장음표시 사용
101쪽
3. si edatis tribui resis proa teritiques'ientes angulo ediminuentum, prima egraliter secunde, tertia infinite, par citem imprime conlimiationis in principiam mvidae circo tingens mea punctum intersecabunt quar a proportionalem. Dp CSunto da rtae prima aesecunda e itertia a D, totumque di. agramma copleatur
ex praestriis Pto. Hic Pcra se, ut ae est a dei, sic do ado P. RAMI GEOMETRIAE L I B. V I. de triangu Io.
D Lana similia habent duplicatam rationem homologorum laterum, a m unum proportionale medium .e 2 op G, II GI88 8.
Adhuc de lineis planis earumque affectionibus actum est: sequitur de figmris pIanis earumque generibus. Praeponitur autem commune consectarium ea s e Α, quia dimensio duplex est in planis.
2. Planum eri rectitineum aut obliquilineum
Rectiitudinis vero x obliquitatis differentia smeae fuit A e 2: unde nune repetitur dichotomia plani e terminis rectas vel obliquis, & eadem caussa praeponitur modo rectilineum, qua prius recta linea praeposita est obliquae.
3. Recillineum ea planum, quod comprehenditura lineis rectis.
Hinc est ν& ao d i , quod anguis ius planuS rectilineus sit, qui compre henditur, rectis lineis, quod figura tecti linea sit, quae comprehenditura lineis rectis, sed generale melius erit teneraliter, ut in exemplis. Q
. Rectiliveum aequat angulos rectu interiores quidem generatim a vinario paribas, externos autem luaternis.
102쪽
Primum nempe genus rectiline id est triangulum aequat interiores duobus rectis, id est binario, primo pari rectorum: secundum ui est quadrangulum se cundo pari id est quaternario, tertium quinquangulum tertio,id est senario rectorum, εἰ quartum quarto, quintum quinto, se sic deinceps rectilinei genera Paribus recto ruita respondeu ut vides in hac arithmetica progressione Parisi
Externi t men quo libet latere c5tinuato, rectorum quaternario semper aequan
tu taliam geometria h vc singularis est εἰ mysterii cuiusda plena jam olim Ia ctata
in scholis geometram. Proclus enim secunda parte de externis rectos quatuor aequantibus, sic assirmat ii cap i lib. Quemadmodum salt) etiam quatuor reinctis aequales externos habere angulos, non triangulis modo, sed omnibus rota lineis inest. Item cap 7 lib a. Quaedam mutuo confirmantur. Nam εἰ ex eo quod externi rectilineorum anguli quatuor sunt rectis aequales: interiorum rectis aequalium multitudo, Sc contra hoc ex illo demonstratur. Haec ille . Ut auatem ab externis probetur interiorum ratio, si Procius ipse demonstrasset,hoc illi beneficium deberetur: ab interioribus vero per genera probatur de externis. Nam trianguli tres anguli a quantur duobus rectis, quadraguli quatuor, quinquanguli sex, sexanguli octo, septanguli decem, atque ita deinceps a binario Paribus, unde per i cs e s perpetuuS eAternorum quaternatius concluditur.
s. sectilineum est triangulum aut triangulatum.
ut a linea lineatum, sic a triangulo triangulatum dicatur.
G. Triangulum es quod comprehenditur a tribus lineis rectu. 2I dti
utae i. Triangu/la figura definitur ab Euclide a tribus
lateribus, unde Nitilaterum tanqua ex caussa melius appellaretur quatriangulum exestectis: praeserum cum
tres anguli cum tribus latecibus nequaquam reciprocentur. Triangulum Onim potest esse quatuor laterum, ut velut cuspidatum: Zenodorus id vocari
103쪽
GEOMETRIAE L I B. V I. 4 Euclidis est in pi: ubi proponit constituere triangulum exicibus rectis,quae
sint tribus datis aequales , R duae quaelibet secunae dum proximam trianguli legem majores reliqua. Problema igitur iubet aedificare triagulum quodcumque optaveris. Optetur igitur triangulum citibus retatis 'i, duabus quibusvis reliquam a fotibus: 5c recta sit infinita, e qua tres secentur ae quales datis ou, u γ, si tum 1 terminis I Scu, intera valliso u&νs peripheriae concurrant in punctor, radii ab eo concursu ad teraminos u&γ constituent itiangulum ur : radii enim illi aequabuntur rectis ae/quatis. Per 3 cses. Et z. Si duae qualis peripberie , terminis LM rectae elusi lue intervallo concurrant, rectu άῶαrsu ad dictos terminos constituent triangulum equititerum supersuram. D . ut hic sua per ce constituitur trian gulum a e i,& similiter institui pos/sit fabrica ae qui cruri e communi radio non ae quIte data, varii e tri/hus diversis radiis , quae
omnia inca/dem figura hic propo a
ta sunt et at specialia haec in generali problemate continentur, neque novam ullam geomettiam interpretantur.
3. Si recta in triangulo e arallela las,secat crura proportionaliter: m contra. 2 p G
Ejusmodi igitur rasio est laterum in uno triangulo, sequitur proportio la/terum: ut hic in triangulo a ei esto ou parallela hasi,5 intelligatur in a verti ce tertia parallela. Itaque peris e s in tersegmeta sunt proportionalia. Conyersa cogitur ex antecedente, quia totum ea
104쪽
so P. RAMI tum emet minus parte. Nam si parallela non sit o u,est v, hic per thesin & antec
dentem do, Oe, a me cum sint proportionales, ta prima a o sit minor quam ter ita a F, secunda o e effet minor quarta γ e,to tu in Parte.
s. T rLuguli tres a uti sunt aequales duobus rediis 32p I.
Haec propositio locis infinitis Aristoteli proposita est,ic indetur philosophus propolitionis hujus argumento apodidastam analylin commentus esse, sed de tam horribili commento quo tot ingenia tot seculis decepta sint) est in scho lis εἰ logicis 6c geometricis. Explicata igitur esthactenus . comparatio in trian guli lateribus, explicatur deinceps ratio in angulis, qui simul aequantur duo
bus rediis. Veritas autem hujus propositionis cait ProcIus secundum commur es notitias apparet duobus perpendiculis ad basin cressitis : quantum enim inclinationis nutu imminuitur ex angulis lectis ad basin, tantum assumitur ad Verticem, duorumque rectorum aequalitas ista compensatione cJstruitur: at hic in triangulo dei, si perpendiculares oel ui sensim inclines ad a, percipies in tertio angulo, at an tum assumi, quantum detrahitur de angulis e N i. Sic Mristoteles scap et Phys repetit caussam theorematis hu/jus exangulo reeto: concludi tamen etiam potest: ut in triangulo dei sit per 3 c ia e s parallela ou contra te. Hic tres particulares anguli ia o,ia Geduae quatur duo hus rectis per I c se s: sed tribus illis
tur: primo ea i sibi ipst, tum reliqui alternis, per ira e s. Aristoteles Philolo. quaerit cur duo resti in itiangulo, respondet quod ad unum punctum anguli sunt aequales duobus rediis, quae Euclidis demonstratio est, de qua in stholis. luet ac Trianguli duo quilibet angati sunt minores duobus rems. Nam si tres aequales sunt, duo sunt minores. Euclides fecit i si, quae con sectatii loco hic assumitur. Et
a. continuato latere,exaerior angultis equatur duobus interioribus oppositis. Haec ratio est interiorum angulorum in uno triangulo: sequitur ratio exterioris cum in te moribus oppositis, ut ina e i triangulo continue tur latus Et in O, duo deinceps dio, de a te, perics e s squantur duobus recti quibus ςquantur
interiores: tollatur communis a te, exterior re
inquetur aequalis reliquis interioribus de op/
105쪽
pila. Euclides fecit partem 32 Pr. 3. Uniator utrolibet interiore oppossito. Euclides etiam hoc proposuit is p r. at pari lucro assumitur.
IO. Si triangulum est quicturum, in in basi aequiangulum:'con
tra. Sic Euclides trianguli assectionem complectitur noramine Ioe Me aequiauri, sive triangulum sit aequilateriasve aequicrurum tantum.Antecedens patet per ι c σ e 3. Conversa patet per impolsihile. Nam si crus alter u maa Ius.eflet,uta si amputetur per a c s e s aequale oe, Scon. nectaturo hium per i cse 3 basis ot aequaretur hasiae:athasis o i minor est. Nam per ei a Scao quibus aequatur de cvo o ponatur aequalis ipsi a Sao sit c5munis,ma
fores sunt ipsa ol. Itaque eadem o i esset aequalis ipsi acie minor eadem. Thaletis Milesii hoc inventum est. Iraque r. sitriinguli aqua crura continuentur. anguli sub basim cpiabuntur. Anguli eis nima ei deieo, item aie&eiu bini aequatur dum
Itam etiam inter se: detractis igitur interioribus aequalibus exteriores aequales relinquentur. Euclides fecit partem s pr. Et a. Si triangulum et 2 aequilateram est equialia lam : π contra. Consectatium est c ui/anguli squi/cruti lege de duobus 5e cruribus e
angulis, utinexemplo aer demonstrahitur. ri
106쪽
cti, sunt e Ieeit,ideliquatuor redii: At
Pletur planus locus, peris e 4 ut hici
ti. Trianguli masus latus tib tendit majorem angulum, oe major an Plussubie itur a majore latere. Is . I 8p I.
Uthica imajus estolatus quamde, major erit angulus ad e quam ad i. Sece. tur enim ex a i aequalia ipsi ae,sioque o, tum angulusaei aequi cru Tus angulo ole major erit hasi per thesin, ideoque major per 3c G e 3 . Conversa patet eadem fi/gura: ut ae i angulus fit maior angulo a te. Itaque per idem 3 cσ e 3 major est basi.Quc enim de angulis generaliter illic propo/nuntur, huc specialiter assumuntur de angulis in triangulo.
ia. Si recita in triangulo bisecat angulum, secat basin ratione crurum
G contra. G. Superest milia proportio de lateribus 5 angulis. Esto triangulum ae εἰ bisectus sit angulus ea i per rectam ao, dico ut ea est acla i, sic ea esle ad O i: erigatur enim parallela tu per 3 e 12 e s contra os,& continuetur ea infiniteJeca hit ipsam tu, per c ii e si secetur igitur in v. Hic per Is es, ut ea ad au, sic eo ad ol. Atuu aequatur ipsis ι per Io e. Nam angulus uia aequatur angulo autern Oal per 32es,6 per thesin angulo aequali qο ae,& per ra e s aequatur interiori angulo a ui, εἰ per conclusum aequaliu in Ita que per Io e , au&aiae quantur. Ergo ut ea addi, sic eo ad ol. Conversa similiter demonstratur in eadem figura. Nam ut ea ad a i, sic eo ado hic sic ea adau, per se. Itaque aequantur at Scau, item anguli e coec Oaι aequantur angulis adu&i per i 2 e s,aequalibus inter se per i o e. - P.RA Mi
107쪽
r. RAMI GEOMETRIAE LIB. VII. de comparatione triangulorum.
iangula aquilatera sunt quiangula. 8pti
Atque haec de geometria unius trianguli, sequitur triangulorum duovirum inter se comparatio, primum ratio e lateribus se angulis: unde triangula inter se dicuntur atqui latera & aequiangula. Primo ex aequalitate laterum, aequalitas ducitur feanguloru Trs angula igitur hic conjunistimatqui latera dica
tur, quorum I tera sigillarim I
mum primo, se cundum secundo, ternum tertio, etiam si singula triangula separata sint in ara qui latera. aequales igitur angulos ostendit aequalitas laterum, per I cse 3, ut hic,
2. Si duo triangula aequantur anguis mel duobus aequisruris mel bi inis aequalis aut cruris aut basis duorum, sunt quilatera. m a Di
Prima pars patet sic. Sunto triangula dei, o u : quia anguli ad 4 5co aequat
sunt aequicruri, a qua natur basi peric ses. Se cunda sic. Sunto trian/gula a ei Nou γ a qua hinis angulis ad e 5ci, adu&γ, εἰ aequentur crure ei de ua: dico aequitate raesse. Nam si latus de exempli caussa sit maius latereo u, amputetur aequale es, & connectatur is. Hic per antecedentem triangulas ei, Nou γ .aequi angula erunt,& anguis ius sie aequabitur anguinto OIu, cui totus ale ae quatus est ex thesi. Ita squarentur totu Sc pars. Quare latus ae non estinaequale, sed aequale,&per antecedentem parte
108쪽
triangula sei 3 ou γ aequierara aequantur angulo crurum staque sc ballat Sor. Tertia pars sic cogitur, ut in triariis gulis a ei Nou sint anguli a de Se iadu&γ inuales,ut prius,5c basis de anguli ad i aequalis basiou, anguli addi: dico aequilatera e Te . Nam si
latus ei sit majus latere u , amputetur aequalis es, A connectaturas. I/taque per antecedentem duo triangula aes No v aequa angulo crura aequalium sunt aequiangula, Sc angulusas e aequatur angulo o u aequanti per thesin angulum d ι e. Itaque a s e aequaturale interior interiori, contra 2 cs e cErgo basis ei non est inaequalis ipsi ur, sed aequalis. Itaque ut prius duo trianis gula a ei ξc o u aequa angulo crurum aequalium sunt aequilatera. Hic notabis exaequalitate hinorum angulorum, Sc duorum laterum aequilatera triangula fi ri: neque satis esse angulos duos aequales aequari basi, ut aedualitas crurum cω cludatur. De hoc enim elencho monuimus a c σ e s. Quod si binos aeques an/gulos non ad crus aequale, accidet triangulum multo majuS, minori tamen aea
quale esse, quod apud Procium Porphyrius diserte εἰ accurate exposuit: de quo erit in scholis.
3. Priangula aequantur ternis angulis
Quia tres anguli in quolia het aequatur duob. rectis: Ut hic maximum trianguolum angulis simul acce/ptis est aequale minimo, neque tamen aequiangm tum propterea existimeatur : aequiangula enim tri/ γangula sunt, cum singuli anguli aequantur singulis: non autem universi uniVersis. Ita ira si bini anguli duorum triangulorum equantur, reliquicqvant . Terni nempe aequantur inter se ideoque si ab aequalibus tollas aequales , re. linquentur aequales.
109쪽
Adhue ratiotat aequalitatis in latetibus feangulis man/gulorum, sequitur ratio inae. qualitatis insumpta e coma muni& generali in aequalitate angulorum. Primum est e 3 e se 3. ut vides in a ei leo uri
s. Si triangulum triangnio in eadem basi in minus interioribus cruriabus. si majus angulo crurum.
Hoc item este es es, Euclidi est ri p i de triangulo in eadem hasi per tris angulum majus comprehenso, de tamen sine conversa:ut eoi interius in eadem si minus auribus, quam a e L
Ergo haec triangulorum ratio est, sequitur proportio triangulorum, premum de recta cum basibus. Consectarium est e la e 6, Daquai. Inaequali basis tequalia: Id consectarium fuit genera. leiae Α, unde etiam conclusit Archimedes 7 theo. I de sphae. Si triangulum triangulis aeque altumhabet basim basibus ae qualem, aequatur universis: ut' hic vides deisquati triangulisaeo, uorisIr,lrm, timi. Hinc etiam concludes triangula aequilatera esse aequaslia, quia aequealta sunt inaequali basi, quod Euclides 4 p a conclusit per iΦΗ, Et
L si recta Evertice trianguli bi erat busi bibe t triangulum, O diameterest trianguli. ut hic vides. Bisegmenta enim sunt tria angula a quealta, ne pe communis Verti/cis intra easdem pa/rallelas, i in basibus aequalibus. Ergo aequalia dc recta illa erit diameter per ue e 4, quia ea ser
110쪽
. Si rectu est ί mertice trianguli ad datum in bal unctum non mesdium, sise parallela sit a medio Dasis in latus, re Ea a vertice parallela indictum punctum Asecabit triangulum.
Esto triangulum a ei, Nao secet basin ei ino inaequaliter. Scu γ sit parallela ab u medio hasis in latus a i, dico rectam di o bisectricem esse trianguli: c5nectatur enimau, ea hi secabit perae e. Jam triangula adiu&γouaequantur, quia aequealta in eadem hasi: commune tollatur su, relinquentur aequalia asINos u. com/mune rectilineum sui addatur utrique aequalium, tum σνι aequabitur dimidio auu Itaque &reliquum rectilineum a eodi dimidium erit. Jordani est et i p 1,ubi sunt ar dea 3 p, de dato puncto intra Sc extra triangulum, quae geometria si ab aliquo sine mendis ederetur, permagna esset utilitas quidlibet figura triangu/la comprehensum in dato puncto bisecandi, ut plerumque est inter cohaeredes Puteu S,fons, arbor, εἰ similia.
8. Si triangula aequiangula reciprocantur ciruribus aequalis anguli unt aequalia 'contra. I sp G.
Proportio directa in triangulis ea est, reciproca Iequitur. Consectatium este is e 4, quod malii festum est, quoties aequalis angvi Ius rectus est: tum enim crura ista aequales in t altitudi/nes &bases: Ut hic vides separatis triangulis. In trianapulis autem obliquangulis licet crura non sint altitudi/ λnes, veritatis tamen caussa eadem est: siquis tamen deis Umonstrationem requirat, ea sic est. Esto igitur diagram. ma in triangulis dei, a ou,5 anguli oau 5c eui aequales.sitque ut adde, sicia ad do: dico triangula do a, edi aequari. Nam u a D ad o a eest ut ua ad c e per s e,5c i a ad 4 operthesim, est ut eat ad ea o. Itaque uao Se eat ad edo sunt proportionalia, ideoque aequalia sunt inter se. Conversa eodem serite, sed retrogrado concluditur. Nam ua adae est ut v a o ad O a e per ο e,& ut ea i per thesn, quia aequalia, oc ut id ad do per idem. Quare est adae, sicutia adao.
o. Si duo triangui sunt quiangula fretproportionalia cruribiti m
Comparatio Erationis Aproportionis triangularis antecessit, restat exue. ma similitudo triangulorum,quae constat illa sitrideare ratione angulorum Se Proporti