장음표시 사용
101쪽
Ia C, sicuticis. 3. m. 8. & in Tertio Theoremate Hugenii demonstrando cap. 4. auran. s. ostendimus, in Logistica spatium duabus ordinatis interjectum esse ad infinite longum post minorem ipsarum protensum, uti est differentia Ularum ordinatarum ad minorem ex ipsiis , & veluti in primo Hugenii Theoremate cap. 3. demonstrato, spatia Logisticae ordinatis con- cIura erant,ut extremarum ordinatarum differentiae, ita in Spirali geometrica spatia quaelibet Ac a, aca erunt inter se, ut differentiae quadratorum ab extremis radiis dicta spatia com- Irehendentibus, sive ut circulares armillae FAI, Lai illis ad-criptae. a a Trilineis verb a I A. sive ad invicem, sive eum residuis a A F. aut eum Eonis F Al a comparandis inserviet generale
hoc Theorema. Si quaevis figura L H C, axe A L in punctum A contracto, illique parallela KC in areum CG aeduabili.
ter curvata, transeat In Spiralem C EA, ordinatis HM,hm in totidem eius ramos, seu radios A E , Ae abeuntibus , &per angulum E A e divaricatis, cujus mensura sit arcus Dd aequalis intervallo ordinatarum, nempe ipsi Mm, vel Νn. Dico Spirale spatium C EA fore ad circumscriptum sectore UGA, uti est conoides ex figura L HC circa axem L A ad circumscriptum cylindrum ex parallelogramori Κ circa eumdem axem revoluto. Ducto pariter quovis arcu ΕΒ, aliisque lineas coordinatas, ut in figura, trilineum a C E fore ad cir-
102쪽
cum scriptam zonam B C D Ε, uti est annulas ex H C B eirea
axem revoluto ad tubam cylindricum ex circumscripto paraulelogrammo HNC B circa eumdem axem, ac dividendoariis
linoiam BEC ad CBD esse, ut sunt annuli ex ipsis H BC, H CN circa axem revolutis ; quodlibet etiam trilinin B EC ad aliud be C, aut CED ad aliud Ce d esse, ut sunt annuli ex ipsis B H C, b h C, aut ex H C N, h C n circa ipsum axem;
portiones quoque B Eeb, sive ad aliam beeb, sive ad trilineum quodvis B C E esse.ut respective inter se sunt annuli exH B b h , h b b h. aut H B C circa ipsum met axem L A. Longior est propositio, quam demonstratio. Arcus enim DE aa BF est . ut CD ad C G. scilicet ex constructione, ut CN ad C Κ, vel BH ad Bl , nempe ut cylindrica super sic es,
quae in conoide ex linea B H, ad cylindricam supernciem, qu nin cylindro per lineam BI circa axem revoluta producitur ἔ&hoc semper, sive lineas majuseulis litteris, sive minui I snotatas inter se compares; sunt autem tum arcus BF, insie-hore concentrici, tum cylindricae omnes superficies ex ni, eoneentricae in cylindro, proportionales , quippe in eadem ratione distantiarum a centro A, vel axe AL; ergo eX Lemmate 29. Torri cellii dedimensione parabolae , omnes arcus concentrici in Actore ad omnes concentrieos in spatio Spirata erunt, ut sunt omnes superficies cylindricae in eylindro ad Omnes cylindricas superficies in conoide; unde & dividendo, di
103쪽
proportionales partes comparando, habebitur veritas ineo. rematis propoliti.
i 3 Quandoquidem ob aequalitatem arcus CG cum axe figurae L A, ducta subtenta L C, erit triangulum L AC aequale laetori C G A, atque adeo erit ad Spirale spatium in eadem
ratione , in qua ulindrus conoidi circumscriptus ad ipsam cono idem , hinc figura quaelibet evoluta ad convolutam rationem habebit compolitam ex ratione sui ad triagulum aeque alium in eadem basi, & ex ratione circumscripti cylindri ad , noloena ex ejus revolutione circa axem genitam. Cum Spiralis Archimedea, ob aequabilitatem motuum, quibus com-dnitur, habeat radios ptoportionales ordinatis in triangulo ali parallelis, indeque fiat convolutione trianguli axem ha-hcntis parem arcui sectoris circumscripti, fit inde, spatium spi. rate trientem esse circumscripti seeloris. quemadmodum conus ex triangulo triens est circumscripta cylindri ; Sc cum secunda Spiralis quadratica fiat convolutione parabolae , cujus ad inscriptum triangulum ratio est sesquitertia, cylindri verbeircumscribentis conoidem is ypia genitam ratio est dupla,
ideo spirale spatium quadraticum erat semistis circumscripti sectoras, habebit verb parabola, ex qua gignitur, ad se ipsam
in tale lpatium convolutam,rationem compositam ex sesquitertia, & dupla, id est quam θ ad 3. & sic deinceps applicationem prosequere mi Lector. i4 Ego ad Spiralem Geometricam revertor, inqua, utpote ex convolutione Logisticae genita, jam scies Tralinea, inatio
IImr ra. recensita,eam Inter se rationem habitura, quam annuli ex corret pondentibus Logillicae eortionibus ital mearibus circa axem revolutis, sive inter se, sive cuin tubis cylindricis illos circumscribe tu hus comparatis, ubi geometricie Spiralis trilinea cum Zonis circularibus illa includentibus conserantur; quomodo autem illi annuli ex Lo3isticae portionibus geniti notam habent quantitatem , nonnisi perspecta solidorum, quae ex Logillica circa axem revoluta producuntur , mentura , ostendi potest ; de qua ro in nono Theoremate cum Hugenio, agendum erit, ideoque ex dicendis cap. 9. Nurn. O.
104쪽
Septimum Theorema pridem ostensum , ut nova demst Kratione fulciatur, ostenditur, spatio a qualibet cumva conlevio quo ad totum , ct quo ad partes aequale spatium ex subtangentibus ad carva puncta applicatis , vel ad respectiva puncta basis : item ducta per quodvis panctum tavgentibus parallela,occurrente str. dinatis , puncta intersectionum esse in curaea, qua cum
priori comprehendet Jatium primae figurae duplum, ade ue cum ejus basi s nisi hanc nova curva hecet, a congruo loco punctum acceptum sit J Jatium primo
aequale. Eadem opera duae ejusmodi curvae describuntur. Eadem doctrina conversim accepta inventioni tangentium deservirepaterit. Dimentio figura pervormam , ct perpendiculam descriptae ; Spatii C cloidis , obiter ejus tangente determinata , dimensio, variorumque segmentorum proportio. Segmema ejusdem Pariabilia. Cissei sis omit, ejusque segmentorum mensura. Spatium a Tractoria , ct ejus axe ivterceptum aequale quadranti radio suae tangentis δε- scripto . Insinitarum parabolarum , Θρeνbolarum quoque infinitarum specierum, spiralium item cujusvis generis , etiam Geometricae dimensio expeditur. Septimi Theorematis Hugeniani demonstratio ex haedoctrina eruitur. Octavum quoque Theorema pridem ostensum hinc novam demonstrationem assumit. I Ad
105쪽
Theorem. Hi Pen. cap. VIII. 83
a A D septimum Theorema gradum facimus. Illud Huge. nius his verbis proponit: Spatium infinitum inter o dinatam. Logisticam, aismproton, qua parte M ad invicem accedum, duplum es trianguli comprehensiordinata, tangente ad idem ordi vata punctum, ubi angente. Sis in eadem Agur rium infinitum post ordinatam B F duplum es trianguli BFO.
Quod quidem ex dictis cap num. 6. evidenter deducitur, re elangulum enim subtangentis, leu parametri FO in ordinatam BF, quod loco citato ostentum est lpatio infinito post B F exporrecto aequale , utique duplum est trianguli BFOejusdem basis, & altitudiais; sed aliam nihilominus demonstrationem adjiciemus ad pleniorem scientiam, & methodi v rietatem , aliis detegendis veritatibus inservientem, uti ex his, ruae speciminum loco subjungemus , prudens Lector agnocet; Vix certe figura ulla notae hactenus descriptionis est, cujus dimensio ex fonte jam aperiendo non elegantissimi pro manet: imo & infinitorum solidorum mensura hinc eli- ei potest, ut patebit capite sequenti na. 7. & distantia centra gravitatis variarum figurarum, ut sop. II. m. 6. constabit. a Sit
106쪽
a Sit curva quaevis A DC circa axem B N.& ex quibusvia curvae punctis A, a duci ab langonubus AB, ab , quae cum axe eonveniant in punctis B. b, necnon ordinatis AN, an, compleantur parallelogram ita AN BG, an bg circa ipsas
tangentes, velut diametros conlistentia; sicque semper fiat, ut per omnium parallelogrammorum angulos ex eriores, idest per puncta G, g, tanseat curva Gg: comprehendet haec cum
priori curva A a C, & latere extimi parallelogramm i A G, spatium C a A G g aequale figurae prius positae C a A N ; sumpta enim quantumlibet parva tangentis Nrricula AD, a d , ac per D, d ducti saxi,&hasi parallelis MDM, EDF, md h. ed ferunt rectangula GD. DN , g d, dri, utpote complementa parallelogrammorum circa diametrum invicem aequalia spotes &utrinque addere AD, ad , ut compares aequalia parallelogramma AH, N F, aut ah. n f, potes insuper directum parallelogrammum AH, a in dextera figura commutare in obliquius intra easdem parallelas eidem nihilominus tangenti impositum, spatio autem C AG g mei reis adjacens ad ovidentiorem circunis aptim em) & hoc semper in quolibet puncto eveniet, ergo cum in utroque spatio haec indesinite parvae la titudinis parallelogramma pol Iint ab iis deficere, si inscripta sumantur o aut eadem spatia excedere, si circumscripta compa rentur, minori defectu, aut excessa quot; bet claro ; conlia ipsam et spatia Ca AGg, C AN .im eguo, &part Aulatam, Diuiti eo by Gorale
107쪽
idest tum tota, tum eorum correspondentes partes invicem coparando,prorsus aequalia esse. Imb inde inferre potes,suod, cum totum parallelogrammum N G trianguli NBA sit du-Plum, & complexum ex utraque figura g G Aa C,&Ca AN duplum solius C a A N, reliqua figura BGgC dupla erit trilinei C AB, curva C A , tangente AB , & axis portione, quam tangens intercipit,comprehensit; id quod expeditae multarum figurarum dimensioni conducere potest.
3 Hinc si in qualibet figura CAN, ductis ubi libet axi parallelis, primum A G aequali subtangenti N B extimi puncti A,
tum aro, aro , resectis ultra ordinatam AN ipsis ro, rore spective aequantibus longitudinem subtangentis nb, n, ad suum punctum a pertinentibus , quousque compleatur figura oo GAN; vel etiam squod in idem recidit si per N punctum regula quaedam N G converti concipiatur , secans axifigurae parallelas ar, ar productas in punctis o O, it aut eaduregula N G, sive No semper parallula existat tangenti AB, , aut ab , sintque BAGN , bao N parallelogramma quomodo rursus ro aequalis erit respectivae nb , auserendo scilicet ex aequalibus a o , b N , aequales ar , nN Ex utraque
108쪽
inquam hae descriptione colligitur, figuram o o G A N aequa. Iem lare prius datae figurae C Α N. quemadmodum & partes correspondentes r A G o, n a A N semper aequales esse; quid enim hoc aliud est, quam ipsas lineas A G. a g. num. praece .consideratas,directe deprimere in AG , ro , ut jam non ad
eurvam, sed ad respectiva basis A N puncta terminentur Spatium igitur Ca AG g . servata singularum suarum linearum aequalitate, protrusum in N oo G A, erit, ut prius, aequale ipsi CΛN, nisi malis & hic sumere infinite parvam tangentis portionem, fere cum curva A a coincidentem, & ex proportionalitate B N , seu G A ad ra , cum N A ad A r, inferre aequalitatem rectangulorum G Ar. & ΛN n, ac similitet in reliquis, ut supra. 4 Vel etiam sumpta infinite parva tangentis , aut curvae portione A a, junctisque ad N radiis AN, a N, a N, osten, detur semper parallelogrammu G A a duplum trianguli N A. a. utpote eidem basi A a , inter easdem parallelas A a , N G aut a s. N o insistentis , quare tota figura C a A G o o Niotius C A N dupla erit, εe dividendo spatium o o G A Nipsi CAN aequale erit; eo modo quo Sc in his bilineis curva ,
109쪽
& recta eomprehensis. velut a a A, aut N a A, aeeepto puncto N, sive in extremo hasis, sive alibi, aut etiam intra tiguram , & per N transeunte recta N o, quae tangentibus a d perpetuo parallela existens, secet ipsas a r, ad hasim NA ordinatas, in punctis o, erit Noo Aa N dupla trilinei, seu hili. nei prout integra sumitur, aut ejus pars ramis Na interceripta Na A , propter parallelogrammum da oh ubique duplum trianguli da N; unde mirum quot figurae dimensionem accipiant. s Imb eadem opera possent duae figurae eidem datae aequales constitui, si nempe regula mobilis per punctum N utrinque extendatur, ut Occurrat ambis mordinatis ex eodem puncto, M sci
110쪽
scilicet non tantum ipsi ar axi parallelae, sed & an parallelae basi in punctis o o ; habebitur enim eadem ratione figura CNOo, tum priori C A N, tum eidem collaterali G Ο N A integre, & particulatim si dest quo ad totum, & qud ad partes proportionales j prorius aequalis; sicut viceversa, ubi figura C No, vel etiam G Ο N A alteri adjacenti C A N integre, & particulatim modo praescripto aequalis fuerit , ducta ab ramo N O parallela tanget curvam A ac in a; si enim ita non sit, alia igitur, quam N Ο, parallela erit tangcnti ab , unde alia figura, quam C Noo, fiet particulatim , & integre aequalis ipli A a V N, adeoque & ipsi primae C N Ο, vel G ΟN Α ι quod inferret aequalitatem totius cum parte ; multarum igitur curvarum tangentes hac methodo determinabis; cave tamen partium ordinem hactenus indicatum ad amussim Observes, in lubrico enim, si quidquam immutaveris, te fore praevideo. Placet autem compendii causa figuras hactenus descriptas ivvicem Correlatas appellare. 6 Quoniam verti tangentium alias methodos dedimus, in negotio dumtaxat dimensionis figurarum paullo diutius im