장음표시 사용
61쪽
Liber Secun cub. PROPOSITIO I.
SI numerus secetur in quotlibet partes. Quadratus totius aequatur quadratis partium, de numeris qui iiunt bis ex qualibet parte in quamlibet ex aliis.
A. . . . D. . . C B Num ςxu δε η sectus sit primum in tres partes A D. D c. c v. Dico quadra... . totius As quari quadratis paritum A D. DC. Cn.& in unicii, cui fiuntis ex qualibet parte in quamlibet ex aliis, nimirum productis bis ex A D in C v ex D C in C h & ex ADta DC. Etenim concipiendo numerum diuisum in duas partes A C. C s. 'etit quadratus totius A v aequalis quadratis parti una A C. C B. & producto bis ex Α e in c n. Sed productus bis ex A c in. C s aequatur productis bis ex singulis A f. D C in C B. Quadratus autem ex Λ C. aequatur quadratis partium A D. D C. & producto bis ex A D in D C. Igitur constat quadratum totius A B aequari quadra-
qμi sunt bi ex quolibet in quemlibet ex aliis. Quod est pro
A. . E. . . D. . . . C B iς xWr 4 η in quatuor partes A E. E D. D c. c h. Dico nihilo minus sequi propositium. Nam si totus A v concipiatur diuisii, in duas putes A c. C B. erit quadratus totius aequalis quadratis partium A C. C η re producto ex A C in C s. ois. At productus ex Ac in ca bis, aequatur productis bis ex singulis AE. E D. D C. in C a. Et quadratus .ex AC. aequatur per iam demonstrata quadratis singulorum A E. ε D. D C. & prodii diis ex qu libet morum in quemliliet ex aliis. Igitur quadriius totius A a aequatur quadratis singulorum D s.ca. de produ*s bis ex quolibet in quemlibet ex aliis. Quod demonstrandum erat. si numerus secetur in quinque partes , idem ostendetur assumendo quod demolistratum de sectione in quatuor partes, & sic in infinitum. Igitur ex omni parte constat propositum.
Datis duobus numeris inaequalibus, productus ex mutua corum multiplicatione una cum quadrato semissis interualli ipsorum , aequatur quadrato semissis staminae
eorundem. Haec propositio eadem est cum quinta, a. Euclidis mutatis tantum verbis. Etenim sint numeri A. . p. E B. C i quδle maior de s c in inor. & totius A C semissis esto A E vel a c, & iii se missi Aa sit matur νε aequalis ipsi Em Tunc ab aequalibus AE. EC. auferendo aequales F E. E s. erunt reliqui A p. v c aeqtiales. Quamobrem F a est interuallum inaequalium numerorum A s. η C. & Ea est semissis eiusdem itumasti. Itaque per quintam , a. constat quadratum ipsius ac semissis summae aequati producto ex Asin v c. di quadrato En semissis litterualli. Quod demonstrandum erat.
Duorum inaequalium quadratorum interuallum , aequale est numero qui fit ex summa laterum in interuallum eorundem.
Hre etiam non differta sexta, a. etenim sint inaequales numeri AC minor, & CD maior ab se in . A C s .... D d xvr ς D num prus C s qualis ipsi Ac erit ergo a D interuallum duoium A C. c D. Dico itaque quadratum ex C D superare quadratum A C. numero qui fit ex An summa laterum, in a P interuallum eorundem. Cum enim A a sectus sit bifariam ine. At ei adiectus sit s D, erit per sextam, a. quadratus in C D aequalis producto ex A D in B D de quadratore A C. Quare quadratus GC D superat quadratum G A C producto ex AD in a D.Quod demonstrandum tuit.
Duorum quadratorum summa, aequatur duplo plani sub lateribus, una cum quadrato litterualli eorundem. Haec
62쪽
Haec quoque aliis verbis idem protrunciat, quod septima a. Etenim sint inaequales numeri ac Λ D cos maior&Cv minor, S abscindatur 1, C aequalis ipsi c n. ita ut AD sit iti. teruallum ipsorum A C. cv. Dico summam quadratorum ab ipsis A C. Ca. uari duplo plani sub A C. C s. viii eum quadrato ipsius A D. Qu.ia enim numerus AC sectus est vicumque in D, per septima a. quadratus ex A C cum quadrato ex D C. idest summa quadratorum ab ipsi A Q. C B. aequat ut duplo plani sub A C. D C. seu sub A C. C s. via, cum quadrato ipsius A n. Quod demonstrandum erat. PROPOSITIO V.
Quadratus summae duorum numerorum, aequalis est quadruplo plani sub ipsis numeris contenti, una cum quadrato interualli eorundem. Haec rurius eadem est cum ociaua r. sint enim inaequales numeri A a maior, & a D minor,& abnΑ c si o cindatur cv aequalis ipsis D, ita ut AC sit interuallum ipsorum A s. st D. Di. co quadratum totius A D aequari quadruplo plani sub A s. a D. vn, eum quadrato interualli A C. Cum enim numerus An sectus sit vicumque in C. per Octauam 2. quadratus compositi A A n. C v. nimirum totius A D. aequatur quadruplo plani sub A s. c a. seu sub All. v o, cum quadrato ipsius A C. Quod demonstrandum proponebatur.
Duorum inaequalium quadratorum summa, dupla est quadrati semissis seminae laterum,& quadrati semissis interualli eorundevi.
Haee non differt , nona a. sint enim inaequales numeri A D. D s. & totius A s. semissis esto A c. vel, c D n ς η secunda huius CD erit semissis interualli ipsorum A D. D s. Itaque dico summam quadratorum ab ipsis AD D s. duplam esse quadrato- tum ab ipsis cs. CD. Quod ipsum enunciat nonar. Quamobrem c stat propositum.
Quadratus summae duorum numerorum , & quadratus interualli eorum simul, dupli sunt quadratorum ab ipsis numeris.
Haec quoque coincidit cum decima a. sint enim inaequales numeri Ac. minor. & Co maior A et si o & a maiori abscindat tir C s minori A C aequalis, ita vi a D sit interuallum ip- ' forum c. co. Dico Quadratum totius AD cum quadrato interualli a Deise duplum quadratorum ab ipsis Ac. e D. Cum enim A a sectus sit bifariam in c. & adiectus sit ei a u. per decimam a. Quadrati ipsorum AD. n D simul dupli sunt quadratorum ab ipsis A C. CD. Quod erat ostendendum. COROLLARIUM.
Cuiuslibet numeri ex duobus quadratis composiι tam dimidium quam duplum componitur se ipsum ex duobus quadratis.
verum sinemr omnibus num erisco emant , ut apparet, unis constat iapsum esse Caruissem eap. a. suis Arithmetiearuuia Iam ubi ' c Πορ etatem numerisIractis conuenι re negari Notantas etiam error Naeolas Tartalea lib. 6.
se nis parrai prast. r. iara πιι si numerus ex Δobus quadratis e. ositus sit duplus alterius ex Δοbus Mim quadra/ιι compositi, semper euoιre ut minus Dius Dbduploram sit inierualium inser maius iatus e mussim cst minus δεμ - , υι quia. quadrati 64. σω si inunt dupli quadratorum 2F. Ο s. accidis 3. Lius - esse riserentio Drerum s.cst a. Eiemm eum uterque numerus ex duobus quadratis compositui , in itis moris componatur ex d-bus quadratis, ut estinast Diophantus quae' dicimis lib. 2.sane uterque in initis modus iuuida poterat ιn duos quadratos in quibus non eueniet quod simpare enare asserat Tai talea, quod unico exι Io probares ciet. Quadrati latist ysimul duposeunt qu-dratorum 6 . O i. cum tuorumsumma sit uo. horum Atiamen eum iatera illorum sis it. horam 8. O i. manifestum est, minus horrum nempe ι. non osse interi altam i oram r. ct 3. Rursus Wo. Nomtur ex duobus quadrato 8i. O 9. Aι 61. componitur e duobus 49'i6. O uti teras eo 7. istorum 7. O . tibi ι-ιn . non est interuati se ipsorum 7. σ7. Verum quid m est si alit. parentur hi quadrati , oenire quod πιι Tartareanimi msiqua ait Iri.'s. comparentur i σε . Ois. νιγρο- ιι8i. s. comparenitir ius 64. i. Hoe igitur L iuuare debuit Tarta-ua ; sed doctrinam is semeras e iuratas quadraris compositis perfeci. non calluit. Hinc etiam colligere licet. Nullum numerum pariter darem tantum compoui posse ex duobus
uadratis integris N inaequalibus. Nam si hoc ponatur, iactu concludetur ex qui ousdam propositionibus lib. i. porti m. & ex sexta huius, illius quoque dimidium componi E duobus quadratis integris N inaeqtialibus. Quia igitur numeri pariter paris tantum, continuε dimidium sumi potest, Sedimidium dimidii donec ad binarium & ad unitatem deueniatur per trigesimam quartam 9. Euclidis, paret sequi & ipsum binarium & ipsasti unitatem componi quoque ex duobus quadratis inte-ςtis & inaequalibus. Quod est impossibile. Colligitur manis . hoe eorollarium ex his duabus post emis notositionibu , ct i numero sine pari me impari, sivi iniura ,s Mur Io, cum ba dua dimonstratiami ο.
63쪽
H 6. ΚIL L 39. M 2. N 6. PII. Differentia medij proportionalis a quolibet quadratorum inter quos medius est; aequatur productis ex interuallo laterum in quodlibet latus. . δε ε s quadrati A C. qtiorum latera D F, quorum interuallum E & medius pro-λ t portionalis inter ipsos A Q esto B. Dico differentiam qua B superat A aequari prodiicto ex E in D. N disteremiam qua C superat Baequari producto ex E in F. a viae - Etenim patet ipsim B fieri ducto D in F. Quia ergo F aequatur ipsis D E simul, ι fiet idem B ducto D in singulos D E. Atqui ex D. in D fit quadratus Α. Igitur si, productis ex Din D&in Ehoc est, numero B auseratur productiis ex D in D, nempe quadratus A, restabit productus ex D in E prodisserentia inter ipsos A B. Similiter quia ex Fin F fit C.&Faequatur ambobus D E, fiet idem Ce, Fin singulos D E. At ex F in D fit But dictum est. Igitur si a quadrato C. auferatur iurestat pi ductus ex F in E pro differemia inter B C. Quamobrem ex omni parte constat propositum.
Si a duobus quadratis, & a medio eorum proportionali auferatur sigillatim quilibet datus numerus, &uia residua per differentiam laterum sigillatim dividantur, medius quotientum superat minimum latere minoris quadrati, & uiperatur a maximo latere maioris quadrati, & senanaa maximi de minimi superat duplum medi, eorundem laterum interuallo. Sint Α B duo quadrati, quorum latera D F. quorum interuallum H & medius proportionalis ut C. &ab ipsis Α. QB. auserendo sigillatim datum quemui, numerum G. supersint H. M L. quibus diuisis sigillatim per E, fiant quotientes M. N. P. Di eo primo N. superate ipsum M. numero D, & eundem N. superari ab ipso P. numero F. Etenim cum a singulis ACB. ablatus sit idem . G. patet residuoriim H ΚL eadem esse interualla quae ipsorum Α C B. . V., ' Atqui C superit A. producto ex D in E & B superat C producto ex E in F. I itur & interuallum duorum HK. est producti is ex D in Ε, & interuallum duorum K L est productu, ex E in F. Quoniam vero diuiss ΗΚ ta per ri prodeunt MN P. constat duorum M N in- uallum fieti. diuiso per E interuallo ipsorum H K. seu producto ex D in E similiter duorum NP. inteluallum fiet, diuiso per E interuallo ipsorum K. L. seu producto ex E in F. Atqui diuidendo per, E productos ex E in D, & ex E in F, fiunt quotientes ipsi D F. Igitur duorum M N interuallum est D. & duorum N P interuallum est F. Quod erat propositum. Deinde, dico summam ipsorum M P. superate duplum ipsius N numero E. Nam per ostensa P. aequat ut ipsis N F. Igitur summa ipsorum MP. aequatur tribus numeris M&F. At Faequatur virique DE Igitur summa amborum M. P. aequatur quatuor numeris D EM N. verum per ostensa ambo D M aequantur ipsi N. Igitur ambo M P. aequantur duplo ipsius N, de numero E. Quod do
Si duobus quadratis & medio eorum proportionali addatur sgillatim idem numerus , &tres summae per interuallum laterum sigillatim diuidatitur, idem quod prius
quotientibus accidet. Sint iidem qu supt, D E F. A C B. & ipsis Α C B addatur sigillatim numerus C. unde fiant H. Κ. L. quibus diuisis sigillatim pet E, fiant quotientes MN P. Dico primo N superare ipsum M numero D, & eundem N superari ab ipso P. numero F. Etenim eum singulis A C B additus sit idem G. patet summariimHM Leadem esse interualla, quae ipsorum ACB. Atqui C superat Α&assu.
mantur reliqua omnia verba praecedentis demonstrationis , di nulla quidem mutata litera propositum concludetur.
Si a duobus quadratis auseratur idem numerus sigillatim, & residua per interuallum laterum fgillatim dividantur, qui fit ex quotientum mutuo ductu , adscito numero qui a quadratis detractus est, quadratus euadit. D . Eu F 7.
64쪽
Porisniatum Liber secundus. 67
ductu is ex M. in Padscito G. aequalis quadrato ipsius N. God etat demonstrandum.
Si duobus quadrilis idem numerus sigillatim addatur, & summae per laterum sigillatim dividantur , qui si ex quotientum mutuo ductu multatus numqui quadraxi n s. li horum interuallum E GD E 3- F 7- si iiiiiiii ipsi, A B. & summ*':
A io, d 49- Di eo productum ex M in P. detracto numero G 'um im Sumatur enim N qui fit si medius proportionalis inter A & B adicito L. M N p r diu;.Mu -E. isti tui . ambo D M aequantur ipsi N. & amlim N F πquantur ipsi . P s auare qui fit ex N in D. Ouatur Moductis ex D in D seu quadrato A & ex D in M. At qua- -.
D aenuatur productis ex M in D de in E detracto G. Quia vero D E componunt F.s producit in D le in E aequant ut producto ex M in F. Quare productus ex N in D: quatur pr-M , F detracto G. Rursus quia productus ex M. in raequatur Otructis ex M in N & in F ex quibus componitur , detrahendo utrimque numerum G. it productu ς Μ ' ' ἡ...
iem Vt ostensum est productum ex N in P qnt e ri is N in D h mori ductiso N in D&in M. Qui vero D Maequantur ipsi N Hostensum est&in M aequantur quadrato ipsius N. Igitur productus ex Min P. detracto . q-qipstu, N. Quod demonstrandum erat.
Si a duobus quadratis auferatur datus aliquis numerus sigillatini, de residu' diui dantur sigillatim per interuallum laterum, duo quotientes, una cum duplo summae ipsorum multato supradicto interuallo, exhibent tres numeros, quorum bini quilibet si inuicem ducantur, & producto addatur datus numerus, fit in x sint quadrati Α R quorum latera C Ede horum D. & sit datus ς ε D 3 7 G. quo detracto sollitim ex ipsis A B, de diuidendo residua per D η''' fiant quotientes Κ L, Et horum summae duplum multatum it D sit M. Diis η ire, Κ L M. piaestare quod proponitur. Denim , medio pronortionali cadente K '' iri ei A& B det ahendo G de residuum no Ddiuidendo, fiat ' uotiςns H. Ex iN36 P Q36x' simo ducto K in L & noducto addendo G. fiat N. Dico N eo qu T - is Etenim N est quadratas i iii, H riseria demonstratum est. Secundo ducto K in Μ &-άM. Mi d ita G. fici P. dieo P e quid aium. Qitia enim summa duorum Κ L aequatur duplo ipsus H, Ac numero D. duplum ipsorΣ Κ L. aequabitur quadruplo H & duplo D. ut aue. duplum ipsoriim KL detracto D. nempe numerus M aequatur quadruplo Η, & ipsi Dsemel immo. Vnde qui fit ex K in M aequatur producto ex K in is quater & in D '- o utrimque numero G. productus ex Κ in M addito G, in P. aeqiratur pr utas ex K in H quater, & in D semel adscito G. At numerus qui fit ex K in D adscito G aeqoatur ie A per i .... .ulli Alonem. Igitur P aequatur ipsi A&producto quatet ex K in P . Quamobrem i cstim A sit M.
65쪽
Disserentia quaslibet duorum quadratorum a medio eorum proportibnali est media proportionalis inter eundem quadratum, & quadratum int Ii laterum.
H; Κ a. Ly. V m mpri portionalis B. sintque i ta ouadratorum G 6. Dio. Dico Sese medium proportionalem inter A ru M I.
PROPOSITIO XVI ii h' . si si pium summae illorum, & quadrati interualli
D. Md&summa quadratorum A R aequatar duplo iosius insunimam ipsi uni AB.
bitur quadratis ipsortim DE. Ec duplo producti ex D ii R,
Ergo L quadratus est euiu, latui tari 'o '
66쪽
Secundo, ducatur E in reliquitur C unde fiat di amborum H M sumnia esto N. Dico N. esse quadratum. Sumat ut F duplum ipsius L Quia ergo C aequatur duplo ipiorum AB E erit productus ex Ean C. puta M. aequalis duplo producti ex Fin Λ B. & duplo quautati ipsius E Et quia AB simul, ut ostensum est. aequiniux ipsi D bis, α E senixi productus ex Elia A B bis. aequatur Pro - cto G E in D quater, es duplo quadrati ipsiusE. are totus productus ex E in C. puta M aequaturpi lucto E in D quater, de quadruplo quadrili ipsius E i eu quoa idem eii duplo producti ex Dio F. α quadrato ipsitis F. Quare addito H quadrato ipsius D. fiet N aequalis quadratis ipsarum D F re duplo producti ex D ia F. Ac provide N est quadratus latus habens ivinmani ip tum D F. d erat inteluam. Tertio, ducatur Ain C. de fiat M. ducat utque E in summam ipsoruni A C. de sat P. stque amborum G P. iumma in eo Q esse quadratum. Quia enim C aequinii duplo ipsorum Λ u E. erit 'oducius ex Λ in C puta G. aequalis duplet quadrata ipsus A, duplo prodit A innquadrati ipsius D, di duplo producti ex re in E At duplum quadratotum ab ipsis AD aevi iacet quadrato summae pIorum A D. N quadrato interualli ipsorum. mia vero ii ter ualtam hoc: est . Aes medium proportionale inter A M E , . quadratus illius aeqtiatur mi aucto ex Λ in Erigit ut G aequa-quisi . . tui quadrato summae ipsorum AD, dc triplo producti ex Λ in E. Rursui productus ex Ein A Crura P. ostendetur aequalis triplo moducti ex E in A, duplo producti ex Eita B, dc dcplo q dratin os E. Quare Q coit postus ex ipse Q P. aequatur quaarato summae amborum A D. sextuplo producti Ein A, duplo moducti ex E in B. & duplo quadrati ipsius E. di loco eius qui fit bi, ex Em A B. si mendo illi aequalem quadreptuni producti ex E in D, una cum diiso quadrati liquis E ut ostensum est in secunda parte. erit QAqualis quadrato sumiso ipsorum A D. qu druplo producti ex Eio A in& quadruplo quadrati ipsi E. te loco quadrupli ex Ein A D sumendo plumeaei in A D.& loco quadrupli quia ali ipsu, E suinendo quadratum ipsius: λ fit quali intrato summae AD.&quadrato F. de duplo producti ex Fin AD. e qua status summae ipsorum p. . Quod erat propomum. 1. Quarto , ducatur E in B. & fiat R. quo addito ad C. fiat S. Dico S. esse quadratum. Quia enim vi
exE in Deum quadrato ipsius E. patet S aequari quadrato summae amborum A D. N quadrato ip sius L & duplo pioducti e, E in A D. AC in proindes. quadratus est sumniae ipsorum ADE. nox
vo, ducatur B in C& fiat T. caturque Lia summam ipsorum &fat V. &summa ipsoru T v cito X. Dieo x esse quadratum. Quia enim C aequatur duplo ipsorum A B E, erit productus ex hinc puta T. aequalis duplo quadraxi ipsius B. Opio producti ex Rin A, & ex B in E Et loco ρο dum bis ex B tu A. sumeodo illi aequalem duplum quadrati ipsius D. Tum pro duplo quadiatorum Dis. A 9.
Z an ab ipsis B D. a sumendo quadratum summae amborum B D IΣ μ' cum quadrato interualli eorundem , de pro hoc ouadrato imtervalli ipsorum B D. . sumendo producrum ex D in Ε, set . totus T qualis serato suimnae amborum B D. & triplo Miri. producti ex B in T. Rursus autem productus ex E in BC Uita Raequalis est triplo moducti ex E in B duplo producti ea E in A, di duplo quadrati ipsusE Quare X compositus ex utroque T V aequatur quadrato summae amborum B D. sextuplo preducti ex E in B. duplo producti ex E in Λ de duplo quadrati ipsius E Itaque loeo eius qui fit bis ex E in A B Quis ido illi aequalem quadruplum pr .cti ex E in D, eum duplo quadrati ipuus erit X aequalis quad Mosummae ipsorum BD quadruplo producti ex E in B D. N quadruplo quadrati ipsius E. mare rursus soco quadrupli ex E in B D, sumendo duplum ex F in B in εο loeo quadrupli quadrati ipsius K sumendo quadratum ipsus F. fiet X aequalis quadrato summae ipsorum B D, de quadrato ipsius F, εἰ duplo producti ex F ita BD. ι Ptolode X quadratus est summae ipsorum BDF. Qi i ri ,
Denique ducatur E in A & fiat T quo addito ad T fiat Z. Dico Z esse quadratum. Quia enim, ut omnium est, T continet quadratum summae ipsorum B Dde triplum producti ex B in ta huic addendo V producti in ex E in Λ fiet Z. contineus quadratum sumi ae ipsorum BD, triplum pro .s es ex E in B &roductum ex E in A. Quate loco producti exE, in A B suineudo duplum 'odu ex E in D una eum qii irato ipsius E, patet Z aequari quadrato summae amboriim B D. & qu deito ipsius T & duplo producti eo E in B D. AC proinde Z quadratus est, cuius latus comp nitur ex simina ipsorum B DE Quamobrem ex omni parie constat prop'stum.
67쪽
Datis duobin quadratis sumatur duplum sinimae illorum, & quadrati interualli laterum: habebuntur tres numeri, quibus si addatur sigillatim duplum quadrati imterualli laterum, fientites ali i, quorum bini quem producunt mutuo ductu, detra coqui fit ex quadrato interii alii laterum, siue in summain amborum, siue in reliquum
remanet quadratus Sint duo quadrati AB. de quadratus interuesti laterum laduolum ipsorum A B E. esto C. addaturque singulis ABC. duplum ipsius Eputar. Dico tres A P. BR CR praestare quod dictum est. Primo enim ducatur A F in B F& fiat G. Ductoque E in reliquum CF. fiat II, quo detracto in G, maneat MRico Κ esse quadratum. . Quia enim ducere Α F in B Fidem est, atque dueere A in B de F in F & utrumque A Bin F. patrata continete productum ex A in B. Si productume. Fin AB, seu ex Edis in A B.ὶ de quadratum ipsiux F. seu quadratum ipsius E quater. Rursus , quia C cominet
A productum ex Ein AB bis, de ex E in seisum quiter. te detracto II ex G. reliqum K aequatur producto ex Λ in B, quadrato medii m portionalis D. Q od erat propositum eundo, Beatur E ia summam ipseram A L B F, dc fiat L quo detracto reat sus ex G. sumist M. Di eo M esse quadratum. Nam ut ostensum est. G eontinet productum ex A in B, & mductume, si bis in A B. de quadruplum quadrati ipsius E. At productus ex E in A. F. B F, puta L. continet inductum ex Ela Adidi ex E in sui quadruplum, seu quadruplum quadrati ipsius E. Igitur detrahendo L ex G reliquus M manet aequalis producto ex A in B. & producto ex E in A B. Quamobrem M. quadratus est per primam partem praecedentis, ius latus est summa amborum DR Quod erat propositum. Tettio, dueitur A FAECF. & sat N. trum ducatur Ein siimmam ipsorum Ap Cp x sit P. quo detracto ex N. svressit Q pico Q. esse quadratum. Quia enim dueere A F in C F idem est atque ducere A in Q&Fia P. ac demum Fin ipsos Λ C. patri N. continere productum ex Λ in C. Nimductum ex Fin F seu ex E in seipsum quater, di productum ex FHAQ seu ex Ebis in Λ C. Rutus productus ex E in A F. C F nuta P. continet pti,ductum ex E in A C. semel, & ex E iu seipsim quater. Quare detracto P ex reliquus mauet aequalis producto ex Ain C &pmductoeet E in ipsos A C. Quare Q. quadritus est ser tertiam partem praecedentis cuius latus componit ut ex ipsi D A F. Quia erat intentum. Quarto. Dueatur E in reliquum B F & sat R quo detracto ex eodem N. maneat S. Di eo S. qua. dinum esse. Quia enim ducto E in Α F. C F si P.& ducto eodem E in B F fit R. paret P superare R. producto qui fit ex E in interuallum quo ΛR CF superant B F. Atqui ipsus Q sumendo duplum ipsorum ABR Interuallum quo AR CF superant BF repetitui continere A tei. phis. B semel. Igitur P superat R producto ex E in Α ter, in F bis, in B Gel. Porto quia P mimul eonficiunt eundem N. quem &R s. simul conficiunt, sunt in arithmetica medietate P Mi R. ut LM Q. Igitur S. superat o producto ex E in A ter, in F bis, in B semes. Et Ioeo producti ex E in A Bsemel, .sumendo pmductum ex Ein Dbis,& iu seipsum semel, fiet interuallum quo S superat equale producto ex Ebis in ipsos D AR &quadrato ipsius Siniare eum stensus sit quadratus, cuius latus eomponit ut ex ipsis o A F. & quadrato addendo quadratum ipsius E & duplum producti ex ipso E in latus ipsius Q at S. utique s. quadratus est latus habens compositum ex ipsi, DA FE seu GDA&triplo ipsius E. Quod erat propositum. Quinto, Dueat ut B F in C F.& fiat T. tum ducatur E in summam ipsorum B F. C F. & fiat V. in detracto ex T supersit X. Dico X esse quadratum. Ria enim T producitur ex B F. in C F. pitet T continere ' uctum ex B in C, ω productum ex F in F, seu ex E in F bis, di productum ex F ia BC, seu exE bis in B Q At productus ex E in B F. CF. seu U. continet produLim ex E in BC. semel ,& ex Elin F bis. Igitur detractis v. ex T. reliquus X. continet productum ex B in C.&pmductum ex E in B Q Quin X quadratus est per quintam partem praecedentis, cuius latus componitur ex ipsis B D F. Quod erat propostum. Denique ducatur E in reliquum AF α fiat T quo detracto ab eodem T. supersit Z. Dieo & idisama quadratum esse. Quia esimo Eiu BR CF fit V. di ex eodem Ein AF fit ripatet v supera e
68쪽
Y producto qui fit ex E in interuallunt quo BF. CF superant A F. Sed eodem quo supri, ductu vie tes inueniemus hoc interuallum continere ipsum B ter. F bis. A semel. Quare v. superat V. produ- ex E in B ter, in F. bis, in A sentes. Et loco producti eae E in A B semel, sumemio illi aequalem roductum ' ex E in D bis , & in seipse in semel fiet interuallum quo V superat Y aequale productoo E in ipsos D B F bis , & quadrato ipsius E. Qitoniam vero V X. simul, aequantur ipsis V Z simul, i,. iiiiit in aequali differentia V Y.& Z X. Ergo interuallum quo Z. superat X. aequatur duplo producti i. 9 is et E in ipsos D B F. & quadrato ipsius E Quamobrem cum X ostensus sit quadratus, cuius latus eoinponitur ex ipsis B D F. patet ad ipsum X. addendo qiradratum ipsius T & duplum producti ex . ipso E in latus ipsius X, ς compositum Z esse quadratum cuius latus constat ex ipsis D B F E seu ex , VI D B & triplo ipsius E inlate ex omni parte constat propositum.
Si planus sub duobus numeris contentus, ducatur in compositim ex ipsis, idem fiet numerus, atque si quadratus primi ducatur in seciundum & quadratus secundi ducat ut in primum. n ii Eis Sint duo numeri Α Β.& planus sub ipsis contentus C. quo ducto sigillatim in ipso, s ' Λ. B. fiant D E patet ery summam ipsorum D E aequalent esse producto ex C in
E is compositum ex ipsis A n. Hanc igitur Hammam dico aequalem esse productis ex quadrato ipsius A in B, & ex quadrato ipsius B in A. Nam sumptis tribus numeris A. R NA rursus, idem gignetur numerus quomodocunque & quouis ordine inter se ducantur. Quare . ι isti .i. ducto A in A & producto, nempe qu, diato ipsius A ducto in B. fiet idem D, qui fit ducto A in B& producto C in A. Eodem argumento probabitur numerum E fieri ducto quadrato ipsius B in Λ. Quamobrem constat propositum.
Si numerus secetur in duas partes, cubus totius aequalis est cubis partium, & numero qui sit ter ex toto numero in planum sub partibus comprehensium.. C n Sit numerus AB sectus in duas partes A C. C B. Dico
st cubum totius AB aequari eubis partium A C. CB, dc numero qui fit ter ex toto A B in planum sub ipsa AC. CB eomprehensum. sum turbDM quadratus ipsi A B. f qui eum sit aequalis quadratis ipsorum A C. CB de plano. bis sub ipsis coinprehenso, ino DG quadratus ipsius Λ C. de G Κ quid ratus ipsius CB. de ΚM planus bis sub AC. CB eontentus. Itaque patet ex t quarta , definitione cubi ex toto Α B in totum D M produci eubum ipsius A B. ι Ergo idem cubus Mino dueetur ductis sitsulis partibus ipsius AB in singulis ipsius D M. Ducto autem AC in suu in quadratum D G. fit cubus ipsius A C. de ducto C B in suum quadratum G M sit x sobri. cubux ipsius C B. Ergo iam habemus cubos pittium. Restat ut ducamus AC in GK, lepram , a C B in D G, tum viruinque A C. C B in Κ M. - Atqui dueere ipsos A C. c a in x Μ. idem
est atque ducere totum A stin x M. Quare cuin x M. sit planus bis sub partibus A C. Ca contentus, patet ducere A C. CE in x M. idem esse atque ducere totum A B in planum bis sub partibus comprehensum. Rursus autem ducere A C in si x , de Cp in os, idem est atque ducere totum An in planum sub partibus comprehensum. Quamobrem harum omnium multiplicationum producta simul, i seu eubus totius A a 2 aequantur cubis ipsorum A C. Cs, ic numero qui fit ter ex toto A sin pla- octaua. num sub ipsis A c. C a. comprehensum. Qxiod erat ostendendum. ιν as.
Si numerus secetur in duas partes, cubus totius aequalis est cubis partium, & nume meris qui fiunt ex qualibet parte in quadratum ait crius ter.
1 C h ruamerus A s lectus in duas partes A C. C v. Dico cubum totius A a aequari e ubi sipsorum A c. CB. de numeris qui fiunt ter ex quadrato ipsius A C in C B, de ex quadrato ipsius e B in A C. Etenim eubus totius A a aequatur cubis ipsorum A C. C B, de numero qui sit ter v .setis. ex An in planum sub AC. Cf. Sed numerus qui fit ex A n in planum sub AC. C v. aequatur productis nisa, -- ex qualibet parte in quadratum alterius. Quare numerus qui fit ter ex A t in planum sub partibus, ius. aequatur eis qui fiunt ter ex qualibet parte in quadratum alterius. Igitur cubus totius A n aequitur ieubis partium oc numeris qui fiunt ter exqualibet parte in quadratu in alterius . inod deinonstrin- dum eratiet
69쪽
Duorum cuborum interuallum, aequatur cubo interualli laterum, &numeroqui fit ter ex eodem interuallo laterum in planum sub lateribus comprehensum.
Α -.D.. B. . C numeri Ad. v quorum interuallum Da, ita ut An. κ e. 's iis p . aequales. Et cubus ipsius A a esto E, eubus autem ipsius η C sit P. Dieo v interuallum ipsorum s r. aequari cubo ipsius D E. & numero qui fit ter ex Da in planum sub A a. 3 c. Etenim cubus totius An, nimirum E aequatur cubis partium A D D 38 numero qui fit ter ex A E in planum sub A D. D v. quate clim Α D sit aequalis ου c. & ideo cubus ipsus A D sit r. patet E aequari ipsi p & cubo ipsius o a & numero qui fit ter ex A 2 in planum sub A D. DSumptis autem tribus numeris AB. A D. D s. idem producetur numerus quouis ordine ij inter seducantur. Quare idem numerus qui fit ex An in pla um sub A D. D n. fiet etiam ex os in planum sub A a. A D. seu sub An. a C. Quamobrem cubus Eaequatur cubor. cubo ipsus D B, di numero qui fit terran ain planum sub As. a C. Itaque a eubo x auserendo cubum ν, remanet interuallum tum aequale cubo interualli laterum D n,& numero qui se tet ex eodem va in planum iub late tibus A n. ac comprehensiam. Quod demonstrauidum erat.
70쪽
TR iangulum rectangulum iii 'nuin eris' constitui dicitur, cum ires exhibemurnumcri, ita ut maioris quadratus, quadratis reliquorum simili sumptis aequalis sit.
A . Vt tres numeri 3. . ruuntur eonstituete triangulum rectangulum quia maioris F. quadratus as. κqualis est quadratis 9. & ti . reliquoium 3. & q. Cuius rei ratio 'pende i quadi, sima septiina, I. Euclidis. Nam verbi gratia, si sit trian ulum tectangulum AB C. cuius angulus rectus B. demonstia iit' Hiues quadratum latetis Λ C. aequari quadratis ipsorum A B. B C.
Sie in superiore diagrammate A C vocatur hypotenula seu subtendens, quia subtendit angulum tectum. Reliqua vero latera A B. B C dicuntur latera citrea rectum, quia rectum angulum comprehendunt. Ei horum alteruin, puta BC dicit ut basis, alterum A B dicitur perpendiculum, si triangulum concipiatur inniti Iateri BC. vel e conuerso B C dicetur perpendiculum, & A B basis, si triangulum ipsi A B niti concipiatur.
Area trianguli rectanguli est semissis plani contenti siti, lateribus circa rectum.
A o Sic postis lateribus circa rectum A B. BC. 3. & . eum planum sub ipsis ut 12. erit area trianguli rectanguli ABC. numerus 6. Et ratio est euicens. Nam si perficiatur parallelograminuin tectangulum A B C D. patet eius alcaui fieri ducto latere A B in B C. Quamobrem cum triangulum A D C. triansylo ABC lit aequale, mani testum est ipsum A B esse dimidium totius parallelogrammi, atque adeo eius aream esse dimidium
Similia triangula rcctangula dicuntur, quae latera habent proportionalia.
Cum scilicet esshypotenuia unius ad hypotenusam alterius, sevi basis ad basim, & perpendi- .culum ad perpendiculum, qualia sunt triangula 3 q. D N Ia. I 6. χα
A duobus planis similibus sormari dicitur triangulum rectangulum, cum ex eorum summa,&eorunde interuallo,&durio me dij proportionalis,constant latera trianguli.
Sic aptant, similibus ra. dicetur tarmati triangulum. Is. v. I a. quia tr. est summa planorum similium , s. interuallum eorundem, Ia. duplum medii proportionalis. I i