장음표시 사용
81쪽
ius triangulo, Ac circulus quadrato, quia quadratum est πιλντλ 'sc irribus terminis contrat quam triangulum, Sc circulus quia in quadratum. Sic in soli disicolaedrum majus est dodecaedro. ZenodoruS in planis me λι seu πιλυπλοαρ rares quod in planis idem est: Pappus in Italidis πιλνε latam rese maius efficit, quod in solidis non sit idem quod πιλνγωνιώτεr u Ratio is operaui euorum ea est, ex cujus ignoratione infiniti per Omnes humanae vitae partes erroris orta est, I peti mei ratac aequal:a. Hinc enim geodelia in agrorudimensionibus fraudulenta, hinc geographia in regionibus S insulis mendax S mendosa, cum geographi metiuntur insulas numero dierum, quibus circu euntiri Scircumnavigantur. Metire is crimetris mensuris altera ci lindracea, altera cubica humentum, longe inaequalcm capacitatem reperies. sed summa figuratum capacitas ta perfrictio in imperimetris Ita summatam concludatur.
Ia. Si figurae prim essent de lueat dum ut bases contra.
Ex es ementis geometricarum comparationum primu fuit in ratione iso persmetrarum figurarum: secundum sequitur in proportione primarum figurari, aurea vere, si illud ptimum argenteum tuerit. Proportio numerorum geomea trica dicitur in arithmeticis regulis, aurea regula: Haec vero proportio figuraria in geometricis figuris longe ampliseima materia laudis aurea quom possit appellari: perfluet enim non ad primas solum, sed argumento proportionis ad primarum multiplices. Hoc igitur aurum quanto abundantius, tanto cupidia us& avidius excipiendum. Prop'rtio prim grum figurarum hic duplex est prima est directa in atquealiis. Hoc virectum proportionis geometricae inprimis aurum ex aritimetica lege direct Pi oportioni S derivatum est, non est tamen rationale, nec explicabile numero in primis ipsis figuris, sed tantum in earum quibusdam aequemultiplici hus, quae suis simplicibus sunt proportionales. E logico proportionis axiomate atque maiorum patuit in arithmeticis. Si num rus numeros in uuiplicet,iacti erunt proportionaleS multiplieatis. Itaque sque altatu vis explicabilis est in figuris rationalibu S. ut in duobus parallelogram mis rectangulis eadem altitudo μ duas hases 2 5c 3 multi, plicet: sacita parallelos ramma 8 ec ta sunt proportionalia hasibus a. r. Itaque ut a ad I, sic8 ad ιa: idem erit postea ,
in rectis prismatis Scylmdcis in planis parallelogramma sunt duplicia triangulorum: in solidis prismata sunt timplicia pyramidum, cy lindri triplices conorum. Haeccin. λ , quam nauta a propositi axiomatis sic numero explicari potest in multiplis: quae tamen antiquior in primis figuris, triangulis pyramidibus . conis est, quam in
triangula tu, pyramidatis, conic'tis, quamvis numero explic ri non possiti Hoc axioma praedicandae per universam geometriam foecunditatis est: Hinc Onam proposita nes mel emetis nOUedccmi Oriuntur I sci 6 37M s Q v. si o. 6r Pira P G2 . 29 3 οβ 2 p q. s. σ.ιι. 3. Α Πι2, Praeter rotundas figuras, ut circuislos 5 spharas, in quibus vetitas est eadem, si diameter pro basi intelligatur,ut alcis p ta Euclides intelligit: item Praeter innumerabilia consectatia, quae per
82쪽
unsversam geometriam caps ducuntur. Haec cin quam in aurea geometria tam copiosa ex altera primarum figurarum proportione nobis erit, unde nihil in/tuendo spatia figurarum, attamen e solis basibus ratio ipsarum aequalitasque vel inaequalitas potetit plicari. Conversio autem protinus patet,figurae piimae ut hasta sunt aequealtae, nempe cu facti sunt proportionales multiplicatis, numerus idem multiplicavit. vique
si unt in basi aequali, sunt squales.
Sictriangula, sic parallelogramma, qua est pi,quo possunt etiam teterri 3 9 5c Ao p r. Sic caeterae figurae propolitie in aequali basi aequantur.
13. Sisigui primaesunt reciprocae basim altitudine, sitnt aequales o
contra. Sed jam proportionis geometricae alterum aurum dicatur in reciprocatione. prius enim fuit in dire sta proportione. εἰ haec ex arithmeticis aurea regula est proportionis reciprocae, ted fguris primis accomodata Euclides altitudinum ec ballam proportionem reciprocationi subjecit, eca o Greciprocationem figuris tanquam propriam attribuit, εἰ figuras reciprocas ait ese, quando in uir que figura sun t antecedentes εἰ consequentes termini, id est quando rationum termini in utraque figura reciprocantum sitet ut primus terminus primae ad primam secundae, li c secundus secundae ad secundum primae. Verum reciprocatiores arithmetica est omnino, ut in arithmetica nostra docuimus. Atque hic consumptae sunt 14. Is p σ, 34 p ii, .rs p ra. Reciprocatio rationa Iis 5c explicabi/lis est numero non in figuris primis, sed in aeque multiplicibus primarum: ut iam praedictum in directa pro/Portione. ut sunto rectagula parallelogramma duo inaequalia hasibus 5e altitudinibus 3. s. q. ut hic vides. Proportio reci ,
sic alii tudo G ad altitudinem S: εἰ parallelogrcimma ipsa sunt aequalia,nempe aq&2 : Sun/to solida duo ina qualibus item basibus 5c altitudinibus quia hic etiam basis est pro logitudine εἰ latitudine
12.2.3. s. 3. q. solida ipsa erunt ra& et, ut hic vides,ec proportio Dia reciproca est basium Sc altitu.
clinu: ut enim et adis, sic ad 3. Et caula est ex ipsa aurea proaportionis in arithmeticis lege, quia his bina latera sunt proportionalia, idemque s ultae ab iis areae sunt aequales. Et vicissim ex eadem lege, quia areae sun t in quales, termini quatuor sunt proportionales, quae conversio est praesentis
83쪽
i . Agui similes suntAurae aequiangulae proportionales cruribus
Ceometricum aurum in figuris primis tum atquealtis tum altitudine& hagreciprocis expositum est superest in similibus omnium purissimum & pretio.
sissimum aurum. Primo similes figurae definiuntur, deinde comparantur. Similitudo figurarum est, non primarum modo & a primis multiplicium, sed omnino omnium,& duabus rebus comprehenditur aequalitate angulorum N pro portione crurum :&duae figurae dicuntur similes tali synecdoche particulatiu&angulorum aequalium & crurum proportionalium, qua figura rationalis dicta est ratione laterum rationalium. Neque duo termini ut duae figurae similitudinem faciunt, ut neque illic unicus terminus ut unica figura rationem faciti Uerum definitio similitudinis in figuris magnam geometris anxietate attulit, ut in unoquoque figurae genere nova similitudinas definitio facta sit: ri d ce
figuratis numeris similibus: ut i d is de similibus rectilineis, io d 3 de sectionishus similibus, d ii de similibus inclinandibus, s d ii de similibus solidis, 2 d ii de conis N cylindris similibus: Hinc etiam novae definitiones de segmen.tis conicis similibus apud Apollonium, de similibus sphaeroidibus apud Archimedem de quibus in scholis. Circuli autem & sphaerae similes intelligentur ex illa poli gonia infinitorum laterum, ut suo loco de singulis intelligetur.
L Ilabent homolaus terminos aequalibus angulis subtensior, π aequale si ipse sint se
Consectatium est e proxima generali definitione in recti terminis praecipuu: de ita sumitur a Theone ad 4. s. 6 pG in rectilineis, sed nos generale etiam sectamus &homologos terminos appellamus e sumptis proportionalibus,primure tertium, secundum & quartum, Id est alternos: Homologia enim N -α υμ-& ia a s eadem res est, uti in scholis illius loci docuimus. Pars ultima de aequalitate terminorum est lemma Theonis ad et 2 pς ει et Smiliter Maesunt, qetando termini proportionales simili situ respon&nt. Euclides appellati g. 26. 27. 3r P σ, 27 p ri similiter sitas figuras,vel similiter de. scriptas,ut in c5sectarid sis &ro p σ, &aa p σ, &37 p ii, neque definit, sed res tamen ea est in situ simili, cum nempe supera superis, infera inferas, & reliquae loci differentiae congruunt:& apud Archimedem in Isorropicis 9 axi, similitersita punista in planis similibus definiuntur, a quibus ad aequales angulos rectet faciunt aequales angulos cum homologis lateribus: si tua ille simus necessario exigitur ad 26 &a7 p α . similis eidem sunt,similes intersici Euclides speciale id fecit de rectilineis similibus ri p 6.Patet aut protinus eκ ipsa definitione similium . similitudo enim duarum figurarum ad eandem concludi ita aequalitatem in angulis,& laterum proportionem inter se. Et
A. si partibus datae Murae partes ad datum terrim similo similiterquesta constituan
tur ,saura constituetur nulla dati Omiliterque μα
84쪽
Gro METRIAE L I B. I I II. asHaec fabrica specialiter proponitur ad is P ο, dg 27 P M.
is. Figurae similes habent rationem homologorum laterum aequem utit licatam dimensitanibus, . medium proportionale una minus.
Jam aurum sequitur illud c ut dixi pretiosissimum, aurum tamen, ut in cae tetis antea generalibus, ex parte tantum rationale Sc numerabile. figurae vero planae duarum sunt dimensionum solidae trium: Itaque habebunt)llae duplicatam rationem homo Iogorum laterum , hae triplicatam. Ratio in rationalibus primo manifestior eriti Numeri plani similes sunt in duplicata ratione homo logorum laterum, est is p 8, ut 8 ad ι8 sunt plani numeri similes, sunt etiam plaana iis numeris explicabilia similia: ut hic uti des. Nam anguli sunt aequales Se aequaliu crura proportionalia, quia latera eorum 2 fg q. 3 & 6 sunt proportionalia. At ratio S ad is est ratio A ad 9: quae est ratio duplicata homo logorum laterum , nempe 2 ad 3: ut apparet duplicata ratione 2 ad 3 sic , Itaque in planis ubi dimensio duplex est longitudo A latitudo, ratio duplicatur, ideoque in parallealogrammis reet angulis quae numeris planis respondent in ratio ista est. In triangulis dimi/diis parallelogrammorum rechanguloru Vearitas eadem est , nec per se tamen rationalis εἱ explicabilis numero : ini Pe iis etiam 5c quibuslibet planis rectilineis similibus veritas est ea, dem: ut etiam nominatim proponitur ro p s. solidi numeri similes sunt in Hiplicata ratione homo logo i u laterum est 19 p si ut 6o Se 48o solidi similes sunt, sunt et a solida similia quae iis nume/tis copreheduntur, ut hic vades. Quia latera ipsorum 4. 3. s de p. s. io sunt pro Portionalia. Atratio so ad 4 Soest ratio 4 ad 8 niplicata sic et et i blid est i ad 8, seu octi upla, quod offendes divisis 4so per Go. Itaque in so/lidis ubi dimensio triplex est, ratio triplicatur, ideoque in parallelopia pedis rectangulis quae solidis numeris respondent ratio ista est rationalis N explicabilis numero. In pyramidibus
trientibus prismatum Se ratio item eadem est, neque per se tamen rationalis vel
expiscabilis numero In conis 5e cylindris similitudo inde suo loco percipietur. Quare tertium hoc geometriae proportionis in similibus figuris aurum per se relucet resplendetque, sed in suo generali & proprio lumine collocatum Atque
hinc apparet labor angorin Euclidis di Theonis tot locis dispersas ejus micas d 3 consectan
85쪽
3. P. RAHI consectantid, to d d Ist, zo. 23 p s. q. is, i 9 ps, 33 sit:2. , a, a P Ir,de qaidi in scholis. sed prima pars adhuc exposita sit,secunda brevιus percipitur, quod habeant medium proportionale dimensionibus una minus. Nam inter duas similes figuras plana est una media proportionalis . inter duas solidas sunt cluc. Eucliciis de planis est i 3 S ao p S: de solidis est is de ri p 3. Cauissaque tatu est arithmetica ut prius. Nam si duplicata ratio est numeri adnumerum,necesse est ex continuo tum lege unum interesi e proportionalem, cujus cum primo etiam sit illa duplicata ratio. si triplicata, necesse in duos inicique, ut hic Vide
r. Si Eaee rectas vi continuῆ proportioni res ulla plum dimensionissius si inarum finia Dim ud prinam e samque mluersiarum, ut prima recta est ad ustinum initri, ura
est ad secundam: er contra. υ ε' 'SI: similitudine figurarum duo consectaria oriuntur ex parte tantum ut a/xioma ip orum, rationalia 5e numeris explicabilia. De triangulis cte reianzula tis consectaria sunt Euclidas ad iv &2o P .Si tres rectae sint continuae proporasionales, eis: ut prima ad tertiam, sic rectilineum comparatum prima ad redii/Iineum comparatum secundae simile similiterque situm, quod in numeris parate quadam potest intelligi: ut sunto tres lineae pedum a. q. s. de ad primam se cundamque comparentur figurae similes pedum σ&a t sic nempe ut a Rasint hales earum: Hic ut prima linea et est ad tertiam 8, sic prima si uva 6 est ad secundam a 4 et ut hic Vides. Sic res patet in planis de tribus continuis, Scaussamam
86쪽
GEOMETRIAE LI 2. r Irtati manifesta est e
Proximo axiomate S duplicatione I. tioni S in tertio.
De pyramidibusta prasinatis tale in elementis nos minatim nihil est: de prismatis pa/rallelopipedi scd. stiliariu est ad MP ii. Sunto rursus η lineae continue proportionales r. a. 4. g. 6c duo similia solida comparentur ad mran Zc secundami ad primam e lateribus r. 3. a. sits: ad secundam e lateri
hus 2. s. 4 sit q8, ut prima linea i est id quartum s. sic prima figura Δ est ad stacundam 4 , ut constat divisione, exempla ita sunt.1 IV ut 2 8 , . Atque in hoc consectario via patet cujuscunque da tae figurae duplicandae trisplicandar Ac data ratione augendae. Nam ut prima recta erit ad ultimam, sic fi/gura prima erit ad secundam. Uz. Si quatuor re sint proportis es, figuraestatis ad eas millirer sitae sunt proporationalis: ex contra.
Euclidis est ar p σ de omnibus rectilineis Ξmilibus, ε p ii de parallelepipedis, undes enerale institui consectarium potest, uti fecimus: proportio hic Otiam ex parte potest Plicati, neque tamen continua proportio hic exigitur, ut antea. Esto in planis primu e Xeplum. Caussa V m est proportio natium figurarii,
87쪽
surae habent eandem ratione duplicatam. Secundum exemplum esto. Neota me hic figurae sunt
proportionales re/ctis, ut antea aeque
inter ipsas, neque e odem genere Pro portionis sunt pro Portionales, εἰ cause Thia hic eadem , quae prius, quia his binae figurae habent ean dem rationem triplicatam.
I 6. Agurae complentes Iocum sunt, qua circa idempunctum quolibet modo collocatae nihil inane relinquunt.
Haec definitio veterum geometrarum fuit, ut apparet e Simplicio ad 8 cap 3 lib. de caelo: quales figuras Aristoteles ibidem censet tantum ordinatas esse,ne/que omnes: sed tantum tres in planis triangulum, quadratum, sexangulum insolidis pyramidem θύ cubum. Uerum si repletio loci iudicetur ex angulis rectis 4 in plano, s in solido, oblongum in plano, Noctaedrum in solido c5 plebit locum c ut suis locis intelligetur neque satis accurata erit ista Aristotelis geo/metria. At anguli recti faciunt hoc iudicium: 5c sic Euclides solida ordinata quinque cluntaxat esse demonstrat ex angulis,& ita Potamon geometra apud Simplicium quaestionem de figuris c6plentibus locum demonstrat:Densque si figurae conjuniis angulis efficiant in plano rectos 4, vel in solido S, complent locu . De hoc problemate geometria scripta est ab antiquis geometris, Me recentibus Regio montanus dicitur accurate commetatus esse,&Naurolycus librum pollicetur, quorum nihil dum videre nobis contigit.
I7. figura rotunda est, cuius radii omnes aequantur.
Talis erit in planis circulus,in solidis sphaera. Haec vero figura est ex iso petia
metris maxima, ut pa tuitia e. eaque de causa
τωμ perlaetissimu omnisum esse : ideoque deus ait idem mundu sphaericum figuravit, ut suo complexu cuncta conti/neret, Sc Aristoteles in mechanicis, Prob. ait hanc figuram omnium miraculorum esse stincipium Ncaussam.
88쪽
eaussam. Sed ea miracula suo tempore narrabuntur.Rotundum pro figura rotunda dicatur. Itaquor. Diametri in retundo bibecuntur radiis aequalibus. ia nempe dimidia sunt radii. Κιχ. Rotunda diametror in squalium sunt qualia. e i d s. P. RAMI GEOMETRIAE LIB. V. de lineis & angulis in plano.
I tueatum est perficies aut conpuri
Lineati partitio manifestam intelligentiam habet e lineati definitione, qua excluditur linea, & comprehenditur superficies 5c corpus. Atque hinc orata est metricae artis partitio in geometria de superficie, Sc stereo metriam de cor pore , quomodo Plato 7 de rep. & Aristoteles 7 c i Post. geometriam & stereo. metriam distinguun t, attamen etiam geometriae nomen ad totam metiendi aratem significandum usurpatur.
a. Superficies e t lineatum duntaxat latum. Jd I.
ut hic aelo&uγs r. superficiei definitio complectitur intervallum lineae,lon/gitudinem nempe, sed addit inter allum alterum, id est la/titudinem. Itaque superficies definitur a quihusdam ut Proclus ait magnitudo duorum intervallorum. At duo inter/valla non tam specialiter tamaque proprie definiunt: ergo su eperficies magnitudo longa ta/tum 5c lata melius definietur. Tales cinquit Apollonius sun t super terram umbrae quae longe Sc late campos Occupant: terram vero non ingrediuntur, nec crassitudinis quidquam habenti ἐπιφανεια nomen hic significantius est graece, tanquam diceretur apparentia,
quia magnitudinis nihil visibile sit nisi superficies.
3. Superficiei terminus e i linea. 6 d I.
Res manifesta est in planis: superficies enim ttilatera terminatur tribus line, e is, qua
89쪽
is quadrilatera quatuor, multi latera multis: circulus una: sphaerica superficies integra, non videtur term: nari linea: At si spectetur sphaerica genesis in conversione semiperipheriae, principium erit linea , item finis, nempe semiperipheria: Sticuli punctum non solum terminat aestu lineam, sed potentia medium est,sie&linea superficiem termina tactu, 8 lineae innuinerabiles per totam su perfici. em accipi possunt. Superficies igi tur creatar motu lineae, ut linea motu puncti.
. Supersicies e splana mel gibba.
Disterentia superii iei respondet differeticet lineae in rectitudine Se ob Ii qui
s. Superficie lana est superficies, q aequaliter intra suos terminos interjacet e 7 d L
Ut vides in s ei o. Quod igitur linea recta in duas partes oppositas spectabat,
superficies plana spectat in omnes usquequaque partes, ut superficies plana sit omnium supelficietum intra cos dem terminos brevissima, θc cius media cxtremis offici/anet: denique zvquatur in tei vallo intra duas lineas: po/test etiam per unicam rectam explorari quoquo Ucrius applicatam, ut Proclus hic innuit. Planum vero pro su
perficie plana usurpatur, ut antea rotundum pro figura lirotunda, ct geometriade planis stereo mettiae solido tum e
opposita, Ssic Proclus tib 1 capis geometriam de plaαnis a stercometria de solidis separat . Euclides vero quamvis definiendo superficiem faciat genus plani s 5 d i: attamen totis elementis nullam aliam superficiem instruxit, quam planam, Sc tres postremos liberos inscripsit stercometriam solidorum, reque ipsa Platonis εἰ Aristotelis sententiam sequiatur. Ideoque ut idem ait ad 7 d i, Euclides solam superficiem planam de speclachus superficiei definivit, in eaque tanquam in aliquo subjecto abaco contemplatur figuras p Ianas Se earum a nectiones, sectiones, contactus situs, angulo rum costitutiones. Talis nimirum planicies antiquis geometris abacus ille fuit hyalini pulveris quem 5 Tullius eruditum vocat respersione coloratus: de quo Persii carmen: Nec qui abaco numeros Cysiecto in pulvere metas: Scit risiisse vostri Atque hic Proclus phantasiam effici veluti planum quoddam speculum,in quod a cogitationibus rationum imagines influant.De superficie tamen gibba nonnihil suo loco praecipietur. itaque licet in plano 1. A puncto ad punctum reclam ducere. 3 ET A post i . Tria deinceps postulantur, primum G linea recta.Linea recta S peripheria alib. definitae sunt, sed uiti uni fabrica in plano hic proprie dicitur. fabrica lineae rectae est i Possi de iustum duntaxat in plano: neque enim licet in sphaerico intra duo pun
90쪽
GEOMETRIAE LI B. V. duo puncta rectam ducere, neque licet intra duo quaelibet in conico 5 cylindraceo, a vertice enim ad basim tantum licet: Sctum plani secantis conum 5c cylindrum terminus est. Ergo ut dixi de plana recta id tantum postulari juste possit, ut ii pun/eio quolibet ad puneium quodlibet recta ducatur, ut hic ab ain e . Ducendae vero rectae in plano geometricum instrumen tu dicitur Amussis, Ptolemaeo a cap. a musicae regula, quale hic vides : a puncto autem ad punctum juste postulatur, non ad puncta: neque enim puncta omnia in rectam cadunt,sed in obliquam pleraque. Et in sphaera, cono,cylindro, regula intra duo pueta postit esse, sed
oracea. Quin exempIo rectae postulat Vitellio aprintra duas lineas superinis ciem extendi: 8c sic videaturin es emetis de figuris
pleri sep planis tali dis postulari: ut figura describatur ad 7 ct s p a : item
figura copleatur ad 8. I 6.16. 23. 28 p σ,quae sunt de . Plata I S,ite ad 2 . 32.33. 343σ- ΑΠ P ii, quς sunt de solidis: sed tame superficies plana,Sc corpus planurectitudine sua metitatur linea recta, ut ius postula di in linea redia plana primariu videatur. CG tinuatio aut redis lines nihil a liud postulat, qua pro id satione j a ductae rectae, Scquide a pucio ad puctu,
ut recta a e licet continuare in L Quare primum ει secundum postulatum Euclidis in unum conVOniunti Ge