus, residuum erit latus quaesti quadrati, ut in codcm exemplo, cum quadratus lateris a. sit . auset hinc i. remanet 3. latus quaesiti quadrati 9. Rursus aliter inuenietur triangulus hae arte. Cape duplum cubi ab initio sumpti, & huic adde unitatem, fiet latus quaesiti itianguli. Vt in eodem exemplo, duplo cubi I. addet. fiet 3. latus trianguli 6.
Hoc verbi male soluto, soluetur&ptoposita quaestio huiusmodi Canone.
me quadratoquadrarum ex trianuis, Dadrato, er ecto compositum. Tum disitsigillatim triangulum, quadratam ct Obum, per at Maratum a utere qua atoquadrati, orientur quaesiti numeri.
Vt in nostra hypothesi, diuide sigillatim s. s. i. per fient qiuaesiti numeri r l. nam eorum summa est 4. qua ducta in primum fit triangulus 6. de eadem ducta in secundum i . fit quadratus 9 & eadem dum in tertium, fit cubus I.
333쪽
Dignum quoque animaduersione est, ex vi analyseos Diophauisae sequi, summam qu x unnumerorum Cise quadratum numerum, quoniam Donuut huiusniodi sui nai te vides in illius hypothesi, silmmam numerorum esse Si. At in nonra &sic de alijs. Sed N opera pretium fuerit adnotassie, quaestionem hane eodem prorsus artificio extendi posse ad quotlibeti polygonos & quastibet potestates, dummodo iis adnumeremur quadratus de triangului. verbi gratia.
Inueniantur quinque numeri, ut summa ipsorum ducta in primum, fiat triangulun in secutidum quadratus, in tertium cubus, in quartum Pentagonus, in quintum qu 'drato quadratus.
Hic euidem est reperiendum esse quadratoquadratum compositum ex triangulo , quadrato, cubo, pentagono, α quadratoquadrato. Is esto I Q. quadratus autem in Q quo detracto ab i o ciremanet a t. diuidendus in cubum, pentagonum, quadratoquadratum, α triangulum. Esto cubus 8. pentagonum, adratoquadratus I. relinquitur ereo triangulus a Q. I s. qui ductus in s.& adsuinens t. iacit 16 II9. aequandandum qu rato. Uo latus eius 4 N. - I. net I N. t s. Est ergo triangulus 43 s. quadratus sor76.cubus 8. Pentagonus,Quadrat uadratus I. Veniamus iam ad propositam quaestionem , & statuantur summa quaestorum numerorum II rimiis vero me. secundus v tertius Q. quartus in quintus Erit illorum summa aequa-.is I Q unde fili N. is. Igitur primus est El. secundus tertius ad quartus quintus
IN v ε Ni R ε tres numer S , ut inter uallum maioris & medij, ad interitablum medij & minoris datam habeat rationem , sed oc bini sumiui qiradratum constituant. Imperetur ut interuallum mai
ris & medii, interualli medij & minimi
sit triplum. Iam cum summa medij dc inbnimi sit quadratus, esto ergo medius maior est binario. esto I N. -- a. itur minimus erit a - i N. & quoniam interus-lum maximi & medij, est triplum interualli med ij & minimi interuallum autem med ij & minimi est a N. erit interuallum maximi & me dij 6 N. Quamobrem maximus erit 7 N. - 2. Supersunt duo posti lata, nimirum ut maximus cum medio faciat quadratum, de vi maximus cum iniis nimo faciat quadratum, & occurrit duplicata aequalitas, nempE8 N. -- ψ.aequales quadrato, N. - aequales quadrato, &quia unitates sunt quadratae, pedita est aequationis ratio. Statuo duos numeros quorum mutuo ductu fiant a N.
scut nouimus in duplicata aequalitate faciendum. sunto : N. & . fili N. ria. At ubi me ad positiones consero, non Possinii
de r. auferre I N. nimirum tir. Volo igitur numerum inueturi minarem qtrama atque sic etiam 5 N. - - q. minores Crunt
quam is. nam binario in f N. multiplicato , de additis fiunt i 6. Quandoquidem ergo quaero 3N. - . aequari quadrato,
334쪽
& ε N. - . aequari quadrato, sed & abinario fit quadratus sunt tres quadrati 8 N. -- q. M o N. q. & q. & interuaulum maximi-medij est triens interuallimedij & minimi eo res rediit ut inueniantur tres quadrati, ut interuallum maximide medij, sit triens interualli medij dc minimi , sed de minimus sit ε. Medius autem minor quam Io. Ponatur minimus 4. At medij latus i N. - a. Ipse igitur erit I A N. - - 4. Quia ergo teruallum maximi & medij , est triens interualli medij dc minimi, at interuallum medij & minimi est i Q. - N. viiqiue maximi de me dij interuallum erit m Q, -- I: N. At est medius i- N.' -- 'Igitur maximus erit 1 in
. J N. -- . aequalis quadrato. Omnia novies. Ergo ia in- 8 N. - 36. aequatur quadrato, & huius quadrans, nempe 3 Ia N. - - 9. aequatur quadrato. Atqui oportet de medium minorem esse quam a f. Quare S latus minus esse oportet quam obtus autem medij est IN. a. Proinde i N. -- a. minuS sunt quam .& sublato utrimque binario. I N. minor est quam r. volens itaque 3 Q, - - ia N. 9 aequare quadrato, formo quadraturn a . cum delectu aliquot numerorum, de hii N. ex aliquo numero sexies sumpto, Scadsciscente ia .nimirum i 2 N. aequationis,& diuiso per interuallum quo numeri quadratus superat quadratos qui sent inaequatione , nempe 3. Eo itaque deducta res est , ut inueniatur numerus qui sexies sumptus, S adsciscens tr. diuisusque per interuallum quo ipsius quadratus excedit ternarium, quotientem binario minorem exhibeat. Esto quaesitus t N. Hic sexies sumptus de adsciscens ia. facit 6 N. ia Quadratus autem illius detracto ter-
vario facit i c 3. Volo eraO 6 N. . diuidi per I Q. 3. quotientem minorem quam a. Atqui 2. diuisus per unitatem , facit quotientemet. Proinde 6 N. I2. ad I -3. Inlnorem habet rationem quam a. ad i. Quare
de planus plano inaequalis est. Igitur pro
minus sunt quam 2 4- Adiiciantur
335쪽
quae desum utrimque unitates , erunt 2 in nraiores quam O N. - 18. In aequati ne autem hac explicanda, dimidium ni
merorum in se ducimus, &se 9. ducimus etiam quadratos in unitates, de fiunt 36. de addito 9. fiunt s. cuius latus non mitinus est r. Adde semissem numerorum,oc diuide per quadratos, fit i N. minor s. Oportet igitur 3 -- Ia. N. - q. aequare quadrato a latere 3 - 1 N. & fit i N. A hoc est ri, Posueram autem medij quadrati latus i N. - 2. erit ergo huiusmodi latus. E. ipse vero quadratus M. venio ilitur ad primo propositum , M statuo ii qui est quadratus, aequalem 6 N. - . & omnia ducendo in iri. fit i N. minor utique binario. Ad positiones quisitonis initio propositae. Statueramus medium IN. H. a. minimum 2-i N. Maximum Vero 7 N. - 2. erit emo maximus
P. secundus o. minimus seu tertius f.&quia denominator D f. non est quaci tus sed eius sextans iar. est quadratus,o nium sextantes accipiamus, & erit similititer primus 'A . secundus EV. tertius
Quod si in integris haec desideras, ne semissis intercurrat, omnia quadruplica, Scerit primus ':::. secundus tertius es demonstratio manifesta. e γbε o
PRκci. ARVM est hoc problema, & admirandae subtilitatis, in quo etiam eontinetur minis modus utendi duplicata aequalitate omnium quos hactenus explicauimus, eligantissinius. Clim ergo tres orirationes instituat Diophantus, age singulas persequamur, ut multa lucidentur. in quibus omnino caecuti it Xilando. In prima itaque o tione. Aduerte primo pro quadrato quem conficiunt medius de minimus sumi potuisse quemlibet unitatum numerum quadratum. Author sumpsit 4. minimum stili t
Aduerte secutulo ut inserat medium maiorem esse debere binario, causi esse quia medius debet D maior nummo. Quare posta summa medij di minimi oportet medium excedere semissemiplius Aduecie tertio eum aequandi sint quadrato 8 N. - Φ& 6 N. - - 4. Diophantum indicare primum, modum illum rei oluendi duplicatam aequalitatem, quo saepe in siniti vias est Iibro teritis. Quia eiiim unitatum numerus utrobique quadratus est, procedit aequatio, si sumantur duo numeri quorum mutuo duρο sat interruallum a N. ita tamen ut in semisse summae illorum c oritineatura. latus quadrati q. tales sunt, N.& are si horum summae semissis quadratus aeuisettit ipsi 8 . q. si eorundem interualli semissis quadratus aeqtietur ipsi 6 N. - . q. fiet utrobique i N. rri. linc autem hoc in commodi accidit,ut per hunc Numeri valorem resolui non po rit hypostases.
336쪽
si enim eum minimus postus sit a -t N. euidens est valorem Numeri debere esse mim ' quam a. echm hoc modo te luendo duplicatam aequalitaemunica reperiri misit, qua fit iN. iij. oatet eum hoc loco inutile rapi ς' δ xvx' . . . . . a L . . . ΠAduet te quarto aliud hie senus duplicatae aequalitam tradi , Diophanto, quo in data hypothesi,& sti, ouin us similibus in tae reperiri possunt solutiones, hac alte. Consideratis tribus n erisu a 6 N. - a. 4. Quorum minimus est unitatum numerus quadratus. At interuallum ma-N. est triens interii;m minorum 6 N aeremi duo quadrati, quorum interuallum sit triens i et ualli quo minor illorum superabis q. quales sunt 6 .de 49. Tunc vero siue aeques 6
si ' 'Inz -- ,s iki tibique idem valor numeri 7:. Hoc autem ita necessario
semitide modum istum resoluendi duplieatam aequalitatem esse legitimum, sic demonumen re, c Pr*Nὴς dA C. de interualliini maiorum Λ B. esto D, in m D- Ε tum mini, ni BC. esto E. Rursus sint tres FGH.&maiorum FG. interuallum A B'C esto K minoriim L. Ponaturque H aequalis ipsi C. &uc eadem ratio D ad GF is . G 49- Η Φ iae K ad L. di eo si G fiat aequalis ipsi B. de ipsum F sore aequalem ipsi A. in quo K fis' eonsistit Vis omnis duplicatae aequalitatis. Etenim quia BG ponuntur aequales, ut demant ut aequales C H. erum de residui E L aequales. Cum ergo sit D ad ta vi K ad L erunt de
R aeruge,. amobrem additis aequalibus D. Κ ad aequales B G. fient & toti A F aequales
A-monstrandum erat. Itaque ut reperiat quadratos quales sunt F. G. quorum s cilicet interuali et Thi iniciuilii duo mincit G. su rat A. secundam instititit opetationem Diophantus. '': is iboeiation Aduerte primo minoris quaesitorum quadratorum latus ritε poni IN. D iςς 'r' . diu, ouidiato i o. - . a. N. - 4. unitatum numerus Wquς a totae excessus quadrati illius supra nimirum 14 N. constet ex inlis quat x Psi '''y ieis, uiri sit Q. - 1 IN. constans etiam ex solis quadram &nun ς βε addito ad minorem quadratum, fit maior quadratus II -y4 N. q. ubi Xmratum nume- isti idem duagat iis . quod accidit quia is reperiebatur in minore quadrat O , de ut dictum At dilo, uuidiam, fit addendo ii noti solos quadratos Sc numeros,unde unitates manetit immuta-- eetis autem suit unitatum numerum quae lunt in maiori quadrato, quadratum filisse, ad hoc Α dedi mim aequandum, puta in JQ. - si N. - duci in s. adini , ones tum producium diuidi per ut aequatio reducatur ad minimos numeras, unde fit' ' Σ'i, N - ώ. aequindus quadrato. Nam ut alias isse monuimus tam quadrato in quia δ um
, q' P. T. icit: Tes.' 'V et uiri esse quadrato cum quadam Numexi
in quam 16 ac proinde latus quadrati cui aequandus est 6 N. - q. debet esse mi- ou Positum autem est latus illudi N. - a. Igitur I N. - a. minus est qu1m q. '' er. manet i N. minor quam 2. Rei M igitur concludit Diophantus numeri ει vfς ς' ' dum esse. si N. minor in a. Potio necesse est hoc latus ' ii, numem Numerorum, unde patet ficii valorem Numeri, si per quadratum mimeri Ni metor in in latete positorum ternario multatum, diuidatur sextuplum eiusdem nun ieri Nume- Numesoxum m k h. iusdilui quaerendum esse numerum cuius se luplum v 'M rorum, auctum 'μ- icti nuincti, ternatio multatum, det quotiςnx mis rem qu oψ 'μ'wb λ Q --debeii diuidi mi Q. -- et. ita ut fiat quotien minor bi ' D Thiu' ita ratiocinat t. Quouis numero pe lium diuiso , quotiens est denominat D H0 D otii denominitoreo maior est,quo maior est proportio, dc contra
et. sequitur 6 -- talio primi ad secundum, quam tertii ad qu rxum, qu/m ouὶiri s N. M. 18. Quod ut praestet considerat primum Di
337쪽
Per a. prodit F valor numeri. In hac autem aequatione 6 N.-IR ponitur minor quit m a Q in a fiunt ae litates. 6 N. - - 2o. Eadem de cauta statui potest valot Numeri quilibet numerus maior quam . puta 6. v. 8. &e. Tune enim semper 2 Q fient aequales alicui numero maiori quam G
Haee quidem ad persectam Diophantaei Problematis explicationem satis su rque suffetunt.Qumniam vero hic utitur author elegantissimὰ duplicata aequalitate, unde te subtilius considerata modos aliquot adinvenimus eadem utendi, etiam in dissimili casu, quibus sand dissicilliina pulcherrimaquercoblemata seliciter explicari possum, mini in E pigebit non vulgare inuentum curiois lectori tradere ut illo sint fruatur. Quemadmodum ergo in hae quaestione Diophantus docet modum quo duo numeri simul aequentur quadrato, cum utetque componitur ex Numeris & unitatibus, & numeri Numerorum sunt inaequales, nec habent rationem quadrati ad quadratum , numeri autem uni tatem sunt in quales di quadrati: sie aio modum dati posse resoluendi duplicatam aequalitatem,cum uterque propositorum numerorum quadrato aequandorum, componitur ex Numeris & unitatibus, di numeri Numerorum sitiat inaequales, nec habent rationem quadrati ad quadratum; sed & numeri unitatum ii quales sunt , siue quadrati sint, siue non. Id autem praestabimus in duplici casu. Primus casus est, cum numerorum quadrato aequandorum interuallu in tale est, ut eo per aliquem unitatum numerum multiplicato, vel diuiso, & producto vel quotiente 2 minore propositorum numerorum detracto, supersit unitatum numerus solus quadratus . verbi gratia. Propositi sint qua drato aequandi 3 N. 33. & I N. 7. quia horum interuallum est 2 N. 6. quo diuiso per x fie quotiens I N. 3. quo ablato de i N. - 7. superest quadratus q. explicabitur aequatio hac arte. Consideratis tribus numeris 3 N. - I3. I N. - 7.& q. cum malosum interuallum, puta a N. -
duplus sit interualli minorum, purai N. 3. Quaerendi sunt duo quadrati; quvum interuallum sis duplum interualli, quo minor illorum superat facilὸ fiet, infinitisque modis insistenduvestigiis Diophanti. Esto enim latus minoris i N. latere quadrati q. puta I N. -- r. set quadritus I Q. - - 4 N. - cuius excessus supra . est I Q - 6 N. cuius duplum a Q. - 8 N. quo addito ad minorem quadratum, fiet maior 3 - ia N. - 4. hic ergo aequandus eis quadrato, sed prius determinandum est de valore Numeri. uia enim minor numerorum quadrato aequandorum est I N. 7. patet talem ei quadratum aequati debere, qui sit maior quam 7. Quare cum latus
xlinum ipsius 7. sita debet S latus quadrati maius esse quam a b At latus huius quadratilii pia positum est I N. - - 2. hoc ergo maius si oportet, quam a auferendo utrimque t. manet I N. maior qu in . Quoniam igitur ut aequemus quadrato 3 -- Ia N. q. latus
eius ponendnm est a. - certo numerorum numero, unde fici valor Numeri diuidendo quadrii Pliam numeri Numerorum auctum numero ia. per quadratum eiusdem numeri numerorum multatum ternatio. Euidens est quaerendum esse numerum, cuius quadruplum aut in numero ii.
α diuisum per quadratum quaesiti numeri multatum ternario, det quotientem maiorem quam Ponatur quaesitus numerus i N. ergo maior est quim t. & omnia ducendo in i 3. fit N. - ra. maior qu,ni . additoque desinu ,&omnia pet q. multiplicando, fit i5N. - . maior quam niobrem aequando numero alicui minori quam Is N. y7. puta is N. -- n i cum fiat i N. 7; pronuncio quaesitum numerum sumendum esse minorem quam 7 . talem tamen ut eius quadratus excedat 3. sumatur 3. Igitur numeri 3 Q -- I 2 N. - . fingo latus a - 3 N.& fit i N. q. & sunt quaesiti quadrati ioci. & 36. Nain suo aeques 1 o. & 3 N. - - 13. siue L&I N. -- 7. fit utrobiquin idem valor Numeri 29. Quod erat propositum. Itaque in hoc ea se, vi aequatio sit explicabilis. Oportet ut interualli propositorum numerorum diuidendo Numeros per Numeros minoris numeri, vel contra; & per quotientem diuidendo, vel multiplicando unitates interualli, fiat quotiens vel pro luctus quo detracto ab unitatibus minos, numeri, supersi quadratus. Vt in exemplo allato ubi interuallum est a N. - 6. minor numerus iN. - quia diuidendo a N. per IN. & per quotientem a. diuidendo unitates s.fit 3. quo detractode remanet quadratus . ideo aequatio potuit explicari. Quod si proponantur quadrato aequandi 8 N. - as. & 6 N. - - 2I. quorum interuallum a N. - - q. Quia diuidendo 6 N. per a N. & per quotienteni et . multiplicando unitates interualli fit Ia. quo ablato de a I. remanet quadratus s. ideo poterit explicari aequatio, quaerendo duos quadratos quorum interuallum sit triens interualli, quo minor superat p. Ponatur latus minoris I N. -- p. erit ipse I Q. -Θ 6 N. -- 9. N excessus eius super erit et N. quo ipsi minori quadrato addito, fiet maior I H- 8 N. -- p. & omnia ducendo in si fiet 12 a N. - Si. aequandus quadrato' si Numeri determinationem inuestiges, inuenies quadrati latus fingendum esse 9 - tot numeris qui non excedant I . sed quorum quadratus
excedat Ir. Ponatur 9- N. fiet i N. 36.8c erunt quaesiti uadrati ams.&Isai. quos si aeques propositi numeris, maiorem maiori, & minorem minori, fiet utrobique I N. aso. Secundus casus est..Cum numerorum quadrato aequandorum interuallum tale est, ut eo per aliquem militum numerum multiplicato, vel diu uo, & producto vel quotiente a minore proposit ram numerorum detracto, deficiat unitatum numerus solus, qui ad multiplicatorem vel diuisorein. rationem
338쪽
railonem habeat quadrati ad quadratum. Vt si proponantur aequandi quadrato O N. -- a N.
-- quorum interuallum N. - 22. quia hoc diuisopera. sta N. Ii quo detracto a minore numero superest - 8. & numerus 8. ad diuisorem a. habet rationem quadrata ad quadratum , ideo explicabitur arquatio hac arte. Consideratis tribus numeris 6 N. as. a N. - 3. & - 8. quoniam in totum interualluna, puta N. - a 2. duplum est inter alli minorum, quod est a N. -- II. Quaeram
duos quadratos, quorum interuallum sit duplum interualli quo minor superat - 8. Ponatur minor i huius interuallu in supr1 -- 8 est im- 8.euius duplum a Qi' I6. quo addito ad minorem quadratum, fit maior 3 Hoe ergo ut aeques aptὸ quadratoui quaeras Numeri determinationem, inuenies latus Ionendum esse tot numeris qui non excedant & quorum quadratus supero 3. Ponatur ergo latus illud Α - 3 N. fiet i N. q. & etunt quaesiti quadrati O . & 16. Nam siue aeques OM& 6 N. - - 2y. sue 16.&2N. -- a. fit utrobique i N. 6, Itaque in hoc casu, eaequatio sit explicabilis, oportet ut interualli propositorum numerorsi diuidendo Numeros per Numeros minoris,vel contra, N per quotientem hune primum diuidendo, vel multiplicando unitates interualli, fiat quotiens vel productus, , quo detrahendo unitates minoris numeri, supersit numerus qui ad primum quintientem habeat rationem quadrati ad quadratum. Vt in allato exemplo, ubi interuallum est N. - 22. minor numerus a N. -- 3. quia diuidendo N. per 2 N. & per quotientem a. diuidendo aruvnitates interualli sit II. a quo auferendo 3. unitates minoris numeri, superest 8. qui ad quotientem a. habet rationem quadrato numero exprMam, ideo aequatio potuit explicari. Quod si proponantur quadrato aeqxiandi Is N. -- 39.&Ia N. -- 3r. quorum interuallum 3 N. - 8. quia diuidendo IaN. per 3 N. fit quotiens q. Quo ducto in8. fit 31. 1 quo autetendo 3I. superest i. qui ad quotientem'. nabet rationem quadrati ad quadratum . ideo explicabitur aequatio hac arte. Consideratis tribus numeris Is N. 39. a N. - 3r.& - i. quia maiorum interuallum 3 N. -- 8. est quadrans interualli minorum quod est Ia N. -- 3a. Quaerendi sunt duo quadrati, quorum interuallum sit quadrans interualli quo minor superat - i. esto minor I Q. erit maior I in - , aequandus quadrato, omnia in Φ.st y - aequalis quadrato, & si quaeras Numeri determinationem. Inuenies latus eius p nendum a - certo numero unitatum qui non sit maior quam a nec minor quam 2 ς. Ponatur erso a - a ἰ N. fiet I N. 1 4. & erunt quaelati quadrati asyro . & etoris. quos si aeques propositis numeris, maiorem maiori, & minorem minori, fiet utrobique I N. IrasHac arte in aequatione Fam resoluit Diophantus propositione i . lib. i. aequans quadrato Io N. - s.&yN. - Φ. Ciun ille unicam solutionem reperire possit, nos infinitas dabimus. Etenim
quia interuallum est y N. - s. dc diuidendo 1 N. pet y N. st I. per quem diuidendo unitates s. fit quotiens se a quo auferendo superest I. qui ad priorem quotientem I. habet rationem quadrati ad quadratum, puta aequalitatis, ideo explicabitur aequatio si quaerantur duo quadrati,
quorum interuallum sit aequale interuallo quo minor superat - I. sit minor I erit maior a Q a. quadrato aequandus, sed si quaeras Numeti determinxtionem inuenies latus fingendum esse I - tot numeris qui sint minus quam a.& quorum quadratus excedat a. snsatur . N.fiet I Na8. ut apud
Diophantum. R sus fili aturi i N. heta N. Veruntque qua siti quadrati V. N primum si
aeques ro N. - 9. secundum s N. - fiet I N. utrobique Porro vitaque regula suam vim obtinet qualicunque s gno Aciantur numeri quadrato aequandi, ut constat ex sequentibus exemplis.
Sint quadrato aequandi 2 -8 N. & s - a N. quia horum interuallum est is - 6 N. quo diuiso me 3. fit s - a N. quo detra a minore superest . quadratus numerus, relisluetur aequatio per primam illam; sit minoris quadrati latus I N. Lecit ipse I s -- Α N. - Α. Ergo maior Q - Ισα- 4. euius latus si oonas a. -8 N . fiet i N. l.&quaesiti quadrata Vr. quos si aeques propositi numeris, fiet utrobique idem vitor Numeri Rursus sint quadrato aequandi H N. - 17. & io N. - IL quia horum interuallum est sto N. quo diuiso per a. fit io N. 3. quo detracto de minore superest -8 qui ad diuisorem 1. habet rationem quadrati ad quadratum, reseluetur aequatio per secundam tegulam. Sit minor quadratus a Q. erit maior 3 Iε. cuius latns esto -- I N. fiet x N. q. Erunt ergo quadrati 6 . & is. qui ii aequentur propositis numeris, fiet Niobique valor Numeri. Rursus sint aequandi quadrato aqN. a & 8-- io. eum horum interuallum sit is N. - ra. quo diuiso per a. fit 8 N - 6. quo detram 1 minore superest is. quadratus. Explicabitur aequatio per primam regulam. Sit minoris quadrati latus - i N. erit ipse I 6 - 8 N. - i ergo maior erit Is- 24 N. - 3 Q. euius latus esto a N. fiet I N. 8. emo quaesiti quadrati sunt oo. dc 1 qui si aequentur Propositis numeris, fit utrobique valor Numeri
aequandi quadrato.di a ratus aequatas a N. -- s. erit is se qua ratus aquandi0 6
339쪽
N.- sarit 36.e, im enienturalis in infinitum quasionifatisfacientes e diffiti s regulam generalem ad huiusmodi quaestionumsolutionem proponere, ut vix limitatio ista Racheli si tanto viro digna , cum ad in nitos easus exiendi, quod in duo iis tantum adinvenit, facillime possit, imo se ad casus omnes posiriles.
quo quadratus maximi superat quadratum medij, ad interuallum medii & minimi , datam habeat rationem, sed & bini sumpti faciant quadratum. Porro excessus quo quadratus mixtini superat quadratum med ij, ad excessum med ij supra minimum sit triplus. Quandoquidem maximus & medius iaciunt quadratum, sa clanta 6 Q. ergo maximus est maior quam 8 esto 8 Q. -- a. & quando maximus& medius coniuncti superant summam maximi & minimi, at maximus&medius simul sunt i5 erit utique summa maximi & minimi minor quidem quam Ib Q. sed maior quam 8 Igitur summa maximi & minimi esto ς Atqui summa in ximi & medij est i 6 inquorum maximus
est 3 in F a. erit ergo medius 8 - a. Tertius vero I 4-2.&quia volo exces sit in quo quadratus maximi superat quadratum medij, ad excessum meo stupra minimum esse triplum, sed excessus quo quadratus mari imi superat quadratum
medii est f At interuallum medij de
minimi est in cuius triplum est ri Porro O QAiunt ex 32. in a. ducto: incumbit ergo mihi ut numerum aliquem inueniam, qui per 32 multiplicatus faciatat. est autem R. Pono igitur primum 8 4- . Medium 8 tertium r& restat implendum unum postulatorum, nimirum ut summa medij & minimi stquadratus numerus. est autem haec silmina V Qi- ::- hoc ergo aequatur quadrato a latere 3 N. - ις. & fit i N. I. Ad positiones. Erit primus secundus tertius
340쪽
Afithmeticorum Liber IV. et is
Ille quatuor praestanda sunt. P imo summa maximi & medij debet esse quadratus, ideo statuitu
I 6 Q.&poni poterat quilibet alius quadratorum numerus quadratus. Quia vero ex duobus inaequalibus numeris, patet maiorem illorum excedere semissem luminae ipsorum eodem numero,
quo minor deficit ab eodem semisse, ideo posito maximo 8 Q - - 2. sequitur medium csse 8 a. Secundo summa maximi & minimi debet quoque esse quadratus , sed quia summa maximi & minimi , minor est summa maximi & me iij eodem numero quo medius superat inmuniam , ideo eum posita sit summa maximi & mediji6 Nortet utique summam maximi & minimi minorem etiaquὶm I 6 Quia vero, ut dictum est, ipse maximus maior est quam 8 mulio magis summa maximi & minimi, maior erit quam a Q. quare resu concludit Diophantus, pro summa maximi deminimi sumendum esse quadratum minorem quam is Q aiorem quam S Q. puta 9 unde si auferatur maximus qui positus est 8 a. restat minimus a. Tertio excessus quadrati maximi tu per quadratum medii ad excessum me dij supra minimum, datam rationem habere debet, puta triplam. Mia vero maximus est binomia in constans ex quadratis ει unitatibus, puta 8 sq. a. At minimus est residuum eiusdem binomiti puta 8 - 2. Quadratus autem binomii excedit quadratum sui residui, quadruplo plani sub partibus comprehcnii , It constat ex genesi quadrati per quartam secundi Euclidis, cum quadrati patrium sint iidem tam in binimio quam in residuo, ideo sequitur interuallum quadratorum maximi & inedij este quadruplum producti ex8QJna. nimirum 6 At interuallum medii & minimicit cuius triplum a I inaequari deberet 6 Q. Hoc ergo ut per ipsas positiones consequa nur, qua Gildus est numerus loco ipuus a. qui mi ater ductus in R. seu in 3r. semel , ellulat a L hoc habetur diuidendo 21. per 3 r.estque . Hune igitur sumentes loco ipsius a. erit maximus f V. medius 8 Q. - n. Minimus I sic per ipsas positiones tribus postulati partibus est sati, tactuin. Quarto remi ut summa medii & minimi ut quadratus. Mare 9 aequandus est quadrato, euius latus ponitur, Diophanto 3 N. -6. non absque cautione aliqua. Etenim talis inuemri debet valot Numeri, uti it maior quim n. quia scilicet minimus numerus positus est a Q. maior erit quam isti sit maior unitate,& si et Q maior sit unitate, erit de i N. maior vim ate. Itaque eum fiat valor Numeri ex quodam quadrato adiciscente & si e diuiso per sextuplum sui lateris. ut autem fiat quotiens mesor unitate, oportet diuisum numerum esse maiorem diuisore, quaerendus est numerus cuius quadratus adsciscens δε sit maior sextuplo ipsius numeri. Porro talis est 6. & cimnis numeliis supra s. Quia enim quadratus ipsius 6. aequatur sextuplo sui lateris, & quadratus cuiuslibeς numeri supta s. est maior sextuplo sui lateris, patet addendo ta ad huiusmodi quadratum fieri semper numerum maiorem sextimio lateris. Ideo numeri 9 Qi- n. ponetur 3 N. - 6. vel 3 N. - . vel 3 N. -8. di sic in intinitum. CaeteAm eodem prorsus artificio soluetur huiusmodi quaestio.
Inuenire tres numeros , ut excelsus quadrati med ij supra quadratum minimi ad interuallum, quo maximus superat medium datam, haheat rationem. Sed & bini
sumpti faciat quadratum. Sit data ratio tripla
Ponatur summa minimi & medii 4 in& esto medius a -- I. minimus a i. Tum ponaret summa minimi & maximi quilibet quadratus maior quam ut a s erit ergo maximus 7
- . r. Est porro interia allum quadratorum minorum 8 Q. At interuallitin maiorum 1 in cuius triplum is aequari deberet 8 in fit autem8 exa in quater inmitatem. Itaque quarendus est numerus loco unitatis, qui ductus in a. quater, seu qui ductus in 8. semel, efiiciat is .is est . hune ergo sumentes loco unitatis ponemus minimum 2 Qin medium a Q se maximum 7
Superest ut summa medij & maximi aequetur quadrato, fit erso 9 V aequalis quadrato, cuius latus ita fingendum estut fiat valot Numeri maior unitate, quia minimus positus est a Q. - ου. inare oportet ut it maior quam ἰὼ quod accidit si sit maior unitate. Porro fiet valot numeri ex quodam quadrato multato numero & diuiso per sextuplum sui lateris. Quare ut hae diuisione prodeat quotiens maior unitate, oportet I Q -V maiorem esse quam 6 N. unde tandem fit i maior quam 6 N. - aequatione resoluta fit i N. maior quὶm 7.Igitur numeri 9 α -- V fingemus 3 N. - quotlibet unitatibus quae superent r. Ponatur 3 N. - Io. fiet i N. . . eruntque quaesiti
numeri l. l. rit:. 2. .. qqisit istaeiunt postulatis, nam bini ficiunt quadratos V, tiam latera. i. U. interii allum vero quadratorum primi & secundi est et , . . 'LV. triplus utique interualli secundi & ter ij quod est