장음표시 사용
161쪽
iret persecundam partem. Nam si praeterio &sr statuatur aequalis tertia, erit eadem etiam inaequalis, quia diametro propior 5c remotior.
13. Rectarum ά diametripuncto non centro in peripheriam, Τ per
centrum, ea maxima, propiorque maxima est major remotiore, reliqua maximae minima, minimaeque propior minor remotiore: duaeque uti in quea maxima melminimassae aequantur.78 3.
Prima pars de ae Scat patet. ut antea per I e s. secunda dea i&do,item dea omu per Ae T. Tertia a I est minor quam a n. quia ιν aequalis ipsi su minor est rectissa Sau per e is,&subblato communis e. relinqueturaI minor qua au. Quarta pars e tertia sequitur. Quinta sic ea sto: rraequans ansulum a frangulos tu, hases as de ar aequabuntur per E e 7. His si tertia ponatur aequalis, ut a l. sequeretur Peri e 7 angulum totumlsa Particularivsa aequari , atque equinta parte consectarium est. lla ue& punctum in circulo est te invi trium rectrumn m periphoriam equalia , est centrum cirecidi. sp I
Secus a puncto 'diametri non cen tro non solum duet utrinque aequarentur. Nam per quodlibet punctum diameter agi potest. Tale etiam fuit amtea in quinquan gulo: si tres anguli sun t aequales, omnes sunt aequales. ita in circulo: si tres ab eodem puncto rectae in periphetiam aequantur,omnes aequantur.
I . Rectarum a dato extra punsis in concavumperipheriae, qua per centrum, est maxima , propiorque maximae est major remotiore: in cons exum, sigmentum maximae Hi minima: minimaeque propior minor remotiore, duaeque utrinque ά maxima mel minima hiae aequantur. 88 3.
162쪽
Atque haec de secantibus, Rquitur de tangentibus.
Is . Si recta estperpendicularis extremae diametro, tangi eripheriam
oe contra. e Iop 3. Postulandum hoc fuerat ex ipsa perpendiculi desinitione, quia si magis haec
propenderet, seca/Tet,necesset perpe. edicularis.Euclides tamen ita cogit. Secus emto recta a e Perpendicularis diametro aι,6c re ista ab ocum cetroi cadat intra ad oec connectatur Oi. Hic in triangulo dot duo anguli contras es recti essent ad a per thesim scoper
sae sinian lima antecedenti. Nam sic e tangens non est perpendicularis diametroio u, ducatur fi centro o perpendicularis oe, tum angulus o ei erit reictus, Se oleacutus. Ideoque per Hes olidest OI, major erit, quam OIe, id est Pars,quam totum. itaque r. Si rem ess per centrum π contactum, est perpendicularis tangenti is p 3. ει a. sita perpendicularis tangent en per centrum o cotvactum is p 3. Nam redia vel 1 centro in contactum vela contactu in centrum est pars di metri. Et 3. Pan n
163쪽
GEOMETRI AE L I B. π v. 3. Punctum contactus est, quo ά centro perpendicularis ungenti incidit. q. Tungens ensingularis eadem parte. Conro '
esi ipsa perpendicularis. Id Euclidi est specialius propositum,quod nullia alia
recta inter periphetiam& tangentem cadat tas. Angulus contactus eρὶ minor quovis acuto rectilineo.e is p 2. Angulus con tactus est angulus rectae tangentis εἰ peripheriae, qui vulgo diacitur angulus contingentiae, a Proclo dicitur cornicularis, quia ex recta 5e periphetia instar cornu efficitur: minor igitur quovis acuto rectilineo. Quia si minor non emet, caderet recta inter periphthiam 5c perpendicularem. Postulat autem Euclides in opticis minimum angulum, sed opticum εἰ physi cum, non pso metricum. s. Anguit contuma in equalibus peripheriis sunt aequales. Et sic in catoptiicis i p aequalitas ista sumitur. In periphetiis autem inaequali hus cornicularis minoris est major quam cornicularis majoris.
Issi Sia radio ex datae per heriae centro ad datum extra punctum p r beria describatur, maconcursu datae, radiique radio ipsi perpendicularis in descriptam connetitatur cum dicto centro, resti a dato puncto inconcursum datae m connectentis tanget datam peripheriam. I7 p 3.
Ut radio a e a cera tro a datae peripheriae ad datum punctum e describatur perispheria e o, 5c sic in descriptam radio perpenadicularis io: connexa ad centrum a, ducatur denique e v. Dico ductam eu tangere. Quia Perpendicularis erit extremae diametro. Nattiangula ea u 5eo au per a e 7, cum sint aequi crura Ee crurum communi angulo aequa, ae quantur angulis ad balim. At angulus o id rectus est, rectus igitur angulus eu a. Itaque recta ea per io e 2,est perpendicularis. Atque haec de secantibus 5e tangentibus, sequitur de simul utroque genere.
i7. Si e duabus rectu a ' dato extra puncto primasecat in . concamum, reliqua tangit, oblongum e secante oe exterioresecantis segmento oquatur quadrato tangentis: O si oblongum tale aequatur quadrato relis
164쪽
Ilo p. RAMI Si secans transit per centrum, res expeditior est,m hse a secet, si tangat, C
terius segmentum est so& centrum u.Jam ui erit perpendicularis tangenti per i et se, tum Perpe is, oblongum ex ea Acoacum quadrato ou. id est iu aequatur qua orato au, id est perseia quadratis ai&i v. Commune tu tollatur, aequabitur roe angulum quadrato tangentis. Si secans non transit per centrum: ut in hac figura, centrou Per se reperto, i uper acis e erit perpendicularis tangen ii a i , tum ducan/turua ficuo, 8c perpendiculatis v I bisecaso e per 7 e. Hic per γ e is oblongum ex de ει docum quadrato ον aequatur qua/drato a I . Itaque communi addito Iuidem oblongum cum quadratis o 6 3 u, id est per s e ra cum quadrato ouaequatur quadratis a I fc u γ,
id est per s e la au, id est rur/sus ai& tu. Denique tollan, tur utrinque quadrata at quano deui, relinquetur oblon gum aequale quadrato tano gentis. Conversa similiter demonstratur in hac figura. Esto rectangulum exae&da aequale quadrato ipsius
catur per I cs e tangensa o, item sint a u, ut, uo.
Hie oblongum ex ea sca aequatur quadra ρto ao per ιγ e, de qua drato a i per thesim. Itaque a i lc a o sunt aequa
e est perpendicularis tangenti: Hic trianguinta duo ficaui sunt aequi latera,& per re aequiangulat angulus autem ad ore. eius est, rectus igitur Se i aequalis adipercs es. Quare di est perpendicularis
extremae diametro, Sc per is e tangit. Itaque r. Tangentes ab eodem puncto sum quales. Quia ipsarum quadrata eidem oblongo aequantur. Et
a. Oblongc e qualibet ex eodem puncto secuiue ex setantis exteriore segmenta aequentur ina
165쪽
GEOMETRIAE LIB. TV. 2 lita aequantur eidem . Campanus ad 3σp3. . r s. Datis duabus rectis licet alteri continaure tertiam, ne oblongum extant id π conum auoneaqueinr quadrato reliquo. Vitellio ret pi. ut in prima figura, si prima e datis sileo, secunda in. tertiao a. Superest geometria circularis de periphetiis intersectis S contiguis, de rems ec periphetiis. - .
IS. Siper bertaesunt intersectae mel contigue Junt eccentrica: itaque duobus tantum punctu intersecantur, hae diametros per contatilum cona
tinuant.F. 6.IO.Π.I283. Haec Ο mnia postulari poterat:
nes autem habent ex impossibili non dissiciles. Prima pars patet, quia pars ae
ii, si centrum esset idem ut a. Nam duo radii communi radio do aes quantur, id
aequamur a e dc a i pars toti. Secunda pars ut prima demonstraturi inus pars
tur toti: , ut hic ae quantur iradii mi ripheriae 4elcat: item maioris de&ao. Quare di aequaretur ipssa o pars toti. Si periphetiae sint soris contiguae, res expeditior est,neque demonstrationem E elidis iudicio meruit,ut hic Tertia pars Pa tet e prima: secus interfecta essent concentricae. Nam per s e centro inavento, εἰ per a e se tribus rectis ad tria se
166쪽
I II 2 P. R A n Itria sectionum puncta ductis a centro, radii tres essent aequales. Ut hieoti arta pars eodem modo demonstratur, quia secus pars esset major toto:
ut hic. Esto nam vique per centra a Nerecta seio. Hic trianguli ue a duo i, tera u e N e a per e is sunt majora quam ua, ideoque
quam a D: tollatura e , reliquum u
majus erit quam eo. Atei aequatur ipsi eu. Quare ei majus est quam e o pars toto. Idem erit sitaeius fit extra. Ut hic. Na per P es, ea Ee id majora sunt quam te. At eo&ιιι aequantur ipsis ed&is. Quare eo&iu sunt majores quam ipsa te partes toto. De rectis Se peripheriis simul una ratio est.
is. Si inscript unt aequales, secantper herias aequales: γ contra.
quales inscriptae scperipheriae congruenti
P. RAMI LIB. π v I. G Eo M E T R I AEde circuli segmentis.
I. Segmentum circuli Hi quod comprehenditur extrinsecus a 'per beria, intus a' recta.
Geometria segmentorum communis est etiam sphaerae, sed modo explicatu dissicile est hoc ipsum generale, ec segmentum comprehendi intus potest linea. obliqua
167쪽
GEOMETRIAT LIB. V VI. 1 3 obliqua sive simplici sive multiplici, sed hic usitata sequimur. Itaque dum facilius occurret, utemur Euclide. Primo igitur desinitio generalis praeponitur ad subjectas species facilius distinguendum.
2. Sementum circuli essector auisectio.
Haec utraque species nominatur in Euclide R. definitur speciatim: segmen/tum autem&seistio& sector nomina pene eadem sunt, definitionibus tamen distinguentur.
3. Sector est sigmentum intus comprehensum a recta duplici faciente angulum in centro, qui angulus in centro dicitur: ut per heria diciturba is sectoris. o du
uta ei sector est. Hic sector definitur, & ejus rectilineus an gulus absolute dicitur angulus in centro . Reliquum autem a sectore: ut hic a o te dicitur Arachimedi sector major, qui ta men in duos sectores intellecto radio secari potest, ut postea scicatur in geodalia sectionis.
. ngulus in per beria es angulus conprehensus a duabus rectis instriptis, crisperipheria conterminis. 8 d 3.
Sector in peripheria dici potuit, intusnempe comprehensus a duabus reactis conterminis in perispheria, ut hic ael. At in elementis neque mentioneque usus talis sectoris est, tametsi angulus ipsi/us absolute angulus in peripheria dicitur, ut socioris in centro angulus appellatur angulus in
s. e gulus in centro duplus in anguli inperipheria in eandemperiapheriam isse stentis. 2Op 3.
Varietas exempli hic triplex est Euclidit demonstratio tamen una, ut hic angulus e at in centro, anguli eo i in peripheria duplus pro habitur recta o u secam p te duo
168쪽
utrinque aequi crurct, Aper ro e 6 ad basim aequi angu
la: quorum sigilatatim dupli sunt anguli, eau ipsius eo a εἰ i au iplius io a. Nam cum du/chus interioribus aequalibus aequetur per a c p e s. duplus erit alterius. Itaque totus eat duplus est totius eoi. Secundum exemplum lic est ex angulo in cenatro aei , εἰ in peri phetia do i. Hic cru/xa eo & ei per i 7 eri aequantur, editer
Ici e G anguli adocti, quibuS angua Ius in centro aequatur per a c 9 e G. Iataque duplus alte
mus. Tertium exemplum est ex angulo in centro de lin peripheria dol&sit dia, meter o eu. Hic angulus totus leu per a c s e 6 aequatur interioribus angulis e o iee e i o aequalibus inter se per Io e se Ideoque dupIus est alterius : Item
particulatis a e uaequatur per ac se s angulis eo a de ea o aequalibus ii Einter se per Ioec.
Itaque reliquus a ei est duplus reliquido i in periphetia. itaque Si angulus in periphem Ratur angulo in centro,est duplus basi
c. nguli in centro peripheria e circulorum aequalium unt ut pe
Hic proportio du/plex est cum periphe ria subjectia anguloruin centro fe anguloruin peripheria. Sed de nn tulis in centro satis sit explicari. Sunto primum anguli aequales , in centro
169쪽
per is e is,item aequales. Itaque si anguli sunt inaequales, peripheriat item tan αeo inaequales erunti Idem erit de angulis in periphetia. Conversa item vera est. unde etiam sequitur. ut sector ad Actor , sic anguluι ad Gy. . Atque haec de sed ore.
7. Sectio estsigmentum circuli intus comprehensum ab una recta,quae basisses bonis dicitur.
ut ιν hic, sectoones sunta is, um
8 Sectio absolvitur invento centro.
tri pa tuit G es, resie vides hie a solvendi cir culi modum per e se Is.
ut hic. Ducito rectas do o&oe, triangula habebis .io εἰ ei operae . Itaque baseso a Noe aequales N per x eis aequales peripherias subtensis. Hic Euclides duas periphetias in unam ἐφαρμό- comprehendit,& nos comprehendimus.
IO. e sngulus instentione est angulus comprehensima' duabus rectis co, terminis basi m in peripheria conterminis. 7 d 3.
II. e Muti in eademst Bonesum aequales. 2Ip 3.
170쪽
Sectio sit esuo , se in ea anguli ada 8cu: hi aequatur, quia per s e sunt dismidii ad angulum in centro eIo,vel Nquantur per σ e,qui a m sistunt in ea nadem peripheriam. Hic constat angulos in sectione reipsa elle angulos in peripheria basique tantum diversos.
Ia nguli in oppositissectionibus
aequantur tribus Unius trianguIi eo
i aequantibus du/os rectos per 9 e s. Nam i primum ae/quatur tibi, dein/
quatur duobus reliquis. Nam eήι aequatur ipsi eo i&iaospstoe i per ii e. Ita didioppositi aequantur duobus rectis. Ratio sectionis ita est, similitudo sequitur.
II. Sisectiones capiunt angulos aequales duntsimiles. e io da.
ut hic ael, ou . In udefinienda similituis
dine sectionum circu ZZ I larium adhibet Eucli
des tantum aequalita item duorum angulorum, eX qua proporatio peripheriarum Nhasium consequitur,
ut Pappus ait i 3 th. s lib. Nec definitio magis hic est, quam e definitione gene rati consectarium.Et triangula hic inscripta aequiangula cum sint ex thesi,etiam. per 9 e 7 similia erunt.
i . Sis hones similessunt in aequali basi,sunt aequales. 23. m a p 3.
In prima figura basis eadem esto. Ac si dicantur inaequales sectiones, majora . que altera