장음표시 사용
51쪽
46 p. RAMI Similia sunt illa. Partiatur pater tribus filiis ioo aureos ea conditione,ut quoties primus s capit, toties secundus 6 capiat, εἰ quoties secundus capit Atoties tertius capiat 9: quot aureos singuli capiente Hic duae sunt rationes in minimis terminis 3 ad 6, 7 ad 9, in quibus rationibus proportionales minimi continui sunt 36.42.sq. hoc modo.
AugeaturVero numerus haeredum,& quatuor haeredibus roo ita dividatur, ut quoties primus capit 3 secundus capiat 4,& quoties secundus capit toties tertiuS capiat is. Denique quoties tertius capit 7, toties quartus capiat s: quot nurei singulis cedent hi sunt tres rationes in minimi terminis dissimiles ad 6, Rd σ,7 ad 8,in quibus continui termini sunt io S.Isso. 1ss. 192. adde conis nuOS,totus erit cos: Sc dicito Iossos dantioo:ergo i o
c A P. r . DE AE ATIONE. v Iusmodi igitur est invenuominimorum in datis rationibus: superest aequa/M tio,id est con sinuavo duorum ordinu binis numella proportionalium: It que extremi remotis mediis sunt proportionales,neque continuatio rationum hic expetitur,sed terminorum tantummodo:aequatio est ordinata vel perturbata:aequatio ordinata est aequatio secundum eundem ordinem numerorum. It que primi secundis, secundi tertiis sunt proportionales: ut hic vides in tribus exemplis,quae continuati in unum possunt. 9. 6. 3. s. s. s. s 3. c. s. I 2. s. q. 12. 8. 12l q. s. ia. Hoc genere proportionis plurimae in elementis demonstrationes a Theone conclusae sunt: potes aute in exemplo continuare aequationem proportionibus octo: dicique septem intermistis proportionibuS,u ty ad 9, sic ia ad ir. aequatio turbata est quando suetit ut primi ordinis primus ad secundum, sic secundi se cundus ad tertium: utque primi secundus ad tertium,sic secundi primus ad si cundum: ut vides in tribus exemplis separatis non continuis. v. s. o. l 9. s. p. l 32. 1ς s
52쪽
Nicetiimur ad 3, sic is ad is item ut 3 ad 6,sica adis, S similiter inve so ordinem reliquis exemplis. Difficile autem sit innumeris integris terminos proportionis inVe se aequatos continuare: continuari tamen possunt ordine non solum invetib,sed in contrarias partes tendente: ut hic vides
C 3. 2. 1. 3. 4. 3. r. 2.ra. 24. s. s. 24. q.
Hoc proportionis genus minus usitatum est, ea tamen Archimedes utitur Atheoremate a.de Sphaera, & 9.Theor. 2.Isorro. c AP. π V. DE cONTINu AE proportionis proprielate. - Roportio disiuncta generatim descripta est,iam tepus est de continua dicen/P di quando quae ratio est primi termini ad secundum, eadem est secundi acitertium: ut in a. q. 8. De proportione continua &simplici in tribus terminis vel multiplici ii longius continuis similia sere praecipiuntur ijs quae praecepta sunt in proportione disiuncta. Proprietas primo duplex deducitur e duplici proprietate disiunoee proportionis. Si tres numeri sunt c6tinue proportionales, maXi mus 5c minimus majores sunt medio mi in a. q. s. io superant A neque tam e cd vertitur ma is quam antea. Secunda autem proprietas est reciproca. Nam io tactus 1 4 medio est aequalis ipsi i s facto 1 2 dc 3 extremis,& vicissim,cum squali insista sit tres numeri sunt proportionales. Hic enim medius est pro duobus. Dianiae Quod aurea regula docuit de quatuor disjunctis, id nunc continua proaportio assumit in tribus csi renuis. Hinc etiam patet invenuo proportionalis lν medii sive extremi. Nasi factum a duobus tertius per se diviserit, erit medius proportionalis, ut 4 pa 4 dividit i 6 facium 1 2 8c 8,fc medius est proportiona lis inter a 5 S.Item, Si primus diviserit factum a secundo, quotus tritillo tertius proportionalis, ut in eodem exemplo datis a Sc Α, primus a dividat I a secundo.quotus 3 erit tertius illis continue proportionali S.Itaq; rcgula me
aurea etiam est sed in tribus numeris, quae ante fuerat in quatuor, hinc Varia leuouuntur: primo. Si duo numeri habeant tertium proportionalem,erun t compositi inter se,ut in eodem exemplo Σ 5c 4. Ideom si primi sint inter se, no habebuproportionalem tertium: ut in a. 3. Nam si s tactum a s druidas per et, quotus xii 4 l,qui numerus non est integer.c AP. π VI. DE INVENTIONE continue proportionalium. -- Meproprietas est proportionis continuae 5 simplicis ad inventionem tera H h proportionalis. Sed proportio continua quotlibet terminis continuari
53쪽
66 P. R A M tpotest tumque ratio primi ad secudum duplicatur in tertio, triplicatur in qua
to, Sc lic deinceps uno minus: ut in i . 2. ratio a ad 4 est ratio lada duplisecata in a. a. q. s. ratio ι ad 3 est ratio 1 ad 2 triplicata, ratio nempe extremorum colligitur ex omnibus intermediis, ut antea patuit. In hacprogressione plui imaspeetari possiunt ut si primus dividat secundum dividet con sequentes omnes,si diva dat ultimum dividet secundum,sed praecipue spectatur inventio termin ruiti vel sumina In Velio terminorum multiploru facilis est multiplicando uti nium per nomen rationis, non item in reliquis generibus: theorema tamen in/ventionis huius commune est, edatis duobus cujuscunque rationis lic est. Si duo datae rationis numeri multiplicentur uteri per utrumque, fient tres coni nue proportionales datis tum si facti multiplicentur per datum antecedentem, denuoque ultimus per datum consequentem, quatuor fient continuo propo tionales datis,ec sic deinceps invenietur quotlibet in data ration ut hic vides.
Hor exemplum suit rationis superparia cularis, via eadem erit in reliquisse neribus Hinc etiam sequitur inventio minimorum, si nempe dati sint minimi. Extremi enim erunt primi,quia iacti , primis inter se, vel 1 primis per primos ats continue proportionales sint, erit remorum inter se primorum erunt minimu&contra, ut in eodem exemplo patet. Itaque si continuatio sit extremorum inter se, primorum erit maxima. Ex hac inventione duplex inventio alia sequitur,prima. Si duo numera habuerint continue medios proportionales datis habebul: medios totidem, ut in eodem exemplo. Secunda. Quot contantie medios habet primi in ter se, totidem habeant ad unitatem. Et quot medios habent duo n meri. 8c unitas, dati totidcm habent: ut in eodem exemplo si proponatur uniatas, ut hic Vid . χ
Ex noc autem consectario secundo sequitur inventio cuiuic cli optati ter mini e multiplicibus. Si termini progressionis arithmeticae ab unitate,terminis geometricae progressionis a datae rationis primo multitudinis numero respondeant, facius a duobus geometricis, erit progressionis suae terminus uno maior quam est simul uteri arithmeticorum multiplicatis respondentium, ut in hac Progre Sione dupla.
54쪽
Ita et si quaerax terminum progressionis octavum, adda aesthmeticos terna senos constituentes septimum, ut 3 5c η, εἰ multiplica geometricos iis responde tes s de is. iacies Ias octavum terminum progressionis. Sic ciit in hac progres sone tripla.
constituentibus nonum, facies r9683 decimum terminum. I sc termini optati est inventio. Observata vero est haec inventio in hac multiplici continuatione ex arithmetica locorum progressione,ut regula instituit, quia primus multitudinis numerus multiplicans secundum facit tertium, hoc in primo loco singu/lare ius est, secundus multiplicans tertium facit non iam quartum, sed uno plus id est quintum, tertius multiplicans quartum facit, non quintum, sed plus duobus, id est septii nym,de sic deinceps. Causin vero est tam disparis accretionis proportionalium proprietas,quia quot inter unitatem 5 secundum e duobus multiplicatis, intercedunt continue medii, tot inter secundum e multiplicatis Zeb ptatum intercedunt. Omnis enim progressio multiplicium est ab unitate quia numerus multitudinis quilibet est multiplex ad unitatem. Ideoque inventio Optati est in solis multiplicibus, quorum nempe primus terminus possit esse unitas in reliquis rationum geri eribus non est,in quibus neque unitas potest esse primus terminus, neque ideo progressio potest infinite ab unitate perpetuari.c A P. XVII. DE INUENIENDA furim progregionis geometricae.. Tque haec de inventione continuorum, summa sequitu KSi tollatur primus a secundo Se ultimo .erit ut reliquus secundi ad primum, sic reliquus ut timi ad ultimum prs cedentes omnes. Ideoque, si quartus qui sic erit ad reliquum ultimi, ut reliquus secundi ad primum addatur ultimo totus, erit summa,ut hic vide;
55쪽
sdeoq; triplus: proportionales igitur erunt s. a. so. io. Iam denique io addatur 3 2, totus 42 erit summa Progressionis. Fac periculum in majore progressione, thic uides.
a caTollatur 1 1 4 & σε. manent et M sa: ut m et est ad a, sic/r ad praecedentes,sed eo 3 aequalis est illis, proportionale so ita sunt a. a. 62.62.Qsaapropter Ga addantur sq,totuS 326 erit progressionas summa. Agricola promisit filio suo pro xeniis primo anni die in triginta continuos dies modios tritici primo r,secundo et, tertio Α, mic deinceps duplicando: tu ritur tricesimo die quot modii suturi sint. Quaeratur tricesimus terminus, id est ultimus progressionis hujus,ut antea demonstratum est: primo sextus 54 per sese faciet 4o G pro duodecimo termino: ut hic rursus ex sese faciet is ris pro vicesimo quarto termino, quem multiplica per 3 et quintum terminum, s cas pro vicesimo nono termino s36SIosia, qui tricesimus erit, si unitas pro primo numeretur.Tollatur igitur unitas, secundo dc ultimo,exuperantia secundi erit aequalis primo. Ita inventus ultimus uno dempto erit aequalis omni b. antecedentibus. Addatur uterci:,summa tota erit io 7374is 23.Regula plura paderandi paucis ponderibus deducitur c geometrica progressione, quae libri pe/di singularem commoditatem suppeditat: ideoq; ad extremum addenda visa est, ut in proXimo exemplo. Librae terminis duplae ec triplae continuauonis comprehenss, totidem cognominibus ponderibus appenduntur. Id vero fit nunc additione ponderis adp5dus, nunc subductione 5c ad oppositam lancem additione. Sic libratusque ad appenduntur tribus ponderibus, quorum primum unius librae, secundum hi narium, id est duarum librarum, tertium quaternarium , quia progressionis r. a. 4. termini tantum comprehendunt: sic librae usque ad is appenduntur 4 ponderibus hac progressione significatis i. a. q. S. Sic librae si ponderibus hujus ratinuationis I. a. q. s. I s. Sic in tripla ratione,libraeus 3 ad 4o, appenduntur ponderimus hac progressione significatis 1. 3. 9. 27.Sic librae usq; ad iri appendun/tur his ponderibus i. 3. 9. 27. 81.mic deinceps bbG terminis triplae progressio. nis camprehensae,totidem cognominibus ponderibus appendentur.
56쪽
mmetria est ars bene metiendi.
Finis geometriae est bene metiri ,ideoque suo
fine definitur: Bene metiri igitur est cujusque rei mensurabilis naturam atque affectionem considerare, res mensurabiles comparare inter se, ratiaonem Q&proportione atque similitudinem peraspicere: id enim totum est bene metiri, sive cc gru entia Napplicatione datae mensurat,sive multipliacatione terminorum, sive facti per multiplicatio/nem partitione, sive quacun alia ratione res mDirabilis affectio consideretur. Atque hic finis ge/ ometriae usu atque opere geometrico multo splendidior apparebit, quam praeceptis, cum animadvertes astronomos, geographos, geOdetaS, nauta mechanicos, architectos , Pleiores, statuarios in descriptione & dimensione strorum, regionum, fundorum, machinarum, aequorum, aedificiorum, ta hularum, signorum nihil aliud quam geomettia uti: sicuri grammatica, rhea torica , Iogica plenius & abundantius percipiuntur ex usu poetarum . ora torum, philosophorum, quam e dictatis grammaticorum, rhetorum, logiae eorum : denique ut in grammaticis rebushene loqui,in rhetoricis benedicere. in logicis bene ratiocinari,in arithmeticis bene numerare, sic in geometricis bene metiti sit finis summus atque ultimus: quo referantur& pertineant omnia, quae totis geometricis elementis instituantu Mensura vero in quolibet mensurabili genere est quippiam minimum, ut Aristoteles annuit A cap. 2 de caelo.&Proesus in Timaeum repetit, &vulgo a geometris famosa mensura dicitur, ut in metiendis palmis, pedibus, passibus, unus palmus,unus pes,unus passus. Sed enim Protagorae antiquu dictu est, in Aristotelis philosophia homine esse ἀπ- retarae in. ματων Θυν omnium rerum mensuram, quod etsi alio quoadam sensu usurpatura Protagora, attamen libenter audio homine natura geaometricum esse: & Uitruvius Heroque mechanicus docent mensuras rerum ex humanis membris acceptas esse, digito, palmo, pede, cubitoDigitus est 4 granorum hordeaceorum, ut granum hordei minima mensura sis,palmus digi/corum, pes quatuor Palmorum. ut sequitur.
57쪽
P. RAM rCubitus a radice ad extremum Ibngissimum digitum est serius.
PeS. Ex iis mensuras oritur itineris in ensura pallas, stadium milliarau. Passus geometricus est s pedum, stadium ias passuum:& Grincorum est: milliarium mille passuum.& est Latinorum: ideoq; mille & millia pro milliario & milliariis sumuntur. . Franci re Hispani Leucam 2 ocio passuum nominant. de caeteris generibus mensurae plura in scholis. Quare geometria hunc in modum desinita sit arshene metiendi. Nomen autem re nominata levius est. Geometria enim dicitur tanquam terrae tantum dimetiendae ars quaedam sit, quod nome videtur in Aegypto primum laetum esse: ubi ad terminos agrorym Nili inundationibus obrutos restitu edum primum geometria adhibita sit. Itaque authori Epino mi dis geometriae . νή-γιλο- nomen ridiculta dicitur,quod nempe a terra mundani globi centro factu sit, cum geometria sit ars metiendi non solum
terram, sed aquam, sed aerem, totumque mundum, in eoque cor Pora, superficies, lineas, omniaque omnino mensurabilia: Neque vero Plato cum dixit πνει ἀειγαμ oris, deum semper tanquam diceres, terometiti, intellexit te iras tantum metientem deum, sed ia/tione, proportione,similitudine omnes mundi partes exornatem Ec dimetientem: ut Plutarchus octavo Symposiacon secundo pro hiemate interpretatur. Quare geometriae nomen origine nimis angustum est: usu tamen tandem est ampliatum latius, adeo ut c6m se & arithmeticam de numero, & metticam ipsam de magnitudine vulgo complectatur:& sic Quintilianus ait litar. p. lo. geometriam dividi in numeros atque aer mas, Se Euclides, quamvis in totis elementis verbum ipsum geometria nusquam legatur, attame . ire ipsa si elementa hoc nomine complecti voluit, & si titulus elemetorum ominis hujus fuit, arithmeticam etiam & metricam geome
triae nomine coplexus est. Et academiae epigramma tiroi Hrπι meoimae, non solum geometriae, sed totam mathema tu ignoram. iam aversabanar. Itaque geometriae nomen tandem latius amplisatum est Platon1 in Philebo & politico, & 7. de repub. significantiore verbo A magis proprio dicitur haec ipsa ars: sed quonia nominum magisterest usus,geometriae nome teneatur modo sua vi & facultate propria definitum. Singula autem elemeta deinceps numero distinguentur,&postea pere literani elementum signa ficabitur.
a. Res ad bene metieudampropo sita edi magnitudo.
Subiectu geometriae est magnitudo. Est enim singulis artibus certu & propria
quod da propositu penus ad interpretadu & suis praeceptis informadu, eoque praecipue inter se differunt, praecipueque sunt c5tinendae.ldenim Iogica lex smM imprimis praescribit. Sic grammaticae sermo, rhetoricς oratio, logicae ratio, arIthmeticae numerus, ita nunc geometriae magnitudo declaranda, S
58쪽
s GEOMETRIAE L I B. r. mnibus generibus, dirrentiis, assectionibus explicanda proponitur.
Haec definitio est ex Armotelis ea tegoriis: numerus est quantitas discreta,uthinarius, ternarius, quammarius,constatnt ex unitatibus, duabus,tribu S,quaa tuor: hae partes sunt disci etaeta separatae : at meae, supersi iei, corporis partes absque ulla secretione continentur,ut mox plenius intelligetur. Itaque magni/tudo est, qua mensurabile quodlibetmagnum dicitur: ut linea longum, super scie latum, corpore solidum.
Haec item e categoriis Aristotes is definitio est, sensus reconditioris planeque geometrici: fc praecipue dependete communi termino: paries vero quae di catur hic nihil in toto sunt,nili patentia: ut vere Aristoteles admonet I. cap. s. Phys Neque tota magnitudo cogitari posset,nisi partibus suis compaeta, quas tamen licet omnibus locis assiumere contentas communi termino, qui Aristo/teli est vim , erit, Euclidi κυν. et u communis sectio, ut in linea punictum, in s perficie linea, in corpore supersicies.
Terminus hic appellatur sive a ictu terminet, ut in magnitudinis principio Aesne,sive potentia,ut cum est communis terminus continui, neque terminus est pars terminatae magnitudinis aliud enim in terminans,aliud terminatum.Terminus enim uno intervallo interior est terminato: punctum lines terminus est. εἰ minor est uno intervallo, quia est individuum: linea est terminus superficiei. εἰ minor item intervallo,quia sola est longina do superficies est terminus corporis, Se minor item intervallo, quia est longitudo tantum K latitudo. Et sic Aristoteli in categoriis terminus lineae, supertici ei, corporis accipitur punctum, ti/nea, superficies. Terminata Vero S finita omnis magnitudo est actu, geometraque ait Aristoteles s. cap. 3. Phys infinita lineam non aliter postulat, quam quanta satis sit,ia sic ait idem 1 o. cap. i. de caelo, postulantur discis plinae causi a. itHμο ,
Uagnitudo in sinite m creatur, oe continetur,osecatur iisdem
Linea, superficies, corpus creantur motu puncti, lineae, superficiei: item continentur Sc secantur puncto, linea, supersicie: at linea puncto, superficies linea, corpus superficie terminatur: ut per singula genera percipietur. De sectio e Proclus generatim etiam monuit ante i p i. Quod omnia dividuntur iisdem,quitaterminantur: quod Sc continui definitione intelligitur. Nam si commune vin/culum ad continendum de copulandum partes lineae, superficiei, corporis est punctum,linea, supersicies, necessie est sectionem comunibus illis vinculis fieri, 5 dissiolvi, quodc6tinebat Scopulabat Infinita vero magnitudinis sectio plu/rimis in Euclide locis de quibus in scholis postulatur: unde Sc geometrica pia a 2 ει
59쪽
mr 5c abstraetio perspicue agnoscitur. Magnitudo enim in geometricis rebus. non physica, sed abstracta a physico corpore animo concipitur. - tamecommunis omnium artium non geometriae propria est: abstractiva enim pera
inde est ut Aristoteles author est 3 cap. is lib. philosophiae astrologia, harmonica, Optica, Physica, Medicina, ec omnino quaelibet disciplina: quae gener
lia tantum documenta interpretatur, C logica nempe lege irae παν r. Et quide calor de rubor, qui maxime sentiuntur, si propria doctitana doceantur, separatia taeteris qualitatibus Rabstracii, imo acarteris heterogeneis rebus cogitentur necesse est, solaque mente percipiantur,.nec tamen talis in rerum natui a calor, neque talis color separatus de abstractus ullus est. Attamen quamvis magnitudines, corpora, superficieS, lineae, puncta mente sic abstrahantur a qualitatibus
physicis Se sensilibus a lucido, umbroso, raro, denso, levi, graui, calido, frigido, humido, sicco, revera tamen esse in iis ipsis physcis corporibus Aristoteles sipe dc solicite confirmat, ut in physicis i. cap. lib. 2:s & scap3. lib. de caelo: in me the physicis praecipue 3 cap. i 3 lib. ubi nominatim ait rationes R demonstrauisones esse de magnitudinibus sensilibus: non tamen quatenus sunt sensiles, sed prout tales sunt. Et sicut Vitellio ad 3 p 2. Verissime ait. Omnis linea, qua pera venit luxa corpore luminoso ad corpus oppositum, ea linea naturalis sensilis, latitudinem quandam habens, in qua est linea mathematica per speciem ima/pinationis assume da.Denique magnitudinis geometricae intelligencia est mentis, magnitudo tamen ipsa, linea, superficies, corpus est revera in sensili de physico corpore. Haec logica de mathematis Aristotelea est. Quare magnitudines licet mete separet,revera tame sunt illς ipsc magnitudines,quib. corpora physica corpora sunt, id est longa, lata, lida, atque omnino locum occupantia. Qua re geometrice 5 phisice iudicavit Aristoticu docuit magnitudines revera phy/sicas esse, sed abstractas a caeteris physicis qualitatibus a geometres mente con siderari: εἰ contra geometricas magnitudines physicis qualitatibus permistas
a phyllcis sensu in corpore sensili tractati. Sic Aristoteles a cap 2.phys Lineam eo metricam ab Optica distinguit. Geometria inqpio considerat lineam physicam, at non quatenus physica est: Optica autem considerat lineam geometricam quidem, non autem quatenus geometrica est: sed quatenus physica. Sic tigitur Aristoteles de abstracitione mathematum philosophatur. Neque vero in hac logica abstractione c quae constituendae doctrinae causa instituitur) geometra mentitur, sed crassis symbolis, & notis, Sc exemplis punctorum, linearum. superficieris,corporu abutitur ad res notis illis significatas explicadu: q, Aristoles monuit in prioribus i liti 39 cap. scin posterioribus i lib 8 cap. 5c in physicis a cap a. lib.5 in pli: losophia 3 cap is lib. Sca ci l.Denim tota seraei egeometrica est logica, quae cd siderat genera generaliter, Sc sola me te cJcipit, generis tamen essentia εἰ vetitate docet in singulatibus consistere. ε si quid omni no logicis legibus contra riu geometria profiteretur, id in γαμ planeque absur. dum iudicarem. Quare cu magnitudo geometrica sit in infinitum dividua, Hreue neque physicas magnitudines tollit, neque interea quidquam mentituta
οὐ Punctum est simum in magnitudine individuum
60쪽
Euclides i. d. r. id ipsum comprehendi cum ait, signum esse cuius nulla pars sit. Neque tamen absolute σκι citis signum ut Euclides appellamus, sed pun/ctum dicimus, quia Platoni Se Aristoteli mi punctum est pro eodem hic proaprium. Punctum vero ut definitur, physicum εἰ sensu perceptibile nullum est, quia sensus tantum corpus sentit ξc si quid sensu minimum sit, punctum physi/cum dicitur. Quare punictum quidem nulla est magnitudo, neque id ipsum est, quod creta pingitur, pictumque oculis cernitur, sed quod in magnitudine in . dividuum cJcipituro cogitatur. Ac quamvis sit magnitudinis expers, magni tudinis tamen omnis est principium Aprincipium potentia: fluxu siquidem motuque puncti linea deinde exoritur,ex qua superficies, unde corpus. Itaque Aristo t. i 4 cap i. Top. punctu ait esse ide in linea, quod unitas est innumero: utrumque enim principium: unitate enim principium numeri aiunt effecte puctum linear. Proinde & Pythagoreis cui est apud Proclum punctum definitur unitas habens situm.
7. Magnitudines ommetraesunt, quas eadem mensura metitur,
Magnitudinum inter se est a numeris symmetria Ac ratio: a seipsis autem congruentia Sc adscriptio, sed mensura magnitudinis tantum est flati, Scarbitrio geometrae statuetis digltu, palmu pede, aut aliud quodlibet pro me sura. Ergo duae magnitudines, itera pedalis,altera bipedalis sunt symmetrae, quia magnitudo pedis unius utranam metitur, primam semel, secundam his. At quaedam magnitudines mensuram communem non habent, ut diagonius quadrati relatus ad ii G p i o. actu asymmetra sunt,quae AristoteIi propositio est in ore perapetua. Diagonius tame Sc latus potentia symmetra sunt, per sua nempe quadrata, quia quadratum diagonii duplum est ad quadratum lateris.
8. stationales sunt quarum ratio es explicabilis numero datae mens
surae, irrationales coni .e s d IO.
Data mensura Euclidi dicitur ετο id est dicta, definita, certa, quae nempe nu mero expressa sit, famosa nempe quae prius dicta est, Velut signum propolitum
confessumque ut ait author de lineis individuis aqua mentara capitur ut ait Theon ad ii p io. Atqui haec mensura rationalis et sibi ipsi, u i sunt omnes magnitudines inter se aequales : Ideo Vulgo rationalis dicitur, sed ratione obscatiore, cum reipsa terminus rationis unicus appareat: manifestiore autem ratione magnitudines rationales dicuntur, quae symmetrae sunt ad datam in eiuram, sicut ait ideauthor de lineis indix id uis, lineas rationales vel irrationales rede θ interse dici: quod nusquam tamen Euclides satis aperte proposuit. Sic Marinus in protheoria datorum ait νυν esse, quod secundum aliquem nume/rum cognoscimus, M secundum aliquam positione mensuram, ut secundum palmum verbi gratia vel digitum: sic apud Pachymerium definitur κτε per numerum nota. Sic in musicis Ptolem aeus ecfinit rationale, cujus mensura accurati iis nota sit. Irrationales igitur magnitudines csstra intelligantur, ut latus laλ 3. teris que