장음표시 사용
71쪽
bi gratia sumitur circularis motus puncti a spiralis C a Α, in qua sumitur circulatio puncti A, ille quippe sumendus inperipheria a I radio Ca descripta, quem totum motum Participat spiralis in puncto a.
o Atque inde est, quod subtangens quidem puncti A in spirali Arcni medea post Integram revolutionem radii C A aequalis est peripheriae ALBA eodem radio descriptae sexistente siquidem hic utroque motu aequabili, ip rum velocitates sunt, ut spatia eodem tempore percursa, ut si velocitas progressi vi motus sit C A , velocitas circularis sit ipsa C B subtangens
aequalis peripheriae eodem tempore percursae at verb subtan gens b c puncti alterius a eadem non erit, ac quae ad dictam periphetiam lit, ut Ca ad C A, ut aequabilitas motus exigeret, sed velocitate progressivi motus expressa per Ca, velocitas motus circularis erit tanto adhuc minor, quanto propius centro est punctum a , idest, ut arcus I da, quem eo usque linea Ca illo puncto descripsit , & cui propterea subtangens ch aequalis erit ; itaque decrescunt subtangentes in duplicata radiorum ratione, quia semel ob dim inutionem radii, & semel adhuc ob pari formem diminutionem circularis velocitatis, atque aded vertice C descripta parabola A L Κ, ductisque A Κ,
IL ejus axi parallelis, erunt hae ad invicem, ut subtangentes
radiis helicis CA, &Ca aequalis Cl) respondentes; qubdsi Spiralis ejus generis fuerit, ut spatia AC, a C motu progressivo percuria sint in subduplicata temporum, aut arcuum circulari motu aequabiliter percursorum ratione, manifestum
est progressivam celeritatem puncti A , vel a subduplam fore
ejus, quae fuerat in prima Spirali, & exponendam per se mi Liam radiorum C A, vel Ca, si eadem retineatur linea expo. nens celeritatem aequabilis circulationis, aut si illa exponenda sit per integras lineas C A , C a, aequabilem celeritatem expOnendam fore per priorum lub tangentium duplas; erit igitur in hoc casu subtangens CB dupla circumferentiae ALDA, &sub tangens C b dupla arcus ad I, qui ex tribus capitibus mi. nor erit illa circumferentia, nempe in duplicata radiorum ratione, & in earumdem simplici adhuc decremento ob approximationem centri, unde parabola cubica C L K descripta, in G i qua
72쪽
qua axi paralleIae Κ A, LI sint in triplicata radiorum A C, CIratione, sive ut eorumdem cubi, erunt ipsae axi parallelae, ut subtangentes ad correlativa curvae spiralis pundia; similiter in aliis Spiralium speciebus, ac parabolis per ordinem correspo- dentibus procedere potes; quod innuisse juvabit ad comparandas Spirales curvas cum congruis curvis parabolicis, utiaIias facturi sumus, ostendendo , quod si Α Κ sit aequalis a circumferentiae A L D in prima Spirali, aut ejusdem in secunda, aut a in tertia, a in quarta, &α prima parabola exissente quadratica, secunda cubica , tertia quadratoquadrati- ea,&c. Lineae, spiralis, & parabolica aequales erunt; Imo et si motus circularis & ipse aequabilis non fuerit, sed acceleratus, congruae parabolae nihilominus reperientur earumdem nempe potestatum in axe, & ordinatis, quot fuerint in respondentis Spiralis circumserentia, &. radio , sed ordinatis parabolae ad tanto plures gradus elevatis, quot fuerint unitates in expone te potestatum axis, neque enim difficilior est subtangentiumia ad has Spirales determinatio, faciendo temper, ut velocitas
73쪽
progressiva ad circularem, ita AC, vel a C ad subtangentem CB, aut Ch ex Centro perpendiculariter ductam ad suum radium , uti pluribus explicare superfluum est. io In Spirali Geometrica, quoniam ex dictis cap. I. n. I a. illa per convolutionem Logisticae describitur ad maximum radium C A posita C B subtangente aequali subtangenti ejusdem
Logistieae, quae eonvoIvitur, aIiae subtangentes C b tanto minores prima CB faciendae sunt, quanto minor est C a ob rationem in fine vam. 8. indicatam, quia in ipsa evoluta Lo illica subtangens cujusvis ordinatae semper eadem est, ut lupra ostendimus, & mox post illustratam hanc methodum ostensuri sumus; atque inde est, quod triangula C A B, C ab semper similia sunt, angulique a radiis,& tangentibus aequales , totam curva A a C aequalis tangenti AB, & a a C tangenti ab , &e. imo universaliter, si curva quaelibet convolvi in Spiralem in. elligatur eo modo, quo de Logistiua citato loco exposuimus,
sub tangentes radiorum quorumlibet Spiralis erunt tanto minores , quam forent subtangentes rei pondentium aequalium ordinatarum evolutae , quan id propiora centro sunt puncta extrema dictorum radiorum, quam punctum extremum maximi radii, quo vides ne dum He Iicis Arciamedeae, aliarumque
74쪽
diversorum graduum, per convolutiones, trianguli, parab I aeque, quadraticae, cubicae, &c. genitarum,tangentes determinari cohaereter ad dicta numero 1uperiori, sed infinitarum prope aliarum Spiralium, quae ex quavis figura se convoluta oriri possunt. ii Non rard autem juvabit duorum in eodem radio punctorum motum invicem comparare, quorum alter cognitus sit, alter certam ad illum proportionem obtineat: exemplores clarior fiet. Esto Nicomedea Conchois A a B, polo Ρ, regula FH descripta, intervallo AF, cui sequalis supponatur GP radius circuli GgM, & quaeratur tangens puncti B; juncto ramo P B secante praedictum circulum in M, regulam in D, considero curvam A a B genitam ex circulari motu lineae P Acirca P, &ex progressivo puncti A per ipsam P A ita ascendentis, ut non obstante ejus inclinatione ad regulam F H, ipsum punctum eamdem semper a regula distantiam observet, sit nempe FA semper aequalis DB; progressus igitur puncti A venientis in B, nempe excessus PB supra P A idem erit, ac excessus P D supra PF; eadem iFitur velocitas erit hujus progressivi motus, atque illa quam haberet punctum F, si in
circulatione lineae PF ita per ipsam ascenderet, ut semper reperiretur in regula FH, eamque re ipsa describeret. Uelocitas autem circularis in descriptionc Conchoidis erit ad punctum B tanto major, quam circularis velocitas in descriptione rectae F H ad punctum D, quanto major est B P, quam P D. Ducta igitur tangente circuli S MO, atque huic parallelis D l.
75쪽
BC , junctaque PIC , ducatur ramo PB parallela I Κ, ociscurrens regulae in Κ, atq; eidem parallela C QAqualis ipfi l K. Iuncta Q u erit tangens quae lita ; motus siquidem per D ΚcomponiIur ex motu per D I parallelam tangenti MS, quae circularis motus directionem exhibet, & ex motu per lΚ parallelam PD, in qua est motus progressivus; sed&motus per Aa B componitur ex eodem progressivo, qualem exhibet linea C Q qualis,& parallela ipsi l Κ,& ex circulari in eadem directione, ted tanto majori,quanto longior est B P.quam D P, adeoque optime exprimendum per B C, quae ad D l in eadem ratione respondet; igitur juncta a B dabit directionem motus ex utroque compositi; idcit tangentem ad punctum B. Simili modo etiam Subconchoidis lite voco curvam, ad quam sunt puncta abscindentia ex ramis PF, P D infra regulam aequalia intervalla) aliarumque specierum in infinitum curvarum Conchilium,&Sub conchilium, cum scilicet abscit sa ex ramis, vel supra, vel infra regulam intervalla, non quidem radiis PM quadrantis circularis aequalia sunt , sed subtensis.
seu ramis P M, P g alterius cujuslibet figurae G M g squomodo si haec sit semicirculus circa diam metrum P F, habebitur infra regulam Cislois Dioclea in infinitum continuata, quam propterea ad genus Subconchilium revoco tangentes expedite dabuntur. quas etiam geometricis demonstrationibus cω firmare, & generali quadam constructione exprimere in prom-Ptu esset, nisi verendum foret, ne longius ab instituto digrederer; itaque solam primariae Conchoidis geometricam demonstrationem. ex qua Lector, si acuto pollet ingenio, facile sibi caeteras coparabit, in medium afferam,quae quide est hujusmodi.
a Supponatur BC eoneurrere eum regula in C s potest enim tum BC, tum D I cujuslibet longitudinis esse, dummodo intra ramum PB, &junctam PC contineantur) duelo autem quovis alio ramo P a, secante regulam in L ponatur f Eaequalis,non quidem radio P g, sed Pm secanti anguli M Pg,& iic ubique nat, ut habeatur curva EBE, quam manifestum est tangere Conchoidem in B, quia, cum P m semper major sit radio P g, etiam f Ε major erit intervallo Conchoidis f a,
76쪽
puncta igitur Ε semper sunt supra puncta a Conchoidis ; ut
igitur observat verus Geometra in Recreatione Geometrica, quae linea recta tanget curvam Ε B E, eadem tanget Conchoidem a B a, Propter angulum contingentiae temper indivisibilem, minoremque s ut daci solet J quovis angulo rectilineo; jam vero ostendemus curvam ΕΒΕ esse hyperbolam intra asymptotos H N O , ejusque tangentem esse ipsam B inconvenientem cum regula in H; quia ducta P S resulae parallela, occurrente tangenti M S in S, ob triangula similia D BC, PMS, quorum latera BD, P M sunt aequalia, aequales etiam
erunt hales DC, PS, unde jnncta SC aequi distabit ipsi DM; quare C N ad N S erit, ut D N ad N M, seu ut P S ad S M, vel C B, adelique rectansulum N C B aequale erit ipsi N S P; eodem modo ducta ER ipsi BC parallela ostendetur juncta S R aequi distare ipsi m f, adelique N R Ε aequale esse eidem NS P; aequalia igitur cum sint rectangula N C B, N R E curva ΕΒΕ erit hyperbola intra angulum H NO ; cumque iit N C ad C D , ut M B , seu P D illi aequalis ad B D . idest extensa IΚ ad B C in L) ut B L ad L C, seu l K ad K L,
nempe CQ aequalis ex constructione ipiti ΚJ ad excessum DB supra Cin, aut denique ut CH ad eamdem CD, erit N C ipsi C H aequalis; ergo H aB hyperbolam in B tangat, ,&consequenter Conchoi dein : quod nobis propositum erat
33 Iam tandem, ut promissam Theorematis IV. Hugeniani demonstrationem ex ea , quam proposuimus , methodo
77쪽
absolvamus; si in Logistica fiat, ut velocitas puncti A illam describentis, juxta genesim cap. l. num. s. indicatam, ad sequabilem velocitatem lineae A B per axem delatae, ita A B ad B in constat ex dictis uum. 3. atque hactenus abunis illustratis,junctam Ao esse tangentem simi liter si fiat,ut eadem aequabilis
velocitas ad velocitatem puncti stuentis in V, ita C ad C Rjuncta Uintanget; habebit igitur velocitas in A ad veloeitatem in V rationem compositinim ex A B ad B Ο , & ex Cad C V. sive erit, ut A B in C Rad B O in C Vi sed eaedem
velocitates ex dictis tum cap. I. num. 3. tum indicatis hie n. 6. sunt etiam ut BA ad CV, omnes quippe ordinatarum aequo intervallo distantium differentiae sunt ipsis totis ordinatis eroportionales, igitur AB in C ad Bo in CU est ut AB ad C U, quare subtangentes B O, C QIunt aequales. Quod erat
34 Hinc obiter colligere possumus , quod si parabola. cujus parameter dupla fuerit parametri Logisticae , eirea eumdem axem constituta fuerit, aut juxta ipsum axem flue-H re
78쪽
re concipiatur, in quovis stu alteram altera ad rectos anguistos secabit. puta parabola V F, cupis para meter dupla sit iubis tangentis Logisticae G in. & ad communem cum ipsa axem constitiua, aut juxta ipium fluens, utraque se interiecante in puncto F, aut f. angulus curvarum V FA . aut v fA semis per erit retius; Cum enim intercepta G nter ordinatam.& QF perpendicularem parabolae, sit dimidia suae parametri, demolirante id Vero Geometra in Clariis de Max.& Min. op. erit in hoc casu aequalis subtangenti Logistitae; ergo a F tan. gens Logisticae, idest ipsemet curva A F erit perpendicuIaris parabolae U F, & e contra tangens E F par bolae, seu ipsa curisua parabolica V F erit perpendicularis tangenti Loaisticae F, seu curvae AF in puncto quovis sibi occurrant.
79쪽
2uintam Triorem proporitur, quod vi demonstretur,
Ostenditur , Dperbolica spatia parallelis Udi toto proportiones ibas de ita aequalia esse ; hpatia quaeli.
let eam inter fle rationem habere, extrema mordinatarum rationes. Axi Logistica parallelae inter
se flant, ut 'perbolica spatia iis respondentia. In Geometrica Spiraue,arcus, ct hectores circulares ejus ramis interiecti,proportionantur spatiis, ct sectoribus Θperbolicis respondentibus. Subtangens Lusicae ad quamvis ori parallelam est, ut parallelogrammum byerbosae isscriptum ad spatium Θperbolicum. Deman Dandi modus is serupulis vindicatur. Propo- filio universalior redditur. 2uid sit facere Universale Prima Geometricae Spiralis subtangens est ad arcus cir lares , ut Θperbola parallelogrammam ad hyperbolica spatia. Spatia Dperbolica, aut secto. res Dperbolici in ea sani ratisne ad circulares sectores eorrespondentes, in qua mixima Or iratarum Θρerbolet ad semissem Dbiangemis Lusicae. Parallelogramnam hyperbolae inberiptum ad 'atium ordinatis duplae proportionis interjectam est proximλ,ut I o. 7.suiuii Theorematis Hugenii dewonstratio.
a T Ongios in praecedenti capite progressi suimus, quam ab . initio sperabamus: habenae ideo contrahendae in praesenti, in quo Quintum Hugenii Theorema nobis demonstrandum proponimus. Hac longitudo, inquit de subtangente, per H i ρο-
80쪽
approximationem reperitur, esque adpartem Udimptoti inrerj ciam ordinatis proportionis dupla, ut q34a9 4339o 3 si 8o ad 3oio 3999366398t 9s, seu proxime , uι I3 ad 9. Quia tamen inliniti pene laboris, ac tedii esset Iongissimos hos Hugenii numeros persequi, neque ad manum Tabulae Logarithmicae ad tam multmlices notas extenta occurrunt, quibu&verisimule est usum Hugenium ad ejusmodi calculum expediendum, id ebeumdem lapidem alia methodo movere aggrediar, majo-Fique tum compendio, tum emolumento, vel ad hanc ipsam, vel ad aliam huic propinquam dictarum linearum P Porti nem intelligendam Lectorum mentes disponam. a Praemittendum igitur, quod Hyperbolae, & Asymptoto interjecta spatia, alteri asymptoto parallelis proportionalibus terminata, invicem aequalia sunt ; id quidem Gregorius a S. Vincentio Magnus superioris saeculi Geometra, suaeque Societatis Lumen Amplissimum, primus, qudd sciam, ostendit,quia
tamen nec mihi, nec plerisque lariasse Lectorum meorum,ejus Codex ad manus est, placet demonstrationem hanc cocinnare.
Esto, M. t .seq. Schem. asymptotis A B QInterjecta hyperbola D E R,assignenturq;spatia DCN F,ΚLQR definita extremis
I in eis DC , FN, & KL, QR alteri asymptoto parallelis.
invicem vero proportionalibus. Dico ejusmodi spatia invi-eem aequalia esIe ex natura siquidem hyperbolae erunt etiam
BC, BN, B L. B in proportionales. utpote iisdem parallelis reciproce respondentes; earumque differentiae C N, L Q homologis terminis BC, B L, aut L Κ, CD itidem proportionales . ordinetur ergo ad C N ipia CG aeo ualis L Κ, &ipsa NI aequalis QR., atque inter duas C B, B N , sumpta media proportionali B M, ordinetur M E ; similites inter duas B L, B insumpta media B O, ordinetur o P, cui aequalis p natur M H ; atque ita porrb sumptis a Iiis intermediis inter
ordinatae ad extrema talium mediarum in spatio Κ L QR tr Sserantur, & applicentur extremis dictarum mediatum in Iinea CN exissentium , quoadusque fiat spatium C GΗlN, cujus ordinatae sunt aequales ordinatis spatii K L QR, sed applicatae ad partes altitudinis C N proportionales partibus a