장음표시 사용
141쪽
GE OMETRTH L.r B. X I I. 8 sic bisecta poterit quadruplu dimidii cognomine quaternario, quadrato binariisecundum quem sit his ino, sic insecta
poterit nuncua plum trientis, quadrisecta se decuplum qua erantis: Ut hic vides. Hoc The
oni postulatur in demonstratione is p ra . Qualis progressio est in similibus εἰ planis de solidis in Eratosthenis epistola ad Ptolemaeum, e ratione homologo rum laterum aequemultiplicata dimensionibus.
8. Si recta eucta in duosigmenta, quadratum totius aequatur quasdratissimentorum duplici rediangulo utriusque. 82.
Tertia ratio qua a i edrati deinceps est cum duobus recta gulis 5e duobus quadratis prim o aequalitatis. Con sectarium est e 3 coe io, quia parat telogrammum aequatur diagonalibus Acomplementis. Si recta e secta sit inefacit quadratum aeuo majus quam segmentorum diocie quadrata udi 8 Ieduxplici rectan gulo Duque Laius primi diagonalis est latus ulterius complementi, er duplicatum est latus Aunuliarius verreliqum autem latus simulauiusque est latur reliqui diagonalis. Haec ratio est quadrati cum rectangulo A quadrato. Quadrati autem numero propositi latus saepe quaeritur. Itaque per proximum elementum,&Qus consectaria a lusis quadrati lateris instructa est. aeratur igitur latus jam prapositi quadrati, & genesis ante spectetur, qualem hic enumerorum multiplicatione in numeris ipsi, vides.
142쪽
33 P. RAM' IHaee ratio est quadrati cum rectangulo εἰ quadrato, unde habetur analysis quadrati lateris explicabilis numero. Eadem siquidem via est Thebis Athonas, quae Athenis Thebas: Et hi et geometricae analyseos usus superest,u t postea in cubo, cum alius in totis elementis nullus sit. Hic igitur primo notabis qua dratos singulares linistroi sum ab ultima nota crescentes locis imparibus, Sc d inceps uno intermissio desinere, sic t 4, hae notae significant quod singularia latera sint colligenda, ut universum latus compleatur. Deinde quod primis exemplis notum est, quadrati maximi in primum punistum desinentis, latus pro quoto adnota, 8 ipsum quadratum a numero in idem punctum desinen te subducito, latus erit l, nec quicquam restabit, sic I4 i: haec primi lateras singulatis est inventio: Secundo duplica latus jam repertum, fient a te subjicesequenti plano 4 ex duobus planis facio, quia latus est amborum planorum in unum compositorum, de per hoc latus divide totum planum, evenit a pro secundo quoto, reliquum nem pe ejusdem plani latus: quod quia latus est etiam quadrati sequentis, subjicito sequenti puncto tanquam divisoris notam: facta multiplicatione dividentium notarum de factorum subductione nihil restabit. Sic erit exemplum totum.
Quare hae numeratione divisto plani sola est cuius,etiam latus negligitur 5etantum quaeritur, quia quadrati sequentis latus est. Quaeratur latus istas. Primo notato impares locos, sic Iz9. Deinde quadrati maximi in primum punctuin desinentis latus adnotato Sc lateris quadratum subducito, nihil ro
secundo repertum latus r, duplicatum subjicito plano sequenti s , εἱ per illud dividito ipsum planum, eveniet 2,reliquum latus adnotandum in quoto secundo loco post iam repertum latus, εἰ subjiciendum sequenti pum to peracta fa/ctorum subductione, manebunt 7. sic
Haec secunda singulatis latetis est inventio.Tertio reperta latera duplicens velut unum, α unius Praecedentis quadrati. Quamvis enim in universi qua/draul M
143쪽
drati latere retexendo quadrati singularis duobus plures incidant: attamen duo tantum considerantur, εἰ praecedentium omnium latera pro unius qua drati latere numerantur.Ergo reperta latera velut unum duplicentur, fient a , εἰ subjiciantur plano sequenti 7r, planus divisus dabit 3,reliquum plani latus adnotandum tertio loco post reperta latera,ec subjiciendum sequenti puncto. facta subductione nihil restabit.
Aliquando post quadratum Jam repertum locis proximis, nec planus nee quadratus est ut Ius. Itaque latus eius singulare erito: ut in quadrato 3 s sors. latus universum est Gos, ex tribus lateribus singularibus, quorum medium esto. Aliquando etiam planus intermedius partem sequentis quadrati continet. Itaque si latus reliquum majus sit latere quadrati sequentis aequandum est, ut quaeratur latus quadrati 7 sq, primi quadrati latus erita,6 supererunt 3 sic.
Tum latus Idem duplicatum subjiciatur plano sequenti as, planus divisus daret y pro reliquo latere: at hoc latus majus esset latere sequentis quadrati: minuatur igitur i,5c pro latere V sumatur 3 latus, Sc adno tetur, sequentii qua inrato subjiciatur, facia subductione nihil manet.
Atque hinc patet inventio medii proportionalis inter duos datos numeros, si quis tamen est. Nam si factus a duobus est quadra tus, latus quadrati est modium inter datos, ut patet per auream regulam,si propositus numerus non est quadratus. Arithmeticum latus 5 numero explicabile nullum reperietur, te hic numerus figuratus est umbra figurae geometricae,nec assequitur, neque tale quadratum est rationale: Quadrati tamen in eo maximi numerabile latus in/veniri potest: ut iniqs, numerus quadratust 44 continetur, εἰ latus ejus est m I 2, super
144쪽
yo P. RAMI 12, supersunt vero 4. Latus igitur talis numeri non quadrati exactum nullum
est, nec ullum unquam tam Vero propinquum reperietur, quin vero propius posset inveniri. Itaque est inexplicabile numero . Duo huiusce inventionis modi sunt, alter per gnomonis additionem, Alter per dati numerinon quadrati reductionem ad partes majoris alicuius nominis. si latus mentum duplicetur, er duplitato unitas adaut totus erit gnomo proxime ninoris quo rati.' Nam latus est complementu alterum, & duplicatum est simul utrumque, unitas autem est ultimum diagonale: ut hic Vides circumponi gnomone qua/drato priori, eamque differentiam esse quadrati majoseris a minore, ubi Aristotelis gnomo additus quadrato auget, non mutat speciem: quod perpetuo verum est, si majoris quadrati gnomo addatur proximo minori quadrato tanquam diagonali. Itaque ut gnomo habeatur pro reliquo nominatore duplicatur inventum latus Pro duplicato complemento, S unita S additur pro diis agonali. Sic latus numeri I 8 est laeto, cujus ratio peα det ex eadem propositione, unde & latus integrum in. venitur. Cum enim latus unituscujusque quadrati proximo minoris tantum distet unitate a latere proximo majoris quadrati, eadem unitas 5c bis in qua/drati praecedentis latus Se semel in seipsam ducta gnomonem majoris latetis quadrato adjicit. Na quadratu facit inst. Quo intelligitur qua tu numerator abest a nominatore χη tantu gradatu 348 abesse a proximo majore quadrato. Na si addas ri,quo abest 4 a as facies quadratu i sy,cujus latus est i 3 . Secudus modus est per reductionem ad datas partes magni nominis, ut cen tesimas, llesimas, aut minutiores alias, οἱ quidem quadratas, ut earum latus certum iam constet. Quanto autem minores fuerunt, tanto propius Vero latus invenietur. Sitidem exemplum i 43 reductum ad centesimas quadratas ' 'ἴ nomis natoris latus est ioo: numeratoris autem retis,&supersunt i 34 , sic 'τους i Pestir ἴ vel quod primo etiam modo patebat. Sed in latere numerato/ris praeter iri 6 supersunt 13 4 , quo tantulo modus hic est accuratior priore: reliqua tamen ista negliguntur,quia ne unam quidem centesimam invento la/tera possunt addere, neque enim faciunt unam centesimam. Atque Osiam in minoribus partibus secundus modus praeter reliqua monstrat latus a.
Iiquanto majusdatere per primum modum reperto, ut in 7 latus est per primum odum a i At per secundum modum latus 7 reducti ad quadratas milleis
resis. Nam reductae ad io oo sunt. τ ου Itaque secundus modus in hoc e/xemplo superat primum rati, neglectis etiam reliquis 397s. Ergo haec an
lysis est quadrati latetis e prima ratione quadrati duplici de rectangulo& qua
145쪽
unguli Gratisia. Trianguli cujuscunque geod aesta generalis una est apud Heronem laterum additione, subductione, multiplicatione, de quadrati latetis inventione hoc
p. Si de dimidio collectorum laterum dati trianguli latera sigillatim subducantur latus continue facti ἡ dimidio m reliquis erit area trianguli.
Ut latera triangulia ei collecta sunt 24, dimidium ia, unde subductis latet hvs cs. 8. I ,reliqua sunt s. q. 2:lam fac continue primo 7 a ciet &σ, secundo 288 ε 2 5 4: tertio s76e 283 ec 2. Latus clitinue facti s7s est 24 area trianguli. Geodaesia ista generalis facillima & expeditissima est. li latera integro numero nu meretur, quamvis si caussam requiras aenigmati potius, qua theoremati germana sit. Itaque demonstratio ejus in Heroa ne nulla est. Jordanus Sc Jordano posteriores demostrare conati sunt, sed obscure& per stereo metriam, quam etiam con tinuatio multiplicationi se dimidio&reliquis in ipso theo. remate videtur indicare. Demon strationem itaque hanc re Iecimus in scholas ad finem ultimi libri, si quis requirat. specialis autem geo laesia trianguli rectanguli iam dicta est, sed obliquanguli postea dicetur. Sed generalis longe praestantior: Nam reductione obliquanguli multae fraudes accidunt, ut lepido voto ardanus tantum Cagri optasse videatur quantum pseudographia lita deperiret.
IO. Siba sis trianguliIubtendit obtusum,plus potest cruribus duplici
retitangulo alterius, . ex eo continuationis ad merticis perpendicularem. Iapa.
Comparatio quadrati cum duobus item rectangulis εἰ totidem quadratis est, sed inaequalitatis. ut in triangulo a ei hasis di quadratu majus est, quam qua drata crurumae 5 ei duplici rectanguloar, quod fit ex altero crure ae 5e continuatione eo. Nam per s e quadratum ex diaequatur quadratis ex ao8go i id est tribus quadratis, ex io, o si e a, de duplici dicto rectangulo. At quadrata crurum de ei ae quantur quadratis tribus illis exa e nem/pe suo Sc ex ei duobus, primo io, secundo ex oe per 3 e. Itaque excessus restat duplis rectanguli.
146쪽
93 p. RAM IP. RAMI GEOMETRIAE LIB. VIII.
Blongum est rectangulum inaequilaterum. 3I d I.
ut hic aelo. Haec rectanguli species secunda in elementis ad solam do finitione proprie nominatur ab Eu.ch de. Ratio oblon*oium copiosa este datae rectae tripli/ci sectione rationali interdum se ex plicabili numero, prima sectio est ut/libet, id est in duo segmenta quaelibet aequalia vel inaequalia: unde ratio quadruplex oritur.
a. Oblongum e totainsigmento aequatur rectangulo sigmentorum, praedictirimenti quadrato. 3p a.
COseclariu est e 4 e it. Rectangulu enim segmen toru Ee quadratu sunt ex altero latere de reliqui segmetis.ut recta aesecta sit incia dcte 4,rectanguluia exae σα. i a aequatur rectangulo iugo a et i si es segmentis a i de ἔe,item quadrato a o 4 cpraedicto segmento ah rectangulum autem hic ideo proponitnr, quia potest A quadratum esse, si linea nempe sit bisecta. secundo.
3. Oblonga e tota S sigmentu aequantur e tota quadrato. 28 2.
Hic segmenta duobus plura sunt, A tamen a Ptimo reliqua pro uno sumi pose
147쪽
sunt, cum rectangulum particulare item sit cum illis aequale. Hate propositio adhibetur ad 6 e 13. Tertio.
. Oblonga duo e tota m sigmento cum tertio quadrato reliquis menti aequantur quadratis totius m praedi tisigmenti.78 a.
Ut recta se s A . i seista sit in a i σεciea, oblongado Sciue tota Scsegmeto a sunt 32: quadratum 8. 6 reliquo seg/mento est 3 totumque σ3, t tus autem a e 8 quadratum est σψ,5c praedicti segmenti a est 4, summaque eadem 6s.
Ut in triangulo dei suin matur angulus adi acuatus. Hic per A e oblonga duo ex ei&oi cum qua erato e o aequantur, qua dratis exei 5coi, commune addatur quadratum ex do. Hic quadratum ex ei cum quadratis ex lolcos, id est pers e ra cum quadrato ex is aequatur duo bus oblongis ex e i deo i cum duobus quadratis ex eo Sco a id est per s e ta cum quadrato ex ea. Itaque duo ob Ionga cum quadrato basis aequantur quadratis crurum,uinciturque basis a cruribus duobus oblongis . Atque hinc habetur perpendicularis in triangulo. usque si quadratum basis acuti anguli tollatur e quadratis crurum, reliqui dimidis per crus disso, quotus erit si mentum dividentis a decto ungula ad verticis perpendicularem ut in triangulo acu tangulo a ei sunto latera
II. 2 o. 21. Scaesit basis , cuti, quadratum ejus rarit 1 59 . quadrata cruae
mmai Sc ei addita 84r, e& inde sublato quadra. ιον relinquuntur σ7r, dimidium 3s' quo diviso perar quotus erit in m s mcntum.
148쪽
mentum dividentis cruris ei ab angulo die ad verticis perpendicularem tot res liquum itaque segmentum erit s :Jam de quadrato basis is, tollatur a s quadratum c minoris segmento s, relinquentur a 4 pro quadrato perpendicularis per s e i a. Hic inVenta perpendicularis & latus secium latera sunt rectanguli. cujus dimidium erit area trianguli, ut hic rectangulum ear 8c ir erit aset, clunis dium ins erit area trianguli. Hoc Theon paulo tamen secus in/lib. magnae cύstructionis: sequitur secunda sectio, unde quarta existit ratio.
6. Si rectae I bisecta sic ue oblongum inaequalium sigmentorum cum quadrato intersi menti aequatur quadrato bifigmenti. spa.
4inuata Sc continuatio ne 2 cum quadrato hi segmenti id est as, aequatur quadrato as ex 3 bi segmento 5c continuatioone 2 id est e s : geome/ttica item conclusio hic fuerit, ut prius. Nam asperis ero aequatur ipsi i=5 per Mero Utar complomunto: aequalibus addatur so, Jam oblongum au aequabitur gnomoni nJu. Deni rie aequalibus addatur quadratum hi segmenti. Oblongum continuatae se continuationis cum quadrato hi segmenti aequabitur quadrato compos εhi segmento u continuatione. Atque rationes hae fuerunt oblongi cum rectangulo. Hinc exHit me graphus Heronis mechanici seu mesolabus dictus ab inventione
149쪽
inVentione duarum continue mediarum proportionalium inter duas datas: unde existit problema delia cum quod Apollinem ipsum exercuit. Me gra/phus autem Heronis est infinita regula, quae sistitur cochleato unco per cavum mobili, est Uero ut Pappus ait initio libri tertii mesographus iste architectis a/Ptissimus, multoque promptior Platonis mesographo: me graphi mechaniaca est apud Eutocium secundi de sphaera, sed paulo facilius a nobis ita propo
g. Si duas datas rectas comprehendentes reflangulum, oeni Inite continuatas messe raptas tangens oppositum angulum angulo datarum interseret aequidiuanter ά centro , intersiegmenta erunt media continue proportionalia datis.
ut datas rectas ae Nai comprehendentes rectangulum do& continuatas mesographus u tangens angulum o oppositum angulo datarum intersecet aeque distanter a centro: Centrum quiadem concursus diagoniorum iso Scei ostendet in s: adat quidistantiam autem a centro volvendus est me graisphus, dc adhibendus circinus, Echoc mechanicum nullo principio geometriae certo adhuc inventum est, ut protianus actione prima aequi distantia deprehendatur. Sint i/gitur aequi distantiae pucta u&γ. Dico intersegmenta esse media: utque ae est ad iγ, sic iγ esse ad e v, sic e u acla i. Prismuna esto a centro s perpendicularis sr in latus ae bisecabit latus de per 3 e 1 r. Itaque per e oblongum ex au εἰ ue, cum quadrato re aequatur quadrator Rassumptoque communi rs oblongum cum duobus quadratis er Scrs,id est pers era cum quadratose,aequatur quadratiSru&rs, id est pers era quadrato ιι. Simillimum est de oblongo ex ιγ SIi, ductas I perpendiculari ut prius. Hoce. nim oblongum cum quadratis litast id est perseia cum quadrato is aequa tur quadratis Il&lri,d est per s e in s. Itaque oblonga aequalibus aequalia a quantur inter se,sublatisque utrinque aequalibus aequalium radiorum per scceio quadratis sedi si relinquentur aequalia. Quare per 34 e Io laterum aequalium recitangulorum sunt recipruca, utque uis ad aT,sicIi ad ue.Jam vero ut Oada F, sic per c s e 7 o i,id est per 5 e i oea ad i ,εἰ sic igitur ex concluso dii adue,5 sic per cye ue adeo id est per se Ioadai. Itaque ut euadγi, sic Ita due, Nisieue ad di . Giare intersegmenta eu&i γ sunt continue proportionalia inter
P. RAMI G Eo M E T R I AE L I B. π I I I I. derecta proportionaliter se la Er de reliquis quadrangulis. Adhuc sectio triplex suit, unde aequalitatis rationes quinque fuerunt ratio.
150쪽
ps P. RAMInalis: sequitur de sessione tertia alia sectio in segmenta duo toti proportiona
Iia. Sectio ipsa primum definienda.
I. Reetasecatursecundum mediam oe extremam rationem, quando
fuerit ut tota ad majus segmentum, sic majussigmentum ad minus. 3 d 6.
Hec definitio geometrici generis ista est, per tropum tamen quendam seomonis ratio media Sc extrema dicitur pro medio Se extremo 'proportionis teramino. Secatur enim haec linea sic, u t ipsa cum duobus segmentis faciat tres proportionis terminos, ipsaque tota sit primus terminus, maius segmentum modius, minus sit tertius, id breviter & proprie dicatur secari proportionaliter. Proportioni autem laetionis hujus a Campano iopi mirabilis potentia trishuitur in adscriptionibus ordinatorum solidorum: Cuic ait cum plurima philosophantium admiratione digna conveniant,hoc principium Vel Praecipuum ex superiorum principiarum invariabili procedit natura, ut tam diversa solidatum magnitudine tum basium numero, tum etiam figura irrationali quadam symphonia rationabiliter conciliet. Haec Campanus talioquin laudum orator parcissimus. Eadem sectionis proportio divina appellatura Luca Pactolo in libro hac de re perscripto, Se cujus singulares usus comperientur vel in elemen. tis Euclideis de fabrica quinquanguli , icosa cedri. do decaedii. Atque inde de
caesellium rerum praecipua mysteria a Ptolemaeo repetuntur.
a. Si resilaproportionaliter*L in rationalis datae mensuraesi e ta sunt ad eam m intersi irrationalia. e GyI3.
Euclides appellat utrumque tale segmentum k πιννυ residuum, de certe seg/menta haec aliter explicari non possunt quam per residuum, ut si Ibnea 'redum ponatur hoc modo, rmaius segmentum dicetur linea 7 - - -η pedum unde minus segmentum detractum sit, neque minus segm Etum potest aliter explicati, nisi pars reliqua lineae pedum, unde malus sedimentum sit detractum. Triangulum 5ce triangulatis omnia excepto parallelogrammo rectangulo,irrationalia esse sumuntur in geometria,neque tamen proponuntur, 3e hoc item sumi potuisset. Haec igitur sectionis proportionalis deus nitio est: sectio sequitur e ratione oblongi cum quadrato.
a. Si quadratum fiat e ' data recta, ressitae ab angulo faIli ad medium
contermini lateris disserentia supra dimidium erit majus siginentum d
tae proportionalitersectae. Πp2.
Esto data a si quadratum ex ipsa de io ξe ab angulo e ad u medium conte seni lateris, sit recta e n, Se comparetur dimidio O, differentia supra dimidium Orita , quam dico majus esse segmentum datae de proportionaliter sectae. fiat ex ea qua/