장음표시 사용
361쪽
plum'ouenati j dc unitas, Pura numerus z8. Quare cum C D. multiplex pariter paris si pati trini A 64. Bm. P0 ςxi m D E , icu ad. sit pariter par erit totu, CLC-D E quaternarius, MF G. . . . H. . Κ. L mivi qu drans FL, constans ex FG. quadrante ipsies. , . V Da α ςx G L. icu septenario quadrante ipsiu, D Leuas. in quo sumatur GH, quaternarius. ΗΚ binarius. Κ L unitas. Cum ergo C D sit multibita ad 3a. α quadrans ipsius 3a. sit 8. patet F G multiplicem esse ad 8. & toties continere S. Quoties C Dcontinet 3a. Quare FG. est pariter par, & multiplex oscina ij. 'Priinum itatiue C E non e se quadratum se probatur. Si enim C E quadratus sit, eo per quadratum . uiso, fiet & F L quadratus. Quare cum F L sit impar, constans scilicet ex pari & ta inpari G L, ablata itule unitate, residuum F Κ, erit multiplex octonarii per ostensa ad quadra iiii quartam quartu Cum ergo S. metiatur totum F Κ, & ablatum F G, ut ostensum est, metietur & s ς' quum senarium GK Qisod est impossibil . mς 3ς ταλDeinde CE, non componi ex duobus quadratis se ostenditur. Non potest componi ex duobui quadratis, quori in ali sit par, alter impar, alioquin C E est impar contra id quod os umest
diuo numeri pariter pares, quorum iunima esset pariter par ac proinde totus CE, constaret ex nu-. stratum est. Restatere ut uterque quadratorum ex quibus CB componi licitur, si par ', Heroue ergo erit pariter par. inare erim quadrantes sumendo, sent duo quadrati aequales toti F Cuiuergo FLktimnar, necesse est alterum quadratorum ex quibus componitur, lae parem, imparem , & ab impari auserendo unitatem cum remaneat pariter par, patet F Κ ex ' duobus pariti to. i. mil. Igitur λςtietur quaternarius icitum FΚ, sed de vitai Denique C E non tintest componi ex tribus quadratis. Etenim non potest componi ex tribu m.
Paribus neque ex duobus paribus & tertio impari, alioquin ipse C E esset imo, hri, ''Non componetur etiam ex duobus imparibus, ει tertio ri ' sie enim , ois, '
piendo auferri unitatem, concludetur olum C E buzi:ὶ A, Io. binario, ac proinde C E esse pariter impi Emiihi uri '
C E ni ex tribus quadratis paribus , cui cum sint nisi ερ A, --- - '
duo rares, tertius impar,na: si tertia impii iiiise esu ' hi: Ei
362쪽
Deinde moderandoseismium terminumferaxndae progressionis riptam numeri superpositi qui es aduo omneινn eadem progressione
superiori proxime antecedentes sin hoc exemplo inuenietursola unitas Ἀμρ .sumptis igitur duobus numeris '. oportet datum numerum neque ese 9 neque Iuperare ricto numero '. multiplicem 32. consideretur mox tertius progre Laronisfecunda terminus qui si 28. fumatur duplum numeri superpositi qui est I6.μ3a,cuisi addas omnes in eadem progressione superiori proxime antecedentes qui i/m sunt 1. O .fit 37.
sumptis igitur duobus numeris ir8. 9 37 oportet datum numerum neque ses 7. neque operare dicto 37. mult/plicem i*8- , , . Consederato deinde . progressionisseeunda terminosient ex methodo numerso i 9.oportebit itaque datum numerum neque esse μ' .neque suterare dicto I '. maia riplicem si a. se est uniformis se perpetua in infinitum methodus quam neque Diophantus generaliter indicauit, nec Bachetus ine detexit cuius γeI ipsa experientia fallit, ut iam praemonuimus, non solum in numero qui est intra limites experientia de qua Demfacit,sed etiam in numero 349. ct atys. Reliqua operatio Diophanti ex dictis ad duodeeimam perspicua redditur.Inuento I latere quadratieui adaequati oportet latera quadratorum in quos numerus io. diuidendus est, sumit latera quadratori, exuuibus Io.suapte natiiraeoponitur, putar. omnia reducendo ad eandem denominationem.
sunt haec tria latera Reipli vero Y fit L Posito ergo valore Numeri patet latera quadratorum quaestorum pol da esse ut celi Diophantus 3 -3s N. 31 N. - - '. 37 N. - Se reliqua iunt mavisina.
Placuit autem παυσο in vertere cum Xilandro ad aequalitatem. Quia enim'nuiusmodi quaestio nibus Diophantus,cuidam lateri adaequat proximὶ latera quadratorum ' itorum, non autem aequupropriE, vocat ille hane comparationem πιεισο - non autem tim O. Nos etiam non aequuntatem sed adaequalitatem appellamus, sicut etiam παρι ν νς rimu mu h. ri h. Porro solutionem quaestionis omisit Diophantus molestiae stactionum se subrems,sed TIN. per quem si resoluas hypostases, fiunt quadratotum latera Ira , .i ,τρ. I I. a quibus si ausetas sigillatim ternarium, restant quaesitae partes vultatis, videlicςt i 'i'. . T M autem quae o extendetur etiam ad quemlibet numerum, sic eam proponendo.
Batum numerum secare in tres partes, & cuilibet addere e 'dem numerum Miacere quadratum. Oportet autem, ut numerus diuidendus adsumens triplum addiseriti, numeri, faciat quadratum, vel numerum E duobus aut tribus quadratri compositum. Diuidendus esto t. addititius numerus 3. Igitur I . diuidendus est in tres quadratos, quorum qui libet excedat 3 siimo: de i . puta v & quaero partem quadrati quae illi addita, faciat quadratum ea inuenietur A & fit quadratus 'a a latere V.Diuidendus ergo est i . in tres quadratos, ita ut ciniisti-bet latus adaequetur At I suapte natura componitur ex tribus quadratis, quor latera 3. a. nfingentur et o per adaequalitatem quaesitorum quadratorum latera 3 - N. a in i N. N I I 7 γ.critque summa quadratorum I -- Π la N. aequalis I , urule fiet IN. .i.dunt ergo qrum latera Rη ::. ipsi quadrati Et ποῦ 1 quitas sigillatim auferendo ternarium remati quaesitae quinarii partes :l: . Rursus uniuersalius etiam proponetur qWxssio, hQς ροοψ ,. 4 aDatum numerum secare in quotlibet partes, ut cuilibet addendo evadem numerum, fiat quadratus.
ciuiaitur in tres quauratos s. s. q. quorum primus 9. I
excedit triplum ipsus Quare superest ut diuidimiis v. in tres quadrator quorum quilibet
rimo im o νε-- - rilita uaero uae nus ouadrati hule addita quadratum iaciat, ea eluper adaequalitatem conitituentur quaelitorum quaaratorum 1R C R. - .
ut quadratorum summa I3 -- 6 s Q ioN. aequalis 13. unde fit x N. . sunt ergo latera quadrat
rum M. Ipsi quadrati l :: l: : Vl . quibus si addatur quartus quadrature habentur qui
elior quaesiti quadrati, a quibus auis endo sigillatim numerum remanent quaesitae partes lenarii QT . o & s. Hie nulla eonditio praeteribitur, quia quilibet numerus in quatuor pluresoquadratos diuidi potest, ut ab M docuimus ad trigensiam primam quarti, ubi etiam quarundem
363쪽
quaestionum explieasonem in hunc Ioeum reiecimus, quas iam enodare libet. Sit ergo propissimi Inuenire duos quadratos, quorum summa cum summa laterum, datum faciat mala
merum. Oportet autem dati numeri quadruplum binario auctum diuidi posse in duos
quadratos. Datus esto 6. Patet ex dictis ad trigesimam primam quarii, si ad 6. addamus duos quadrantes unitatis, puta lsummam 6 ἱ aequari debere duobus quadratis . , quorum lateribus si auferat ut si Halime restant
uaesitoruin quadratorum latera. Porro ad vitandas minutias ducto 6 e in a. fit 26. diuidendus in uos quadratos. Quia veto 6 ita diuidendus est in duos quadratos, ut quilibet exe at patet eius quadruplum 26. ita diuidendum in duos quadratos, ut quilibet excedat i. id est ut quiuia sit maiorruam i. minor quM ay. Sumsto ergo medio inter t. & 2s. puta u. quaero quae pars quadrati huic adita saeiat quadratum ea est .mque quadratus latere. . Ergo latera quadratorum adaequari de-hent Quare sumptis lateribus quadratorum ex quibus 26. componitur I.& s. fingentur per ada- qualitatem quaesitorum latera I -- 8 N.&s- N. fit summa quadratorum 26 -- Q - 24 N. aequalis 26. unde fit I N. sunt igitur latera quadratorum v. f. orum semisses puta sint Iatera quadratorum ex quibus 6 componitur. Quamobrem a quolibet auferendo ἰ remanent quastorum quadratorum latera lunam horum summa eum summa quadratorum eonficit o.
VL AESTIO SECUNDA.Inuenire tres quadratos, quorum summa cum sit ma Iaterum, datum conficiat numerum. Oportet autem dati numeri quadruplum auctum ternario , diuidi poci
in tres quadratos. Datus esto Ergo : diuidendus est in tres quadratos quotum quilibet excedat omnia per fit 1 diuidet,dus in tres quadratos, quorum quilibet excedat r. Diuiditur autem I9. in tres quadratos s. Lquorum primo retento, superestri residuum de I9. puta Io. diuidamus in duos quadratos, quωrum quilibet excedat I. Qisto partem quadrati quae ad addita quadratum faciat, ea est di fit uadratus latere . fingo ergo latera quadratorum per adaequalitatem I -- N.&3-3 fitque Himma quadratorum o-- 34 Q. -8 N. aequalis Io. unde fili N. A. i tur latera disie totus I9. diuisus est in tres quadratos, quorum latera 3. : .f. quorum semitis ossint latera quadratorum ex quibus 4 b eomponitur. Proinde quolivet auferendo remastent quiatorum qu dratorum latera I. E. quorum summa cum summa quadratorum conficit
Inuenire quotlibet quadratos, quorum summa cum summa laterum datum conseiat numerum. Hie nulla conditio praeseribitur, quia quilibet Numerus in quatuor vel plures quotlibet quadrutos diuidi potest. sussieit ergo, si datus numerus tot quadrantiuus unitatis auctis, quot quadrati postulantur, diuidatur in totidem quadratos, quorum quilibet excedat seu quod idem est; si dati numeri quadruplum auctum tot unitatibus quot quadrati postulantur, diuidatur in totidem quadratos, quorum quilibet excedat I. Qi p cietur eadem arte.
Inuenire quotlibet quadratos, quorum summa adscito quolibet multiplice summae
Sint inueniendi quatuor. quadrati, quorum summa adseito triplosum elaterum, sectat 3. Quoniain per lemma uniuersaliter demonstratum ad decimam tertiam quatit, omnis qu iratus au striplo sui lateris, denumeroψfacit quadratum, cuius latus detracior e exhibet prioris quadrati latus. At quater a . conficit 9. & volumus quatuor quadratos eum suis lateribus escere 3. Patre asdito 3. ad 9. deuentum esse ut mimerus Ita diuidatur inquatuor quadratos, quorum qui timet excedat a. nam si a latere euiussitat auferamus I is restabunt quaesitorum quadratorum latera. Diuidiis tur autem Ia. inquatuor quadratos 4. . v quorum tres primi satis congruunt proposit , cum ouilibet excedat ab Quartus vero minor est. mare oportet rursus diuidere ia. in quatuor Hios quadratos proposito satisfacientes. Sumo 3. quadrantem ipsius Ia. & quaero partem quadrati quae illi addita quadratum faciat, ea est sique quadratus , latere Ita igitur fingam quadratorum latera , ut quotlibet per adaequalitatem proximὸ accedat ad Et quia inuentorum latera ad Ona
364쪽
seni redat hi denominationem sum II. l. v. e. sumo di Gentias numeratorum as. & fingo latera uaesitorum quiaratorum 2- N. 2- N. - . a N. -- 8 N. fitque qua iratoriim summa Ianico Q. - N. aequalis ia. unde fit I N. H. seu, iam latera quadratorum lum . qi. U. Proinde . quolibet auserendo I superstini quaesitorum quadrator uiri tatera ipsi quadrati m a C. . quorum summa cum tripla summae laterum quod est Iro . iacit
x Nix τε M diuidere in tres nume-V ros , N addere cuilibet ipsoruni alium atque alium datum numerum, &sacere unumquemque quadratum. Sunto dati a. di 3. & 4. Rursum eo res rediit ut diuidam io. in tres quadratos, ut primus ipserum si maior binario , secundus sit
maior ternario , tertius si maior quaternario.Si ergo unitatem bifariam secantes, cuilibet datorum adiiciamus τ. Oportebit quaerere unum quadratorum maiorem quam la. minorem Vero quam a . Alterum maiorem quam 3. mino rem quam 3- tertium denique mai rem quam A. minorem quam 4.. Eoque omnia deducuntur ut io. ex duobin conflatum quadratis, rursus diuidam in alios duos, ut unus eorum maior sit quam a. minor quam a. Et ab hoc si auferamus a. inueniemus unam partium unitatis. Rursus alterum quadratoriun diuidemus inal tos duos quadratos, ita ut unus ipsorumst maior quam 3. minor quam 3 A quo item si detraxero 3. inueniam alterum quaesitorum. Eadem etiam ratione inue
, x adnotatis ad duodecimam & deeimam tertiam pendet quaestionis huius enmo, & verba Diophanti satis sunt perspicua, sed totam operationem, quam ipse praetermissi, in tymnummatiam ibueere non graua t. Quoniam Io. diuidendus est in tres quadratos, ciuorum primus sit maior quam a. secundu uam 3. tertius quὶm 4. Diuido primum ro. in duos quadratos quorum readis inter a. de 3. id fiet per ea quae attulimus ad duodecimam, eruntque huiusmodi quadrat ' 'At ouorum latera ': &B. Habeoque iam unum ex tribus quadratis quaesitri, puta . quiis es era a minor qu,m trade si auserat ut et remanet una ex quaesitis partibus unitatis, puta I Resti efgo Vt reliquum qu dratum V. diuidamus 4 Id fie pet iplam operationem decimae tertiae. Quaero primum duos quadratos quo re r.&4. quales cntSN ut quorum latera Ad Tum posito altero quadratorum i alteroi zposteriori: latus ira fingendum est. vi fiat I N. m tot quis ra minor histi tute; debet hoe latu, a minus aliquot Niimeris quorum doesum ductum in dde diuisum per ipsorum numerorum quadratum unitate auctum fiet valor N Iis jΣ ut Numesorum i N. fiet N. diuisus per I Q - - I. maiornu i Et utraque aequatione per approximationem retatuta fiex. N. maior quo 'Ave quis ''V. Ponatui et eo a l. x fingatur numeri - 1 Q. .
siilicet primi quadrati, eritque latus secundi I: I. suntque ipsi quia xi l. i. o dc eri
365쪽
si aut etas 3. Aposteriore . remanent reliquae partes unitatis . I. V. de quibus si addo nimam iam inuentam se seu ut idem sit deitominator ibi uis erit quaestio. Posset etiam aliter institui operatio, fingendo scilicet simul & semel tria latera quadratorum, e dem artifieio quo iam usi sumus ad decimam tertiam. Quoniam enim io. diuidendus est in tres quadratos quorum primus superet 2. secundus 3. tertius 4. Diuido unitatem in tres trientes, di euilibet datorum numerorum addo . fiuntque a Iam quaero partes quadrati quae singulis additae quadratum faciant, eae sunt la . . & fiunt quadrati f. : '. quorum latera I ta lis ut omnium sit idem denominator. Uportet igitur ita fingere latera quadratorum, ut primum adae et ψ:. secundum adaequetur a. tertium adaequetur z. Porro numerus Io. diuiditur in tres quadratos , quorum latera 3. quae ut reducantur ad eandem denominationem eum latetit ut aequalitatis , erant haec is ἰοῦ t: ' Itaque fingentur per adaequalitatem Iatera primum P . I67 N. secundum i - - Irus N. tertium 3 - i66 N. fitque summa quadratorum Io - 897io - ya N. aequalis Io. unde fit IN. Hic. sunt igitur qua ita latera, primum .secundum V. tertium Ipsi vero quadrati Et si au ras a. a pii in I. a iecundo, atritio, reinancnt quaesitae partes unitatis ἰ ta EA. ζ. Caeterum non est dubium, de hie requiri huiusmodi conditionem.
Oportet ausem datorum muneroremsummo unitate Maiam conficere numerem se i res otia Δ.
udi possit. VPatet etiam eodem artificio quemlibet numerum diuidi posse in tres partes, ita ut euilibet addem do alterum atque alterum numerum fiat quadratus. Et rursus tam unitatem quam numerum quei libet diuidi posse in partes quotlibet, quibus addendo datos quoscunque numeros, fiant quadrarumae omnia iacuὰ mihi esset exemplis e monstrare, sed huic labori, ne sim prolixior, sepostacta.
D Arvis numerum diuidere in tres
numeros , ut bini coniuncti quadratum conficiant. Datus esto Io. Quoniam de tribus qui quaeruntur numeris maior & medius simul faciunt quadratum, sed & medius cum tertio secit quadratum,& tertius cum primo. Ergo tres bis sumpti faciunt tres quadratos, quorum quilibet in inor est quam io. Sed tres bis sumpti sunt zo. Oportet ergo diuidere et o. intres quadratos, quorum quiuis minor sit quam Io. Atqui aO. componitur E duobus quadratis 16. & Et si de quaesitis unum p namus . oportebit dioidere i6. in duos quadratos, quorum quiu is minor sit quamio. Didicimus autem datum quadratum diuidere in duos quadratos , ut quiuis eorum maior sit quam s. minor quam Io.sinto ambo simul 16. Itaque 2o. diuisiis erit tu tres quadratos, quorum quilibet minor erit quam io. & si unumquemque auferamus a denario, inueniemus reli
quos, quorum bivi coniuncti quadratum
366쪽
tres quadratos quorum quilibet sit minor. quis, Io. tum vero singulos quadratos ab ipso ita detrahendo, remanebunt tres quaesiti numeri, ut constat ex Canone decimae-i ex primu Quoniam
ciui totiae hac arte. Sumo duos quadratos inter6. dc Io. puta 3- & . P - .loque altero quadratorum quaesitorum i instero i6 - i in fingo huius latus a 4 tot numeris , ut fiat IN. maior qu- i. minor quam 3. fiet autem valor numeri, si O uplum numcri Numerorum diuidatur periptorii in quadratum unitate auctuin. Quare posito num o NumM'rum i et . . . . maior quam . minor quam 3. unde utraque hac aequatione resoluta, inuenietur I N. inato qiram . minorquim l. ponatur z. Igitur quadrili I6-I in latus statuetur Φ. I. N. de net N , I. latus scilicet unius quaesitorum quadratorum , inque alteria in t s. Quamobrimi tres quaesiti quadrati sunt Ira . I id. quos si ausetas sigillatim a denatio, restant tres denarii quaesita pacies
'Hine collige huie quoque quaestioni praescribi debere huiusmodi conditionem. com iei Lii num ri-ἀπιῶ posse in tot Padram . . a Potest etiam alit et institui operatio, fingendo siniuidi iemel trium latera quadratorum , Giu --I,4 Quoniam 2α diuidi debet in tres quadratos, quorum ideam puta 6 ς.&quaero Ortem quadrati quae huic ad- quadratus a latera es. fingenda ergo sunt latera qua-
fit I N. ergo latera quadratorum Ipsi q'drari quos si vii setas sigillatim a denario, remanent utique quali AE denarii Parivs Abi in niti, ... Nariri.
DAxv i numerum diuidere inquatuor numeros , ut terni coniuncti quadratum faciant. Datus esto io. Quoniam qui a primo deinceps tres iuncti iaciunt quadratum, itemque tres a secun- ω ,& tres a tertio, de tres a quarto dein ceps idem praestant. Ergo quatuor numeri ter sumpti faciunt quatuor quadratos. At quatuor numeri ter sumpti faciunt 3o. Ergo 3o. diuidendus est in quatuor quadratos, quorum quilibet minor sit quam Q. Hoc autem sic inuenietur. Si per adaequalitatem statuamus quemlibet. de
unumquemque quadratorum auferamus de io. inueniemus quaesitos. Sin autem animaduerto 3o. componi ex I6. q. q. dc I. ponam & q. quandoquidem uterque minor sit quam io. si ergo 17. diuidamus in duos quadratos ut didicimus, quorum alter maior sit quam 8:. minor quim io. erit uterque ipserum minor quam io. Proinde si utrumque eorum de Io. auseramus , inueniemus reliquos de quaesitis. Nam dilo iam fiant inuenti, nempe 6. N
367쪽
setatur similatim numeris I . remanent quaesitae de rarii partes: l. V. . Siscundus operandi in iis talis est. Quoniam 3o suapte natura dividitur in quatuor quadratos is. με. r.quorum duo p. & q. proposito congruunt cum sint minores denario,restat ut reliquoru summai puta i . diuidamus in duos alios quadratos , quorum quilibet sit minor quina io. maior quam quod si fiet, sumo semissem dei . pura sedi quaero partem quadrati quae illi addita quadratum Keiat . ea est vi & fit quadratus - a latere :. . Quare per adaequalitatem fingentur latera quadratorum 4-I3 N. & I - - 2: N. est summa quadratorum II - 698 - 8 N. aequalis 17. νω defit i N. V.. Quare latera quadratorum sunt Ipsi quadrati de '. qui bili asdendo tertium de quartum A. de p. habemus totum F. diuisum in quatuor quadratos, quos si illi. tim auferendo 1 denario, remanent quaesitae denarii partes, puta Ee l. EII. 6. de r. 'Caeterum in textu Graeco verba illa mendo non earent, ἰαν etiar τὸν ι . διλυμ, O: δύο τετει γωνοις, οἰς ωτε ἔψυ&ν αυ O mi is ci ap. α . ἰλαπινα δὲ μ p. nam si numerus ῆ ζα hoe est8ἱ retinendus est, procul dubio non ἱ πτερον, sed ἔπιειν legen dum est, nam impossibile est numerum i7. diuidi in duos quadratos quorum uterque sit mae quam S ut euidens est. myd si vocem εὐτερον retinere libet, numerus λ α mutandus est in seu in 7. verse enim numerus ir . diuidendus est in duos quadratos quorum uterque sit maior quant . minor quain Io. sed de postrema verba mutila erant, ut ex iis quae adiecimus manifestum est. Demum moneo eodem prorsus artificio datum numerum diuidi posse in quinque partes, ut quaternae quadrram conficiant, vel in sex partes, ut quinae quadratum sectant, Ec se in infinitum. Restat ut quinionem explicemus, quam in hunc locum reiecimus in adivitatione id sextam tertii
Inuenire quinque numeros quadrato aequales ut quaterni reliquum superent
quadrato numero. A LPonatur semma eorum quilibet quadratus , puta I. mia ergo ut ostensum est ad vigesimλ primi summa excessuum tripla est summae numerorum , erit summa excessitum 1. Oportet ioitur diuiae re 3. in quinque quadratos, qu in quilibet sit minor qii in I. Et quidem diuidondo bis unitatem in duos quadratos, totus 3. diuisus erit in qxunque quadratos, puta in A. tr. δ'. 2 . I. Sed cuia mirutus non est minor unitate, adiicio eum vni,ciorum , puta, i, defitI- diuidendus rursus in duos alios quadratos , quorum quilibet sit minor quὶm I. semissis summae est , . eui proximus est oua . tus tini. latere Ita ergo diuulandus I in duos quadratos ut cuiuilibet latus adaequetur Ou
uamodrem quinque ex uus iunt is ouos si te,& residuorum semul es sumas, nent quaesiti numeri A. A. Q
y Ita si quaerantur sex numeri quadrato aequales, quorum qui ' r il uuοῦ si perent quadrato nimem, ponetur summa numeroriam quili e quadratus, puta r. Et quia excessitu sumini est rarii pia summae numerorum, diuidetur furis au quilibet sit minor quam r. quod net eodem prorsus artificio. Et sic ad quotlibet numeros quinio extendetur. η. Immo res extenditur, etiam si proponatur quilibet datus numerus diuidendus in mollibet da res , ut omnium una dempta super reliquam excessus sit quadratus numerus. Sed si tres tantum mi postulςmur, oportebit datum numerum diuidi inse iniiti quid tibi. '
sumis, eorum adsciscens quemlibet
368쪽
ipserum, faciat cubum. Statuatur sum matrium I N. Quaesitorum autem alter7 C. alter as C. tertius D C. de constat cubum summae adscito quolibet ipserum s cere cubum.Reliquum est ut tres isti coniuncti faciant I N. sed tres conlucti iaciunt C. Hoc ergo aequatur i N. Se omnia per numerum vividantur, fiunt que Q. aequales i. & vn itas quidem quadratus est,
ac si ρο. item quadratus esset, silura sui siste quaestio. Proinde quaero unde 96. ortus sit, est nimirum summa trium numerorum, quorum quilibet unitate auctus cubum facit. Itaque eo res rediit ut inueniantur tres numeri, quorum quilibetvnitate adscita cubus fiat, sed & summa trium sit quadratus. Ponatur primi latus a N. . I. secundi verba i N. teriij r. cubi fient, primus quidem l C. - 3 c --3 N. - I. secundus 6 8 - r C. - iaN. tertius 8. Ausero ab unoquoque unitatem, & statuo primum i3N. secundum 6 --7. I C. - Ia N. tertium 7. Reliquum est ut summa eorum sit quadratus, fit autem y α--ΙΑ -9 N. aequalis quadrato a latere 3 N. - . Sc fiti N. Q. erit igitur quaesitorum primus secundus i. I. tertius 7. Venio ad id quod initio proposituin erat, & pono primum Ins C. secundum et B C. tertium 7 C. de rursus statuo trium summam i N. & fiunt IT C. aequalesi N. &omnium decima- quinta pars sumatur, &omnia per numerum dividantur , fiunt et i 6 aequalesuas. Se fit I N. E. Ad positiones, & constat.
PENn ετ omnino solutio quaestionis huius, lemmate assumpto, quo scilicet quamintur treaeubi unitate multati, quorum summa sit quadratus numerus. Et ponit Diophantus latus primii N - i. latus secundi a -i N. ubi numeri contrario signo assiciuntur , ut etiam in cuias, numerim rum contrario signo reperiantur affecti, clim hine reperiatur in I C. inde vero-i C. unde fieri in summa euborum eubis se mutuo elidentibus, remaneant solum Quadrati, Numeri, & V nit tes; eum autem tertii eubi latus ponatur quilibet unitatum numerus. pura a. eius cubus unitate multatus, puta 7. est certus unitatum numerus, cui additus summae priorum cuborum unitate multatorum , non constituit diuersam speciem, quia in illa summa, ut victum est, reperiunt ut unitates; se fit summa trium eu tum unitate multatorum 9 - Ι - pN. quae quadrato aequari debet. Hoe vero fieri non posset, si numerus quadratorum p. non esset quadratus, ut euidens est, quod i men non animaduertit Xilander. Ut ergo positiones arte eerta, non easu instituantur, videndum unde in summa cuborum contentus numerus quadratorum prouenerit. Atqui est triplum stim
unitatum quae ponunt ut in primo dc secundo latere, quia videlicet in primo latere ponitur M
369쪽
in secundo I. quorum summa 3. cuius triplum s. Idcirco s reperiuntur in summa --borum. Igitur cum in primo latere ponatur I. cuius triplum 3. oportebit in seeundo latete constituere tot unitates , quarum triplum adsumpto 3 faciat quadratum , id autem ficillimEfiet, infinitisque modis si quolibet quadrato auseratur 3. & residui triens sumatur , ut si a s. auferas 3. residui triens a. poni poterit in. secundo latere, ut secit Diophantus. Rursus si a 36. au- seras 3. residui triens II. congruet proposito , di poni poterit secundum latus II - I N. & sic in infini- eum. Tettius quoque cubus poni potest quilibet unitatum numerus cubicus; ita si loco L quem posuit Diophantus, sumas a'. erit summa trium cuborum unitate multatorum s s N. aequalis quadrato. euius latus si fingas et N -6. fieti N-diuersa omnino continset lutio ab ea quam tradit Diophantus , quam sanE in taliis numeris est ignauit Xilander, in eo allucinatus quod putatuit i N. fieri V. eum fiat L. Quare tres quaesiti numeri yum C. Quorum summaestu. euius eubus quo addito ad singulos numeros, fiunt cubi quorum I tera H. El. V. Animaduersione praeterea dignum est numeri y I -9 N. latus cautὸ fingendum esse. Quia enim latus secundi cubi positum est a -I N. necesse est i N. minorem esse quὶm a. fiet autem viam numeri fingendo latus quadrati 3 N - tot unitatibus,quarum quadratus superet I diuidendo harum
unitatum quadratum multatum numero I . per sextuplum earundem unitatum multatum numero
s. Oportet ergo quotientem hune minorem esse qu1m a. hoc est minor est quam a. & tandem I Q-2 minor est quam ia N. Qua aequatione per approximationem resoluta, si I N ii SPonetur igitur fictilium latus a N - tot unitatibus quae sint minores quis II L. dum earum qu dratus excedat I . Ponit Diophantus 3N- . unde fit I N. M. Caeterum ex limus operationis dum manifestum est; quaestionem ad quotlibet numeros extendi posse. Nam verbi patia propositum sit inuenire quatuor numeros, ut cubus summae eorum, quouis adsumpto cubum raciat. San quaerendi erunt quatuor cubi, quorum unitate multatorum summisit quadratus numerus. Ponatur primi latus i N. - I. secundi 2- IN. tertii 2.quarii 3. Erit summa cuborum unitate multatorum U- 9 N. aequalis quadrato. Quod si Numeri determinatio nem quaeras inuenies fingendum latus 3 N. - tot unitatibus quae sint minores quam 13 :. ita ut earum quadratus excedat Ao. Ponantur ergo 7. &sit latus fictitium 3 N. - 7. fiet I N. Erunt igitur ouatuor eubi 8. 27.&, singulis si auferas unitatem, '& apponas signum cuborum resi-
INVε Ni κε tres numeros , ut cubus summae corum , quouis ipserum detracto , iaciat cubum. Ponatur rursus
trium summa I N. & ipsi C. a C.
superest ut tres coniuncti aequentur I N. fit ergo C. aequale i N. & omnia per numerum dividantur, fit: A bequale I. est autem I. quadratus. oportebat ergo& numerum quadratorum esse quadratum : unde autem is natus est Quod iternario subducti sunt tres cubi, quorum quilibet minor est unitate. Eo itaque res redit, ut inueniantur tres cubi, quorum quilibet sit minor unitate, summa autem ipserum i ternario sublata, faciat quadratum. Et quia volumus cuborum quemque minorem esse unitate, si stati iamus tres numeros simul unitate minores, multo minores singuli erunt unitate. Sic autem quadratum qui relinquetur, oportebit maiorem esse binario. Statuatur quadratus
370쪽
ponitur ex cubo I 23. & interuallo duorum cuborum 6 .& et . Habemus autem in pori sinatis, omnium duorum cuborum interuallum componi ex duobus cubis. Recurramus ad propositum initio, & sumamus unumquemque cuborum inuentorum, & quolibet ab unitate subtracto, residua statuamus pro quaesitis numeris,& sit summa i N. Ita fiet ut cubus summae, quouis ipsorum detracto cubum saciat. Restat ut tres simul aequentur x N. sit autem trium summai ἰ C. Hoc ergo arquatilii N. unde fit i N.4. Ad positiones.
Sotatismi modum Diophantas non exprimit, autgraea corruptasunt. Sachetus casu adiutum Diophantam arbitratur, quod tamen non admιttimus,cum Diopbantaeam methodam non diffetiam inuent ex imemus, anaeni,ndus quadralus binarao maior ternarιο minor qui iternariosubtractus relinquat numerum in tres cubos diuidendum. Ponatur quaesiti quadrati titus esse quemlibet numerorum numerum vnrtate v. g. I N t. ipsius quadratus a ternario subtractus relin usι 2-I asnueniendi tres eubi aquales qui sic e vendi ut aqualitas tandem consistat inter duas tantum species prooimas , id quidem inηumeri' ' is conserus potest. Sit unius ex cubis latus i- N. alterivi cui numerus nume' in ambobus cubιs conficiat a N. J At i-1N. tertii latus in numeris. duntaxat fingen N, qm tiam ne τalor i M. quaesitos terminos euadat, debent notari signo defectus, neces operosum eum numerum numerorumsumere cuius valor aquationem ad prastitutos redigat terminos, hac peracto patet primum ex cubis esse minorem unitate ut quarebamus, eum igitur secundus sit maior se tertius signo ἀefectus notetur , patet dis remtiam fecundι ct rerid aquandam esse duobus cubis quam ob rationem ad secundam
operationem Diophantus nos deuotaimur. Habemus autem,inquit nporismatibus omnium duorum cuborum ιnteruallum com-νοni ex duobus cubis. . -
Haret iterum Baehetas ct istitutas porismatibus Diophantaeis, hanc quaestionem
secundam determinatione indigere contendit,duorum quippe cuborum anteruallum eά tantum conditione in duos cubos diuidere docet dummodo maior darorum cuborum excedat duplum minoris. Nam 3uomodo omnium duorum cuborum ιnteruallum Gisuidatur in duos cubos ignotum i ingenuὶ pro tetur Nos supra ad quastionem libri . fecundam, se bane se reliquas huius materia quaestiones generaliter construenda modum faeliciter deteximus.
C propositio est de numero earum, quasn xl nos peruenerunt, . Quamuis enim de illius solutione citis mihi constet, o insta Pateoi , q