장음표시 사용
71쪽
is P. RAMI Nam anguli semscirculorum aequalium i e o&seu aequantur,quod ἐρυμοσις ostendet: co. munis est angulus a est recto dei . e lunulari. au eoa ad datur igitur utrim cornunis aeoae quabitur rectusae hiu nutati aveo. Potest vero&idem au nutaris s/quari obtuso Racuto, Itidem argumentum demonstrabit.' Itaque
I. Si angulus anguli aequi urus aequatur basi, es aequalis, Osiect i qualis , aequatur basii. G8 m q. p I.
Nam cruribus erunt congrui,& basibus item congrus. Et
a. Si aequalis basi est aequi urus, aluatur. /
tia eadem est: non tamen si aequales aequatur basi, sunt aequi cruri,ut in an gulis in eadem se ctioe apparebit, ut hiei se sice duabus aequalitatibus pria
m a reciproca tu se .cunda non item. U
Vt hic interiora o i est major exteriore aei: inteuotibus autem. additur ne cessariol
72쪽
II cessario: secus apparebit error in illa sectione. Ex eodem illo congruentiae axiomate, haec rursus omnia deducuntur, quod Proclus ad 8 p i tu eculenter exposuit. Videtur autem ait aequalitas crurum de hasium facere aequalitatem verticalium angulorum. Neque enim si bases sunt inaequales, aequalitas crurum eosdem angulos relinquit: At si minor sit basis , angulus decrescit: si malor, augetur: neque si bases sunt aequales,crura inaequalia: angulus manet: at dum imminuuntur, augetur: dum augentur, imminuitur: Cotrarium enim accidit angulis Ac angulorum cruribuS.
Nam si crura in eadem basi deorsum depressa cogites, ipsa quidem minuis, eorum vero angulum auges,majoremque ipsoru qinter ipsa distantiam facis: Sin cogites sursum erecta atque aucta,angulum minuis. Quanto enim amplius coincidunt, tanto magis 1 basi vertex removetur. Quare certum sit affirmare, quod basis eadem 5c crura aequalia definiunt aequalitatem angulorum. Hic Procli locus facit aequales angulos aequalitate crurum basiumqt, ut anguli sint aequales, qui crurum aequalium bases habent aequales. Nam homogenea aequalitas crurum est ipsa congruentia, sed a Proclo homo genia praetermiuitur, sine qua tamen consectarium falsum sit. Quare axioma congruentiae Praeponimus,& ex eo consectarium hoc, sed emendatum deduci mus. Veruntamen ad ejus consectarii constantiam commentarii veterum c Procio non sunt potius excutiendi, quam Euclides ipse ad 23 pr& 26 pri atten dendus :cum ex hac aequalium angulorum materia n5 consectatium postulat,
sed demonstrabile propositione duplicem derectiterminis angulis facit. In te roga nempe Euclide ad 23 p i,quo modo dato angulo rectilineo aequale saetuarus sis respondebit, si crurum aequalium hases aequaveris: idemque ad 2σ P Iade solido angulo plano Euclides profitetur. Itaque Euclidi magna gratia Protato beneficio I geometris debeatur: unde licebit magna postea variam propositionum familiam derivare, neque vereamur ne objiciatur hoc axioma ab Euclide demonstrari. Nullo enim antecedente elemento utitur Euclidis demon stratio, quod postillandum non fuerit, ut illic intelligetur, te tamen materies in axiomate protinus postulanda fuerat. Itaque Sc nos postulavimus, Sc fabricam tamen interea aequandi anguli non minus geometricam retinemus, sic de problemate maledubitato ατ α per se indubitatum facimus. Oenopides aut problemaus de aequando angulo primus author a Procio efficitur,de cujus in venus in prooemio dictum est. itaques. Si dati anguli cruribus ad datvmpunctum crura homogenea aluetur aequa basi,aequabunt angulum dato. e 2U I. V 2 68 II. 7. e sngulus es rectus mel obliquus. δ. sectus cujus crurasunt interse recta, obliquus contra.
73쪽
G nguli irecticruri rect sint aequales.
Axiomata de aequalitate angulorum tria iam suerunt, unum tenerale, duo consectaria : Hic de aequalitate rectorum angulorum speciale pratorea unum est. Angulos homogeneos recti cruroS, id est quorum crura sunt recta, ut Iine .e rcctar, ut superficies planae hoc enim verbum nobis conce/datur) rectos aequales esse: sic anguli rectilinei recti propositi sunt aequales: sic anguli solidi plani recti, ut in cubo, sunt aequales. Axioma igitur commune potest esse etiam de solidis angulis modo recti cruras: quia non omnes semiciraculares recti omnibus semicircularibus rectis sunt aequales: ut hic cudiametersit cotinuata perpendicularis est,&facit his binos intus forisque externos aequa Ies inter se, interiores aequales inter se, sed externos interioribus inaequales, Sc majoris semicirculi angulus major est angulo minoris. Neque oomnino affectio reciproca est, ut omnes anguli aequales sint recti possunt enim obliqui inter se aequari,Sc potest obliquus aequari recto ut Iunularis rectilineo, ut patuit. . Obliqui anguli definitio e crurum obliquitate intelligiis tur: unde etiam patet angulum obliquum inaequale esse . recto homogeneo: neque ulla lege obliquos angulos aequati: quia in ite o liquitas augeri minuique potest.
s. ongulus obliquus est obtusus aut acutus.
Obliquitatis alia differentia fuit in linea, periphetiae nempe εἰ helicis,hic alti
dichotomia eii obtusum Nacutum, quae differentia propria etiangulis, unde ullo transfertur: ut ingenium obtusum, acutum, dc similia.
Io. Obtusiu est obliquus major redis . II d I.
Vt hie ue i. intelligi tur in definitione ge nus speciei utriusque: Nan rectus rectiline. iis est major recto sphaerico, neque tamen obtusus est: haec autem major inaequalitas infinite potest augeri. II. cutus
74쪽
avoris uni AI L f P. I GLII. Acutus eri obliquus minor recto. Iadi.
Vtaei Hic ponus idem intelliis
omnis angulus minor quolibet recto acutus est: nam rectus semicircularis&sphsricus minor est recto rectilineo, neque tamen est acutus.
P. RAMI GEOMETRIAE LIB. I III. d figura.
F ura in lineatum undique terminatum.
Sic triangulum a ei est figura, quia est planum tribus lateribus undiq
terminatum. Sic circulus est figuara, quia est planum una periphoria undique terminatum. Sic t 4 da figuram cum definit Euclides. quod ab aliquo, aut ab aliquibus terminis comprehenditur, lineam figura n d facit, cum linea duobus tantum puctis ad extrema duo terminetur, nem longitudo sola ex/pers latitudinis potest in latum terminati.Figura itaque linea tum tantu est, sed sequentia figurae generatim in superficie de corpore rem totam declarabunti
a. Centrum in punctum in figura medium.
Ira figure parte aliqua spectantur centrum, perimete radius, diameter,aIlla ludo. Centrum igitur est punctum in medio figurete: sic in triangulo, in quadrato, in circulo cetrii est a,e, i. Centrum in detur Eucli/des as d i Scis ci tiro tu dat figurae Feprie attribuere, quomodo
de Apollo oraculi sui carmine daenivit.
75쪽
centrum ἱ quo omnes usque ad oram aequales sunt. . Verum ne hic Apollo quidem, quamvis deliaco duplicandi cubi problemate mathematicus haberi voluerit, tamen Aristoteli probaretur generale specia I iter definiendo. Nam Sc pis centra quadratorum appellantur, item q P s centra triangulorum , quomodo cujuscunque figurae centra dicentur: & ce/tium gravitatis dicitur in omni magnitudine plana, ex qua suspensa est parat tela horizonti: ut ex Archimede &Eutocio perspicitur,vel c ut Pappus ait s theor. 8 lib est punctum a quo suspensum pondus quiescit dum sertur. Itaque si lamina aliqua partibus omnibus aeque gravis esset, centrum ide esset magnitudinis Sc gravitatis.
3. Perimeter eti comprehensios urae.
Haec desinitio est nominis gneci. Ergo perimeter trianguli est una c tribus Ibneis composita linea: ut a Proclo dicitur 4 p I. sic trianguli a perimetcr est elo. Sic perimeter O M
sita,& perime ter sphaerae est superficies sphaerica integra, ut postea patebit
. Oditis est recta a centro adperime m.
dum defini/entis, cuius omnis extremitas paribus 1 medio radiis attingitur : at antea centrum pro cu/Ius libet figurae medio sum p tum est Sic modo radius intelligatur pro qualibet distantia a centro ad pera metrum, sive sint aequales, sive inaequales: quomodo in opticis radii dicu tur a visibili tanquam ab aliquo centro,quo quis versus roctis lineis agi In geometricis elementis radii nomen nusquam est,sed periphrasis perpetua. Quae ex centro, cum de circulo agitur. . . verbum Platonis in Ti/
76쪽
s. Diameter in recta insiripi P per centrum.
Diameterest recta lianea in circulo adi di: in parallem logrammo ad 3 4 p Gin sphaera ad Ur d ra: in ptismate ad 39 p tr. Diameter trianguli etiam similiter est,& omnino cujuscunque figurae, quia ut antea dictum est, figurae cujuscunque centrum est, tametsi occentri& diametri no proinde facilis sit in Ventio. Diagonius autem dicitur, quando terminatur oppositis angulis, ut et 3 p ii, ut in demonstratione sy p ra . sed in planis 5 redii lineis proprie. Nam potius in solidis axis dicitur, ut patebit postea: ut vero ex infinitis per totam figuram punctis unicum centrum est, sic ex inaequalibus lineis infinitis per totam figuram ea sola diameter est,quae per centrum transit. IMPO
I. Diametri in eadem figurasunt infinitae.
Diameter quamvis exini initis inaequalibus ea sola sit, quae per centrum,at tamen percentrum varia esse potest: in circulo res apertissima est, ut in astro lainhio index volvi potest per omnia puncta peripheriae: sic in sphaera Sc rotundis res facilior est, ubi diametri sunt aequales , in reliquis tamen rexeadem: quia diameterest recta per cen trum inscripta, utrum ad anguloS arrad Iatera termianetur , nihil in terest. Itaque diametros infinitas in eadem figura esse, est c dia/metri definitione: Et
a. 6entrumsigurae e Tin diametro .
ametro esse necesse est: id precipueassu aut Arcni meaeS9. Io. II. I 3 in. I. Horro.
Hoc item est ex eadem definitione diametri, ut hic. Nam cum diameter quae Vt hicc 3: libet sit.
77쪽
cesse est cen/trum Gimu ne esse diaγmetris omnibus ideoque esse in earum
lioqui essent diversa centra eiusdem figurae. Id vero nominatim Archimedes proponit in Isorropicis 3 5c ia th. II sorr. de parallelogrammis οἱ triangulis praecipiens.
6. e stitudo ea perpendicularis a mertis gurae ad basini.
Vt in subjectis figuris sunt ae, io, I vel fr. Nac definitio ita generalisest in Euclide 4 d 6, cd munis a x, i, o in plano rediit in eis 5 circulis, in solido pyramiscibus, ptismatis, sphaearis, conis, cylindris, c5 munis denique omni fi/gurae: nec Vero interest utrum basis eadem sit, an longius continuata, ut in triangulo, obtusaopulo, cu ba Q. angulo dei est do.
figura ordinata e t figura aequitermina m aequiangula.
In figurae parte sunt ut patuit centrum, perimeter, radius, diameter, altitudo. In tota autem figura affectio est varia cnumero differentiaque terminoru: 5 numero differentiaque terminorum figura dici possit generaliter redii termi/na, aequitermina, aequi crura, Parallelitermina,oblonga, rhUmbus, rhomboi des, trapezia, aequiangula, rectangula : in superficiet sautem tri latera, qu dii latera, multi latera, aequilatera, rediminea, obliqui linea, misti lineae in solidis tetraedra, pentaedra, Polyedra, Plana, sphaerica, conica, cylindracea: a nu/inero differentiaque angulorum in superficiebus triangula, quadrangula, mulaangula: in solidissimilis dissicienti a nominati non solet,quam Vis tamen uisit. Hae vero differentiae aut suis nominibus intelliguntur, aut spectarem per suas species intel ligetur. Tres igitur affectiones generales hic videntur definiendatissurae ordinatio, primatus, ta ratio. figurae Veis ordinatae definitio nomina
78쪽
tim non est in elementis Euclidis, attamen exa s. as. 2 7. 2 8. 29 d ii sumi potest, ubi adhibentur ad ordinatorum corporum definitionem plana, aequalia, atqui lateraecaequiangula. Sic Theon desinit primo magnae constri Goms: cum depIanis refulua eis loquitur aequi laterum aequiangulum. Pappus autem &graeci alii vocant λώγμένον ordinatum, herae ordinatum: Campanus pro eodem regulare dixit ad i p I s. In planis igi tur triangulum ae qui laterum est ordinatum, εἰ reliqua triangula sunt inordinata: in quadran/pulis quadratum est ordinatum, reliqua in ord: nata: multangulum generis cuIusque potest esse ordinatum. In obliqui lineis circulus est ordina tus, quia aequi terminus, cum terminus pro terminis innumerabilibus unicus ec singulatiss bHpsi praecipue sit aequalis,quia aequi angulus, cum licet reipsa nullus insit angulus par tamen sc aequalis utique sit inclinatio Sc Vesu i angulus periphe riae sibi ipsi semper aequalis: unde Platoni ac Plutarcho cuculus dicatur polygo
nia,Sc Aristoteli totus angulus. In misti lineis nihil est ordinatum: in lolidis N pyramidibus tetraedrum est ordinatum, e prismatis cubus, o polyedris tria tantum octaedium, do de caedium,icosae urum:In obliqui lineis spha racchordinata eodem argumento quo circuluS.
8 Agura prima e I gura in aliassimpliciore guras indimidio.
Sic in planis prima est triangulum, quia in simpliciorem figuram dividi uSPotest, quamvis multis modis dis secari possit: sic in solidis pyramis prima figura est, quia in simpliciorem corporis figuram divi: non potest licet in alias innumerabiles possit dividi: a triangulo autem o mnia plana oriuntur, ut a pyrami de corpora , quales figurae sunt
s. Agura rationatu en q: comprehenditur ά basi altitudine rationalibus intersi.
Sic Euclides i da dieit rectangulu comprehendia duabus re tis inter se, quυ
pe multiplicatis. Geometrica enim comprehensio est intci dum velut in num oris multiplicatio. Itaque si dederis halin dc altitudine rationales, ut earum ra/tio sit explicabilis numero datae mensurae, tum numeris laterum multiplicatis explicabitur magnitudo figurae.Ceneris hujus definitio materiam demonstra/hilis propositionis Euclidi pretibuit, et op io derectangulo rationali: At mateoriam principii praebere debuit, ut praebuit is.17 d in definiendo plano εἰ so/Iido numero . Tales enim n umeri significant figuras rationales explicabiles numero, ec numeri multiplicati inter se facientes numeros illos planos, solidos Iatera figurati numeri dicii tur ab Euclide in illis definitionibus. Figura itaque rationalis fit duobus rationalibus lateribus inter se multiplica sis: o per syneci
79쪽
14 P. R Arardochen ita figura unica dicitur rationalis, per latera nempe rationalia,tales Gguce tandem erunt in Plani S parallelograminum rectangulum in solidis rediis prisma de cylindrus, unde reliquarum omnium figurarum ratio de mensura cau
res figurati, lateratos dici conveniebat: latera tamen dicta sunt Euclidi, neque tropum mutari necesse est. Geometria vero sui Ac generis Se iuris magnam qui dem partem est, neque aliter quam geometrice tradiabilis:attamen parte qua/dam numeris associatur,& iis explicatur, numerique geometricarum affecti num interpretes geometricis Vocabulis appellantur ut dixi) planus, quadra/tus, solidus,cubus a geometrico plano, quadrato, solido, cubo: quorum umbrae quaedam tales numeri sunt. Sic Euclides ait sed specialiter ly &ao pio roctangulum comprehensum a rectis longitudine symmetris es e rationale: Se si rationale ad rationalem comparatum iit, latitudinem efficit rationalem Sc symmetram hasi: ut si rectan gulum comprehenditur a basi 4 5c altitudine 3, erit rationale nempe is, S rectangulum rationale ut racomparatumst ad basim rationalem 4, facit latitudinem rationalem nempe 3: Quae leges multiplicationi ecdivisioni numerorum congruunt. Sed id generaliter de quavis figura rationali seu plana seu solida veru est,ic in solida basis sumitur pro duplici dii iesione longitudinis Sc latitudinis. Itam Aristoti generaliter ait 7 ci Post. arithmetica
demonstratione magnitudinum accidentibus convenire, cum magnitudines
numeri fiunt: Et Proclus ait quicquid in geometria e licabile εἱ cognobile silinumeris explicari S cognosci. Sed Proesum de huc nescio quoamodo intuens nec satis animadvertens ait figuram esse propriam geometriae, quod verum est : sed addit figuram 1 geometria ad arithmeticam upervenire. An alogia igitur ista mathematicos omnes 5c graecos A latinos decopit, ut figuratorum numerorum doctrinam arithmeticae attribuerent, eo moti fortasse, quod videatur multiplicatio c quae propria est arithmeticae) omnes t lium figurarum affectiones explere, sine continuitate, sine contactu, sine an gulo, sine litu, id est sine magnitudinis affectione. Verum magna differentia hie est. Multiplicatio enim arithmetica est unitatum, ut per 3 facita ramitates:at cum lineam 4 pedum ducis angulo recto secundum lineam 3 pedum, facis n5 lineam i 2 pedum, sed superficiem planam i a pedum quadratorum, aliudque omnino est genesis arithmetica, aliud geometrica: principiumque numeri est pars numeri, principium magnitudinis non est pars magnitudinis. Itaque rorum quidem magna hic distinis litudo est verborum autem sola similitudo: aelicet figurarum 8 planarum A quadratarum item solidarum Scubicarii quae dam affectiones numeris explicentur, non tamen omnes explicantur. Neque anim quadratum Vel cubum authmeuca duplicare Potest, quod utrum que ta
80쪽
GEOMETRIAE L I B. III I. Misen geometria profitetur. Neque veto geometriae corpus suis membris constabit, si praecepta de planis Sc Iolidis numeris ad arithmeticam reserantur. Nabsurdum fuerit species figurae in arithmetica praecedere, genera in geometria sequi. Denique usus geometricus disceptator 8c judex controversiae hujus esto, quem in figuratis numeris extra geometricas figuras, nullum deprehendes,&talis arithmetica quaedam consequentibus artibus specialis accom modata est in sonis , in astris: ut arithmetica hic geometrica, illic musica,istic astronomica dici possit, absolu te arithmetica nequaquam, quaeque extra geometriam, musicam, astronomiam inutilis esset futura. De planis itaque Sc solidis numeris tanquam planarum Asolidarum figuraru adjundiis umbris in geometria suo loco praecipiendum fuit, & iis numeris utendum quoties magnitudines numeri fient, ut vere Aristoteles monuit, nec heterogenia hic erit, cum supelioris oeat uotis doctrinae usus in subalterna Sc inferiore doctrina adhibebitur.
IO. figurae lyoperimetraefiunt figurae aequalis perimetri.
Affectiones unius figurae adhuc fuerunt in ordinatione, prima tu,ratione, se quitur duarum figurarum comparatio in ratione, proportione, similitudine. Qua si nihil in geometricis rebus praestantius esse dixero, nihil a verita te so planor aberrabo. Axiomata enim sequentia maximam in geometria partem complehuntur, primaque sunt sui quodque generis N antiquissima. Itaque postulanda Se exemplis illustranda sunt, ratio est in Isoperimetris. Sic triangulum perimetri io pedum est Isoperimetrii triangulo Is pedum, quadrato 16 pedum. εἰ circulo is pedum: nec isoperimetria homogeniam figurarum requirit,sed tatum aequalem ambitum: unde manifestus est error mathematicorum qui figu/rasita perimetras definiunt,quae intra eundem orbem inscriptae sunt, Vel quam anguli eundem anahitum capiunt, cum aequalis 5e inaequalis peti metri figurae in dem orbem inscribi possunt,& triangulum quadratumque eidem circu lo inscripta capiunt illud tribus, hoc quatuor angulis eundem ambitum me tamen sunt iso perimetra. 5e circuli ipsi inter se ad talem definitionem nu quam essent isoperimetri. Definitio illa suit omnisaneti in Cusani Cardinalis math sin interpretis, quo errore imbuti postea multi propagau
n. operimetris homogeneis ordinatius ect majus, ex heterogeneu
Geometricum axioma de ratione figurarum exi perimetria, Theon primo magnae constructionis repetit a Zenodoro. Idem tragatu plenius est a Pappo quinto libro: dea Proclo propositum in Timaeum Platonis: εἰ ad 45 27 pi: Archimedis etiam scripta quaedam de isoperimetris praedicantur. Ordinatius vero in theoremate intelligatur etiam pro minus inordinato. Sic triangulum aequilaterum erit maius isopera metro in aequilatero, Sc atqui crurum vario. sic in quadrangulis quadratum majus non quadrato. sic oblongum ord: natius est majus minus ordinato oblongo. Sic ex heterogeneis ordinatis quadrai u ma o susina