장음표시 사용
131쪽
atquare parallelograminum ομγι . .
. Parallelogrammum constat e binis oediagonalibus oe complementis, gnomonibus.
Hae siquidem tres partes in geometricis rebus frequenter usurpantur, Ni deo definiendae fuerunt. . I
8. Diagonale ea particulare parallelogrammum communis angulιω diagonii cum toto parallelogrammo. .
Primo definitur diagonale: ut in toto parallelogrammo ae io, diagonalia sunt duIs, ut liti quia sunt partes totius css/munis 5e anguli ad a cr i 5e diagonii a i cum toto: non quod tota diagonius sit communis, sed quod particulares diago nil sunt partes totiuS diagonii. Itaque diagonalia duo sunt. Haec definitio diagonalis consula est ab Euclide a 4 Hers p s, ubi etiam quae circa diametrum parallelogramma describit, quae nos diagonalia uno nomine nominamus
V. Dia Ouale est totisimilesimiliterquesitum e. 2 p 6.
Diastonalis nulla ratio vel proportio proponitur, similitudo tantum proponitur ut in eadem figura diagonales uγ s simile est toti. Dcimo est aequiangulu. Nam angulus ad a communis est,eique aequalis qui ad I, ideoque etiam aequa lis opposito ad i per 3 c s e. Tum anguli a uγ dea sy aequantur peria e s angulis oppositis interioribus ad e5 o. Itaque aequiangulum. Est item proportionale cruribus aequalium anguloria. Nam triangula a uγ Eea e i sunt similia per 9 e 7, quia udi parallela basi. Itaque ut a uaduγ, sic de ad ei, turn utu ad Ia, sic e ι adia. Item peria e quia sFest parallela basito, ut aγ ad γ s, sic ai ad i o. Ergo aeqordinate utuγ addi A sic ei ad io: item uisγaddi a, sic οι ad is: scutγaasas, sic ι aadao. Itaque aequiordinate, utγ s ad su, sici o ad O a. Denique ut suada F, sic o a adai. 5eu tu ad uu, sic aiadue. . Itaque aequiordinate ut O ad a u, sic o a ad a riouare diagonale s u est proportionale cruribus aequalium angulorum tota pa/rallelogrammo oe. Demonstratio eadem laetit, de diagonali ri. Similis autem situs patet per a c in e q. Atque hinc etiam patet diagonale quadrati quadra
tum, oblongi oblongum, rhombi rhombum. rhomboidis ontiades e , Quia toti simile similiterque situm. Diagonalia vero cum similia sint toti ta li/militer sita, erunt item similia inter se & similiter sita, per 3 ct 4 e q. si particulare parallelogranimum est toti coingulum, ersimilesimiliterque situm, en diago
Assumi hoc potuit, sed etiam ut ab Euclide cogi pote loqui totum aequa/
132쪽
retur parti, ut toti parallelogrammo aeto particulare audis sit coangulum, Rcommunis anguli ad a imile toti similiterque situ: dico ein diagonale. Se/cus esto diversa diagonDiis x r o sit parallela r i con/tra ae . Itaque a Irs erit diagonale per se. Jam igitur per 3 e ut e d ad di, sic se ad al: item ex thesi ut ea addi, sic sa adau: Itaque eadem saadalde au proportionalis est , & al aequaturipitau, totum parti.
Io. Complementum e articulare parallelogrammum a contermianti diagonalium lateribiti comprehensum.
ut in figura u r A s F, u trumque enim comprehensum est continuatis duorum diago. nalium lateribus, R ideo complementa di/cuntur,quia cum diagonalibus totum pa rallelogrammum complent. Neque vero diagonalia duo describi possitnt, quin una complemeta describantur. Euclides nusequam complementum definit , sed 43 p rappellat τα τῶν παι τὰν παρα mxη ρώματα. Complementa parallelogrammorum circa diametili, tanquam complementa diagonalibus reliqua sint ad complendum totum p rallelogrammum.
1r. Complementasunt aequalia. ψ3p I. i
Complementoru nuuia proportio, nulla similitudo proponitur, sed ra tio tantum, ut in figura urias γ c6plementa sunt aequalia. Nam triangula uel Maca aequantur per 3 cs item ast& au l, item ιγ i sc tri. Itaque si mangula utrinque aequalia detraxeris ab aequalibus reli ques .equalia complementa. ita Mi. si complementum alterum aequatur dato triangulo in dato angula re meo, reliquum ad datam rectam comparatum eidem pariter aequabitur.ΑΑ p t.
ut si postules parallelograinmum ad datam rectam.& in dato angulo rectilineo au
133쪽
neo aequale dato triangulo, propositio secis faciet. Sit triangulum dei, se datus angulus o data recta tu, se parallelograamum aγis aequale triangulo in dato an/gulo per s cs e, tum latus u aequaliter ipsi data tu continuetur in r,5c connectatur ru de ab r diagonius concurrat cumas infinita, idque in i per c ii e s , laterauque γι dcru continuentur aequaliter ipsistin m 5 n, Sconnectaturi n. Hoc com
Plementum mu aequatur complemento γ s aequanti datum triangu Ium per pra; cedentem,& in dato angulo rectilineo. Et r. Si partaclogramma continenterequentur triangulis dati triangulati in dato angulo recti lineo, totum parallesogrammam toti triangulato pariter aequabitur. 4s p i. Est consectarium superioris de ratione parallelogrammicum triangulato, neque demonstrationem praete/rea ullam requirit, sed manum promptam in describendo. Rectam vero tibi sumes infinitam,ad quam conti nues particularia parallelogram ma, ut ii detur triangulatum a et o u sol.
vetur in tria triangula dei, aio,dou,.
N angulus sit , primum in dato angulo ad rectam infinitam facies per antec dentem parallelogrammum a e in dato angulo aequale Primo triangulo. Delia de secundum triangulum ita describes super infinita, ut crus alterum incidat in latus complo menti aequalis,reliquum in antecedetia reiiciatur,ec sic deinceps.
Hic habes complementa tria c5 Vtinuata, & parallelogrammum continuantia, sed praestat in fabricando dele. re antecedentia, εἰ altera inlatiorum diagonalium later e quid interea c6fuso linearum ossiciat. Itaque Parallelograminum equesur suis diagonalibus π complimentis.
Ia. Gomo e I alterum diagonale cum duobus complementis. et da
Gnomo duplex est in duobus exemplis, R sic Euclides definit. Omnis p. arallelogrammi spatii circa diametrum ipsius parallelogrammum quodlibet cum
134쪽
que genere diagonaliuta comple
Cnomonis autem usus in .elemen
iis nullus alius Videtur quam ut uno nomine tres partes parallelogramini Ggnificen tur,& tribus litetis appellen tur, ut hic a ei. Alioqui gnom5 est perpenadiculum, S sic Oenopides ut ait Proclus ir p i perpendiculum dicebat pro
i3. Parallelogramma aequealtasunt ut bases. Ip 6.
Quia sunt dupla trivi angulorum per a e s e figurarum primarum:ut de Nec liqua Parallelogramma equeata m cpiali basii unt aegrata. 3 s. s 6 p r. Ut patet in eodem exemplo.
I . Si parallelogramma aequiangula reciprocantur cruribus aequalis anguli, sunt AElisaba:'contra. IJ p 6.
Consecta/rium est ex S e 7. ut hie vides, te ta men cte illud ut diastum est de hoc consectariupotius est 13 e Α, quod hic etiam manifestius est. Iraque r. si quatuor re sunt proportionales, para oummum mediarum epul quiangulo
par ogrammo extremarum ea sp Erunt enim parallelogramma aequiangula reciproca cruribus aequalis an
guli. Et a. si tres rearset proportistiales, p4ra clogrammmediae e turaepingulo parri
Consectarium est e proximo. - P. RAMI
135쪽
Parallelogrammum ea reflangulum aut ob trangulum.
Adhuc de parallelogrammis communia Ageneralia precesserunt: speacialia sequuntur in rectangulis Sobliquangulis, quae differentia ut praedixi est communis triangulis sciriangulatis, sed hic nulla verbis saltem aptior augenera proposita distinguendum.
a. Recitangulum est parallelogrammum quod habet omnes angulos
ut in deto. Atque hinc intelligis ex unongulo recto omnes rectos esse. Angulus e/nim adurectus opposito adi aequatur per 2 c s e i o: ideoque ambo recti per e 8 e 3. Reliqui anguli ad e 5e o per A e G aequales duo/hus rectis,& aequales inter se per 2 cs e Io. Itaque singuli recti. Neque omnino in paαrallelogrammo rectus angulus esse potest, quin omnes recti sinti meis Rectangulam comprehenditur ά diabus rectis angulum rectum comprehendentibus. ida. Haec Euclidis definitio comprehensionis verbo geometricam muItiplicatio nem quandam significat: ut enim e duobus numeris inter se multiplicatis fit numerus, sic e duobus lateribus in se ductis fit rectangulum, nec tamen rectan. gulum quodlibet est rationale, ut antea patuit 9 e4, 6c postea patebita. Rectangula quatuor complent locum. Neque omnino in terest, aequalia, inaequalia, aequilatera, inaequilatera, hoamogenea,heterogenea sint quatuor. Quoquomodoenim Versentur, anguli re Oierunt : ideoque complebunt locu . Neque hic Aristotelis accipere possumus, nisi rectangulum generaliter intelligat.
a. Si diameter bisecat Iam rectanguli, rectescat: m contra.
ut hie patet peri e duactis dia/goniis bi
136쪽
P. R Anisi inscripta recte seces Iatus rectoruli est diameteri uia bisceat paralselogrammi7.
. R Iiangulum aequatur retitangulis ex lsius uno latere oe reliquis ment . I p 2.
Ut hic rectangula quatuor particularia toti aera μ ε o u oquantur , quae fiunt exa e uno ipsius latere, Scsegis menti S reliqui ei, io, ou, um, cujus demonstratioccongruentia est, quia totum Partibus congruit. Sed eadem ratio in numeris clarior est inducti, ne partium, ut quater octona, sunt 3 et, stango sin s de 3, quater quina sunt zo,&quater terna ta, totum est 32, derum tota arithmetica multiplicatio ex totis numeris idem facie ac multiplicatio totius per alterius partes, imo partium per partes. Haec pro/positio appellatur 9 cap. i constr. a Ptolemaeo.
s. Si quatuor recti simi proportionales , rectangulum mediarum
quatur rectangulo extremarum. IυσEst eic ero, sed freque te speciale co usectariu hoe -- appellatur
ctanguli. Ut lue sunt quatuor proportionalesa hi os, o ab extremis d γ rectangulum . e mediis sit se.
G. Aguratus refctanguli rationalis appelgatur planus. I 6 d 7.
Figura rationalis definita est y e Α, qualis e rectilineis adhuc nulla fuit, prisma est parallelogrammum rectangulum neque quodlibet, sed illud solum, cu Ius basis altitudini est rationalis, ratioque basis de altitudinis explicabilis est numero ubi & figuratus definitus est. Rectangulum aut ex irrationalibus lateriribus, qualia Sei dicta sunt,est irrationale. Rationale itaque rectangulum erationalibus lateribus accipitur, de Mus figuratus nomine generis appellatur planus,quiae toto planorum genere haec sola species est rationalis. Si igitur. αctanguli basis est 6 , altitudo Α, area est 2 4, N si constet areae .am esse 2 4,fic basim s esse, confl
137쪽
s voran TRIAE L I B. XII. sani sunt f 5c s, tanquam fecisses parallelogrammum rectangulum pedum qua
dratorum 4 o, cuius basis emet s pedum,altitu/do g, hoc modo: haec inquam muplicatio est geomettica, nec ex li/neis lineae, ut illic ex vinitatibus unitates, sed intervallo uno superior magnitudo creatur, su/perficies nempe. Hinc
etiam patet geoda fia rectanguli trianguli. Nam cum crura recti anguli inter se multiplicavetis, facis totum parallelogrammum rectangulum , cujus dimidium est itiangulum per se sero. P. RAMI GEOMETRIAE L I B. π I I. de quadrato.
D Sctangulum est quadratum mel oblongum.
m. Haec partitio fit verbis propriis, at res de disserentia sublecta est communis ex angulis Sc lateribus.
a. Gadratum eri rectangulum aequilaterum. 3O dti
Quadratum itaque ' Qcum sit aequilateru, εἰ rectis aequalibus squiangulu, e qua/drangulis erit ordio natum. Latine Vero idistinctius quadraa steu dicitur qua graecem. γωυρ id est quadrangui um, quod generale εἰ quadrilatetis omnibus commune. Itaque 1. Latera quadratorum equuliam sunt qualia. Da. Pol tia rectae est quadrat .
ἀνναμιν potentia verbum est Euclidi libro decimo ustiatum. Dicitur autem, linea recta posse qua diatum, quia in seipsam ducta facit quadratum. Potenatia porro ista ut Aristoteles ait s Ac s phil. dicitur D3. Si di conteminae Eerpetiuicularcs cqvilas claudavia r p ratilis, consiluere quadrautum. 46pti
138쪽
Utinaeio perpendiculares do Scei aequales claudantur parallelis ao,contra et Scoi contra te constuuent quadratum aeto. Parallelogrammum Onim est ex theli, quia OP eposita latera parallela,&rectangulum, quia cum . angulus perpendicularium dei sit rectus,omnes recti erunt perre Ἀ.Ueinde nuna latus ei aequatur omnibus, primum opposito do per Gelo,sc ipsi ea per thesin , ideoque oppolito οι per Gelo.
3. Planus quadratι ediplanus aequilaterus.
Est is d paulo secus expotnia. Quadratus numerus est,qui est aequaliteri qualis, vel qui comprehenditur a duobus aequalibus numeris . Est vero qua/dratum ex omnibus planis imprimis rationale, non tamen semper, sed tanturationale est cujus numerus est quadratuS. Itaque quadrata numerorum non quadratorum non sunt rationalia. . Iraque Fit i numero in e ipsisn multiplicato. Quales quadrati sunt primi nOVem r. q. s. 16. 2 . 3σ. 69. sq. st. a semel uno, his hinis, ter ternis, quater quaternis, quinquies quinis, sexies senis, seupties septenis, octies octenis, nomeS nOVenis. Atque haec summa est quadrati numeri genetis εἰ inventio per multiplicationem e dato latere . sed eadem in/ventio subtilius multisque elementis ab Euclide proponitur, a quo si cui hine utilitas ulla speretur, licebit repetere. sequitur Varia comparatio quadraiscum rectangulo, cum quadrato, cum rectangulo simul le quadrato. Rat o cum roctangulo primum est.
4. Si tres rectisunt proportionales, quadratum mediae aequatur rescit angulo extremarum: γ contra. IV 6 γ zOp 7.
e i. io. CG sectarium item hoc quadrati nomine infinite citatur,ut superius illud de roctangulo.
Comparatio quadrati deinceps est cum quadrato, primum ratio est aequau
139쪽
G son ET MAE LIB. π II. s Iitatis e s e s, consectatium quidem, sed tamen consectarium mirifice celebrantem a Pythagoreis, tanquam mater hjuus nondum nata 8c inventa esset. Et cosectarium infinite quadrati nomine citatum prae generali: ut permirum sit fi liae 5c parentem Sc honorem tantopere celebrati matris autem Parentem icho norem silentio sepeliri. De Pythagorea exultatione diactum est in prooemio mathemata co. Atqui consectatiuhoc aliquando rationale
Nam trianguli rectanguli atqui cruri latera sunt irratiaonalia varii autem aliquando rationalia, & quidem modo duplici, altero Pythagone, altero Platonis, ut Procius author est ad 4 p i. Pythagorea ratio sic est ex impari numero. i. si quadratus impuris pro crure primo dari minuatur unitate, dimidius reliqui erit crus ab rerum, auctus unitate erit balis. Ut in exemplo latem s. q. v a
dratus hasis s estas squalis quadratis i6 5c 9 e cruria
gorei vero in hac . invetione sibi prae cipue placuerunt, eaque de caussa s invictus numerus ab iis dicebatur, tanquahasis illa victrix esset, crura Vero debellata, ut Alexander ait primo philoso/ .phiae. Platonica sic est c numero pari. a. si dimidius paris pro crure primo dati quadrettar,quadratus minutus unitate erit crus alaterum, auctus unitate erit basis. ut in exemplo laterum 6.8.ι o.Nam basis Io quadratus ioo aequatur quadratis 3 6 8e 64 c cruribus G sc g. Ex hac ratione rationa/lium potentiarum ut Vitruius ait lib. ycapa a nor
mam exactissimam fabricari Pythagoras docuit timbus regulis in trianguli speciem compositis,quae sunt ut 3. q. s . Hinc architectura in scalarum partibus Orithmeticam proportionem didicit. Ea namque ratio quemadmodum in multis rebus 5 mesuris est utilis etiam inaedinciis, scalaruaedificationibus, ubi teperatas habeant graduum librationss,est expedita. sic enim altitudo contignationis db summa coaxatione palmum libramentum divisa fuerit in partes tres, erit earum quinque in scalis iusta longitudinia inclinatio. Nam quam magnae fuerint inter contignationem Sc imum li.
140쪽
locentur interiores calces sculporum. Ita enim erunt teperatae graduum ec is Psarum scalarum collocationes. . Diagonius potest duplum lateris, eique est actaemetra. ut hic vides. Primum quadratum esto a ei o,ex cujus diagonio ut fiat quadratum aiu ,etit duplum, cu nempe diagonius potest aequale utrique cruri aequali. Ergo potest duplum alterius, Rhaec via est duplicandi quadratia Platone tradita, ait Uitruviust caps lib. quod tamen etiam duplicari, triplicari, o inninoque etiam data ratione augeti po test per i e re e 4,ut illic praedictu eit. Quod aute diagonius sit asymmetra lateri est iis pio. Aragumentum est quia daretur quadratus numerus du/plus quadrati numeri. Quod Proclo a capa/Theo Irrique oc Campano ad rispio impossibile per se cla/rum visum est. At illud clarius est in libello de lineis individuis Aristotelia linto. Quia par esset impar. Nam si diagonius sit 4 latus 3,quadratum diago. nitis duplum erit ad quadratum lateris,sc ita quadratum lateris erit 3,Se idem erit 9 nempe ex s, sicque par esset impar. Hanc asymmetriam Aristoteles frequε ter appellavit, ut illam de tribus angulis duos aequantibus. Huc addi possit ibiud ad 42 p io. Segmenta rectae varie sectae mapis inaequalia majus posse.
6. Si ιαμ trianguli retita iiii secatur a perpendiculari ex angulo res Ecto dupla ratisne,potest qui alterum majoris cruris, triplum minoris si quasi aptimuiquartum majoris, quintuplu minoris.ad lyli. IOZ u.
utinaei basis de seg/mentum a o sit dupluad segmentu o e, nemre 2 ad i. Id enim esto secari dupla ratione, ut deinceps quadru/pla , tota erit sesquialtera ad ι o, ideoque pex a e sesquialterum ad . quadratum ex si , 5 eo/dem arguamento tri/plum ad quadratum ex ei. Reliqua de quadrupla sectione patent in