장음표시 사용
81쪽
titudinis Lm nec enim dubium, quin N M ad MC sit, ut ad O L, utpote differentiae trium continue proportion tium eiusde utrobiqirationis; sexistente seiIieet N B ad B M ut B M ad BC, dividendo est N M ad M B , ut M C ad C B.& alternando N M ad M C, ut M B ad C B, aut OB ad L B. idest, eadem ratione, ut QO ad O M idemq; de aliis intermediis dieendum. Iam sic: spatium D CNF ad KL QR rati nem habet eomposit1 ex DCNF ad CGIN,&ex CG IN ad K L int . Sed prima ratio eadem est,quae D C ad C G, vel KL caeterae enim ordinatae EM, & MH, seu Po; FN, MNI, seu QB, aliaeque intermediae eamdem perperub rationε observant secunda autem ratio eade est, quae altitudinis C Nad L per demonstrata prop. r. append. nostrae Probi. Viis vian. hoc est, ex supra dictis, eade, quae ejusdem L K ad CD; igitur ratio spatii DCNF ad KL QR componitur ex DC ad L Κ,&LΚ ad ipsam DC, scilicet est ratio aequalitatis . Quod erat demonstrandum. 3 Hinc facillime deducitur, spatia quaevis hyperbolae , Se asymptoto interjecta , lineisque alteri asymptoto parallelis
concluta esse ad invicem , ut sunt rationes extremarum ordinatarum , quibus concluduntur ; spatia nimirum CDF N, Diuit iroo by Cooste
82쪽
o PQR , M. Ota comparata sint. ut ratio C DUN Faequa lis non iurauom o P aci QR. ted in alia quavis proporta .
ne, Puta atrem alterius triplicata, aut duplicata, vel leiquialinterata, &c. erat pariter alterum spatium alterius triplum. du-Plum, aut sesquialterum ι sumpto enan rationis CD ad F Nquovis multiplici, putὲ ratione GH ad N F triplicata ipsius CD ad N F id est ipsis FB. DB, sumptis aliis duabus con tinue proportionalibus ΚΒ, H B, erectitque ordinatis Κ L. HG constat spatium GNFH aeque multiplex fore spatii CD FN singula spatia GK . LD ipli CF aequalia ex
num preced. quippe lineis proportionalibus terminata. Sinai. liter lationis DP ad QR sumpta qua, is multiplici, puta duplicata , EM ad QR idest iplis QS. PB sumpta tertia proportionali B M, atq; erecta M E patet spatium E R indaeque multiplex, scilicet duplum fore spatii GPQR, quandoquidem EP aequabitur ex uuan. praeced. ipsi OQ. Quod liratio GH ad N F aequalis foret rationi EM ad Θ, spatium quoque GH FN aequaretur spatio EM QRoi illa maior, & hoc majus, si ratio minor, & spatium minus ut pa- et, aut aperte deducitur extraecedeuri itaque, ex nota pro
83쪽
sortionalium definitione Euclidea,erit ratio linearum C D Ωἰ F ad rationem linearum o P. & QR. ut spatium prioribus eoclusunt C D N F ad spatie posterioribus interiectu o P 5 R. Quod erat demonstrandum ἀ4 Unde aperte colIigitur, quod, si ordinatae Logisticae adhaereat praemissa si ura hyperbolica linea N O R, atque asymptotis Bin B A interjecta, quarum illa ordinata, haec axis
Logisticae fuerit, produeanturque ipsae N F, o P ad Logistia am in S, R. erit spatium hyperbolicum N RQ F adsoatia 2AN Η axi Logisti e parallatae, FS, &P eum emmoleta 1patia uni ad invieem, ut rationes inter FN. Q R. S. Huer o P. QR intercedentes, ut num raeced. ostensum est sive ut rationes inter B & BF, vel US, & inter o Bac D V, 1eu ΓΚ Intercedentes, quae quidem rationes ex diariis cap. r. m. 3. sunt, ut portioneS axis iisdem ordinatis ire.
terceptae. VB, T B. seu S F. RP, etiam dicta spati H perbolica N Fint, o PM. erunt,ut linea S F. PR. Quod
84쪽
s Simile quidpiam accidit Spirali geometri Α a a, in qua arcus, aut sectores per radios spiralis abscissi, veluti AF, Ac aut A C F, A C f sunt, Ag. 3. b. Schem.ut hyperbolica spatia AIM Κ, Aim K comprehensa portionibus AI, & Ai asyma
toti AC, quibus differentiae extremorum ramorum a F, afint aequales t sunt enim IA, i a arcus concentrici ipsi A F fl& alteri asymptoto CG parallelis, curvaque hyperbolica iis intercepta; etenim arcus illi A F. Αf, &consequenter & sectores A Cp, AC s iis respondentes, ex dictis cap. I nu. IO. sunt,ut rationes radiorum Spiralis A C, a C, seu A C. & CI, AC, & C i, in qua pariter lunt dicta spatia hyperbolica;chm- que duetis ex centro C rectis CK, C M. Cm s debent enim
hae linet in centrum convergere , utut in Schemate, vitio
SeuIptoris,exorbitent 'sector MCK ipsi spatio ΚΑΙ Msector mCK spatio mi AK sit aequalis sab aequalibus quippe triangulis ΚCA , MCl ablato communi CLI , additoque utrique residuo ML Κ res est perspicua ) habebimus seriores hyperbolicos in eidem ratione sectoribus circuli ordinatim relpondentes , erit enim MCK ad mCK , vel admC M. ut AC F, ad AC f, ves FCf. 6 Col
85쪽
6 Colligi interea ex supra dictis potest, qudd subtangens,
seu parameter Logisticae est ad quamvis axi parallelam, ut parallelogrammum hyperbolae inscriptum ad congruum spatium
hyperbolicum , scilicet ad punctum R Logisticae ducta tangente R G, erit GT ad RP, ut parallelogrammum ΚΟΡΒad spatium o PQR; sumatur enim tangentis portio RS in sinitE parva, ita ut ducta parallela ordinatae SV, parallela axi
SHN oecurrente hyperbolae in N, tum insa tangens RS se re coincidat cum curva R S ; necnon H S , ut terminata ad curvam fere aequalis sit eidem, ut terminatae ad tangentem; idest habeat ad ipsam rationem propiorem aequalitati, quam quaelibet data majoris inaequalitatis ratio quantumlibet parva,
tum ectam hyperbolicum spatium N F P o feta eum rectan. gulo o P F coincidat, seu illud excedat minori excessu quoia labet dato: constat ex nu. . & dividendo,sore spatium N F Ρ Ο ad O P R., ut H S ad P R, & sumptis antecedentium aeque Proportionalibus, parallelogrammo Κ P . & linea TG est enim K P ad Ο PF fαὶ cum spatio PN coincidens, ut BPPF, seu TR ad RH, vel TG ad HS , prout termina--ο ῖ I tam
86쪽
tam ad tangentem, quae sere coineidi i cuniserin Inata ad eurvam in S) crit parallelogrammum ΚΡ ad spatium o Pint, ut T G ad P R. Quod erat demonstrandum. 7 Si cui videatur audacior praecedentis demonstrationis proces ius, sint utque infirmior. quam ut assensum extorqueat, is demonstratione apagogica utatur, per me licet, imo ut huic& ii milibus applicare discat, specimen hic dabo. Fingat sibi quis minorem esse, si fieri potui. alterutram dictarum rationum, verbi gratia ratio G T ad PR minor esto ratione ΚPad spatium GPQR. itaui illi adjicienda foret ratio alia majoris inaequalitatis, quae iit inter e , & d, ad hoc ut huic alteri rationi aequalis evadat. Cum itaque ratio P R ad HS ut
terminatam ad curvam sit postea eadem , quae o PQR ad spatium N P . erit rursus ratio T G ad eamdem H S minorquisi ratio Κ P ad spatium N P. eode desectu rationis e ad d;
potest autem HS terminata ad curvam esse ad HS , ut terminatam ad tangentem in ratione minori, quam quaelibet data
ratio e ad d , si igitur rationi TG ad HS priorem addatur ratio HS prioris ad HS posteriore durit ratio TG in IIS
87쪽
posteriorem, hoc est TR ad RH, vel Κ P ad rectangulum o PF, adhuc minor. quam sit ratio ejusdem K P ad Itiatium N P; quod est i ossibile, soret enim rectangulum o P F ma. jus spatio N F Ρ O, cui inscribitur . Si vero dicatur e contra ratio Κ P ad spatium omninor altera ratione T G ad PR,
fiet eadem demonstratio, incipiendo ex parte spatiorum, unde concluderetur. quod HS terminata ad tangentem major foret, quam HS terminata ad curvam, seu quod tangens curva secaret. Nullus igitur esIepotest in ratiocinio nostro sci upui lus, nee de fallacia insimulari debet, sed de compendio lau
i B Interea notandum velim,praemissam demonstratipnem nopendere ab ulla sive Hyperbolae . sive Logisticae proprietate. sed hinc dumtaxat . quod spatia hyperbolica proportionalia sint parallelis axi Logi illeae; quae assectio infinitis curvis in vicem comparatis communis esse potest ; ut si FQN sit trian. gulum apicem habens in in, & F S trilineum parabolicum iutique axi parallelae erunt, ut interceptarum Fia , PQ quadrata, sive ut limitia spatia triangularia his insistentia ; ii superior figura sit trilineum parabolinum quadratacu, inferior erit
parabolicum cubicum, & sic de aliis , tum parabolarum speciebus, tum curvarum generibus ; quocirca eamdem demonstrationem iis applicare potes, aut uni versalius ipsum Lemma concipere sic. in qu libet cu ad R S, cujus ordinatae PR,
F S si umpto F Q oro axe) lint in eadem ratione cum spatiis POR L, F N R in per easdem ordinatas abscillis ex figura N RQ F eidem axirapplicata, erat subtangens GT ad PR, ut rectangulum , seu paralleso grammum GPB ad spatium GPQR; & conversim, si ut illud paralles ogrammum ad hoc
spatium, ita fuerit PR, seu B T ad T G , juncta G R erit
tangens; nec resert rav. ne ,3n ςQnvexa sint spatia, quae comparanda sunt, ea dem quippe ratio semper militat, aut parum certe immutata. I lincati,im habes tangentium ducendi methodum, aliasque. β alias veritates per te prudens Lector extundere poteris , sed quod 'miajori in pretio habendum est hinc disces Ueterum, &Recentiorum Geometrarum propo- . aitiones Uni versalior esi reddere, Attendendo, puni Proprie ta-
88쪽
tes, quas specialiter de quadam figura demonstrant ex peculiari ejus a nectione pendeant, an vero ex communi pluribus Symplomate deriventur. Atque id revera est facere Universale,quod adeo depraedicant Metaphitici,& an per intellectum, an verb, ut barbare loqui solent, etiam a parte rei dari possit, exquirunt. Quod quidem ipsis integre decidendum relinque mi Lector, atque ab ea sollicitudine bonas horas aliis utilioribus studiis debitas redimere satage, spondeo enim, aliquot saeculorum myriadibus antequam illi conveniant, & quod tot tricarum apparatu expiscari contendunt in aperto ponant uti hactenus certe incassum laborasse video, nec a tot saeculis, vel Iatum unguem profecisse, aut aliquam saltem inde utilitatem in Philosophicis, aut Theologicis rebus inde sibi, aliisve exculpsiisse, plus nimib expertus agnovi Te innumerabiles, atque utillimas veritates geometricas inveturum per illud, quod superius descripsi, Geometricum Universale, ejusdemq; applicationem ad multiplices figurarum species, qua& aut Geometria ministrat, aut sibi facile unusquisque fingere poterit. 9 Nec interea omittendum, quod Spirali Geometricie rursus quid simile contingit, quod ipsit Logisticae,subtangens enim
CB prioris radii AC est ad quemvis aream AF , aut A f,
89쪽
ut parallelogrammum hypeiholae inscriptum K AC ad spatiueor respondens Mi A K, aut m i A Κ, quod, tum eadem methodo probari potest, tum & de se patet, quum ex dictis cap. preced. num. lo. Prima subtangens C B sit eadem, quae erat subis tangens Logisticae, ex cujus convolutione, iuxta dicta cap. l. num. Ia. Geometrica Spiralis gignitur , ordinatis in radios commeantibus, & axis portionibus, ejusve parallelis in arcus Curvatis, ac propterea eadem erit ipsius CB ad arcum A Fratio, quae prius erat subtangentis ad parem axis portionem, ejusve parallelam, adeoque eadem, quae parallelogrammi praedicti ad assignatum hyperbolicum spatium. to Exinde autemnabetur, quod spatia illa hyperbolica, aut sectores iis aequales, de quibus num. s. in ea semper ratione e runt ad corressiondentes circulares sectores, in qua minima
ordinatarum spatii hyperbolici AK ad semissem subtangentis CB; etenim siAK supponaturaequalis dictae subtangenti CB , erit ut rectansulum Κ AC ad spatium huperbolicum K Al M quod sumi poterit latitudinis A I infinite parvae, ut feta coincidat cum inscripto rectangulo ΚAI J idest ut C A ad A l, ita ipsa Κ R, vel ipsa C B ad arcum A F, ex numero superiori; rectangulum igitur Κ AI , seu spatium ipsum hyperbolicum MIA Κ erit aequale rectangulo radii C A in arcum AF, hoc est duplum sectoris AC F; cumque ex dictis num. s. & alii sectores aliis spatiis in eadem sint ratione, singu . Ia spatia K AIM, K A i m, aut hyperbolici sectores Κ C M, Κ C m , dupli erunt respondentium sectorum circularium AC F, ACf. &si AK aequalis fuerit semissi CB, erunt dicta spatia, & sectores hyperbolici ad circulares sectores in ratione aequalitatis; si quis autem obrepserit scrustulus circa hane demonstrationem, remedio numeri septimi rite applicato a. moliendus erit.' Nota , demonstrationem horum Dumerorum 9. O Io. appellare figuram 3. 'Diagrammatis appositi Iro-rimo num. 9. in adversa pagiva
90쪽
ii Jam ostendendum est, quod parallelogrammum Asymptotis, & Hyperbolae inscriptum est ad spatium hyperboliacum, cujus extremae ordinatae duylam proportionem servent, proxime ut io ad 7. Esto ALBE quadratum hyper Ileo spatio, quod hyperbola ΑG, asymptotis L BF continetur, inscriptum ; & iumpta F E aequali ipli L B, ordinetur FG: erunt ordinatae A E. FG in ratione dupla. Dico quadratura EL ad spatium ΑΗ GFE adinque & quodvis parallelogrammum hyperbolae inscriptum ad spatium Ordinatis rationis duplae interjectum in esse proxime, ut ro ad 7. ducta enim diametro B A, & juncta A F quae tangens erit , quoniam extensa ad alteram asymptoton bifariam secaretnr in A. prout B F bifariam secaretur in E ductaque G D. & H I C N Kasymptoto BF parallelis; quoniam rectangula R L B. II K Baequalia sunt , & communi ablato BEC :equalia remanent ECH, KCA, erit H C ad C A, vel Cl sol, angulum E A Ffe mi rectum) ut KC, seu EA ad E C, & dividendo. H l ad CI, vel C A, ut C A ad C E; cum igitur sint: EC, C A. I FI continue proportionales, erit tertia III aequalis quadrato se . . cundae C A diviso per primam C Ε ; itaque ii EA dicatur aequalis a , &quaelibet partio AC dicatur e , erit H I xqualis L ; intelli satur ergo A E in ioo. aequales particulas di