장음표시 사용
351쪽
-λιν γον K. -- μνον πυ νον ς'. γι lateribus ipserum 4.& q. fit s. hune diuideremti f πιλν - θῖ τετράοπιον. per latus alterius quadratus Io. fili N. . Φεις γίνει- ς. ὁ Rursus diuide quadratum . per . fiunt g fi ὀ δα Φιρας π ο de rursum divide quadratum '. per :. fiunt T. f. erit igitur primus: secundus v.tertius s.
OP a R A ri o Diophanti facilis est, & Canon quem tradit ab ea depromitur. Posset tamen breuius de facilius explicari Canon iste, hoe pacto. Numeras puos notaraint dati numeri , ubin inter se bini-- Itiplicantur , disiae per resi-
wim, quotienimn latera exhil ne mineros.
Vt in exemplo Diνhanti productum ex . in s. puta 36. Divide per reliquum 16. fiet η. euius latus i rest unus quailitorum. Rursus productum ex in s. puta 64. diuide per reliquum s. fit euius latus ai. est secundus quxsitorum. Denique productum ex s. in I6. puta Iqq. diuide per i liquum 4. fit 36. cuius latus, est tertius quaesitorum. Porro uniuersalius etiam proponi potest ipsa quaestio in hunc modum.
Datis tribus numeris , inuenire tres numeros, quorum bini inuicem ducti, dato, producant numeros. oportet autem selidum sub datis numeris contentum esse qua
dratula . Sint dat I 6. R ir. Ponatur primus I N. secundus A. tertius L. Restat ut ex secundo in tertium fiat iti fit autem hoc ergo aequatur ita de fit 1 N. a. sunt igitur quaesiti numeri a. s. q.
IN v a Ni it a tres numeros , ut qui fit ex binorum mutuo ductu , omnium simina siue detracta quadratum faciat. Rursum primo quaerantur tria triangula aequales areas habentia. Quibus inuentis sumemus quadratos hypotenusarum. Est autem primus 336 . secundus 3 76. tertius Hos nacti, inueniemus, ut iam traditum est, tres numeros, ut producti ex binorum mutuo ductu taciant datos quadratos, qui sint ij quos exposuimus autem illos, quia quivis ipserum siue addas ei, siue adimas tabo. facit quadratum. At 336o. est quadruplum areae singulorum triangulorum. Ea propter nunc in numeris pono primum M. N. secundum . N. tertium ' N. quorum bini inuicem ducti faciunt supradictos quadratos. Restat ut hi tres aequentur 336o in& omnia ut unius sani denominationis , reducantur ad rara '. erit primus 'E M. N. secundus N. tertius N. & fit trium inma N. aequalis 336o Q. M omnia in iri et q. fiunt 3r8roos. N. aequales
352쪽
Haec qu*stio, ut bene monet Xilander, a duobus praecedentibus pendet omnino, & operatio Diophanti plana est, sed ima minutiarum tractatio in textu Graeco scatet mendi . Ram rbtem malui in mea versione rem subitecte per veros numeros modo nobis coniueto, vim in verbisti in numeris Diophantaeis omni ex parte testituendis diutius animum torquere. Porro quod deest in Diopbanto ipsa nimirum quaestioni, solutio in sic a nobis supplebitur fit i N. Q. . . . in minimis Ad positiones erit primus secundus u. .:: ἰγ temus deni, que ut autem pro to satisfaciant huiusmodi numin, tu si vacat expetite , nos ad ea quae maioris sum momenti interim progrediemur.
tes, de utrique sesinento datum numerum adjicere , & iacere quadratum. Oeortet autem datum neque imparem esse, neque taplum cius N. unitas maiorem habere quadrantem quam est numerus, quo ipsum metitur primus numerus. 2 Imperatum sit ut utrique portioni adjungamus 6. itaque efficiamus quadratum. ia ergo volumus unitatem secare,& utrique segmento addere 6. de facere quadratum: Lumina duorum qui sic fient quadratorum erit II. Opportet igirur diuidere r3. in duos quadratos, ut uterque ipsorum maior sit senario. Ergo si 13. diuidam in duos quadratos , quorum interuallum unitate sit minus , soluo quaesti nem. Sumo semissem de 13. qui est 6 . &quaero quam partem possim ad 6 .. adiungere, ita ut quadratum consciam. Multiplico per A. & quaero postmodum partem quadratam, quae si ad 16. adijciatur faciat quadratum. sit pars apponenda .. . sunt 26. - . c. aequalia quadrato , & si omnia per i inmultiplicentur, fiunt asin-- I. aequalia quadrato, esto latus eius 3 N. -- i. & fit i N. Io. .adratus ergo Ioo. Pars quadratican . Proinde pars addenda ad 26. est τα. Quare pars addenda ad .s best & facit quadratum a latere r. Oportet igitur ita diuidere 13. in duos quadratos, ut utriusq; latus proxime accedat adl . Et quaero quo numero ternarius multatus, & quo binarius auctus faciat stupradictum numeriim ri. Statuo it que duos quadratos, alterum a latere ii N. -- a. Alterum a latere 3 - 9 F. Sc fit summa quadratorum ab his ortorum. 2oa in 'ΤM N δελ- ώς δύο scem, κυ in s miειν τετραγωνον. τὸν δὶδόιδμον m -ιασὶν d ό ρο- untii M'α.ὴ μιτρωαι ἄψ τῆ α s ta τε et θωεη τε η F τ κώαo-ς. s
353쪽
13 -ION. aequalis I3. &sti N. . . . Erit igitur alterius quadrati latus ' . alterius veto X. & si ab utroque quadratorum inde saetorum auferamus si erit alterum segmentum unitatis et . . alterum de iisquet horum utrumque adscito 6. facere quadratum.
PVLCi vasti MuM problema, sed misertimὸ asse in , ita ut medicantis manum vix admittat,& eum in eo enodando inultum desudauerit Xilander, id tamen quod potis limum est metermisit, accuratam scilicet appositae conditionis explicationem. Quam enim sit necessatia conditionis huius cognitio, manifestum est ex eo quod in hypothesi Diophanti tota vis aequationis consistit in diuidendo nam ero I 3. in duos quadratos , quorum quilibet sit maior quam 6. minor quisna . Nullibi ai tem traditus est modus dui idendi numerum aliquem in duos quadratos, nisi numerus ille sit quadra. tus , vel suapti natura ex duobus quadratis compositus. Itaque cum euidens sit, ponendo latera qua dratorum I. N. - a.&3.-9 N. aequationem succedere non posse nis quadrati ipsorum α&3. simul eisciant 13. Necesse est utique i 3. componi ex duobus quadratis. Atqui 33. est duplum dati nu. meri s. unitate auctum. Certum ergo est conditionem 1 Diophanto allatam requirere debere, ut du.plum dati numeri unitate auctum , si quadratus numerus , vel compositus ex duobus quadratis. od elim validὸ eonfirmat ut verbis illis. Oportet intem aiatum neque imparem esse. Nam si datus nummis sit impar, nullo modo duplum eius unitate auctum potest esse quadratus, vel compositus ex duobus quadratis, ut facit E in demonstrare. Sit enim numerus impar Α B. euius duplum esto
Α h co A ta addita unitate C D. fiat A D. dico primo A D. non esse quadratum. Si ' enim ponatur quadratus; cum numero pari A C. Udita unitate C D, fiat A D est Α o impar. Ergo , quadrato impati A D, detracti unitate C D' reliquus Α C est rariter par. Qu
mobrem illius dimidium ΑΒ est numerus par, contra hVothesim . Rursus dico numerum ΛΠnon eomponi ex duobus quadratis. Etenim cum A D ostentus sit, impar, necesse est e duobus quadratis ex quibus componi dicitur , alterum parum esse , alterum in ratem. At omnis quadratuspat, est pariter par. Et ab omni quadrato impati auferendo unitatem relinquitur patiter par. Igitur a toto AD ablata v nitate, reliquus A C componetur ex duobus pariter partibus,' ae proin- de Α C. patit et par est. Quantobrem illius dimidium Α Β, par, est contra hypothesin. Reliqua vero verba. New. iam eius, &e. adeo vitiata sunt, ut nullam commodὸ tecipere possint explicationem. Non dubito quidem Diophantum respexisse ad aliquam numerorum non vulgarem proprietatem, qua definitur quis numerus Par deligendus fit, ut duplum eius unitate ametum sit quadratus numerus, vel compositus ex duolaus quadratis. Sed quid sibi velit in tanta Hrborum eati sine diuitiare non possibiit. Id oneris relinquam illi qui in codicem aliquem emendis, rem inciderit. Sufficiat nobis appositissimam attulisse conditionem, cum qua necesse est conditio. nem Diophanti coincideres reciὰ praescribatur. Sanὸ quod ait X dander vel ba illa eorrupta, videri velle, debere eum qui datur esse duplum numeri primi, id utique sit tile est, & nulli iandimento nixum, quodque ipsa statim experientia refelli polim, nam si datus sit io. is est duplus numeri primis. & tamen quaestioni soluendae minime reperitur idoneus, nam oporteret diuidere in duos quari tos numerum ai. Quod ciuidem impossibile est, ut reor, cum is nriue quadratus sit, neque suapte natura compositus ex duobus quadratis.
OBsERVATIO D. P. RNVmerus as. non potest diuidi in duos quadratos in stactis. Hoc autem facit me
demonBrare possumus, o generalius omnis numerus cuius triens non habet trientem non potest diuidi in duos quadratos neque in integris neque in fractis. Aliquando mihi venit in mentem Diophantum voluisse duplum dati numeri paris , nitate
auctum esse mimerum primum , quandoquidem omnes sere huiusmodi numeri compon utitur ex duobus quadratis, quales sunt s. 13. 1 . ets. gr. aliique primi numeri clui sublata via eaten linquunt numerum pariter parem. Veruntamen neque haec explicatio sustineti potest. Nam primum hac ratione per huiusnodi conditionem excluderentur Omnes numeri, quorum duplum unitate auctum est quadratus numerus , quos tamen aptissmos esse soluendae cpiaestioni Pa
cet, quia quilibet liadratus diuidi potest in duos quadratos per octivam secundi; sed Ee inita exemplo
354쪽
exemplo id eomprobabimus. Deinde excluderentur etiam multi numeri, quorum duplum vni rate auctum componitur ex duobus quadratis, quales sunt 22. y8. 6a. de alii innumerabiles. Nam dupli horum unitate aucti sunt s. ii . lay. qnorum nullus est primus numerus, cum quilibet miliatos habeat metientes; unusquilque tamen E duobus quadratis conflatur, primus scilicet ex qua iratis 16. &4 secundus ex quadratis 8i.&, tertius ex quadratis ioo. & ets. Itaque satius et it conditionem a nobis allatam amplecti, donee aliquis ex emendatiore codice testimat Diophantum. Solum hoe moneo in eo mee Vaticano, haec verba se haberi. ι- ο δ iv ασιων - αριθριὸν α. τεταρρον, η-c του
V Era limitatis haec est , generatis nempe omnes numeros inutiles excludens.
Oportet datum numerum non esse imparem, neque duplum eius unitate auctum per maximum quadratum ex quo mensuratur diuisum diuidi a quo uis numero primo unitate μι nora qua multiplex quaternarν. Porro quoniam operatio Diophanti subtilis est, & non vulsaris artificii, placet eam explicare,
quoad potero breuiter & dilucidE. Primum itaque euin 13. diuidendus sit in duos quadratos, quorum uterque maior sit senario, rectE quaeritur pars quadrati quae ad 6 addita faciat quadratum , sic enim diuidendo postmodum i 3. in duos quadratos, quorum quilibet proxime accedat ad inuentum quadratum , satisfacti im erit proposito, nam quilibet illorum non multum distabit a 6 Reducit autem omnia ad integros more suo Diophantus, multiplicando 6 οῦ per unde fit 26. Nam inuenta parte quadratica quae ad 26. addita quadratum saciat, illius utique quatia pari addita ad 6 faciet quadratum. Ponitur ergo pars huiusii odi est . quia scilicet pars quadratica sit diuidendo unitatemper aliquem quadratum ; unde sequitur 26 -- aequari quadrato; ut autem rursus ad integros fiat reductio , ducuntur omnia in I Q sc fit 25 - i. aequandus quadrato; cuius latus ita fingendum est ri valot Numeri sit maior unitate,si enim sit unitate minor, patet et . re pleriique maiorem unitate, ae proinde non sere proprie partem quadraticam, unde sequitur inuentum quadratum, tota unitate, vel etiam maiore interuallo superaturaim numerit 6 l. Verbi gratia si fingatur latus supradidit quadratii N. - r.erit quadratus I Q - 2 N. - I aequalis ab in I. &fiet I N. E . Quare . . em cuius quadrans vadditus ad 6 quadratum facitῆ . qui excedit ipsum 6 plus quain 39. unitatibus, ac I roinde quaestioni soluetidae prorsus est inutilis. Igitur ut arte certa, non sortuito fingatur huiusmodiatus , ita ut valor Numeri Diperet unitatem, cum fingi possit huiusmodi latus vel x tot numeris, quorum quadratus sit minor quam 26. vel i - tot numeris. quorum quadratus sit maior quam 26. mo modo set valor Numeri, auserendo quendam quadratum 1 as. N pet residi iuui diuidendo dupla lateris eius leni quadrati. Vt ergo quotiens sit maior unitate repertudii, in quadratus quo det tactoa 16. relinquatur numerus minor duplo lateris eiusdem quadrati, ponatur is i ergo a N. maior est quis r6 i inti tandem I - 2 N. maior est quam 26. Qua aequatione re iura, fit i N. non minor quam 4 Fingetur ergo latus quadrati I - tot numeris qui excedant dum eorum quadratus sit minor quam 26. sic Diorbantus posuit hoc latus I s N. & poni possiet 1 - N. veIa - N. N sic aliis infinitis modis. Secundo vero modo fingendo latus quadrati, fiet vitor Nu- meti, a quodam quadrato auferendo 26. & per residuum diuidendo duplum lateris. Qua te ut fiat va-ior Numeia maior unitate, posito illo quadrato i erit a N. maior quὶm i Q 26. α tandem maior erit quam a N. 26. Qua aequatione resoluta fit i N. minor qu,m 6 fingetur ergo latus x - aliquot Numeris intra6-dum eorum quadratus excedat 26. Verbi gratia fingatur I 6 N. fieti N. : & pars quadratica ad 6; adiicienda et te fietque quaciatus . a latere Vnde collige
partem suadraticam hic non sumi strict pro fractione quadrata cuius numerator sit I. Sed tantumpto fractione quadrata quae minor sit unitate, idest cuius numetator sit minor denominatore. Inuenta porro parte quadratica quae ad 6 i addita facit quadratum euius latus is rectὸ infert Diophantus numerum 13. ita diuidendum esse in duos qua statos, ut latus utriusque proximὰ ae cedat ad sic enim uterque qyadratus proxime accedet ad 6 L Vt autem Ir. diuidatur in duos quadratos per operationem decimae secundi, debent sumi a. & 3. latera quadratorum, ex quibus ra. suaptὰ natura componitur, S alteri addi oportet certum numerum Numerorum, ab altero detrahi Vt ergo utriusquequadrati latus adaequetur numero: . necesse est ad a. addi P. & a 3. auferes .: Q sere si i N. supponatur esse erit utique I i. N. a. aeqtialis P . 1 temque 3 - 9 N. sic autem quadrati horum laterum aequari debetetit in . . Quare si aequentur ipsi i . si et utique i N. paulo minoe
quam . . ac proinde II N. R 9 N. paulo minus mini quam '. N A. unde sequetur utrumque latus non multum distare posse V ae et conse aiiens utrumque quadratum thre proximum numeros
. atque adeo Proposito ritE latisfacturam. Hi ne satis colligitur, quod supra diximus, in conditionis
355쪽
explicatione nimirum, sitisse necessarium numerum I 3. eomponi ex duobus quadratis. Qua de exuates etiam optinis succedet, si datus numerus talis sit , ut eius duplum unitate auctum sit quadratiis numerus , quandoquidem omnis quadratus in duos quadratos potest diuidi per octauam secundi. Hoe auteἰ n ut manifestius fiat, & simul artificium Diophanti magis illustretur ; talis quaestio proponatur. Vmtatem secare in duas tartes , ut vir .iadendo Patet numerum 9. di uidendum ei se in duos quadratos, quorum interuallum sit unitate minus, hoc est tales ut uterque
superet . Quare sumendo semissiem ipsius y. pura . . quaero quae pars quadrati huic addita faciat quadratum, & ducendo in A. sit 18. Positaque parte quadrati Q. fit I8-- aequandus quadrato , & omnia ducendo in sit IS α -- L aequandus quadrato , esto latus Α N. I. fiet i N. 4. Igitur est m. cuius quadrans puta additus ad 4 facit quadratum euius latus v. Quare v. ita diuidendus est in duos quadratos , ut vitiusque latus adaequetur ipsi Dividitur autem s. in duos quadratos per octauam secundi, puta in τη. dc I, quorum latera Video ergo quid addendum sit ad b& quid detrahendum a I.-fiant v. & inuenio hinc inde A. Quare fingo quadratorum latera ' -- 13 N.& VII N. fitque summa quadratorum 29 -- ρ - 6 N. aequalis s. unde fit I N. d. suntque latera quadratorum ipII quadrati Munde si auseras sigillatim q. supersunt quaesitae partes unitatis ἰ:. de Possem etiam in huiusmodi quaestione artifieium imitari decimae tertiae sequentis,hoc pacto.Po
tur alter quadratorum I Q erit alter 9 -r Q. qui aequati debet quadrato, ita tamen ut i Q. inueniatur maior quam 4. minor quam s. Sumamur ergo duo quadrati inter η. N s. quales sunt &quorum latera n & X. mare curandum ut valor numeri cadat inter B& A. sit autem v lor Numeri, diuidendo sextuplum alicuius numeri per quadratum ipsius unitate auctu nu Oportet igitur maiorem esse quam minorem qu in tandem N. maiores sunt quὶm ai
- - 2I. mmores quam 22 Q. -- 22. Et utraque aequatione per approximationem resoluta, fit 1 N.
maior quani A. minorquὶm poliatur ergo a quadrati ς' aliis statuatur 3-a: N. fieti N. &erunt quadratorum latera ipsi quadrati : et a quibus auserendo si naturi . remanent qxurinae partes unitatista &ut supra. Animaduersione quoque dignum est, eodem prorsus artificio Numerum quemlibet ita diuidi posse in duas partes, ut utrique adiiciendo eundem datum numerum, fiat quadratus, dummodo duplum addititii nitineri ad iii mens numerum diuidendum, faciat quadratum, vel numerum Eduobus quadratis compositum. Verbi gratia. sit diuidendus r. in duas partes, ut utrique adiiciendo fiat quadratus. Patet numerum io. diuidendum esse in duos quadratos, quorum quilibet sit maior quam . sumo ergo semissiem de Io. puta quaero quae pars quadrati huic addita iaciat quadratum, pona- tur . ergos aequatur quadrato, & omnia per I multiplicando, I. aequandus quadrato. Esto latus illius i - - 2 N. fit i N. 4. est ergo pars quadrati qua addita ad s.fit quadratus cui iis latus r. Diuidendus ergo est Io. in duos quadratos, quorum latera proximE accedunt ad: Diuiditur autem io. suaptὸ natura in quadratos. quorum latera sunt I.&3. Quare imitando artificium Diophanti fingemus latera qliaestorum quadratorum r--y N.&3-3 N. fiet summa quadra orum Io -- 3 -8 N. aequalis Io.&neti N. Sunt igitur quadrator uindatera m de Lipsi
quadrati 1 quibus si auferas q. sigillatim, restant quaesitae binarii partes R. Denique, non dissimulandum eadem arte solui quaestionem quam tradidit viet a Zetetico s. I b.
Datum numerum ex duobus quadratis compositum, rursus diuidere in duos quadratos, quorum alter consistat intra limites praestitutos. usit diuidendus s. in duos quadratos, quorum alter sit maior qii in L minor quam a. sumo medium in arithmetica medietate inter I. N a. puta I& quaero quae pars quadrati illi addita , quadratum faciat, inuenietur modo supra traditori. fitque quadratus euius latus Ita ergo fingendum est latus praesiniti quadrati ut accedat ad i. Quoniam vero volumus ita diuidete s. in duos quadratos, ut alter proxima accedat ad I P.& detratior, . ab ipso s. superest 3 9 euidens est iterum quadratum aecedere debere ad 3 i. Riirsus ergo quaero quae pars quadrati ad 3 addita, faciat quadratum.ea inueni tur modo tradito fitque qui iratus . . a latere I taque diuidendus est s. in duos quadratos ita ut huius latus adaequetur . . seu v. alterius vero . Sunt autem latera quadratorum ex quibus suapte natura eomponitur I. & Σ recum unitati desim:. quominus aeque I&binarius super in V. teruallo . fingo quadratorum latera I IN.&a - 6 N. estque quadratorum summa F - io N aequalis s.&st I N. . . suiuque latera quadratorum l. ipsi quadrati quorum sit mina s. & alter puta maior est unitate, minor binario ut postulabatur. Rursus diuidendus esse et . in duox quadratos quorum alter maior sit quina 6. minor quirim io sumo medium arithmeticε inter s. & im puta 8. de quaero partem quadrati quae illi addita quadrarii facta , ea est fitque quadratus ' . a latere r. inita vero detrahendo 8. ab ipso ro. superest 12. maero rursus partem quadrati quae ad Ia. addita, faciat quadratum, ea est- .fitque quadratus V cuius latus L Itaque diuidendus est 2o. in duos quadratos . ita ut unius latus aecedat ad alterius vero latus adaequetut seu u. Componitur autem D. ex duobus quadratis suaptε natura, quorum latera
356쪽
ε. 8e q. Quare eum ipsi a. desint quominus aequet ipse . superet interuallo L fingo quadra
torum latera a. s. N. oc -7N. estque summa quadratorum 2o- 13. . a. N. aequalis 2o.
& fit 1 N. sunt igitur quadratorum latera dc '. ipsi quadrati V. α quorum sunmia ao & alter, puta ' L. maior est quam seu quam 5. de minor quam seu quam Io. ut postulabatur. Soluit hoe problema Franciscus Vieta loco citato, alia methodo , tibique peculiari: ted cum ea . non sit ista melior, immo sit longe diisellior, non est cuream explicandi laborem intimamus.
utrique segmento alium atque aliudatum numerum, itaque quadratum conficere. Imperatum sit ut unitas secetur, &adiiciatur alteri segmento a. alteri f. ut fiat utrimque quadratus. Exponatur initas A B. & secetur in G. & ipsi A G. adjiciatur binarius A D. At ipsi G B. addatur senarius B E. uterque igitur ipserum G D. E. est quadratus. Et quia AB. est unitas. At summa duorum A D. BE. est 8. Totus utique D E erit ρ. Et hunc oporte diuidere in duos quadratos, nempe in ipse, G D. G E. Sed quoniam quadratorum alter maior est binario A D.& minor ternario D B eo res rediit ut datum quadratum ρ. diuidam in duos quadratos nempe ipses G D. G E. ut alter ipserum G D. c
dat medius inter binarium, & ternarium.
Nam inuento ipso G D. cum A D. binarius sit, dabitur etiam reliquus A G. Est autem A B. unitas. Quamobrem & reliquus BG. datus erit, sed Sc dabitur G. in quo secanda est unitas. Iam descriptionis ductum sic exequamur. Esto alter quadratorum, is qui inter a. & 3. cadere debeti milier ergo erit 9. - I quandus quadrato. Et quidem hunc aequare quadrato. facile est, sed oportet talem inueniri i Q. ut cadat inter a. & 3. Sumamus duos quPdra's, alterum maiorem quam 2. alterum minorem quam 3. sunt autem & la. Iam si i inita adornemus ut inter hos duos quadratos incidat, siluemus quaestionem. oportebit ergo Latiis etiam a Q. hoc est i N. maius esse quam minus vero quam R. oportet igitur 9 - I Q. aequantes quadrato , inuenire I N. maiorem quam l .
357쪽
drati latus a 3. cum desectu aliquot nume rorum, & inueniemus i N. fieri ex aliquo numero sexies sumpto ,& diuisse per qu
dratum ipsius unitate auctum. Eo itaque sum redactus ut inueniam aliquem numerum, qui sexies sumptus, & diuisus per quadratum ipsius unitate audium quotien tam iaciat maiorem quam l . minorem quam A. Esto qui quaeritur i N.Volo erso vis N. diuis per a Q. i. quotientem faciant maiorem quam ἰ - minorem quam . Sed & 17. diuisus per ir. quot lentem facit E. Oportet itaque 6 N. ad I in . maiorem nabere rationem quam quae esti7. ad ia. productus ergo ex 6 N. in Ir.
hoc est 71 N. maior esse debet producto ex I Q. - I. in 17. hoc est 17 i7. Numerorum semissis in se ducatur, fit iasi 5. aufer productum ex quadratis in unitates, hoc est 289. relinquitur roo' huius latus non maius 3i. adde dimidii a numerorum, fit non maius 6 . diuide permultitudinem quadratorum G i N. E. Similiter quandoquidem oportet 6 N. ad Iin F I. minorem rationem habere quam quae est ist. ad ia. Inueitiemus i N. non mi norem iri. sed & non niaior inuentus est R.
esto igitur a b sermo ergo quadratum a latere 3 - a b N. & sit Ia ἰ- Q --9 -a I N. Haec aequantur 9 - t R. unde fit i N. n. Quadratus vero : & s hine auferamus binarium , erit alterum segmentum unitatis Pl . alterum Et postulatis satisfit.
SA Tis accurate quaestionem hanc explicauit Xilander, multa tamen praetermisit notatu digna, quae ut villatim nersequamur. Aduerte primo necessariam a Diophanto bie omissam esse eoi ditionem. Cettum euenim numerum 9 - 1 Q. aequari non potuisse quadrato, nisi s. quadratus fuisset. Quare cum 9. factus sit addita unitate vi g summam adiiciendorum numerorum a. de 6. eui, deni est huiusmodi conditionem praescribi debere. 'metor sum massiicien in numero eonficere ' Baraim unitate auctam. Moneo tamen sic esse concipiendam conditionem, si non alit et quam per operationem Diophanti soluenda sit qua stio. Cum enim, ut insta commonstrabimus, quaestio aequὰ bene solui ponit, dum summa numerorum additiorum unitate aucta conficiat numerum ex duobus quadratis compositum, poterit uniuersalius proponi conditio . nimirum sic. Ope
Aduerte secundo in codice manu exarato deesse diagramma descriptionis Diophantaeae quod nos festituimus, esim absque illo non possint intelligi Graeea aut horis verba. Caeterum absque licitias odideseriptione res facilius & breuius explicari potest, hoe modo. Cum ad a. addendo partem unitatis debeat fieri quadratus, do ad 6. addendo residuum unitatis conficiendus sit aliter quadra: res , Patet
358쪽
qiradiatorii in sole s. are 9.diuidendus est in duos quadratos, quotum ester c, at inter a. α 3. altero.& .consistat. Unde dupli ei via perueniri potest adaequationeni.Sic enim Diophantus, cum qui inter 24 3.eadere debet, posuit i Q alterum 9 - sie ille qui inter 6.dc . eonsistere debet poni potest I inalter ρ - r & similis prorsus erit operatio. Certum est autem hisce quadratis i
uentasiolui quaestionem, nam si ab altero austratur a. ab altero 6. remanebunt quaesitae partes unitatis.
Aduerte tertio ut inueniat Diophantus quadratum maiorem quam a. minorem quesu 3. rectE s mere duos quadratos qui cadant inter 1. & r. quales si enim curemus ut i cadat ii ter hosce duos quadratos, euidem est eum fore maiorem quini a. minorem qiiam 3'. est alitem latita duos quadratos reperire qui cadant inter a.&3. id enim fiet, si sumatur quilibet quadratus, inter cuius duplum ci triplum cadant duo quadrati. Ut si sumas 36. cuius duplum 72. triplum a M. cim inter ra. I i . cadant duo quadrati 8i.& i . his subscribendo denominatorem 36. fient quadrati quaesiti : &-Quare si per hos soluere velis quaestionem curandum erit, ut valor Numeti cadat
Denique aduerte ut fiat valor Numeri maior quis E minor quam R. Diophanti iiii vii artificio quo iam saepe in simili usus est. Quia enim' -I Iauadrato aequandus est, fiet valor Nil meri, fincendo latus 3 -- aliquot numeris, quorum sextuplum diuidetur per eorum quadratum unitate au- Auni. Quaeicndus ergo Numerus cuius sextuploner quadratum ipsi ut numeri diuiso fiat quotiem maior quam minor quam Posito ergo huiu unodi numero IN. set mali r qu in m.. nai nor qua l.& omnia per denominatores I Q: -- I.& ia. multiplicando, fient 7a N. maior uami Q - ι7. minores quam I9. Proinde utraque aequatione per Uproximationem refotitia, et I N. maior quis ii minor quini L. Quare sumetur numerus aliquis iniet medius, puta 3 et & fingetur numeri 9 - I Q. latus 3 --3 . N. & caetera sunt manifesta. Porro Dii,phanti operatio eatenus locum habet, quatenus adiiciendorum numerorum summa unitate auda quadratum secit. Sed si huiusmodi summa unitate aucta, conficiat numerum ex duobus quadratis compositum, aliter operandum erit, imitando scilicet artificium eius quam ad pracedentem attulimus ex vieta. Verbi gratia. Diuidenda sit unitas in duas partes, ut alteri addendo a. alteri 7. fiat utrimqtie quadratus. Euidens est numerum Io. diuidendum Ein duos quadratos , quorum alter cadat inter a. & 3. Alter vero inter 7. & 8. Cum ergo addendo fouissem unitatis utrique dato. rum numerorum fiant 2:. & 7 . Quaerendi sunt quadrati qui ad hos numeros accedant. Quaero ergo
quae pars quadrati addita ad a ζ. iaciat quadratum , ea reperiet ut . . fitque quadratus cuius latus Rursus quaero quae pars quadrati ad rq adiecta, faciat quadratum , ea reperitur ri. & fit quadratus
latere V. Qu amobrem io, diuidendus est in duos quadratos, uari latus unius accedat ad ἰὼ Alterius vero ad V seu ad l . Statuentur ergo per ad aequalitatem quadratorum latera I - N.&3- 3N.setque summa quadratorum Iu - - N. aequalisio. unde fieti N. erunt quadratorum latera E de ipsi quadrati quorum sumula io. & si , primo auseras a. a se eundo I. restant quaesitae partes vilitatis Haec autem quaestio extendetur quoque ad quemlibet numerum, & sic viri uel salius proponetur.
Datum numerum diuidere in duas partes, ut utrique addendo alterum atque alterum numerum , fiat utrimque quadratus. Oportet autem compositum ex diuidendo numero, &utroque adiiciendorum, quadratum es e, vel compositum ex duobuρ
quadrati S. Diuidendus esto 6. adiiciendi vero 3. R 7. Cum ergo horum trium summa sit iis. oportet diuidere
Is. in duos quadratos, quorum alter sit maior qu,n 3. minor quam 9. Alter vero sit maior quam 7. minor quam I 3. Ponatur primus i et it alter i F. - i uius latus ita fingendum est, ut i Q. cadae inter 3. N v. sumantur duo quadrati cadentes inter 3. & v. puta. . di P. quorum latera a. di oportet igitur fitatium latus ita ponere, ut I N. st maior qu,ni a. minor quis . Porro fiet valor Numera ponendo fictilium latus aliquot numeris, quorum octurium diuidetur per eorum quadratum unitate auistum. Quamobrem maior est quam a. minor quina I. & tandem 8 N. maior est quὶm a G&2 . N. minor est quὶm 8 Q. - 8. &utraque aequatione per approxii nationem
resoluta fit i N. maior quam V minor qu l. Ponatur 3. & numeri-- latus statuatur -3N. set I N. I. erunt igitur latera quadrato iam 'i' & quadrati & π N a primo auserendo 3. , secundo 7. remanent quaesitae senarii partes Rursus numerus 8. diuidendus sit in duas partes, ut alteri addendo s. alteri T. fiat utrumque quadratus. Cum ergo ipserum S. s. 7. summa sit aci. oportet diuidere 2o. in duos quadratos quorum alter dat inter s.& ip alter consistat inter . & is. sumo medium arithmeticὰ inter utrumque ter.
minum, pura Q.&ii. di quaero quae pars quadrati ad vinim qui addita iaciat quadratum; inuenio hinc l . inde suntque quadrati se quorum latera in eade in denominatione sunt e Diui emtas ergo mihi en ro. in duos quadratos , ita ut unius latus accedat ad ' . Alterius latus sit proxi-
359쪽
mutn 2. erimi ergo per ad aequalitate huiusmodi latera a N.Sc -I6 N.estque summa quari torum 2o-ao N. unde fit i N.& tulit quadratorum latera& ipsi quadrati IIIx Vix. . inod si , priore auferas s. aposteriore 7. remanent quaesitae partes Octonaris, & 'Σ3 .
QVAESTIO XIV. . MONA ΔΑ διλειν ἀει tu
α ισα μμαο ι. σθεν λι- ό ι F VNir A r a M diuidere in tres nume ros , & cuilibet addere datum eundem numerum, & ita quemlibet quadratum facere. Oportet autem datum neque binarium esse, neque aliquem eorum qui fit addito binario ad octonariis multificem. Imperatum sit ut unitas diuidatur in tres numeros, & cuilibet addatur a. & se fiat quadratus. Rursias oportet diuidereio. in tres quadratos , ut quilibet ipsorumst maior quam 3. Si ergo iterum diuidamus io. in tres quadratos adaequalitatis ductu, erit quilibet ipserum maior ternario , & poterimus ternario a quouis detracto, eos habere in quos unitas diuidenda est. Summus itaque trientem de io. hoc
est a b Et quaeramus quae pars quadrata
possit adiici ad 3 l. ut fiat quadratus. Omnia novies. Iam ad 3o. oportet partem a quadrato denominatum addi,&fieri quadratum. Esto pars adiicienda ; . Se Omnia multiplicentur per i fiunt 3O Q. - - r. aequalia quadrato a latere N. - iiitque quadratus 23 inis Io N - r. aequalis so 'i. unde fit I N. a. de I Q. q. Parsque quadratica .. Si ergo ad 3o. adiicimus .. ad 3 a. addemus'. defit quadratus ' I. OD tet igitur diuidere m. in tres quadratos, ut uniuscuiusque quadrati latus sit adae. quale unitatibus P. Atqui io. componitur ex duobus quadratis q. dc i. Diuidimus ergo i. in duos quadratos de ἰ:. ita ut io. constet ex tribus quadratis q. de Oportet igitur horum cuiusuis lateri adaequalem facere V. Sed de latera eorum sunt a. l. de de omnia per 3o. multiplicentur. Et fiunt M. et . dc i8. Ipse vero v. fit ues. Oportet itaque unum quodque latus adaequare ipsis . fingamus unius latus 3 - sN. alterius autem ai N. l. Alterius denique 3τN. - l. lint ab his quadrati in
360쪽
terMIuadratorum data, iesque etiam dan- S m τογιώνων δοθεῖσα - τρὶ , tur,oc reliqua sunt manifesta. λί- δηλα.
ὀκταπι Gωυξοποι δραν, perperam vertit Xilander&ex eius versione commodum aliquem sensum recipere nequeunt. Itaque cum eorum vim iuni perciperet, nihil super huiusmodi limitatione adnotauit. Certum est autem, ut quaestio solui possi oportere ut triplum dati numeri unitate auctum k quadratus , vel ex duobus, aut ex tribus etiam quadratis suapte natura compositis. Quare ut Diophanti limitatio sit necessaria, ostendendum est numeros a. io. 18. 34. 42. S alios Omnes qui fiunt addendo a. ad aliquem octonat ij multiplicem tales esse, ut eorum triplum unitate auctum non possit esse quadratus, neque numerus ex duobus aut tribus quadratis con situs. Et de binario quidem, mani stum est eius triplum unitate auctum putar. nee quadratum esse, nec E duobus vestribus quadratis compostum. De aliis autem sic demonstrabitur.
Esto A. quilibet octonarij multiplex, cui addito binario fiat . & sumat ut C H triplum ipsius Rcui addita unitate H fiat C Κ. dico C Κ nee quadratum esse, nec E duobus vel tribus quadratis coni positum: Q ita enim B. eontinet Α & binarium , &CH triplus est ad B, patet CH continere triplum iesus Α, & triplum bina ij, puta senarium. Sit ergo CF triplum ipsius Α , erit reliquus FH senarius, in quo sumendo binarium G H, relinquetur quaternarius F G. B is Primum itaque C Κ non esse quadratum, sie ro-C--s cita batur. Quoniam Α est multiplex octonari j, eu Axt. iis d.' par, addito binario fit ruruis B par. Quainobrem N CH multiplex ad B. par est, ae proinde C Κeli impat ex definitione. Si ergo Cia ponatur qua
dratus, ablata unitate, ' reliquus C H. erit pariter par. Quare quaternarius eum metietur. Sed idem quaternarius metitur C F multiplicem octonarii, ergo idem quaternarius metietur reliquum '' FH. sed & quaternarius metietur seipsum, puta FG. ergo idem quaternarius metietur reliquam
binarium G H. Quod est impossibile. are C Κ non est quadratus.
Deinde C Κ. iion componi ex duobus quadratis sie ostendo. Etenim si componatur ex duobus quadratis, non erit uterque par, nec uterque impar, alioquin ipse C K esset pat, contra id quod ostensiim est. Necesse in ergo alterum quadratorum eatem esse , sterum imparem. ' At quadratus par est pariter par & , quadrato impare auferendo initatem, relinquit ut pariter par. Igitur a nu xi. mero CK. auferendo unitatem, reliquus C H. componitur ex duobus rariter paribus,' ac proiade ιε. 1. paris C H. est pariter par. Quare ut prius sequitur quaternarium metiri bi uacium. Quod in absurdum. Igitur C Κ. non componitur ex duobus quadratis. Denique si CK. ponatur componi ex tribus quadratis; non erit quilibet illorum par; nec erunt duo impares& tettius par; sic enim fieret ex illis compositus C Κ. par, contra id quia ostensum est. Relinquitur ergo tres illos quadratos vel impares esse omnes; vel duos esse pares & tertium imparem. Atqui neutrum possibile est. Nam primo si ponantur duo pares & tertius impar, si a tertio auferatur unitas, ' relinquetur pa iter par, quo addito aliis duobus quadratis itidem pari- at. r. His rer paribus' fiet totus C H. pariter par. Quare ruisus inlaetetur quaternarium metiri binarium. Quod est impossibile. Deinde si quilibet trium quadratorum ex quibus Cia componi dicitur, Ponatur impar cum quolibet ipsorum detrausta vilitate relinquatur multiplex octonarii, ut ostensum est ad quadragesimam quartam quarti, di euidentius dentonstrabitur ad octauam de numeris multangulis:
patet si i eoni posito ex tribus , nempE a toto CK, auseratur ternarius G Κ, residuum C G, multiplicem esse octonarii e sed & CF. multiplex est octona iij ex constructione. Igitur ocionarius metiens totum C G. & ablatum C F, metietur & reliquum quaternarium F G. Quod est impossibile. Non
erit ergo C Κ. quadratus, nec compositus E duobus vel tribus quadratis. Quod demolistrandum erat. Ex nis liquido apparet eum esse sensum verborum Diophanti, quem expressiimus versione nostra, nam ingeniosa est. & authore digna huiusmodi limitatio. Caeterum quamuis, ut ostensum est, haec conditio sit necessaria, non est tamen sussciens, nam non solum numeri omnes hae limitatione comprehensi soluendae quaestioni sunt inutiles, sed praeterea numerus 9. & omnes alij qui fiunt additos. ad 32. vel ad aliquem eius multiplicem, quales sunt M. n. io s. dee. nam horum triplum addita nitate, neque quadratus est, neque numerus Eduobus vel tribus quadratis compositus. Et quidem de ipso P. patet experientia, nam eius triplum unitate auctum , pura as. nec quadratus est, nec Eduouus vel tribus quadratis compositus. De aliis autem se demonstratur. Esto A multiplex ad 32. cui addendo p. fiat B. cuius triplum unitate auctum esto C E. Di eo C E. nee quadratum esse, nec eduobus vel tribus quadratis compositum. inia enim B. continet A. & novenarium, ipse C E. con
Linet triplum ipsius Α, & triplum ipsius s. & unitatem. Sit C D triplum ipsius A. esit ergo D E. tri-