장음표시 사용
111쪽
Theorem. Hugen. Cap. VIII. 9 I
morabimus, cujus ex hac methodo specimina bene multa ob via sunt. Proponatur primo figura Noo , cujus olim hanc genesim excogitaveram ad circuli quadraturam promovenda. Norma ex regulis CN . N A ad angulum rectum C N A compositis in plano verticali circa punctum N ita convertatur , ut brachium N C determinatae longitudinis existens,
zontem versus S inclinetur, secetarque in o a filo ao, pondere T perpendiculariter descendente extenso, atque extremo regulae N C , sive N a alligato ; itaque angulus a Nosemper rectus erit; sed& dueta circuli tangente ab rectus est N a b; aequi distat igitur No tangenti ab ; estque Noo figura quadranti Corresata;& ideo spatium eurva Noo, radio N A, Sasymptoto AS interjertum aequale erit circulari quaeranti C A N, ejusque partes Nor, semisegmentis arcu C a.
112쪽
arcu Aa, radio AN, & sinu arens a C determinatis ; praeterea septores convexi N C a, cavis sectoribus N a o aequales erunt, & portiones, curva No. ejusque subtensa No comprehenis, trilineis arcu ac , ejusque tangente, & intercepta axis portione definitis aequabuntur, & areus Ca ad eius si num , sive ad N r, erit perpetuli, ut spatium N O a C ad te changulum C Ne, aut ANr , &c. Tangentem poscis ad quodlibet punctum o p divide bifariam No; expuncto divisionis ad punctum a iunge rectam, quae secabit Nr in aliquo puncto; hinc juncta ad O tanget. Unde habetur, tangentem a b quadrantis N C A, Droductam usque ad radium
N A, simul eum sinu ar , seu linea or ordinata Correlatae Noo, & ramo No, ac tangente, quam supra determinavimus ad punctum Correlataeo, ipsum radium N A. usque ad occursum tangentis ba protensum, secare in harmonica proportione ; seu abscissam N r ad subtangentem, quae correspo- det punem o, & ordinatae or . esse , ut Oa cum ar ad Ninsam a r. Eamdem lineam ab aliis postmodum deseriptam In
113쪽
ν Spatii Cycloidalis dimensio hine etiam profluit , esto enim Cyclois Aa Ο, cum circumscripto parallelogrammo DN, ae per punctum N perpetuli seratur recta No, parautela existens tangentibus Cycloidis ab , & occurrens ordiis natis trilinei Cycloidalis . nempe ipsis a n product is in o. Constat figuram C relatam. inde provenientem, Noo fore ipsummet semicuculum genitorem Cycloidis, quippe cui chordis No parallelae sint dictae tangentes Cycloidis, ut dudum Geometris innotuit, ac Torricellius indicavit. potestq; ex generali nostra de tangentibus ex motuum compositione determinandis doctrina orp. s. tradita sic paucis deduci. GLgnitur Cyclois ex duplici motu, utroque aequab , ii, & seque u
mi, altero per basim o D, euius directio in puncto a est a d, altero per arcum semicirculi, cujus directio est tangens dB; hac
114쪽
hae igitur posita aequali lineae da, seu ipsi areui d Λ . iuncta B a erit tangens, utpote diameter Rhombi laterum aequalium
ex ea, quam nunc illustramus, doctrina, aequalis est integre, &particulatim trilineo Oa A N. hoc tablato Oxparaiaeso am-mo N ADo, quod ejuidem seimicircula,ex Archimedeis da-
ad , d B, aueoque in qua est directio motus ex duobus aeque velocibus per latera ad , d B compoliti; verum quia tam angulus C d A simul cum A d B , quam angulus C A d , simul cum Adr rectum constituunt, estque C d A aequalis C Ad, etiam Bd A imi A d r aequabitur; duplus est igitur B d r ipsius Ad B; sed&duplus unius ex aequalibus internis d Ba; itaque anguli dBa, Bd A sunt aequales , sed Sc alterni ; aequid illat igitur tangens a B chordae circuli genitoris Ad. Quoniam igitur prae1cripta figura Noo est semicirculus genitor, atqua
115쪽
.minis, sive utὶ & nos in Vivianeis ostendi mus ad Pr. 3 6. Cor. r.est quadruplum, residuum spatium semicycloidis O a A D triplum erit remicireuli genitoris. Sed & partium cavae cycloidis, duabus tangentibus, & curva comprehensarum dimensio innotescet; puta spatium Aba semper aequale erit portioni circulari, arcu A d, ejusque oboeda comprehensi, eo qu6d spatium Ade spatio, vio g. r. A ai, & triangulum Acir triangulo iba sit aequale. 8 Sed&spatia trilinearia, redi a g. a. ad A a, arcu circulid A, curva Aa, & ordinata da comprehensa, dupla semper esse convincentur segmentorum cycloidis, curva A a, Se subtensa A a comprehensorum; liquidem tota parallelogram nad Aba dupla sunt integrorum triangulorum a Ab ; sed segmenta cava cycloidis a A b, simul cum segmentis circularibus Ad duplum essiciunt solius cavi cycloidalis segmenti a Abi igitur reliqua trilinea ad A dupla erunt residuorum segmentorum convexorum cycloidis.A a ; unde δ: gonae a d d a duplae erunt sectorum cycloidalium a A a, duabus subtensis, & curva a a comprehensorum. Hinc si ordinata ad esset ad semissem altitudinis cycloidis , sive per centrum C circuli genitoris transiret, quoniam tunc trilineum A da quadrabile foret, utpote aequale ungulae, seu figurae sinuum quadrantis, ad cujus arcum applicaretur . idest aequale quadrato radii Cd ; tune inquam segmentum convexum Veloidis a A quadrabile pariter foret s Lethnitio etiam id demonstranteὶ nempe aequale
semissi quadrati radii; quod ii ordinata a d r sit ad quartam altitudinis partem, it aut Ar sit aequalis semissi radii AC, quia sector circularis d AC duplus erit trianguli ad K quippe inaequalibus basibus d A. da ad altitudinem C A duplam ipsius Ar) & trilineum cycloidale d Aa, ex nuper dictis, duplumesriegmenti convexi cycloidis A a, erit tota figura a AC da dupla segmenti a Ad, chorda Ad , curva Aa , Fc ordinatae portione ad contenti; igitur dividendo, triangulum aequilaterum d A c aequale erit huic ipsi segmento ; quod proinde quadrabile erit ; unde fc quadrabile, quod additione triangulid Ar conficitur, semis egmentum a Ar , ejusque duplum in integra cycloide, aequale nimirum aequilatero triangulo, quod
116쪽
genitori cireulo inscribitur, uti Hugenio jam pridem innotuit; sed & cycloidalia segmenta, quorum subtensae puncta conjungunt, alterum a tangente verticis, alterum ab ordinata per centrum circuli, seque distantia facilem quadraturam admittunt. sive ad easdem, sive ad diversas partes puncta jungantur, & E nae binis ejusmodi subtensis interjeme pariter quadrabiles imveniuntur , & segmenta, tum cycloidis, tum semicirculi genitoris , abscissa chordis, quarum eXtrema a verticis tangente,dca basiaeque dissita sint ad easdeni partes, aequalia ostenduntur . ubi verti ad partes contrarias, aequalia semicitculo, simul eum rectangulo diametri in sinum arcus responclentis, &C. in quibus immorari non vacat, quippe ad aha pergendum . 9 Quod etiam demonstravit olini Hugermis. spatium Cis- ide Dioclea ultra quadrantem continuata, ejusque asymptoto,& circuli genitoris diametro interceptum, tripium cile se. mieitculi genitoris, facillime ex nostra hac methocio deducitur, illud, ejusq; singulas partes, cum cycloide,& eius portionibus comparando. Sit enim semicyclois A CN. cujus semis ' eireulus genitor Ad N, ex quo etiam genita intelligatur Cis-lais Noo. Juncta subtensa qualibet No, atque Ordinatis, ut in figura, patet junctam Nd esse ipsi N o perpendicularem, propter dr, rN , ro continue proportionales ; aequi distat igitur ipsa N o chordae A d, atque ad ed & tangenti cycloidis ab; quod cum semper eveniat, sequitur totum spatium
117쪽
infinitE longum o NAO toti, semicycloidi, & eius singulas partes Nor ipsis portionibus C a n. & orro ipsi n a a n perpetuo adaequari; juncto autem cit idi semicirculo A d N, totum spatium o o N d d A O semicirculi esse quadruplum, iapartes o N d quadruplas segmenti N d, arcu scilicet, ac chorda his litteris designata comprehensi , aut sectores diametro AN, curvae portione No, junctisq; ex A ad o chordis A o interjectos , eorumdem segmentorum circularium N d est e triplos, &c. Si curva Aae fuerit Tractoria , qualem cap s. sub finem num a. descripsimus, cujus nimirum tangens ab eiusdem ubique est longitudinis , utique ei Correlata figura oo G erit circuli quadrans, centro N, radio NA, quippe No tangenti parallela, erit ubique aequalis , unde infinitum spatium a Tractoria, ejusque Asymptoto conclusum, quadranti circulari, radio tangentis descripto aequale demonstrabitur,& partes proportionales segmenti S congruis respondebunt. - io Quid de parabolarum infinitis speciebus addam pSane, resumpta figura numeri a. hujus capitis, constat, spa-N tium
118쪽
tium AaCgG esse duplicatum trili neu parabolicum AC positoqubdipsa CAN sit parabola quadratica, in qua sub- tangentes N B, sive iis aequales Λ G, duplae sunt abscissarum NE, seu A O ; itaque parabola A CN, utpotu aequalis spatio AaCgG, erit dupla trilinei ΑCω , sui nimirum complementi ad parallelogrammum circumscriptum , adeoque aequalis erit 2 ejusdem circumscripti par llelogrammi ; ubi autem subtangens N B abscissae N C tripla fuerit uti aeeidit in parabola cubica, seu in curva, cujuS ordinatarum N A, na cubi fuerint, ut partes axis NC, n Ca vertice abscissae erit, eadem ratione, figura A a CG, adeoque & ipsa parabola CAN, tripla trilinei C A Φ,& consequenter aequalis L circumscripti parallelogrammi; ac generaliter habebit cujusvis speciei parabola ad trilineum, seu complementum partile logrammi ipsum circumscribentis, eamdem semper rationem, quam exponens potestatis suarum ordinatarum ad exponentem potestatum axis; idest in quadratica , ut 2 ad r. in cubiis ea, ut 3 ad a. in quadratoquadratica, ut 4 ad a. &c. In ea, in qua cubi ordinatarum fuerint, ut quadrata abscissarum, ut 3 ad a. & in qua quadrat quadrata ordinatarum sint, ut cubipartium axis, ut 4 ad 3 , &c. quippe in hac ipsa ratione erunt semper subtagentes conflantes figuram AC G, parabolae aequalem, ad abscissas constantes dictum trilineum, ut dudum Geo
119쪽
metris innotuit. potestque deduci ex generali tangentium .constructione cap. s, Praesertim num. q. & sequentibus ad parabolas applicata.
ii Eodem plane modo infinitas hyperbolas ad mensuram vocabis: Ac primo spatium Apolloniana hyperbola, ejusque asymptoto conclusum infinitum csse , sic patebit : esto talis hyperbola Aa C, cujus asymptoti Φ D , DB ; manifestumeli, iubtangentes B N aequales esse distantiis a centro N D; unde facta, iuxta praescriptum nurn. a. figura gG Aa C, erit perpetuo G A aequalis A . , g a aequalis a s, &c. & spatiunt
aequalia; sed primum excedit secundum parallelogrammo N A Φ D; ergo oportet utraque infinita esse; ex finitis enim, quod alterum luperat spatio finito, non est illi aequale, sed tantum in infinitis hoc locum habet; postea curva Aa C supponatur esse hyperbola secundi gradus, in qua videlicet ordinatarum A . , as quadr/ta reciproce sunt inter se , ut partes asymptoti fD, DΦ ; manifestum est ex dieiis cap. praecedent. n-.9. distantias a centro DN, duplas fore subtangentium
N B; itaque cum semper in hoc casu Φ A sit dupla AG , fa
120쪽
dupla a g; tota figura b D Aa C dupla erit ipsius gGAa adeoque dupIa spatii huic aequalis C a ANb; & dividendo, spatium infinitum C a AN b aequale parallelogrammo hyperbolae inscripto NA. D. In hyperbola tertii, aut quarti gradus. propter distantias a centro triplas, & quadruplas subtangentium , colligetur, spatium CaANb esse semissem , aut trientem, &c. parat Ielogrammi D A ; & generaIiter esse iIlud spatium ad hoc parallelogrammorum , ut exponens di stantiarum a centro . D ad exponentem ordinatarum do Adiminutum exponente earumdem distantiarum; seu si exponens distantiarum sit γ , ordinatarum x , ut I ad X-I , scilicet in prima hyperbola, ut I ad O. in secunda , ut i ad i. in tertia, ut i ad 2. &c. in ea, in qua distantiarum quadrata essent, ut cubi ordinatarum , ut et ad I. &c.
3 a Spirales verd, aut quae harum instar generari concipiuntur figurae, numquid ab nujus methodi , & doctrinae legibus excludentur 3 imo Scipis illius influxum in se derivare poterunt, sed suae naturae contemperatum; figura enim ex subta gentibus ad respectiva puncta radii applicatis, non quidem aequalis, sed dupla semper erit Spiralis figurae sibi correspondentis, eoqubd harum figuratum elementa non sint parallela,