장음표시 사용
151쪽
ed quadratum a s r,& conti nuetur frint. Jam perreis oblongum ex o I 5ea γ cum quadrato exua ςquatur quadrato ex uxid est per constructionem ex ue, de ideo per s era aequatur quadratis ea de au. Tollatur utrinque commune quadratum ex au. Relia quum oblongum It aequabitur quadrato ai, utrinque tollatur communeat, quadratum Iraequabitur oblongori. Itaque tres rectae es,ar,re,per Aera sunt continue proportionales, εἰ recta aestitia est proportio/. naliter. Itaque
si recta proportionaliter secta continuetur malore sigmento, tota secabitur proportionaliter. o malin sigmentum erit data. p 13. Ut in eodem exemplo recta ον continuata est majore segmento,&oblongum ε tota 5c minore segmento aequatur quadrato majoris . Atque ita licet infinite proportionaliter secando rectam augere, itemque contra minuere: minus segamentum rectae proportionaliter sectae est majus segmentum majoris proportionaliter secti&: hinc diminutio fiet in infinitum.
4. .majus mentum continuatum dimidio totiuspotest quintuplum
ejusdem dimidii, oesi recta potest quintuplum Firimenti, reliquum
factum duplum praedictistraturproportionabter,'myus sigmentum
Haec fabrica est proportionalis sectionis. ratio triplex sequitur: prima est maloris segmenti.Recta igiturae secetur proportionali ter in i,majusque segmetum sit id, εἰ secta c6tinueturinio, ut o a sit dimidium sectae: dico quadratum exio quintuplum esse quadrati exao: fiat igitur ex doquadratum a o κγ, item ex io fiat quadratum io sti videmus quadratum v a semel comprehendi in quadrato si. iam doceamus in gnomone reliquo Imn qua ter comprehendi,& describatur quadratum ae j. 8c continueturr i in f, hic quadratum a e quadruplum est per ei et ad illud uadescriptum e dimidio, de ae quatur gnomoni. Nam pars iu aequatur ipsi es, primo per thesim cum disit maius segmentum, unde νγ fit quadratum, quia diagonale alterum etiam quadratum: secundo complementa sγ 5ἰγι per ii e io aequantur, &NS aequatur afNam per ia e io, perque thesim dupla est complementia L Itaque aequatur utrin que.
152쪽
ys P. R A ri rque. Quare gnomo aequatur quadrato quadruplo dicu quadratuli, majus 3 se ementum continuatum dimidio data potest quintuplum. Conversa patet in eodem exemplo . Nam cumio possit quintuplum ipsius co, gnomo traneis rit quadruplus ipsius ua, cujus etiam Per 7 e 12 quadruplum est a v. itaque aera quale gnomoni j aute aequalis ipsis e : Itaque dupla etiam ipsus do id est i, psius dγ , N ideo per i 3eio ii duplum ipsius at, ideoque aequale complementis idi ters, reliquum igitur diagonaleFra quatur rcliquo rectangulo ii Quare per A e ia ut ei idestae est ad I t id est di, sic aiadie. mare perie de secatur proportionaliter,&malus segmentum est aι dictum reliquum. sequitur altera Proprietas quintupli.
1: insinus sigmentum continuatum dimidio majoris potes quinti plum ejusdem dimidii. e 3pI3.
Ut hic recta de secetur in i proportionaliter, εἰ minusTegmentum te conis nuetur usque ad o dimidio majoris di. Dico oe pose a sequintuplum ipsius io. fiat igitur ex linea de quaadratum, S c mpleatur figura, noteturque dimidii. quadratum sv ε gnomorini. Hic primum quadra. tumo γ est quintuplum secundis v. Comprehendit enim semel fic gnomo reliquus rim quater: aequatur enim oblongo in , quia os complementum aequatur ipsi per D e io, εἰ ideo ipsin, cum totum complementumas totis naequetur, My ipsi os aequetur pedfabricam Sc tr e io, additoque utriqua communi in totus gnomo toti oblongo aequatur. At oblongum in aequatur quadratoa I per
thesim&4eia, quod per 7 e ra quadruplum est quadransu. Quare minus segmentum te continuatum io dimidio maloris potest quintuplum ejusdem dimidii. Mquitur ratio tripli.
6. Tota m minussigmentumpossunt triplum majori . e p I3.
Sit recta d e secta proportionaliter in i,5c figura compleatur, oblonga aγ 5c iocum quadrato super A ei I aequantur quadratis exae fcie potentibus triplum ipsius a LNam semel conti/nent quadratum ru, de oblongum utrumque eidem quadrato s u aequatur per thesim N 4 e tr. Itaque ter continent
7. Parallelogrammum obbruangulum es rhombus aut id Moides
153쪽
Nacaenos geometria fuit parallelogrammi rectanguli, superest brevissima
in Euclidis elementis geometria de parallelogrammo obliquangulo, deque rectilineis reliquia, neque omnino prolixa geometria hic requirebatur, quia ex anteccdente tota percipitur, reducendo nempe ad parallelogrammum peracri elo, quod per specias specialibus exemplis intelligetur. Euclides autem sine ulla partitionis luce negligentius exposuerat, Ad a Posidonio ob eam caussam emendatus, ut Proclus indicat: Nos igitur e et methodica lege istam lucem a spernari nequaquam debuimus : parallelogrammum obliquangulum iam definitum est ex opposito parallelogrammi recta n guli: ut patet 2 e ri, ubi omnes obliqui sunt anguli, neque enim potest unus rectus esse in parallelogrammo. quin omnes sint recti, nec unus obliquus, quin omnes etiam sint obliqui. Diachotomia vero opposito genere respondet parallelogrammo rectangulo qua drato εἰ oblongo. Nam quadratum & oblongum in thombum 5 rhombosedes distocantur.
8. Mombines obicruangulum aquilaterum. 3 2 d I.
Unde constat rhombum esse quadratum angulis veluti compressum, quo nomine & platas 5e nentium mulierum in strumentum Min vitreis senostris dissectae 'plumbo lambriae, quia figura hanc prae se ferant, appellantur. Quo Vero compressior rhombus ueri tanto magis duo acuti erunt anguli, duo obtusi, ut hic. Exemplum vero metiendi rhombi in triangula secti sic est, geodaesia enim triangulatorum a itiangulis
9. Rhomboides est obliquangulum istiequitiuerum. 33 d I.
Et rhombola ,-- ides obtreo sie
opponitur, ut rhombus qua drato, sic item quanto maior eoarmatio fuerit, tanto maIorsnaequalitas erit angulorum obtusorum εἰ ac totu, ut hic. γEt rhomboi, des diciturtaqua rhombo simile,ta meisi simile praeter inae. n a qualit
154쪽
roo P. R Arar qualitatem angulorum nihil habet, mensurae exemplum sic esto.
IO. Traperium es quadrilaterum,uonparallelograminum. 3 di.
Supereste quadrangulis traapezium Eucli des postulat hanc fabricam trapezium tan/quam mensu alam vocati: Sesane nominis erus ratio geo metrica nulla est. Exempla fi
rae ita sunto.Eringo triangulata quadrangula eiusmodi sunt.
ii. Multangulum es quod pluribus quam quatuor lineis rectis comprehenditur. 23 d I.
Hoc generali nomine reliqua omnia figurarum deinceps rectilinearum genera Euclides complexus est, ut simi quinquangulum sexangulum ,septangu lum , εἰ deinceps pro numero angulorum innumerabilia. In quolibet autem multanguli genere unum ordinatum esse praediximus, ut quinquangulum oradinatum, sexangulum ordinatum , 5e sic in aliis. De quibus omnibus separ tim quod hic percipi possit, nihil animadverti, nisi unum de quinquangulo, quod adjungemus, reliquis in adscriptionem rejectis.
Ia. Si quinquangulum aequilaterum tribus angula aequatur, es aequia angulum. 7 p I3.
Utinaei ou quinquantulo tres sunt anguli ad a,e, i, aequales dico εἰ reis quos,&reliquos ipsis
Hic triangula ae i dee a uper thesim Perque a be
155쪽
tur cum ab aequa/Iibus aequalia sub/lata sint: aequan tur etiam per th
sim Sc io e foui Notu: quare terni ara quantur, totusque ideo angulus ad uaequatur toti angulo ad i, proindeque aequalibus. Dicoinsuper angulum ad osmiliter aequati , si connectan turo a & o e: ut hic. Nam terni simili deunt
ex hinis aeis i oquantur. Dereliquo ad e idem erit. si connectatur iurat hici toti enim ex binis aequabuntur. Triangulata multangula e sinum trianolis mensuram cupiunt. Di hic, quinae quan pulum
156쪽
rum, e quibus praecipuus est circulus.
I. Circuitis e iplanum rotundumae is d L
ut hic vides rectilineu res desinitur planum .rectis lineis comprehen/sum, Sc ita potuit circu/lus definiri planum peris Pheria comprehensum: sed rotundius est hoc modo ec brevius, ut postea in sphaerico Sc sphaera. De acribedi vero citetulicircinus ideartifex est qui iust periphetic: sed illic motus pacti in extremo radio periphetiam linqantis consideratus est: hic consideratur motus radii totam aream radiantis.Circulus Aristoteli s cap. 3Ehetorici est planum a medio aequale, quod eodem quidem redit, sed di medio aequari commane est etiam sphaerae. Circulus vero est ordinatistimus planorum,ut antea P tui e q.
a. circuli unt utά diametris quadratia par.
Circuli enim sunt plana similia S eorum la/tera homologa diame tri, ut praedictum est ise : ideoque per I e σ, out a diametris quadra ta: quae nempe dupli/cata ratio est homolo gorum laterum r ut hic . .
circulus aei ad circulum. γ,utas ad is quadrata a diametriss & 4. De EO clidea demonstratione propositionis huius erit in labolis it a Di mei risiuat ut peripher .
157쪽
et Geometria circularis ea in lineis aut in sigmentis circuli.
Partitio haec de rebus subjectis utrumque sumitur ad materiam confusiorem aliqua luce separandum.& quidem de lineis, consideratio secantium hic prior est, A primo inscriptarum. . .
. Si recita duobus inperipheriapunctis terminetur, cadet intra circulum. 2p3.
Ut hicae, quia intra eadem pun/cta recta brevior est, qua peripheria per e 2. Hinc sequi sectio, de qua cis ei. Haec igitur propositio docet quomodo recta sit inscriben/da circulo,sumptis nempe duobus in periphetia pundis.
1. Si a termino diametri ex eaque radio aequanti datam rectam periapberiadscribatur,recta a dicto termino inconcursu eripheriarum inscribetur lato circulo aequalis datae recta. I p .
uist data a N ab exu emo e diametri ei& eius paue eoarium te datam a Poriplaetia describatur e rectae uri dicto extremo e ad u concursum petipheriarum inscribetur dato circulo per A e ae qualis datae, quia aequatur ipsi eo perge e S,Lu .st radius peripheriae nusdem. Atque haec propositio docet quomost, recta da ta sit inscribenda circulo aequalis datatilia scriptarum porro coryphcaest diameter: ostendit enim centrum, ostendit rationem omnium inscriptatu.laque diametri circularis inventio primum generisque doceatu L
3. Si inscripta rectae bisecat instriptam, est diameter circuli, ι' que medium est centrum. I p y.
ut sit inscripta a e & insciipta iou recte ipsam bisecans rio. Dico hi secanten esse diametrum& centrum este eius medium, ut in I. Caini, eadem quae 3 erit, quia hi secta est pro latere inscripti rectanguli &subtendit bsectam peripheri qu bus oppositae N inscripta N peripheria perinde bisecaren ur: ideoque recto hisecans est diameter rectanguli. circularis aut .m diametri neclium centrum
158쪽
y non est centrum, sed s, pars aequabitur toti. Nam tri/angulum ac s tri. angulo eos aequiu , laterum erit:aequatur enim a o 8c o e uex thesi, items a Scs e radii, Scso communis est Itaque per i e 7 anguli deinceps ado aequantur,&per se esunt rem. Rectus igitur estso Ccqualis itaque per thesim rectoγoe,pars toti. Quare non est centrum . itemque accidet de reliquis punistis extra γ.Itaque sι Lis recta duas inscriptu recte bibemu, concursus bisecantum erit centrum circuli. ut hic ae&ιo hi seceny o ι reeiasu NI s. Antea V . .
nim patuit ita ac se in Y centrum esse in diai ltro εἰ in concursu ia rmetrorum. Centruo igi , Itur dupliciter in ente tur 5c e medio diimetri, i& e concursu dii mς xx0 - . . .. rum in medio bsectarum: concursu hic nil opus est, plurium diametrorum umnica satis est dumeter. Et ta. Peripheram ducere per tru puncta in rector minime cadentia.
i. Si diameter Uecat adiametrum, rectesecat . contra. 38 3.
159쪽
GEOMETRIAE L . π V. et ossint radii ui&uo. Caussa item est quae sera.
8. Si adiametri intersecantur,segmentasiunt inaequalia. 4p3.
Consectarium est Ei e . Nam - si inscriptae essent hisecitae, essent dia
sim . Sed ratio est in partibus instris Ptaru , proportio in iisdem partibus sequitur.
o. Si duae iscriptae inter sicantur, rectangulum es mentis unius aes quatur rectangulo Es mentis reliquae. 3Jp3.
Si intersectae sint diametri patet proportio, ut in prima figura. Nam rectan
gulum e segmentis unius aequavitur rectangulo c segmentis reli/quae, cum sint ambo quadrata la terum aequalium. Si non sint diametri, su nto adiametri a e ee io: diis co oblongum ex au 5 u e aequari . oblongo ex oulca L Sint enim ra/dii ex dicentro Ie N Ii utrius libet quadrato utrumque aequabitur re. iangulum csegmentis. Nam pers e cadat diameter uin punctum comm uanis sectionisu, suntque perpendiculares Is M .Hic per eri inscriptae secan/tur aequaliter in punctis r&s, Ninaequaliter in punctou. Itaque per σ e r 3 ob longum ex o v& uicum quadrato su aequatur quadrato s i, & addito communi γs, oblongum idem cum quadratis us&33, id est per s e la cum quadrato diu aequatur quadratisis Asy, id est per seia quadrato idi, id est per 3 caeta Fe, cui per eandem caussam patet oblongum alterum cum quadrato Iu aequati. Tollatur utrinque quadratum γu, oblonga igitur aequabuntur eidem, ideo inter se. Atque haec comparatio de partibus inscriptarum. Sequitur ratio intograrum inscriptarum, quam diameter una totam facit.
160쪽
ui patet in proxi/m a figura de lineis aede io, in
Diametri in eodem circulo per i e 4 sunt aequales εἰ a centro aequaIiter dis stant, cuin sint per centrum, Vel potius nihil omnino distant, reliquae instriaptae iudicantur aequales, maiores, minores h diametro vel diametri centro. Euὸ elides la perius illud principii loco postulavit,duo sequentia pridiantis eIemen. ti, ut demon stratu lia proposuit,cum tamen per se clariora fini R evidentiora. Uemonsi i ationem Euclidis de prima parte si quis requirat, haec est, converso tamen modo. Sunto primumae Nio aequaleS, dico aequidi stare a centro. Duca tur enim perpendiculares o&us , ductae bisecabunt datas per 3 eri&γ. Ac si aequabuntur, quia dimidia sunt aequalium. Sunto nunc radii ua&vi eorum quadrata per s e ia, aequantur binis quadratis crurum quae hina,ideo aequariatur,tollantur ab aequalibus quadrata γε& si, relinquentur aequa In Sur, late raque ideo aequa per a c a e ra. Conversa similiter patet. Nam datae perpendicu Iares bisecan t εἰ dimidia ut prius aequalia.
I 2. Inscripta rum inaequa hum diameter est maxima, diametroque
propior major remotiore, remotissma minima, minimaque propior mianor remotiore duaeque utrinqueά diametrosola aequantur. e Isp 3.
Hic partcs quinque sunt, prima diameter est maxima, secunda diametro propior eli maior, ter tra remotissima minima : quarta minimae propior minori quinta, dia .r utrinque aequales,quae omnes patent ex eodem illo aequalitatis argumento, id est centro decrescendi principio, εe crescendi fine. Nam quo ma/xis a centro receditur, aut ad cetrum acceditur, tanto mi Dor aut majore incitur inscripta . Euclidis autem concluso est per triangula de duobus lateribus majoribus rea Iiquo, deque majore angulo. Prima pars sic patet,quia diametera ea quatur ιl Sclo,radus nempe θέ majoribus
per e 6, qua m i o. ia sic deinceps. Secunda pars de pro/Piore patet per g e 7, quia triangulum i lo triangulo uix aequi crurum maius est angulo: Ergo εἱ basi. Tertia quartaque pars csi sectatia prima: Ec secundae sun quinta pa/