장음표시 사용
91쪽
. ut data sitae, Rad punctumi pona/tur aequalis imitem sitae maiorquato,& a
secetur congruente regula aequa te minorem au , ut hic. Nam si quis mente tan/tum id fieri putet oportere,is etiam re γ opulam mente complectatur, ut regulae oapera faciat,neque vero fabrica aequandae se aequalis amputandae lineae diificilior .i eest, quam dato puncto N intervallo petiphetiae describendae, quam dati S trian i --opulo, parallelogrammo, semicirculo descii bendi conum, cylindrum, sphadram, quae tamen omnia Euclides in principiis habuit itaque Recta uitii duaeque intresectae siuiu in eodem plano. e ι Cr 2 p tr. Recta una potest esse communis sectio duorum planorum, tota tamen in plano eodem est una & tota in eodem altero: Atque ita tota est in eodem. Duae re/ctae intersectae possunt esse in duobus planis intersectis, sed planum pereas du/ci potest. Itaque ambae erunt in eodem plano: & planum hoc geometrice con/cipiendum, quod lineae obliquae uni,vel duabus intersectis non semper idem subjicitur, cum peripheria sit in sphaerico, nec omnes intersectae peripheriae in uno plano esse possunt.
3 Data recta peripherim describere. Haec fabrica est c 3 Post. Dato centro εἰ intervallo circulum describere. Sed hieterminus circuli tantum quaeritur, qui e definitione P
ripheriae melius ducitur 5c in plano duntaxat ista rectae conversio fieri potest, non in sphaerico, non in conico, non in cylindraceo, nisi a vertice ubi peripheria tamen' esse potest. Ita antea generalis fabrica fuit peripheri ahic autem tantum plans,ut hic Ut Uero regula fuit instru mentum ducendae rectae, sic modo est circinus periphe,
riae describedae, cruribus rectis an Valgis nihil interest, ut , hic vides. Circinus Vcro c geometricis instrumentis in. strumentum longe praestantissimum est, cujusque ma chinatione nobiles geome trae prodiderunt omnia ge/ometriae problemata confi/ci posse: Se extat Ioan Baptistae liber, quod una circini
apertura omnia Euclidis problemata resoluantur: Sc Cardanus mathematicus
92쪽
GEOMETRIAE L I B. V. 3Tinpgnis lib. is subtilitatum scribit a se& a Ferrario inventam circini opera o
mnium ab Euclide demonstratorum demonstra tionem. Talus Daedali ex soro, re nepos hoc instrumentum inveni me dicitur 3 Metamorph. -Et ex uno duo ferrea brachia nodo iunxit, ut aequali spatio distantibus ipsis Altera pars staret, pars altera duceret orbem. Itaque Radii eiusdem vel equales peripheriae fiunt xq ales. Quia eadem recta est ubique convella. Atqui hic radius peripheriae pro ra dio figurae peripheria comprehensae intelligatur.
Ii rectilinei ante concurrant, recta a concursu ad verticem bificabit an gulum. 9pI,
Adhuc de lineis planis, sequitur ipsarum affectio, primum in anguli bisecti/one. Esto igitur datus angulus rectilineis aequalita cruiti d e,a i,8c duae peripheriae aequales ab e & i terminis crurum ante angulum concurrant in o, rectaque ducatur ab o in a, dico datum angulum bisecari: ductis enim rectis oe, o Languli oue Noai aequi cruri ex thesita ex communi latere aequantur hasi, eo& io, perca Post . quia sunt radii aequat Dum periphetiarum. Itaque per I c 6 e 3 anagulio dele odi aequantur, ec ideo angulus totus est bisectus.
rant, recta per concursus bisecabit datam. IOp I.
Esto data ae, Nperipheriae aequales 1 terminis a Ae concurrant in i &o, R du/catur recta io, dico a ducta bisecari daatam a si quia ductis radiis aequalium pe/ripheriarum id Rie bisecat per praecedein tem angulum a te. Itaque aiu&uie aequales& aequicruci, cum crura sint aequalium peripheriarum aequantur hasi,d u. Nu si per I c s e 3. are cum partes au Scue sint aequales , data a e est hiis secta.
Insistit recta in rectam quae secat nec secatur: εἰ anguli sunt deinceps quos insistens efficit cum subiecta, ut patet e Proclo ad is pr. ut hic de interfecta, Nie 3 inuste no
93쪽
ys P. R A ra I insistens sunto perpendiculares, anguli deinceps aio Meio
recti erum per P e 3. Perpendiculum Vero communc est omni/um linearum. Attamen praecipue in planis rectis animadVertitur,ta hic idcirco attentius consideretur. Hinc enim posteae communi definitione deprehenditur in caeteris magnitudi/nibus: sic recta ludicatur perpudicularis peripheriae,quado est perpedicularis rectae percomune sectione traseunti sic duae periphesis judicatur interse, per pediculares:sic postea linea recta perpedicularis plano, ec planu plano perpediculare dice s. 4d is 5 a Uuelli de ad s d i sic rectaria linearu perpediculo corapora ipsa inter se perpedicularia iudicatur. Quod Tullius in epistola ad stat. 3 lib. diserte significavit. Columnas cait ne P rectas,neo e regione Diphilus collocarat, eas scilicet demolietur, Sc aliquando perpendiculo Sc regula discet u ti Hic orator columnas rectas pro perpendicularibus plano horizontis, θί eregione pro parallelis intelligit Sc rectitudinem columnarum perpendiculo lineae rectae expendit. Atqui perpendiculi per totam geometriam utilitas immensa erit in rectangulis dc planis εἰ solidis. Regula pii, mum fuit instrumen tum geometrae in dirigendis lineis, circinus socundum in descrbenda peripheria.Norma Vero est tertium instru metu in linea recta recte erigenda in eodem plano super rectam,atque inde superficiem dc corpus supersuperficiem corpusve.Norma igitur sic est. Perpendiculum Vero c plumbo & filo architectis physi eum est, quia graina suo pondere rectis lineis ad perpendiculum serantur, quod a Theone primo magnae costructionis demonstratur. Instrumentum dupleX ita est. Primum ad explorandum perpendiculum sublime, ut utrum columna vel structura quaevis recta sit ad planum orizontis, nec quoquam acclinet. Secundum est ad eupuetoidum planiciem plano orizontis parallelam. Itaque cum
sium ab angulo recto in medium basis inciderit, indicabit libratam longitudinem. Galli niVelluma tali livellum,item achi pendulum,Latini libram vel Ilibellam dicunt. Itaque r. si recta
94쪽
GEOMETRIAE L I B. V. 39 r. si recta secti Et in rectum equu deinceps angulos duobus rectis: π contra. II π Iss pr. Nam duo tales anguli cum duobus rectis eundem locum occupant : si inistens sit perpendiculatis, faciet rectos:si obliqua obliquos, ut hic a io Seio ea undem cu duobus rectis
locum occupant. Conver/sio per impostibile cogi/tur, quia pars aequaretur
toti. Esto igitur insistensae, quae aequet duos dein, ceps angulosa eo de dei duobus rectis: dico oe&eiunam esse rectam. Secus c5tinuet oeinu perlc. e. laper I c 3 e, a eo Ma eu a quatur duobus rectis, quibus item aequantur o eu 5e ae lex thesi: tollatur commu/nis oea, relinquetura evae
qualisae pars toti. Hinc constat duas rectaso e Neiunam esse 5e continuam rectam. Et
positos habent. Demonstratio autem est: quia interscctae vel sunt perpendic, lares,screcti aequantur,ut hic: vel sunt obliquae,
tuque verticales etiam aequantur, ut uni Scoue: item duo Sciue, aequales vero sunt aut θύ oue, quia per i c 8 ecum comunia ιι o aequantur duobus rectis: ideoque etiam inter se. Quare detracto illo communi relinquuntur aequales. Addit huc Procius Euclidis corollarium a Theone praetermissum, angulos duarum intersectarum aequati quatuor rectis,exeom corollario ait in/ventum esse admirabile fi Pythagoreis theoreama lordinatis figuris csipleri locu planu triangulo,quadragulo, sexangulo: B. lidum tetraedro, &hexaedro: de qua Aristotelis geometria praedicium est. Sed de lingulis suo loco dicetur subtilius. Pot rit etiam Procius huc addere. uot/libet in communi puncto intersectarum angulos aequari quatuor rectis, quia cum quatuor rectis eundem locum occupant. N3. si rectis
95쪽
4o P. RAMI 3. si rectis resti sectis interiorer eadem parte anguli sunt maiores duobus redi oppositi inores fiunt. Ut hic, si a u Is
s. Si a dato datae restae insinitaepuncto duae partes utrinque sicentur aquales,m άpundiissectionum duae aequalisper heriae concurrant, recta a dato puncto in concursum erisperpendiculari super datam. II p r.
Vt esto punctum a datae rectat infinitae, Sc ab eo utrinque secentur peraeseae 5c ai, tum duae peti pheriae aequales a punctis e fici concurrant, ut ino,recta fidato puncto a in concursumo erit perpendicularis super datam, quia ductis rectiso e Sc s i anguli e do let so utrinque aequia cruti per fabricam e segmentis utrinque aequalibus 8c communi latere aequantur hall, per 3 cs e: εἰ ideo aequantur per I c ε e 3. Itaque .so cum aequaliter interjaceat, per ro ea est perpendicularis.
1 o. Sipars datae rediae infinitae sicetur aperipheria ά dato extra puncto, rectaά dicto puncito bisecans dicitam partem erit perpendicularissus per datam. I 28 I
Datae rectae in finitae Pars a e secetur a
ni centrii,& rectato bisecet dictam partem, dico io e si e perpendicularem : interjacet enim aequalibus ampulis aο i ece o i eadem de caussa, qua demonstratur perpendiculum supelius. Atque haec de perpendiculo rectarum planarum: sequitur de parallelismo.
96쪽
a E ori et TO AT L I B. V. 43. Ir. Si di rectae in eodem plano nussuam concurrunt, sunt parati
nabunt ut hic de , o. Si recta infinitu secat alteram erectis parallelis infinitis , secabit reliquam. Ut in eodem exempIO MI secans desecabit etiam io: secus si non secaret, esset ad eam parallela, per ii QIdeoque Sc ad primam per c ii ea. Idque contra the sin: Procius ad as p i deducit hoc consectarium ex Aristotele i lib. de caelo.
II. Si rectae recta sectae uniparasielae, aequant angulos interiores ea dem parte duobusreetis, m interse alternos, m exteriorem interiori oppositio: e, contra. 29.28.27 8 I.
Parallelismus rectarum recta sectarum triplicem angulorum aequalitatem concludit, & ab earum qualibet vicissim concluditur. Primi anguli suis verbis sa/tis explicantur: alterni au tem verbum hic est stus ait Procius quod in arith/meticis est proportionis, cum antecedens antecedenti comparatur, metapho ra tamen respondet. ut enim acutus est ad suum deinceps obtusum: sic in alteis ra parte acu tus est ad suum deinceps obtusum. Itaque alterne ut acutus ad a/cutum, lic obtusus ad obtusum. Exterior autem interiorque oppositi sunt, quorum alter est extra parallelas, alter intus eadem parate non deinceps, sed super eandem rectam tertius ab exteriore. Proprietatis hujus triplicis caussa est e perpendicu lo quod incidens in parallelas omnem hanc u rietatem ostendit: ut hic recti sunt interiores eadeparte: item alterni, item exterior 5 interior, ideoque aequantur θύ interiores duobus rectis, Se alterni in ter se, sc exterior interiori opposito. Quod si secans obliqua sit, parallelis ide ex cJtrario accidet obliquati. one enim ista, manetib. rectis 8c immutatis, pariter tum interioru alter ev γ obatia ditur,alteruIo a cultu C tu alterni acu utur Noh tundii tur: tu exterior interiorque oppositi pariter obtuduntur Sc acuuntur. si quis tamen interioreS inaequVIes duobus rectis dicat, eodem argumento utraque parte Se majores duo hus rectas cte minores dixerit ait apud Plocium Ptolemaeus ut in rectis parallelis i .e 5eio
97쪽
ceps per 3 c ῖ e crunt minores, qui tamen iidem code contradicentis proposito etiam majores essent. Idem erit impossibile, si minores duobus rectis dicantur. secunda pars 5c tertia o prima concluat pomunt. secuda lic.Bis bini anguli aequantur duobus rectis odiu Reu per superiorem partem: item au γ Sce ιι pe ac ge. Itaque aequantur in ter se: tollatur communis angulus eu γ ab aequalibus, reliqui alternia de aequales relinquentur. Tettia sic. Anguli eu γ &oγs aequan. tur eidcm αγi per secudam proprietatem A per a c S e. itaque aequantur in te se. Converse prima pars hic item clarior est ex illa communis perpendiculi luce: Ac si cui interioribus angulis aequant.bus duos rectos rectae tamen concurrere videantur, ut si ipsi aequales sint recti, ut hic, necesse esset duas rectas communi perpendiculo divisas alicra parte acclinare, altera declinare,vel saltem alteram, contra io
ea. Si obliqui sint, ut hic lineis inter se obliquatis anguli minuentur altera parte, altera augebum tur. Itaque a uales duobus rectis non essent, contra thesim. Hinc secunda pars 5c tertia concludi popsunt. secuda sic. Anguli alterni addi Sc u aequantur dictis in terioribus per i e 8 e, quia utrique aequantur duobus rectis: Atque ita per primam partem secunda concluditur. Tertia similiter per se.
cundam, quia exterior o Is aequatur opposito ad Verticem per a c 3 e. Itaque cuexterior & interior oppositi aequen tur, alterni quoque aequantur. Quare ut Parallelisimus triplicem angulorum aequalitatem, sic triplex angulorum aequali tas parallelismum coarguit. Itaque r. si recte recta conne faciunt interiores ungvlas eadem parte minores duetas rectis,eoia
Iaederectis in eodem plano. Si rectae recta sectae sunt parallelae, faciunt angulos interia ores, eadem parte aequales duobus rectis. Ergo si non faciunt aequales sed minores, non erunt parallelae, deόncurrent. De hoc consectatio erit in scholis, ut Euclidem, Ptolemaeum, Geminum exercuerit. Et
98쪽
a. Recta connectens rectas parallelas est in earuni plano. 7 p ι Vt hic MI
connectens parallelas ae&io. Postu latur ab Eu,
quod parallelae sun t in eodem plano:&quod eas connectens sit in ipsarum plano, patet per 2 cse. Et 3. Si recta a dato puncto cum data faciat argulam, anguli facto aequali π alterni cras abrianis parallelum data rectae. 3r p l. Ut data sita edi pundium i5 quo recta sitio faciens cumdata angulumio cui ad ιaeinquetur alternus o tu, recta quae est crus alterum est parallela datae. potest vero ae quari angulus per primam proprietatem,& sic vulgo architecti erecto perpen/diculo aequant: potest item per exteriorem linultimo Dq. Anauli crurum alterae paradiarum pum xqualis. Consectariue sit e tertia Proprietate: unde Eucli/des secat iop ii, ut hie vides altero interior.
s. Si para x conterminent parallelis, oppositae equorun ε 3 4 p r. Alioqui parallela' non
essenti Quod e perpendi culis connectentibus inintelligitur, quae ex defini/tione sunt aequalia inter parallelas.& li e perpendicularibus fiant obli/qua , manebunt aquales mutatis ansuliS. GI l
99쪽
64 P. RAMI s. si rectae conterminent eadem parte aequales a parallelas, sunt aequales er parallelae.
33 p i, . Potuit vero elementum concludi e proximo, addici tamen etiam poteit ex antecedetibus. ut de Nio aequales parallelae co/terminetur,abat Neo,te ducat ei.Hic quia rectae i incidit in parallelas a eL i o,anguli alterni a eieceio aquatur per i 2 e,ctea quant crurib. de 5 io per thesin ξe e i comuni. Ita 3 per i c 6 e 3 aequatur hastat 3ceo. Hoc primum est.Tum per in anguli alterni ei a Mi eo aequatur inter se, eosque faciunt rectae. i ξe eo sectae per re
Oa e i: sunt igitur parallelae, quod erat secundum. Eadem vero parte dictum est, ne oppositis terminis, connexas re ctas quispiam intelligeret,ut hic.
n. Si lineae res separallelispluribus restis intersicantur, intersegmen ruuntproportioiralia. e 2 p 6 I7p II.
Adhuc de perpendiculo Sc parallelismo planarum, rectarum proportio P strema est, cuius elementum vetitatis suae caussam ostendit ex ipso parallelismo, idque per omnes ratio. nis species aequalitatis N inaequalitatis majoris mino arisque. Nam si intersectae in t perpendiculares,segmeta intra duas parallelas aequantur: Communia enim -- perpendicula parallelismum faciunt, ut antea Iam patuit: ut hic. Quod si intersectae annuant, non iam segmenta quidem illa bina aequalia sunt, sunt tamen proportionalia:quantoque major interfecta sueti lita eo majora erutipsius intersegmenta, quan vito minor tanto minora. tertia
autem paralle. Ia in vertice noexpressa tameintelligaturis Haec per species inductio rationum est Euclidi e D p 6 demonstratio, ut irrscholis dicetur. Est autem elementum hoc magna: foecundita tis : hinc enim ethprimum sectito lineae secundum datam rationem,& invenuo tertiae de quartae proportionalis. Itaque
100쪽
GEOMETRIAE OB. V. r. si recta cum datu faciens ungulam siecetur data ratione, parallela ά pegmentorum temonis in finem date er contingens in ea punitumsecabunt datam data ratione. Consectarium est valde generale ad omnem datae rectat sectionem sive hilari/am sive trifariam, sive quotlibet faciam, sive omnino ratione quamcunque dederis, secanda sit. Euclides ex hac materia secit Sc io p s. Secada sit primo da/ta recta ae bifariam, rectaque cum data faciens angulum sita iinfinita, seceturque do,&deinceps perae se aequalis assuma aturo i, εἰ ducantur per 3 c ra e parallelae .li punctis i Scoine fine datς,8cu contingens in ea punctum.Tertia autem parallela perverticem a intelligitur, neque ex primi necesse est.Itaque ae per genere. At argumentum illud quidem brevius est,hoc autem est generalius . iam secetur u i intres partcs, quarum prima sit dimidia secundae, secundaque a tertiae: Sc contermina datae secetur una parte do, tum ea dupli cetur inou, denique ui assii madia gramma tribus parallelis
rallela ad verticem, ut dictum est, intelligetur. Itaque sectio erit in data, quae lacta est in contermina perra Gquia sunt inter parali clas intersegmenta. Da. si duae date recte facientes ungulum continuentur, prima equaliter secundae, secunda in ianite, parallele a terminis primae continuationis in principium secundae, π contingens in ea purio Elum intersierabunt tertiam proportionalem. M p σ Sunto da alae rectae facisentes angu/ psiai, R ipsa di continuetur infinite, tum parallelam: R oui terminis primat continuasio. nis ini principium secundae, εἰ u con ingens punctum in secunda, secantiu ternam proportionalem. Nam Per I s e ut ae ad e o id est per fabricam ada II ehi secatur, Scuta oado i, sica uadue .sed do ad ot sunt dimidiae partes. Itaque R d u , ve sunt etiam dimidiae. Atque hic etiaam 7 e comprehenditur non argumen ii quidem sed enectus tur dupla ipsius ou, totumque lumae 5c ac εἰ prima a econtinuetur