장음표시 사용
91쪽
vidi. quarum AD erit so, & si ab A sumantur per ordinem ἔ, a, 3, &e. ejusmodi particularum , & calculo exprimanis tur lineae in trilineo AMG respondentes, prout Hl correspondet ipsi AC, invenietur haec series rata , IEL , AEL ,εcc. usque ad Itala; haec enim est expositio universalis expressionis suprapolitae II pro diverso va Iore ipsiuse; id est rectae illae, velut IH , in trali neci AMG parallelae , & ad centesimas
quaslibet ipsius A E partes applicatae , erunt per ordi nem: , in , a, &z. usque ad Z 22 , quod aequatur ipsi MG so eiusmodi particularum . Summa igitur harum omnium fractionum designabit proximum valorem, seu quantitatem trilinei AMG, respectu quadrati AEB, quod est in hac lup positione roooo ; porro illae fractiones ad minimos terminos redactae, & limul additae dant ei rei ter roo ut experiri unusquisque poterit, si satis otii, Sc patientiae habuerit ad calculi laborem serendum P triangulum vero ADM aequatur dimidio quadrati AD, scilicet 3o ducto in as. quod est raso& parallelogrammum GD EF, quadrati A E subduplum, est sooo , igitur summa ex trilineo, triangulo ,& parallelogrammo, nempe spatium hyperbolicum A GFE est 69so, ut ex
hac formula Patet . iTtilineum AMG Ioo Triangulum ADM raso Parallelogrammum GD E F sooo Summa, spatium GA EF 69so Proportio itaque spatii A G F Ε ad quadratum A E B L est
eadem, quae 69so ad iooo . seu, dividendo utrobique Per Io, ut t39 ad acio . quae est circiter i o ad a oo , aut iubdividendo per aci , ut 7 ad io: & hoc fuerat demonstrand um.
92쪽
ra JamV.Τheorem. Hugenii demonstrationε sie expedio. Sit A D dupla D Κ, seu F B ordinatae ad Logistica A B h; erit FD intercepta axis inter ordinatas duplete proportionis ; oste-dendum est F Ο subtangentem , seu parametrum Logisticae esse ad FD, vel BK proximε , ut i 3 ad 9. Iam ex dictis num. 6. est FO ad ΒΚ, vel DF, ut parallelogrammum inscriptum hyperbolae ad congruum spatium hyperbolicum , quod in hoc casu si intelligatur super A D descriptum, &ordinatis ex A, & Κ definitum) terminabitur ordinatis duplae proportionis , propter AD dupla in DK ; sed illud parallelogrammum ad tale spatium hyperbolicum ex praeeedentivumero est proxime, ut io ad 7 , ergo & ΟF ad DF , vel ΒΚ erit proxime in eadem ratione io ad 7, aut utrobique per i 3 multiplicando, ut 33o ad Pr, quod proximum est ra. tioni i3oad 9o, hoc est r3 ad 9. Ratio igitur subtangentis ad axis portionem interceptam ordinatis duplae rationis proxime est, ut i 3 ad 9, uti Hugenius in hoc Theoremate proposuerat.
93쪽
Sextum Theorema proponitur , ct universalius deman .stratur. Spatia Logistica in data ratione dividere; Cavum trilineum convexo aequale; rectangula spatiis Logisticis aequalia . Item spatiis hyperbolicis. Ordinatae in trilineo Logisticae,axiparallelae, convexis, O cavis Dperbolae segmentis proportionales. Eadem aliis Auris applicare. Huperbolam ducere , qua datam Logisticam, vel in dato puncto contingat. Maximum parallelograininum Logistica inscribere, ct duo utrin. que aqualia determinare. Data cfafvisfigurae tau- gente maximum illi parallelograminum inscribere, O contra. Idem circa alia maxima praestare per aliasbperbolas. Infinitarum bperbolarum tangentes. Spiralis geometricae sipatia inter se , Θ cumsuis partibus comparantur. cujusvis convolutae figurae, ejusveparatium ad eircumscriptum sectorem, , ejus toras proportio eadem, quae cinoidis ab evoluta figura, ejusve partium ad circumscriptum cIlindrum, ct tabos cylindricos . Evolutae ad convolutam ratio, quibus compstinsta. Exempla in Spiralibus . Geometricae Spirali δε-ctrina applicatur. a T Roposuit in Sexto Theoremate Hugenius, quod , u
L rint tres ordinatae, velut in Mingura sunt e D, HG, B F, in expuncto curvae ad minimam pertinente ducatur UImptoto parallela secans duas alias ordinatas in R, O Ic. ac tan
94쪽
HBR sunt inter se. ut partes ordinatarum inter curvam, eo tangentem, ides. M H N. Quod quidem fere eum secundo Theoremate conuicissit, pote lique ex cap. 4. num. 4.dieiis demonstrari, ut Patebit, applicando demonstrationem linear gh minusculis litteris expressae, secanti tangentem in n. axi parallelam per B ductam in r ; patebit enim interceptas tangenti. &Logisticae curvae, ordinatis parallelas . sive infra, sive supra punctum contactus esse, ut spatia comprehensa iiDdem ordinatis, Logi sticae curva, & axi parallela per contactum ducta, adelique secundum, A sextum Theorema in unum con
3 Sic igitur argui poterit. Com sit o F ad F B , ut B Κad K Q. , mit o F in K QAquale F B Κ reeiangulo; sed F Ο in B M, seu in totam Κ A aequatur toti spatio DAB F per cap. q. num. 3. igitur F o in residuam QA aequatur residuo spatio Κ AB: eodem modo ostendetur OF in R N, seu r naequale tectangulo FB R. FBr; adedque clim sit HGFB,h g F B. aequale F o in B S , seu H R. vel h r , erit spatium R B H, et B h, aequale F Ο in N H , n h adebque trilineum A K B ad H R B, seu h t B, erit, ut A Q ad N H , seu n h , quae sunt bases rectangulorum sub communi altitudine sub
95쪽
tangentis Fo illis spatiis aequalium. Et hoc fuerat demonstrandum s3 Hine facile erit quaevis Logi sticae spatia, sive concava, sive convexa per ordinatas in data ratione dividere; spe ei aliter autem hinc inserre juvat, quM si ex quovis puncto H Logisti. eae ducatur tangenti O N parallela Occurrens curvae ultra co- tactum inh finge ductam, licet in Schemate deficiat) erit portio Logisticae concava H R B aequalis convexae h r B, propter aequales H N. h n, iis parallelis interceptas; imo addito utrinque spatio B H S. cum rectangulo S B r , inseres rectan plum H R e aequale esse spatio Logisticae, curva H h, ipsaque S ad hi extensa, intercepto; indeque rectangulum G Re aequale residuo spatio GH Bh g, aequale proinde &rectanguis Io ex o F subtansente in R H eum r h, seu in s S , adeoq;
OF ad G g se habere, ut G R, seu BF ad sS; sed nimium
4 Expendere potius iuvabit', quibus spatiis proportionaIessint lineae in trilineo N B H, aut n B Parallelae, non quidem ordinatis, sed ipsimet axi. Inter asymptotos AD, DF dura. tur per ipsum punctum B Logisticae hyperbola r B r r R; ante omnia ostendendum est, tangente Logisticae OB occurrente Κ a su-
96쪽
supremae ordinatarum, seu asymptoto hyperbola in P, recta gulum B k P reo uari spatio hyperbolico h B r R A; est enim rectangulum B k P ad k B F rectangulum hyperbolae inscriptum, ut illius basis P k ad basim hujus k D , seu BF, hoe est,ob similitudinem triangulorum, ut L B ad subtangentem Logisticae FO, indeque ex cap. praeced. num 6. ut hyperbolicum spatium A RrBk ad idem parallelogrammum FBk;. aequalia igitur sunt rectangulum Bh P. & spatium hyperboli cum A RrBk: quod fuerat demonstrandum; sed dc alibi generalius idem ostendemus. scilicet cap. 3.-2.s Cum verb ex cap praced num. 4. spatium hyperbolicum
k B R A ad quodvis aliud agi Losisticae parallelis resectum k e R A sit, ut k B ad k h. & dividendo spatium hyperboli-
eum kBth ad r R A k, ut s h ad h k ; manifestum est, sumpta communi altitudine k P dictarum linearum in k P d ctarum rectangula proportionari spatiis hyperbolicis corre L pondentibus, ademve rectangulum P k in k h aequari spatio k r R A , & rectangulum ejusdem P k in s h aequari spatio kBrk, &c. 6 Parallelae igitur axi Logisti eae trilineis N B H, n B h eo clusae, proportionales erunt respectivis trilineis hyperbolicist Ba ν
97쪽
ΕBs, rBS convexis, aut concavis, prout citra, Vel ultra Bparallelae ducuntur ; etenim demonstratione num. 3. iterum
apnlicata , cum sit kP ad Bh, ut B M ad Ma, vel BS ad SN. & Bs ad sn. Erit rectangulum kBM , vel kBS, auth B, aequa Ie rectangulo ex Ph in Min, SN, vel sn; sed
etiam spatium Bh AR, aut Bh kr aeuuatur ex num praeced. rectangulo ejusdem P k in M A , aut SH , vel fli ; igitur rectangulum ex Pli in residuam Ain, vel HN, aut linaequale erit trilineo hyperbolico R B M, aut r B S, &c. & ideo lineae A ab N H, n h. axi Logisticae parallelae , ejusque C Va , & tangente conclusae, erunt ut respectiva hyperbolica spatia supra definita. Quod erat de monit randum. et Aliis fisuris similem comparationem sulcipientibus, ut ordinatae unius proportionales sint spatiis abscissis alterius,apricari res eadem potest, quemadmodsim, tum hic, tum alibia cum habere post uni observationes, & corollaria similia his, quae num. 3. indicavimus; specialia vero problemata duo ex sola figurae praemissae inspectione facillime solves. Alterum rinter asymptotos FD, UA, quarum illa sit axis, haec ordinata Logisticae ABh, hyperbolam dueere, quae Logisticam in aliquo puncto B tangat; vel dato in Logistica puncto B, hyperbolam nihilominus reperire, quae idem praestet : ponatur DF aequalis subtangenti Fo: ordinata FB, & DA, fiat per B hyperbola inter asymptotos FD R; haec proculdubio Lo. gisticam tanget; siquidem eadem OB , tum Logisticae , tum
Hyperbolae tangens communis erit; unde consequitur, quod,
si fingatur per aliud punctum B ducta hyperbola, occurret malio puncto eidem Loosticae, supra B quidem, si F D major
fuerit lubtangente, Intra verbii minor. Alterum esto Logi sicae maximum parallelogrammum in selibere: ponatur D Fsubtangenti aequalis, & ordinetur F B : patet U FB maximum fore omnium, quae dato Logisti eae spatio inscribi possint. parallelogrammortam; alia inuiciem parallelogramma eidem Logisticae spatio inscripta minora erunt, eb quod, ut illia Primum adaequent, extendenda sint usque ad perimetrum hyperbolae per u descriptae, quae tota ultra Logisticam cadit, utpote ipsam tangem ex nuper dictis : unde patet, cuivis alteri
98쪽
parallelogrammo aliud aequale eidem Logistieae inseriptum exhiberi posse, ducta scilicet per punctum, ubi Logisticae occurrit , Hyperbola, quae in alio puncto Logisticam secans dabit punctum, ad quod inscribatur parallelogrammum aequale Priori, eo quod utraque spatio asymptotis. & hyperbolae interjecto inscribantur. 8 Leviuscula quidem haee, si per sese considerentur, at ratione methodi, quam generalem esse Lectorum sollertia percipiet, suo pretio non fraudabuntur: hinc enim habebimus,
data ratione , quam habere debet subtangens M E figurae ABHG ad abse issam Α Ε, dari & maximum parallelogram-mum E B L ipsi inscriptibile, si nimirum in eadem data ratione fiat G Ε ad Ε A, ut G Ε, Ε M sint aequalia, tangens quippe M BI erit & tangens hyperbolae C B C per B inter a lymptotos AG, GH ductae, atque ad ed quodvis aliud parallelogrammum GFDΚ datae figurae inscriptum minus erit parallelogrammo G F C, atque adeb minus G E B, quod proinde maximum esse convincetur; & E contra dato maximo
parallelogrammo GEB L figurae ABHG inscripto,dahitur eius tangens, posita EG aequali EM, quia quodvis aliud pa
99쪽
rariIogrammum G F D cum sit minus ipso G E B, erit & minus GF C s ducta per B inter easdem asymptotos hyperbola C B C & ides, F D minotetitRuam F C, & hyperbola C B Ccurvam D B D tanget; sed hyperbolam tangat recta MB, ergo & curvam DBD propositam. Et quod de parallelogram mis maximas dictum est. assumpta hyperbola lineari, potest ad
maximos cylindros, aliave maxima facta ex gradibus coordinatarum EB. B L transferri, usurpatis alterius generis hy-Perboli S. quadratica, cubica, &α in quibus facta ex hom nymis coordinatarum gradibus sunt aequalia, eo quod quadrata , aut cubi ordinatarum reciprocemur distantiis a centro, seu angulo asympto alio
v Quod si earumdem infinitarum hyperbolarum, in quibus videlicet non simplices lineae B L, CN, sed ipsarum quadrata, aut cubi, aliique majores gradus sint in reciproca ratione distantiarum GN. GL, earumve, graduum quorumcumque, tangentes ignorare te dicas: ne desponde animo, PauciS, adverte , docebo, & quidem ex hac ipsa, quam prae manibus habemus, methodo demonstrationem eruendo 2 exponens graduum, quos consideramus in ordinatis B L, CN esto x, graduum verb , qui considerantur in distantiis N G, G Κ esto 3; ducta ex quolibet hyperbo ae puncto BE asymptoto parallela, fiat G E ad EM, ut x ad F, juneta M B tanget; quia enim ut x ad F, ita G E ad Ε M, factum ex gradu G E, cujus eXPonens x, in gradum ΕM, cujus exeonensa, maximum erit omnium similium factorum ex parithus lineae G M utcumq;dlViste, uti ex maximorum, minrmorimque methodo facile
Constat; quare & factum ex similibus gradibus GEB maximum erit ouinium similium faetorum ex lateribus parallel gramma triangulo MIG ad aliud, quam B punctum uiscripti; quae ig3tur linea tan it figuram triangulatem M l G in B s ipsum nempe latus MI tanget in eodem puneto hyperbolam
C B C ex iisdem gradibus coordinatarum constitutam. o Iam ad institutum nostrum, unde paululum divertimus, Propius accedentes , quemadmodum in Logistica Hugenius Propos. I. a. & hac, quam prae manibus habemus, sexta, variae ejus segmenta invicem comparavit 1, ita, ut in Logistica con-
100쪽
voluta, nempe Spirali Geometrica, idem nos praestemus, argumenti similitudo suadet. Primum igitur , sicut Losisti spatia post quamlibet ordinatam in infinitum protensa sunt, ut ipsae ordinatae ex dictis cap. 3. num. 7. ita Spiralis geometricae spatia post quemlibet ejus radium in infinitum circa centrum . per innumeras , sibique superimpositas circulationes continuata sunt inter se, ut quadrata eorumdem radiorum; intelle .cto enim spatio Spiralis Aa a C in triangula innumera , ut cap. I. -m. II. factum est, distributo, quae ex ibi dictis similia erunt, AC a, a Ca,&c. erunt singula inter se, ut homologoruradiorum quadrata, quae eontinuὰ proportionalia sunt, iuxta curvae hujus naturam; itaque ut unum AC a ad unum a C a. ita omnia spatio Aa C inclusa ad omnia inclusa spatio a a C sunt quippe totidem hic, atq; ibi, utpote multitudinis utrobique infinitae) nempe, ut quadratum AC ad quadratum a C, ita spatium, quod post A intra dictam Spiralem convolvitur, ad spatium, quod post a C eadem Spirali concluditur. ii Hinc dividendo habetur, spatium AC a esse ad infinite contortum post minorem radium C a, ut disterentia quadratorum A C, a C, seu CI ad minoris a C, vel CI quadratum, hoc est, ducto arcu al, ut armillae portio FAla adsectorem