장음표시 사용
371쪽
totam eius tractationem valde imperfectam mihi videri saciunt. Primum enim licet ingemos E ii ferat Diophantus inueti tendos esse tres cubos, quorum quilibet sit unitate minor, ita. ut summa eorum a ternario sublata relinquat quadratum, unde concludit curandum esse ut tres cubi simul sint unitate minores, sic enim ciuilibet multo magis erit unitate minor, quare sequitur quadratum qui relinquitur , luminam cuborum auferendo 1 ternario , debere esse maiorem quam a. minorem quam 3. licet inquam haec subtiliter ediscerat Diophantus, non docet tamen quomodo talis inueniendus sit quadratus, ct cur a- .sumat potius quam alium quemlibet ex infinitis qui cadum inter I. & 3. Certo, ut ex processu apparet, talis deligendus est quadratus, quo a ternario sublato , relinquatur nimierus ex tribus cubis conitositus. Id ergo qui neri possit arte certa, docete debuit Diophantus , neque enim in promptu estu loco quadrati a . sumatur quadratus a quomodo residuum de r. puta: .dinidi possit in tres cubos , eademque de alijs ratio. Quamobrem casu sui sumpserit auibot a V. quo de, sublato relinquitur b ex tribus cubis eoinpositus. Deinde porisma, quod hie assumitur, quale sit non est Deile divinare, cum Graeca Diophanti hoc loco mutila tim. Si vero libeat amplecti quod nostra versione exhibemus, sanὸ docuimus ad secundam quarti. Duorum cuborum interualla diuidi presse in duos cubos, summodo maior datorum cuborum excedat duplum minoris. Sed quomodo omnium duorum cuborum interuallum diuidatur in duos exibos , ignotum mihi adhue. Nam nee operationes loco citato allatae, nec canon bidem traditus locum habent, cum duplum minoris cubi excedit maiorem. Itaque penes eruditos iudicium
ς . huiusmodi dissicultates ortum habeant, an vero ipsi Diophanto imputandae sint, qui cum sortὸ quadratum a '. inuenisset quo de 3. sublato superest
i factum videtur,npositus ex tribus cubis, arduum problema ut eumque potuit, ex cauit, melioribin desti- Nos quod superest, illius solutionem afferemus a Diophanto praetermistam. Ouoniam diuidere oportet in tres cubos, redueatur ad denominatioin cubicam , pura ad ποῦ. Itaque cum de nominator sit cubus, sumest ut numeratorem I 6a. diuidamus in tres cubos. Porro I 62. componitur excubo Ias. Sex 37. interuallo eu rum 27.&64. Quare cum duplum minoris non Ueret moi'rem, poterit 37. diuidi in duos cubos per Canonem primae earum quas ad secundam quarii attulimus. Quod fiet hoc paesto. Dueito ter utrilinque datorum cuborum in latus alterius fient 3r N 376. quos diuide per summam Oborum, fiunt lv. v. . Tum aufer priorem a maiore latere 4 re a posteri te, remanent qua torum cuborum latera X.& sunt ei cubi o Det. quorum summa 37. his ergo adnumerando ras. fit trium cuborum sum: r62. ut ergo diuidatur in tres cubos , diuidemus sigillatim tres inuentos cubos per denomin torem γ'. & fient quaesti cubi Elim. a lateribus i. rei. s . & unumquemque cubum auferendo ab unitate , relliaquuntur Se : a z. Statuamus igitur quavitorum numero. rum summam I N. ipsos autem Q C. Q nam horum unoquoque ab i C clex N. est autem et . natione edaisti . quemque 1 eul quorum latera
IN va Nia a tres numeros, ut cubus summae eorum , a quolibet ipsbrum detractus, cubum faciat. Ponatur rursus trium summa IN. ipsi autem a C. 9 C. 28
C. Reliquum est hos tres simul aequari iN. sed hi tres simul sunt 39 C. Igitur 39
C. aequantur I N. omnia per numerum
dividantur. Igitur 39 Q quantur i. M s
quadratorum numerus seret quadratus
luta esset quaestio. Est autem sq. mn,
ma trium cuborum adiecto ternario. Oportet ergo inuenire tres cubos, quo rum summa adiecto ternario faciat quadratum. Saluatur primi cubi latus is secundis-i N. teriij quotlibet unitatun
372쪽
Arithmeticorum Liber V. a 3ae si 1. Itaque fit siminia trium cuborum ' Q - 28 - 27 N. cui addendo 3. st q
- 3i - 27 N. aequale quadrato a laterea N. - .&fitIN. P Tantum est latus primi cubi, alterius vero latus est l. reliquii. Porro cuilibet cuborum ab his ortorum addosi.& venio ad propositum initio,statuo quemlibet totidem cuborum. Restat ut trium summa aequetur i N. fit autem sumina trium H V C. Hoc aequatur IN.
MALE' assignat Xilandet valorem Numeri est in is sit h. nam a lateribus f d: i. sunc
cubi T. N I. quorum cuilibet si addatur unitas, de praefigatur nota C. statuemus pro quaestis numeris ut C. C. N a C quorum summa fit ' l C. aequalis I N. ac proinde I,' aequatur unitati, unde fit i N. summa trium quaestorum numetoriam, suntque ipsi numeri . . . t r. Nam si ab unoquoque auferatur cubus iunimae, puta remanent cubi . . . A quorum Praeterea in soluendo lemmate quo quaeruntur tres cubi, quorum summa adsumpto et faciat qui dratum , non benὰ doeet Xilander eur secundi cubi latus ponatur 3 - 1 N. ait enim subctum esse binarium , eo quod in sequente propositione, ubi lemma propositum infinith soluitur , neeesse est valorem Numeri poni maiorem binario. Hoe vera ad praesentem quaestionem nil secit, ut ex iis quae ad sequentem dieitari sumus apparebiti Ethie non minus suspecti sunt 4. s. s. aliique infiniti, rum a. Talis enim ponendus est in latere seeundi cubi vilitatum numerus, cuius triplum sit qua-
ratus numerus. Patet enim ex iis quae μ diximus de cubi efformatione, numerum quadrato rum qui in hoc cubo reperietur gigni ex I Q. quadrato ex -I N. in triplum unitatum adiunciarum. Necesse est autem hunc quadratorum numerum esse quadratum, alioquin quomodo fingi es et latus numeri 9 3t-27 N. si p. quadratorum numerus non esset quadratus oportet i itur unitatum numetum qui statuitur in latere secundi eubi esse trientem alicuius quadiati,puta 3. vel Ia. vel a . de sic poterat hoc Ixtus Poni non solium 3 -i N. sed etiam Ia -I N. vel 27. - i N. & se aliis modis infinitis. Sed&in fingendo latere quadrati s Q -- 3i - 27 N. magna cautio est adlubem eum enim secundi eubi latus positum sit a -i N.euidens est i N. minorem esse debere ternatio. Fiet autem valor Numeri fingendo latus quadrati 3 N. - tot unitatibus, quarum quadratus superet 3i. di uidendo sei licet harum vnititum quadratum multatum numero 3I. per sextuplum earundem multatum numero a7. Quare oportet minorem esse ternario , unde fit iQ-3i. minor quam 28 N. - 8L & tandem I - τα minor qu,m I 8 N. Ria aequatione resoluta fit x N. minor quam Ponentur ergo in latere fictitio tot unitates, ut minores sint qu1m i dum earum quadrat ex oedata . sie posuit Diophantus 7. Se finxit quadratum latere 3 N. Itaque tripliciter variari possunt positiones. Primo enim in latere secundi cubi poni potest Qui Nibet unitatum numerus qui sit triens alicuiuὴ quadrati, ut docuimus.
Seeundo pro latere tertii Obi poni potest quilibet unitatum numerus. Denique quadrati qui fit ex summa cuborum ternario aucta, latus diuersi modὸ fingi potest ,ut in hypothesi Diophantaea stati ii poterit 3 N. - quotlibet unitatibus qua non sint minores quam
Caeterum euidens est eodem prorsus artificio quaestionem ad quotlibet numeros extendi poli Etenim propositum si inuenire quatuor numeros, ut cubus summae, , quotlibet detractus, cubum relinquat. Prius ergo inuenientur quatuor cubi quorum summa quaternario aucta cubum iaciat,estaptimi latus 1 N. secundi 3-I N. tertiit. Marti a. fiet summa cubotum quatemario auctas Q. - Ο - a N. aequalis quadrato. Quod si Numeri quaeras determinationem, inuenies quadrati latus fingendium N. - tot unitatibus quae sint minores quὶm is dum earum quadratus excellis o Fingatur ergo N. - . fiet I N. primi scilicet eubi latus . seeundi vero latus erit 'e . tertii l. quartiti Pored cuilibet eu rum ab his ortorum adii eio 1. & praefigo notam C. Be si tuo quaesitos numeros ἰ .: C. Te 9 aequetur i N. Igitur C.
κquat uti N.&fit i N. . . Ad positiones. Erunt quaesti numeri et dis in V.
373쪽
si a Meuius cubum ML. si auseras 1 quolibet ipsorum numerorum, remanent cubiga. . I, , lateribus
INvεNia a tres numeros quadrato aequales, ut cubus summae eorum assumens unumquemque faciat quadratum. Ponatur silmina trium, ut sit quadratus r& eorum qui quaeruntur primus 3 CC. secundus 8 CC. tertius is C C.&contingit cubum summae trium quolibet ipsorum adsumpto , facere quadratum. Restat ut tres simul aequentur i Q. sed tres simul conficiunt 26 CC. Igitur 26 CC. aequanturi & omnia peri Q. dividantur, fiunt 26 mes aequales I. Et unitas quidem quadratus est latus habens quadratum , ergo & 26 Rinquadratum este oportet latus habentem quadratum. AD ut multitudo ista quadratoquadratorum tribus conflata est numeris , quorum quiuis adiecta unitate facit quadratum. Ergo inueniendi sunt tres numeri, quorum quiuis adiecta unitate faciat quadratum , porro summa trium quadratus sit latus habens quadratum. Ponatur unus quaesitorum i in - 2 inalter I Q -- a N. reliquus i a N. de quiuis horum adscita unitate fuit quadratum. Ac praeterea trium summa est quadratus latus habens quadratum. Ita in numeris indefinitis soluta est quaestio. ponatur ergo I N. 3. Erit igitur unus quaesitorum O. secvndus i .tertius 3. Recurramus ad initiori positum, de ponamus rursus trium summam et Quaesitorum autem primus erit
63 C C. secundus iue C C. tertius a C C. gestat ut trium summa aequetur I in&stunt 8t C C. aequales im& fit 1 N. . Reliqua patent.
INos Niosissi ME' Diophantus soluit infinitia propositum lemma quo quaeruntur tres quadrati unitate deminus, quorum summa sit numerus quadratoquadratus. Cum enim finxisset dratum a latere 1 pura i a Q, - I. Inde ablata unitate sumit I m. - a pro primo quaesitorum. Tum vero ita ponit secundum de tertium, ut elidendo in additione tum quadi tos, tum numeros, remaneat trium summa I m. Ideo formans quadratos 1 latetibus a N. - α&i N. i. de singulis ausere; dor. ponit secundum I Q - 2 N. tertium I in a N. quorum
summi a qua ad lita primo, hoc est ad i QS:.-a in fit utique trium summa I Q . Itaque Ginὸ soluta est quaestio. α pro valore Numen sumi potest quilibet numerus malox quam a.
374쪽
in enim teritus positiis in I - a N. patet 1 inmaiorem esse debere quam a N. seu quod idem in IN. maiorem esse debere quam a. Hinc porro liquet quaestionem inlinitas recipere solutiones. Possunt etiam ipsae lemmatis positiones variari velim, dum fornietur quadratus , quolibet Qui dratorum numero quadrato Verbi gratia, formetur a in r.erit quadratus Io Sin i. unde ablata unitate statuetur primus i 6 -8 cproinde secundus Q. N. tertius - N. ut sit trium sutuma i5 Restat ut solutionem quaestionis proferamus quam omisit Diophantus. Inuentis numeris Q. soluentibus lemma propositum. Recurro ad initium& pono trium quasitorum numerorum summam imiptas vero 63CGis C C. 3 CC. quorum summa fit 8iC C. aequalis I Q sede fili sunt ergo quaesiti numeri quorum summa ς quadratus ut Hul batur , culus cubus Π, quem addendo singulis numeris, fiunt quadrati n. ει lateribus
IN v x Ni xa tres numeros dato numero aequales , ut cubus summae eorum, uolibet sigillatim detracto , quadratumaciat. Rursus diuidendus est binarius ut prius. Porro binari j cubus est 3. Proinde oportet i 8. unumquemque detrahere, Seticere quadratum. Oportet igitur za. diuidere in tres quadratos, quorum quilibet maior sit vim f. Et si abs 8. quem libet detrahamus, inueniemus tres quaesitos numeros. Est autem iam ostensiam quomodo oporteat diuidere eta. in tres quadratos , quorum quilibet sit maior
QV A u milὸ affectus sit hoe loco Diophantus, aequo lectori aestimandum relinquo, ubi nee sa
lutio ponitur, nec operatio propositioni respondet, &quaestiones arquot integras desiderati siti, indieant verba illa. Rursus iuri 1 s est binarius utrius. in qua enim superiorum quaesti num loeutus est Diophantus de huiusmodi binarii diuisione λ Itaque quantum eretissimis eoniecturis assequi sitim , existimo hic tres omnino quaestiones intercisisse, in quibus binarii diuisione utendum iuit , & quarum cum ista magna erat amnitas, ut sicilὰ hinc erroris ansam nactita sit impe ritus librarius. Age igitur immerito so sum vertere iussas quaestiones, ab exilio reuocemus.
V V STIO PRIMAE. Inuen Iantur tres numeri quadrato aequales, ut cubus summae eorum singulis seorsim detractis, quadratum relinquat.
Statuatur summa numerorum I Q. ut sit quadratus. Ipsi vero numeri sint C C. , CC Ccisie enim quolibet a eubo summae detracto, relinquitur quadratus. Superest ut trium summa, puta ili C ta aequetura in unde tandem fit Qxaequalis unitati. Oporteret ergo numerum Q ue doloquadratorum esse quadratum. At quadratoquadratorum numerus est summa trium n merorum quotum quilibet ab unitate detractus relinquit quadratum. Eo itaque redacti sumus ut inueniamus ites numeros, quorum singuli unitate sint minores, di quorum uimma sit numerus quadratoquadratus , quaque a ternario sablata relinquamur tres quadrati minotes singuli unitate. Vt ergo singuli trium numerorum sint minores unitate, & eorum summa sit numerus Q lato quadratus, ponatur eorum silmma I. Igitur reliquorum trium quadratorum summa erit a. Quare siperestri diuidamus a. in tres quadratos, quorum quilibet sit unitate minor. Id autem suilla fit per ea quae ostensa sunt ac decimam quartam huius, suntque huiusmodi quidlati s de Quolibet ab unitate sublato. supersunt quaesiti numeri L. ME . & . ti . Posita ergo summa n axi orum i potiantur ipsi numeri C C. C Q e ut horum luinnis rura
1 C Q aequetur i in unde fit I N. i. suntque quasiti numeri ipsi Miri. m. .
375쪽
. QVOESTIO SECUNDA. Intienire tres numeros quadrato aequales, ut cubus summae illorum a quolibet
detractus quadratum relinquat. Esto lumina trium numerorum i Q Ipsi verb sint a C C. 1 C Q io C C. ut auferendo a singuliscubum summae, remaneant quadrati. Restat ut trium summa sit i inest autem 17 C C. ergo tandem II Q quantur r. Oporteret igitur II. esse quadratoquadratum. Atqui 17. est semina trium quadratorum unitate auctorum. Eo itaque redacti iunius ut inueniamus tres quadratos, quorum. lumina ternatio aucta, conficiat quadratoquadratum. Id veroni Ialiud est quὶm, quouis quadratoquadrato auserte ternarium ,&residuum diuidere in tres quadratos. Sumatur ergo quadratoquadratus i6. eum is ternario detracto relinquat I3. oportet diuidere q. in tres quadratos. Sunt autem s. l. . . i. quibus sigillatim addendo I. statuemus eos in cubocubis, eritque primus quaesitorum ioC C. seeundu, C C. tertius C C. Quorum summa 16 C C. aequatur i Q unde fit i N 4. Ad postiones. Erunt quaesiti numeri sub eadem denominatione .. quorum summa quadi tus est, de eius cubus . detractus , quolibet numerorum, relinquit quadratos d. ai. 6.
Inuenire tres numeros dato numero aequales, ut cubus summae eorum, quolibet adiecto, fiat quadratus. Sit datus numerus a.
Oportet igitur diuidere a. in tres partes, ut cuilibet addendo 8. fiat quadratus. Quamobrem eo res rediit ut diuidamus 26. qui fit ex triplo ipsius 8. adsumente binarium , in tres quadratos, quorum quilibet sit maior quam 8. Hoc autem qui fieri possit iam ostensum est. Suntque tres quadratis. v. . . 'm . . , quibus sigillatim auferendo 8. restant quaesitae binarii partes. I. m. . A '. . sanε post hane quaestionem, rem subiici vigesimam secundam Diophanti, ut tam versione
nostra expressimus, res ipsa elamat, eum in ea binarius simili ratione diuidendus proponatur, additione in subtractionem mutata. Sed de numerus za. in textu Graeco manifestE habetur, quamuis deinde incutia librarii mutetur in a6. Nam Graeca Diophanti verba ut habentur in codice Regio e hibuimus , qu5 eoniectura nostra omnibus euidentior appareat, cum ex nostra versione mendas omnes tollere faelle sit. Caeterum operatio Di hanti satis est perspicua, quia enim aeu 8.ausere dae sunt sigillatim tres binarii partes, ita ut temper remaneat quadratus , cum hoc idem sit atque a triplo ipsius 8. puta , et . auferre binarium , rectε insertur numerum 22. esse diuidendum in tres quadratos , quorum quiliuet sit maior quam c. minor autem quam 8. Hoe ut prestem sumo trientem de ra. putari. de quaero partem quadrati quae huic addita quadratum iaciat, ea est 3c fit quadra-dritus a latere Oportet ergo ita diuidere 22. in tres quadratos, ut euiuslibet latus adaequetur . . Diuidit ut autem suapte natura in tres quadratos, quorum latera 3. 3. 2. Quare per adaequalitatem fingentur quaesitoriisi quadratorum latera 3-7 N. 3 - N. a --I7N. estque summa quadratorum 22. - 387 I6 N. aequalis 22. unde fit et N. Λ . sunt rego quadratorum lateras . . ipsi quadrati V . . G 'a'. quos si auferas si latim a L supersunt quaesicae binarii
tes , ut quaelibet detracto cubo summae ipsarum , faciat quadratum. Esto data pars l. & opus sit diuidere : in tres paries, ut imperatum est. Oportet igitur quamlibet ipsarum , detracta δε facere
quadratum. Proinde tres simul detractis 4 faciunt tres quadratos. Et si cuiuis trium quadratorum addamus , inueniemus singulos quaesitorum. Hoc autem facile est. Eo enim res rediit ut a diuidamus in tres
quadratos, quod est iactu sit illa.
376쪽
Hae C quaestio non parum eonfirmat sententiam nostram de praecedente. Nam clim in illa propositum sit datum numetum diuidere in tres partes , quarum quaelibet , cubo summae detu quadratum relinquat. Hic E conuerso postulatur , ut datus numerus sic diuidatur in tres partes , ut aqualibet auferendo cubum summae remaneat quadratus. Quia vero non potest cubus iummae esse minor qualibet partium , nisi in stadiis tales numeri exhibeant ut eum in integris quilibet cubus suo latere sit maior. Idcireo proposuit Diophantus datam partem diuidere , non autem datum nu merum. Est autem operatio facilis, & quae ex dictis ad praecedentes nullo negotio intelligatur. enim trespartes quaesitae simul faciant bEt a singulis auferri debrat is patet hoe idem esse atque si ab seu li auferantur et . unde restat: l. diuidendus in tres quadratos , quod facilὸ fit quia componitur ex duobus L. & quorum altero puta diuiso in auos quadratos habemus totum . . diuisum intres quadratos, qui sub eadem denominatione sunt .M. ;.:.. &si addatur singulis in seu G. sunt quaesiti numeri II. V . . . quorum summa et. & si , quolibet auferatur remanent prius iuuenti quadrati. . Porro & haec & praecedens, aliaeque quas ad praecedentem attulimus ad quotlibet numeros extendi possunt, di omnes sub itibus uniuersalissimis propositionibus comprehendentur, nimirum.
Datum numerum diuidere in quotlibet partes quarum quaelibet adsumpto dato
numero, quadratum faciat. Explicata est a nobis ad decimam quartam huius.
Datum numerum diuidere in quotlibet partes, ut auferendo quamlibet a dato numero, supersi quadratus. Oportet autem numerum a quo fit subtractio maiorem esse ea parte diuidendi numeri, quae denominatur a munero multitudinis partium
postulatarum. Diuidendus esto n. in quatuor partes, quarum quaelibet detram de s. relinquat quadratum Cum ergo auferendo I a. a quadruplo ipsius puta ao. suocist 8. patet 8. diuidendum esse inquatuor quadratos, quorum quili det sic minor 'uim I. Diuiditur autem 8. in duos quadratos . . quare diuiso . bis in duos quadratos, res expedietur. Erunt ergo quisti quadrati s . quos si inseras sigillatim , quinario, remanent numeri Ia. partes quatuor quaestae 'ζ. El.
V So O TERTIA. Datum numerum diuidere in quotlibet partes, ut a qualibet auferendo datum numerum supersit quadratus. Oportet autem ablatilium numerum minorem esse ea parte dissidendi numeri, quam exprimit numerus multitudinis partium postulatarum.
Diuidendus esto 2o. in quatuor nartes , ut a qualibet auferendo sup t quadratus. Quia quadruplum ipsius 3. puta II. ablatum ce zo. relinquit 8. patet 8. diuidendum esse in quatuor quadratos quoseunque, cuilibet addendo r. fient quaesitae partes numeri 2o. Sumantur ergo ouadrati ad praecedentem allati, & cuilibet addatur 3. fient numeti M. quaesta partes lae .
IN v ε Ni κε tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus , quouis ipserum
adscito quadratum iaciat. Ponatur solidus ille i& quaerantur tres quadrati, quorum quilibet adscita unitate faciat quadratum. Hoc autem peti potest a quouis triangulo rectangulo. Expono tria triangula rectangula , & accipiens quaci 'Pm unius laterum circa rectum,divido
377쪽
I. eum per quadratum alterius laterum circa rectum, & inuenio quadratos, unum
t in alterum .' intertium ci Q. & quilibet ipserum cum i infacit qua satum. Restat ut selidus sub tribus contentus aequetur I Est autem solidus ille ἰ. I. I.
CC. hoc aequatur I QA omnia ad eundem denominatorem reducendo, & di
uidendo per i funt ita: . Qinaequa-
Iia r. & latus lateri aequatur , fitque 7 aequale I. Est autem unitas quadratus.' Quod si etiam n. a quadratus esset, soluta fuisset quaestio. Non est autem. Eo igitur redactus fiam , ut inueniam tria triangula rectangula, ut solidus sub perpendiculis ductus in solidum sub basiabus faciat quadratum , is cuius latus si
numerus multiplicatione ortus laterum circa rectum unius triangulorum. Et si omnia diuiserimus per productum ex lateribus circa rectum inuenti rectanguli, orietur qui sit ex producto laterum circa rectum secundi, in productum laterum circa rectum alterius triangulorum. Et si unum ipsortim statuamus 3. q. s. Eo deuentum est ut inueniantur duo triangula rectangula, ut productus ex lateribus circa rei m producti ex lateribus circa rectum siti 1 N. Proinde & area areae Ia. si autem ia. &3. Hoc autem facile est, & est simile huic s. o. r. Alterum s S. Ia. 13. Habentes ergo tria triangula rectanaula.
ur ad initib-Et AESTIONEM XXIMVIx scio an elegantiora&subtiliora problemata, tribus quae sequuntur, exeoe;tari possint mramen mitere corrupta sunt, ut te omni eae parte re tuere Diozes umΥ .essem rota vi sumet ingenii, nisi quis emendatiorem proierat eodiem. Uid , si Itan erant mmqἀere malui, quam eorrigendis diutius animum i quere.' M: Tim
378쪽
illi addetvloti sit E. item quadratus. Cuius rei causa satis est euidens. Nam quolibet numero petseipsum diuiso, quotieiis c si unitas. Quare propolitis quadratis ser& 16. quorum summa quadratum
sicit , puta as. si alter per alterum diuidatur ut 16. per ς. fit A. cui addendo seu unitatem, quadratum fieri necesse est. Cum enim fractiones sint eiusdem denominationis, sussicit addere numeratores, demi natore communi retento. At numeratores ex hypo laesi mi unt quadratum. Quam cum di denominator sit quadratus erit tota stactio ri. quadratus, o patet. Adverte autem si velis res diuersos quadratos, quorum singuli adscita unitate, iaciant quadratum , lumenda esse tria
triangula rectangula non similia, qualia teposuimus intextu Diophanti; miti si sumantur similia riangula . & quadrati laterum homologorum dividantur per quadratos homologorum laterum, fiet idem quotiens , ut sumptis triangulis 3. . s. & 6.8. io. diuiso 9. per io.&3ο. Per 64. aequales fiunt quotientes . Quod accidit ob similitudinem proportionum. Secundo expostis tribus triangulis a. s. s. n. 13. & 8.is. 17. diuiduntur risum quadrati per quadratos perpendiculorum, fiuntque quadrati qui nota Q. insigniti statuuntur pro tulisbus quartitis numeris, quia sie quilibet adsumens Q. facit quadratum. Polio talidus subiis con
tentus, stactio est, cuius numerator oo. fit ex mutua multiplicatione numeratorum s. u. 6
At denominator si Oo fit ex denominatorum i6. 1 . 22s. mutuo duetii. Est ergo huiusmodi solidus I. E. Quia vero numeri ex mutuaqii adratorum multiplicatione Orti, quadrati sunt, quorum latera fiunt ex mutuo ductu laterum quadratorum eorundem , patet 144 . esse quadratum numeri iro. qui fit ex mu uo ductu basium trium triangulorum expositorum , nempὸ 3. s. 8. similiter sis m. est quadratus numeri No. qui continetur sub perpendi eulis A. ia. is. unde eiura tandem
in aequentur unitati, & euidens sit ut solutio contingat rationalis oportere ipsum ἰ: dratum, hoc est Iao. ad 7ao. rationem esse debere quae quadrati ad quadratum: inseri Dio-Dantus rem eis deductam esse, ut inlieniantur ilia triangula tectangula, ut Iidus sub basibus ad solidum sub perpendiculis sit in ratione quadrati ad quadratum. Tettio lemma propositum se absoluimus propositione undecima libri tertii porrismatum. Exp natur quodlibet triangulum re tangulum 3. 4. . or effingamur alia duo triangula ab hymenusae posti trianguli, & , quolibet laterum circa renim modo quem tradidimus quinta tertii potism tum, fiet a s. & . triangulum s. o. i. At vero , s. & 3. formabitur triangulum r6. 3o. 3A. Ttia ergo haee triangula satis racient proposito, nam solidus sub perpendiculis 3. 9. 16. puta 32. ad 48o sopidum sub basibus rationem habet quam ρ. ad ioo. Licetque ut incinuimus in scholio undecimae tertii potismatum, loco cuiustibet inuentorum trianguloriim, sumere aliud simile: ut loco iplius 16. o. 3 . sumi potest8. is. II. quod sanὸ eum aliis duobus propositum absoluit. Denique his inventis triangulis sie explicatur quaestio Diophanti, diuido quadratos basium perquadratos perpendiculorum ,& quotientibus addo notamo fiunt quaesti numeri G QU,: α& H. solidus sub iis e tentus, puta C Q aequatur IQ, α tandem Qui aequatur i. ae moinde di latus lateri aequale est , hoc est in seu in minimis . .. aequatur unitati. Quare fit i N. 'i'. sunt ergo quisti quadrati P. A. V qui m mutuo ductu fit solidus cui si addant ut sigillatim ipsi quassi ati, fiunt rursus quadrati quorum Iatera V ἔ-
niam primum triangulum est 3. q. rectanguiam sub lateribas ia. e. δε- uentum est, inquit Diophantus , It inueniantur duo triangula τι productus ex lateribus circa recum , prodam ex lateribus circa rectum si duo iecuplus se ratio sq.ia tune productum extiteribus unias in productum ex titeribus alterius producet numerum qui erit hianus similis tr atque ideo eorum mutua multiplicatione fer quadratus , quod vult propositio ) sequitur Diophantus , proinde area area ia. quod perfectarum est. Deinde si autem iact3 quia diuidendo iet. per quadratam
sit 3. 6 semper in multiplicatione oritur quadratam, nam quadratum diuisum per quadratum facit quadratum. Reliqua Diophanti non praestant propositum, sed iis
rogituemus. In hoc casu fingatur triangulum abs 7. o a. alterum vero abs 3. Oa. primum triangulorum eri ι triplum adsecundum, o duo propositosatisfacient. gula autem generalis inueniendi duo triangula rectangula in ratione datά hae s. sit ta ratio . . ad S. maioris ad minus , maius trianguiam formabituν abs R Hs
379쪽
primum ι . . S R sexies Et R Hs - Ssecundum abs R quateν --SU R quater - S. bis, aliter formetur primum triangulum abs It - S. quater o- Rbis -S fecundum abs S. sexies O R-S bis, Ex iam dictis deduci potest methodus inueniendi tria ιriangula rectangula in proportione trium driorum numerorum modo duo dati numeri reliquistat quadrupli , pnt v. g. dati tres numeri RS. T se sint ipse R. T. Amal quadrupli S. formabuntur se tria triangula. Primum abs R- s. quater se R bis- Squater, secundum abs s. sexies o R-Sbis, tertium abs S quater --T O- S quater - T bissum imas autem R esse maiorem T. Hinc etiam elicietur modus inueniendi tria triangula rectangula numero quorum area constituant miangulum rei rangulum, eὸ enim deducetur quaestio νι inueniatur triangulum cuius basis o hypoten a sint quadrupla perpendiculi. Hoc autem es facile erit triangatum simile huie 17. 11. 8 tria vero triangula se formabuntur, primum abs 49. O a. secundum abs 47. - a. tertium abs xes I.
Bine etiam elicietur modus inueniendi tria triangula quorum areae snt in ratione trium quadratorum datorum quorum duo set quadrupti relitui ac proinde poterunt esdem via inueniri tria triangula eiusdem area. Imo O infinitis modis possumus construere duo triangula rectangula in data ratione eendo unum ex terminis aut virumque in quadrata data cte.
Hi διν ,s .ci τὸ siὲν μεῖ ν .. ιβ. Q. IN va Nisa tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus, quolibet ipsorum detracto, faciat quadratum. Ponatur solidus sub ipsis contentus et R& rursus quadrati qui quaeruntur, sumantur ex triangulis rectangulis , unus a d. alter a tertius a K. statuo eos in quadratis , de manet i quolibet ipsorum detracto, faciens qudratum. Superest ut solidus sub tribus contentus aequeturi Q. est autem solidus illeC C.hoc ergo aequatur i in& omnia per i a dividantur, fiuntnn: aequalia r. Est autem unitas quadratus alus habens quadratum. Ergo
Oportebat etiam esse quadra tum latus habentem quadratum. Rursus itaque res eo est reductavi inueniantur tria triangula rectangula , ut soliduς
sub perpendiculis ductus in solidum sub hypotenusis faciat quadratum, qui latus habeat quadratum N. Et si omnia diuidamus per productum ex hypotentisa in perpendiculum unius rectangulorum, oportet oriatur qui fit ex producto hypotenuis in perpendiculum, alicuius rectangunti, in productum ex hypotenusa in perpendiculum alterius, esto unum rectangulorum 3. . Eo itaque deuentum est, inueniantur duo triangula rectangula, ut numerus hypotenuis & perpendiculi,
380쪽
numeri hypotentisae & perpendis utieto. si autem ro. & 3. S eii facile, quippe
Πυιus est . I 2. I3. minus 3. - . Ab his ergo qua lenita sunt alia duo, ut nimi crus hypotenusae N perpendiculi sat est autem maioris h= rotenusa 6 . perpendicu- Ium o o. Minoris autem hypotemisia aqui vero in uno rei tangulorum ir. dc accipientes minima similium , recurrimus
ad propositum initio , & ponimus soli
dum sub tribus contentum i in ipsorum
autem quadratorum alterum 16 alterum 376 intertiunt zaim superest ut solidus sub tribus , Aquet
in i latusque lateri aequetur, de inuenieturi N. 61. Ad positiones. 2IN IN AESTIO NEM XX QEonari sere logismo utitur hie Diophantus , ac in praecedente. Nam ut inueniat tres quadra. eos qui ab unitate sigillatim detracti quadratum relinquant, sumit tria tri Miguta rectangulavi prius diuidit quadratum perpendiculi cuiuslibet triansuli per quadratum hypotenusat. Verbi gratia sumpto triangulo 3. q. diuidit i s. per as unde fit . quadratus qui ab unitate hoc est a l. detractus relinquit quadratum I. cuius rei ratio ex adnotatis ad praecedentem satis innotescit. Hine ergo patet solidum sub tribus huiusmodi quadratis eontentum , neri ex solido sub quadratis a tribus 'perpendiculis, diuiso pet solidum sub quadratis a tribus hypotenusis. Quamobrem latus quadratum huiusmodi solidi constat ex sblido sub ipsis perpendiculis diuiso per solidum sub hypotenusis i , ut esso latus hoc sit quadratus numerus ut requiritur, necesse. stiliueniri tria triangula rectangula, ut. solidus sub perpendiculis ad solidum subhrpotenusis sit in ratione quadrati ad quadratum. Quomodo autem inueniantur tria huiusmodi triangula, non satis mihi constat ex corruptissimis Dioλanti verbis ; sed illorum iactitram aequo animo ferre possumus, quandoquidem problema istud periectὰ , nobis demonstratum est propolitione decimaquarta libri tertii poti sinatuni. ubi tradidimus illius constructionein hoc pactis. Exposto quolibet triangulo F. . Ita ut 8. duplum baseos sit maius perpendiculo 3. inueniatur per duodecimam tertii potismatum aliud triangulum ut planus sub perpendiculis utriusque trianguli, superet pi num sub basibus quadrato numero, erit illud ia. s. Ia. Iam, duobus triangulis 3. 3. 13. s. ia. estingatur tertium per decimam tertii poris istum. Cuiu, hypotenuia 6s.fiet ex mutuo ductu hypotenusarum II.& Basis autem σ3. erit sumnia productori ni ex basi cuiustibet trianguli in perpendiculum alterius. Denique perpendiculum is. et it differentia productorum ex basi in basiui, & ex perpendiculo in perpendiculum. Sie habebimu, tria trianstula: quaesita puta y. 4.3. 13. .rri 6y. 63, 16, Nam planus sub perpendiculis est 11s. planus sub hipotenusis ars. quorum uterquz quadratus cum sit, eorum utique ratio est quaequa.draii ad quadratum.
Hoc expedito lemmate iacile soluitur quaestio Diophanti. Sit enim solidus sub quaesitis quadrati, eontentus i Q Ipsi vero quadrati statuamur ij qui fiunt diuidendo quadratum perpendiculi euiunt bet inuentorum triangulorum per quadratum hypotenusae, puta fitque solidus sub ipsis contentus .i:, ni CC. aequalis I inseu rati ..; in aequatur I. Quare &latus lateri, hoe est aequatur i. & fit i N. . . Ad positiones. Erunt quaesiti quadrati Z solidus sub ii eontentu est quo si quilibet eorum auferatur, remanent quadrati 'I. V. . quorum latera I. I .
AD eliacidationem se explicationem quaestionis methodam Diophan ii quam Baehetus similiter praetermisit quaerenaea funt duo triangula r/ctangula vi produίrum sub Dρotenusa es perpen/iculo unius ad productum sub H
potenusa es perpendiculo alterius habeat rationem datam.
ma βοὴ quastio diu nos torsit veris diffcillimam quilibet tentando experie - .rur, sed tandem patuit generalis ad Vsius solutionem methodus. .