장음표시 사용
121쪽
Theorem. Hugen. Cap. VIII. Io I
& panillelogramitin analoga, sed convergentia, & triangulis parallelogrammorum subduplis respondentia. Exempli gratia in Spirali Archimedea ad quemvis radium AC , vel a C ducta ex centro perpendiculari C B, aut C h aequali peripheriae radii C A, aut respective arcui a I, qualem radius assumpto puncto A, vel a in sui conversione eo usque descripsit patet ex Archimede, imo δc ex dictis cap. s. num. 9. junctam 'B A, seu b a tangentem esse s debes autem mi Lector concipere, ut ut Schemma defaecerit, lineam bd directe tendere in a, ibidemque Spiralem tangere, & lineam A D concurrere cum C B in B, unde ducta quaedam radio parallela occurrat parallelis subtangentis CB ductis ab extremo radii A, &a quovis tangentis puncto D, ipsis scilicet A F. DM, in punctis G, H, uti in minusculis litteris ipsa gb occurrit homonymis, & homologis lineis in g , h , atque demum per D, seu d punctum radio parallelam actum esse, uti vides , F DE, sd e puncto igitur D, seu d assismpto, quod continuiquam proximum sit, completisque parallelogrammis D G , D C, seu dg, dc aequalibus, utpote complementis parallelogram
122쪽
morum circa diametrum, patet iunctis DC. de . triangula CD A, C da esse semissem aeque altonum, & eamdem basim obtinentium parallelogrammortuo C A F Ε . C.a se M quare α semissis erunt aea ualuina illis Parallelogramorum M AGH. magii; chmque naec triangula excedere possint Spirale sp tium C Aa C minori excessu quolibet dato , novitat apiuinintegrum Spirale spatium omnIum ejusmodi parallelograna motum M G, m g ad minimam Iatitudinem redactorum, &in unam figuram confluentium squod fit, ipsis lineis AG, agad respectiva puncta ejusdem radii CA in eadem a centro di. stantia applicatis, scilicet AG in ΑΚ, ag in IL, existente CI aequali ipsi Ca , & lic ubique , quousque compleatur figura CLKR, quae in hoc casu erit trilineum parabolicum,
eo qubd subtangentes, quemadmodum & arcus, quibus aequiitur, in duplicata radiorum ratione procedunt, ut monuimus eodem cap. s. num. 9. subduplum elle ; atque adeo cum talo trilineum C Κ A. duplum spiralis spatii,constet,cx dinientione parabolae,esIe duos trientes trianguli sub radio CA ut altitudine, & AK ut basi, idest duos trientes circuli radio C A,
123쪽
Τheorem. Hugen. Cap. VIII. I o 3
aut correspondentis sectoris radici a C , vel Cl descripti, Aipsum Spirale spatium eircumscribentis, habetur, spiralia spatia trientem esse circularium sectorum eadem circumscribe tium . Similiter aliarum specierum spitalia spatia per correspondentia trilinea parabolim cap. s. citas. indicata metiri
teris, & cum sectoribus cireum scriptis comparare ; sed iapitalem Geometricam , seu Logarithmicam A a a invenies comprehendere,post infinitos sibi superimpositos cincinnos, cum radio C A spatium subduplum circumscripti trianguli ABC; figura enim CLΚA ex subtangentibus ad congrua radii puncta applicatis hie in triangulum degenerat, quia Ob aequalem semper inclinationis angulum C AB, C ab , tria gula rectangula C A B, C ab simi lia evadunt, & subtangentes CB. C b, seu his aequales A K , IL ita eadem radiorum AC, Ca, vel Cl ratione; Unde habes confirmationem eorum, quae cap. praeced. num. ro. Oir. circa hujus spatii comparationem attulimus.13 Hanc igitur tot exempIis ilIustrem doctrinam ad pr Positum applicantes, septimum Hugenii Theorema lie dum On
124쪽
sttabimus. Subtangentes Logisticae Aa a C sint NB . n b, n b, quae ad respectiva puncta A, r. r applicatae AN referantur in AG , ro, ro ; est igitur figura N AGoo aequalis spatio post ordinatam AN, a*mptoto.&curvae InterIecto, juxta hanc doctrinam ; verum & idem ipati um N AG convincitur esse rectangulum subtangentis N B in ordinatam
N A, cd quod ex dictis cap. s. subtangentis longitudo N B,
n b, sive iam AG , ro, sit semper eade in ; itaque spatiun infinitum, quod postquamvis Logisticiae ordinatam exporrigitur, aequale est rectangulo sub eadem ordinata, & lub tangen te, atque adeo eli duplum trianguli ejusdem balis, & altitudinis, quod ordinata, tangente , & subtangente comprehenditur, uti Clari ssi mus Auctor in hoc Theoremate nobis demonstrandum proposuit. 14 Sed & sequens Theorema octavum , videlicet , quoaspatium duabus ordinatis interjectum aequale es rectangulosub- tangentis in disserentiam earumdem ordinatarum,uιὶ ωjequentι figura spatium D F B aequatur rectangulo subtangentis P Uiv K A, quod quidem cap. 4. num. 4. latis Ollentum eii ,
125쪽
Theorem. Hugen. Cap. VIII. Ios
atque ex iis , quae alias diximus, facile ostendi potest, ex hac ipsa doctrina iterum ex abundanti demonstrari potest, quippe in figura paragraphi antecedentis, nedum totum spatium infinitum C AN B toti rectangulo N A G o probatur aequale , sed & ejus pars quaelibet N A a n parti eorrespondenti Aro G, ex subtangentibus curvae A a ad ipsam Ar applicatis genitae, quae est rectangulum subtan. gentis in differentiam ordinatarum ; nec juvat amplius hic immorari . Ad solida tran
126쪽
Prima Mni Theorematis demonstratis. Hinc solida omnia ex infinitis Logisticae spatiis esse ostenduntur , ut quadrata radiorum basis, ct portiones, ut diserentiae quadratorum a radiis extremis. Alia Logistica in duplicata ordinatarum prioris ratione spatium comprehendit prioris subduplum, item subtangentem subduplam habet: generaliter quaecum ae fuerit Logistica, ejνs spatium , O subtangens tam submultiplex erit
prioris , quam submultiplicata κdinatarum ratio . Idem novum Theorema secundo demon matur. In Gr-
relatis figuris solidum ab exteriori duplam semper est
solidi, quod ab interiori circa axem revoluta describitur, , partes partium respondentium. Hinc temtia ejusdem Theorematis demonstratio. Dimensios liai ex figura quadranti correlata , 6 ve partibustum coucavis, tum convexis , item solidorum ex trilineo edicisidis, inave semicycloide circa tangentem verticis revoluta, eiusque partiam. Solidorum quoque ex statio Custidis concavo, aut estnvexo, tum ci ca Imptoton, tum circa ei parallelam ex vertice .cinoidum ex infinitis parabolis ad circumscriptos Ulindros, vel eonos, item solidorum ab infinitis bππ- bolis ratio ad inscriptos Ulindros nota.
a IN hoe nono Theoremate itapronunciat Hugenios: So dum, inquit, productum ab infinito spatio post aliquam o sam in conversione circa Umptoton est se aiaherum coui,
127쪽
e M altitudo aequetursubtangenti, O basissemidiameter aqualis fit ordinata i i ta solidumproductum ab in iras iis BFOΙ i. conversione circa FO, sesquialterum es Conigeniti ex ιriangulo B FO eirca eamdem FO revoluto. Huius pruna demonstratio sie institui potest. Intelligantur huic solido ei reum scripti imnumeri cylindri FM, CUR, PS, &c. aequalis ubique altitudinis Fin, QP, PT, dcc. indefinite exiguae, itaut horum lindrorum congeries pro ipso rotundo solido sumi queat,& tangentis OB portiuncula primo cylindro F M intercepta
istὰ eum ipsa curva B N eoincidat, seu ad ipsam obtineat rationem minorem qualibet inaequalitatis maloris ratione assignabili hoc enim ex vulgatis methodis fieri potest designetur etiam OH aequalis subtangenti O P. a Iam sic: Haec series cylindrorum, qui inter se sunt, ut basium F B, Q N, P V continue proportionalium quadrata, est quaedam Geometriea progressio solidorum proportionaliuin infinitum continuata; igitur ex demonstrationibus, sive Ca- vallerii, sive Torricellii, sive Gregorii a S. Uincentio, omnia terminorum aggregatum id est rotundum soIidum, de quo
loquimur) erit ad primu terminu scilicet ad cylindrum M Fj
128쪽
ut ipse primus terminus ad primam differentiam, hoe est, ut quadratum FB ad ejusdem differentiam a quadrato Q N, velut quadratum FO ad rectangulum H Q F, quo differt ipsum quadratum FO ab Oinex vi construetionis, & hypothesis praemisi e . Cum ergo ratio solidi rotundi ad inscriptum eo. num,ex triangulo B o F genitum,componatur ex ratione talis solidi ad primum cylindrum F M , & ex ratione ejusdem cylindri F M ad conum FB o, quarum prima, ex dictis, est eadem, quae o F quadrati ad rectanguluin H Q F , secunda vero eadem est, quae a F ad trientem altitudinis o F propositi coni, aut rectanguli H F ad H n. trientem O F, ideo erit solidum rotundum Logisticae ad predictum conum ut quadratum OF ad rectangulum H in trientu OF, nempe in composita ratione ex o F ad Q H quae est ratio subdupla , propterea quod H indifferat ab H F differentia myindefinite parva, & re ad minimos cylindros redacta, penitus evanescente j dc GF ad trientem sui, quae est ratio tripla; eae his autem composita ratio est sesquialtera, ut patet in his numeris 3, 6, 2, itaque solidum ex Logistica circa axem Fore voluta sesquialterum est Coni ex inscripto , dc per tam
129쪽
gentem determinato triangulo FB Quod erat demonstrandum . . 3 Hine nullo negotio deducitur, rotundum solidum aspatio post ΑΒ infinito, ad solidum rotundum Linatio item In finito post aliam ordinatam CV ad invicem e sse, ut quadrata
BA, C U, quippe & horum solidorum subsesquiaIterae ma gnitudines, nempe inscripti coni,ob eamdem altitudinε sub tangentis sunt ad invicem ut quadrata radiorum basis a necnon solida ex portionibus AVCB, BAD inesse ad invicem, ut disserentias quadratorum AB, CV, & AB , QD, sive, ut armillas circulares ab VE , & DK circa BQ revolutis des.criptas, vel haec solida ad invicem esse, ut respondentia spatia geometricae spiralis, per hujus Logisticae convolutionem, axe B C in punctum contracto, provenientia; quae omnia eti1 argumentis cap. 3. adductis in Gemonstratione primi The rematis,confirmari potuissent, intellectis nimirum loco parallelogrammorum BE, XT, &c. totidem cylindris, eademque prorsus demonstratione appIicata. Nobis aliam hujus veritatis demonstrationem meditantibus illud ostendendum occurrit . quod si intra Logisticam BCA describatur ad eamdem asymptoton , eamdemquo
130쪽
ordinatam FB alia Losistiea BNM, cujus ordinatae sint, ne quadrata prioris Logisticae, faciendo nimirum ubique, ut F Bad D C , ita D C ad D N , & ne F B ad Ε Α , ita Ε A ad
EM, &c. Spatium a Logistica FB NM eomprehensum subduplum erit spatii a Logistica FBCA comprehensi; sumpta enim quavis ordinata DNC, ac posita EF dupla FD, ordi. netur Ε M A; est igitur in priori Logistica F B ad D C, ut DC ad EA; sed etiam ex constructione ita DC ad D Noriadinatam posterioris Logisticae; aequales sunt igitur DN , &E A; & hoc semper; ordinantur autem E A in spatio F B C A ad altitudinem E F semper duplam altitudinis F D interceis piae ab aequali ordinata D N in spatio FB NM ; igitur ex Proposit. r. nostrie Appendicis ad Demonstr. Vivian. Probi. erit spatium FB CA duplum ipsius FB NM. e. d. s Colliges spatium F BN M aequale esse triangulo FB Oper tangentem prioris Logisticae Bo determinato, siquide m& hujus duplum est,ex Theoremate septimo Hugeniano, idem spatium FBCA; necnon evidens est , subtangentem Logisticae posterioris FB NM fore semissem ipsius o F , quippe ejus reetangulum in F B aequale foret spatio F B N M , nil &praedicto triangulo ι imo generaliter , quam submultiplicata , fuerit ratio ipsarum DN, D C. rationis D N, F B, tam submultiplex fore spatium a Logistica BNM comprehensum