장음표시 사용
131쪽
spatii eomprehensi ab ipsa BCA , & tam submultiplices
pariter fore subtangentes hujus, subtangentium illius. 6 Ut altera igitur propositi Theorematis demonstratio compleatur, triangulo o F B ad verticem o inscriptum esto trilineum parabolicum ORPB F, cujus ad verticem tam gens o F ι manifestum est, Conum ex o B F ei rea F o proportionaliter analogum esse tri I meo OP BF, quippe, ut circuli, vel quadrata radiorum B F, ND. ita lineae BF, DP; quemadmodum & spatium FB NM supra descriptum proportionaliter analogii est solido rotundo ex Logistiea F B C Acirca Fo, ed quod circuli, vel quadrata radiorum FB, DC sint ut lineae FB. DN; ita erit igitur solidum ex FBC A ad Conum ex FBo, quemadmodum spatium FB NM , idest
ex praeced. num. triangulum FB o. ad trilineum FBPO; nempe in ratione sesquialtera. . d. 7 Duas alias adhuc diversas ejuidem Theorematis demo strationes afferre pollem, sed ne Iongior sim, & altera longEutiliori locum aperiam, hac dumtaxat contentus ero , quam tertio loco subjungam, atque ut Lectores patienter attendant enixios rogabo. Semen foecundissimum est, unde illa pullulat. quippe illi, quodpraeci cap. 1 . a. sevimus, atq; unde tot fructus abunda collegimus, agnatum penitus, atque eongeneum esse reperies. Sint igitur eaedem Correlatae figurae, quas loco citato dcicripsimus, g G Aa C, &N Aa C; utraque autem cir
132쪽
ca axem N B convertatur; ajo solidum a spatio primo, & exteriori productum duplum esse solidi a secundo , & interiori spatio geniti; facta enim eadem, ut prius, constructione, cum parallelogrammum N F aequale sit ipsi MG i utroque circa N B revoluto, cylindrus ex primo erit ad tubum cylindricum genitum ex secundo, ut dimidia N Λ quae est ealtantia centri
gravitatis ipsius N F ab axe motus ad mediam arithmeticam inter Μ N, & AN quae est distantia centri gravitatis MG ab eodem axe haec autem media arithmetica in parallelogrammis infinite exiguae latitudinis, atque adeo in ipsismet solidis, in quae tandem desinunt tubi illi cylindrici, punctis M, A, coincidentibus ,& omni latitudine M A penitus evaneicente, est iplissima linea N Λ; itaque, cum idem ratiocinium valeat in omnibus aliis cylindris ex n f, & tubis cylindricis ex mg in tali conversione spatiorum genitis, erit semper unusquisque cylindrus solidi ex interiori figura ad quemlibet tubum solidi ex figura exteriori, ut dimidia NA ad totam NR, ut dimidia na ad totam na, 1 emper nimirum iaratione subdupla ; solidum igitur ex interiori figura C a A Nest semissis solidi ex figura exteriori gGΛ a C. Quod erat demonstrandum. 8 Di-
133쪽
s Directh autem depressis, aut evectis lineis singuris A G. ag, ut jam non ad ipsam curvam A a C. sed ad basim N Aipsarum extrema pertingant, quemadmodum cap. pracedentinum. 3. monuimus non FariarI figurae quantitatem. sed ea dem esse figuram N o o G A Hac provenientem , ac quae prius erat g G A a C , ita pariter constat, idem solidum ex ipsa o o G A N eirea N B revoluta proventurum, quodprius ex g G Aa C , propter servatam ea indem linearum Ata, &Ο et tum longitudinem, tum distantiam ab axe motus, adeliindue easdem cylindricas superficies haec solida componentes; optum est igitur solidum ex figura oo G AN , solidi ex Ca AN facta circa N B utriusq; rotatione descripti; imo & partes partium respondentium, videlicet solicium. quod ex portione Nro, clupIum solidi ex C a n aeceptis or , & na homologis , scilicet in idem a punctum convenientibus ) Sc quod ex or AG, duplum ejus, quod ab A a n N , ob eamdem rationem . P 9 Ter-
134쪽
s Tertia igitur propositi Theorematis Hugeniani demonstratio sic expedietur. Esto Logistica Aa C. Constat ex ductis cap praced num. I 3. et Correlatam figuram esse parallel
grammum N AGO, quod si circa axem Logisticae rotetur cylindrum producet triplum coni ab inscripto triagulo NAB
ejusdem balis, &paris altitudinis; cum igitur ex ea, quam hic adduximus, doctrina solidum ex Logistica circa axem sit subduplum praefati cylindri ex parallelogrammo NAG, erit so- Iidum Losisticae ad conum illum inscriptum in ratione composita ex iubdupla, inter ipsum, & cylindrum intercedente, δ: ex tripla inter cylindrum, ac dictum conum reperta; Ratio autem ex his composita ut ad finem num. a. indicavimus est sesquialtera; quare, &c., o Sed & hinc pariter constat dimensio portionum eiusdem solidi, puta ejus, quae a parte na AN circa nN rotata generatur , quippe quae demonstretur semissis tu hi cylindrici ex correspondente parallelogrammo Aro circa eumdem axem converso geniti, idest aequalis cylindro, basi differentia circulorum AN, Nr, altitudine vero semisse subtangentis; indeque subtracto cylindro ab inscripto parallelogrammo nar, residuu aequale erit annulo ex spatio trilineari a r A circa axem
135쪽
revoluto, quod proinde notam rationem habebit, si ve ad aliuannulum ar A, sive ad tubum cylindricum ex parallelogrammo, quod tibi circumlcriberetur , dc hoc cap. 7. rum I . deIbderabatur ad spatia quaedam trilinearia Spiralis Geometricae. tum ad invicem, tum ad circumscriptas armillarum cirςulariuportiones comparanda , ut ex ibi dictis constat. Calculumineat qui volet . Nobis colliFendi sunt fructus ex doctrinam m. 7. & 8. indicata uberrime manantes, imo verisis Lecto. ribus indicandi, ne voluptatem illos per se decerpendi eisdem invidisse videamur. ii In primis igitur in figura quadranti Correlata, cap. prac. num. 6. descripta, patet, nedum integrum spatium SANoo circa N C revolutum, producere solidum aequale spherae ra
duplae sint portiones ejusdem solidi partibus concavis Nordet criptae, ac consequenter cui solido aequales con Oides a con-Vexis etiam portionibus, curva N O , & axe C N producto interceptis, ordinataque ex o ipsi r N parallela terminatis, cuca eumdem axem conversis, &tam facile erit , sive ali-
136쪽
quod ex hujusmodi conoidibus, sive ex soIidis a spatio cocavo descriptis in data ratione dividere,qua facile est in spherae portionibus,& residuis cylidrore illas circularibentisi ide praestare. ia Cycloide Oa A N eirca tangentem verticis A N reum lata, patet solidum inde proveniens esse subduplum annui i ex semicirculo Noo eirea eamdem tangentem converso: unde& residunni cylindri illi solido circumscripti, idest solidum. quod ex semicycloide eonvexa o a A D circa tangentem Perinticis conversa describitur, notae dimensionis erit, imo & ejus Partium mensura innotescet: quae iam pridem inter Geometras magna sollicitudine quaesita fuisse video. Idem in Cis- solde praestandum, cujus quidem ex nota proprietate linearum A r, r d, r N, r o proportionalium, obvia est dimensio sol, .
137쪽
Theorem. Hugen. Cap. IX. . I ly
di eius eonvetiione circa asymptoton AG deseripti, quippe utὶ rectangula Aro, dr N aequalia inde ostenduntur, adeo. que & cylindricae superficies ab iis descriptae, ita integrum illud CiuoidaIe solidum, integro annulo ex semicirculo genitore circa tangentem in N revoluto, & partes partibus correspondentibus aequari manifestum est; ex nostra vero doctrina manifesta etiam evadit dimensio solidi ex eodem cavo eissol-dali spatio ooNAo circa Nn revoluto , ejusque partium, per comparationem ad fusum Cyeloidale ex CAN, ejusque partes; imo & innotescet dimentio Conoidum ex spatiis con-Vexis, curva N cio, & axe n N producto , ac ordinata ex o ipsi rN parallela terminatis, quippe reiidua cylindrorum ex rectangulis N ro productarum. Solidum ex Tralloria subduplu pariter invenies hemispherii ex quadrate sibi correlato,&e. ι3 In parabolis cujusvis generis Ca A. Conoides ex figura C AN circa axem CN habebit semper ad circumscriptum cylindrum ex C . N A rationem notam ; nota
quippe est ratio axis N C ad subtangentem N B , unde& ratio cylindri ex C e N A ad Olindrum ex B G A N,
quae eadem est ; cylinurus autem B G A N componitur
ex solido ex CgGAN quod semper est triplum Conoidis ex CAN , quippe solidum ex Ca AGs hujus semper est duplum , & ex conoide ex CgGB , cuius ratio ad ip-
138쪽
sum C AN eadem semper est, quae CB ad CN, eb ad en,
juxta Proposit. r. Append. nostrae Uivian. Probi. adeoque est ad illum in quadratica , ut I ad ι. in cubi ea , ut 1 ad i. in quadratoquadratica , ut 3 ad ι, &c. in ea , in qua cubiordinatarum sunt , ut quadrata ex sagittis , ut i ad a , &universaliter si ordinatarum exponens sit x , partium vero axis F , ut x minus I ad I ; itaque semper cylindrus ex BGAN erit ad conoidem ex parabola CAN circa axem revoluta , ut 3 F-- I ad F ; scilicet ira quadratica , ut ad a. in cubica, ut s ad i. in sequenti, ut 6 ad 3, &c. in ea, in qua cubi ordinatarum respondent quadratis sagittarum , ut 7 ad a. in qua vero quadrato quadrata respondent
cubis, ut io ad 3, &c. Vel lic etiam calculus institui potest ;quoniam cylindrus ex BGAN triplus est coni ex triangulo B AN ; solidum item ex CgGAN triplum Conoidis C AN ; reliqua etiam conois ex CgGB tripla erit solidi ex trilineo C A B ; est vero, ex dictis, Conois C AN ad Co-
noidem CgGB convertendo, ut I ad x - , ergo ex aequo
Conois C A N ad solidum ex trilineo C A B est, ut 3 ad
sive, ut 33 ad x - F; & componendo, ae per conversionem rationis , conus BANI ad conuidem ex inscripta parabola, ut aI '' X ad 3 , nempe in quadratica , ut 4 ad 3 , in cubi Disitigeo by Gorale
139쪽
hira, ut 3 ad 3, in quadratoQuadrata ea, ut 6 ad 3 , in ea, in qua cubi comparantur quadratis, ut 2 ad 6, &c. 14 Noa dissiciliot infinitarum hyperbolarum tractatio erit. Sit quaevis hyperbola Ca A inter a lymptotos BDO; Sc hule correlata figura gG, cujus ordinatae A G, ag aequales sub- tangentibus N B, n b. Quoniam ex dictis cap. 7. num. 9. est D N ad N B . seu o A ad AG perpetuo , ut exponens oro
di natarum A Φ ad exponentem distantiarum iv D . videlicet , uix ad F; etiam solidum ex spatio Ca AOD circa
DB ad solidum ex g G Aa C circa eumdem axem , s quip-Pe quorum cylindricae superficies a lineis . A, AG, & fa,
ag eam dum perpetuo rationem observant ) ut x ad M, unde
idem antecedens solidum, ad solidum ex Ca AN , quod est juxta nostram doctrinam, solidi consequentis subduplum, erit ut x ad LI , vel ut a x ad F; & dividendo, cylindrus ex inscripto parallelogrammo Φ A N D ad solidum ex spatio in. finne longo Ca AN erit, ut ax F ada; scilicet in prima hyperbola , ut i ad i s uti jam Torri cellius ostendit in secunda , seu quadratica , ut 3 ad r, in tertia, seu cubica , ut s ad 3, in quarta , seu quadrato quadratica, ut T
140쪽
ad i; & se semper , sumpto anteeedente iuxta impatium numerorum progressionem ἔ quod si cubi ordinatarum ad distantiarum quadrata comparentur , ratio invenietur, ut ad a , seu a ad ι , si quadratoquadrata illarum ad istarum cubos, ut s ad &e. Alia exempla, aliaeque speculationes non deerunt, si Lectoris industria hisce vestigiis insistens inferacissimos Geometriae campos se confert.
Decimum Theorema proponitur, ac prima demonstratione stabilitur . In ita series terminorum proportionalium aequatur maximo ducto in exponentem rationis , ac divisio per eumdem exponentem uni ate
minurum. Ex hoe demon Irandi modo, rum f. ita , tum infinitae series aequales octenduntur hammae, vel disserentiae duarum potestatum, per summam , vel disserentiam radicum divisae , ctc. Solidum rotundum , de quo in hoc Theoremate, per infinitae Ierier ealculum admensuram redigitar. Subtangentes Logisticae in ordinata acceptae sunt , ut rectangula Logi meae inscripta. Solidum ex quovis Logisticae spatio circa ordinatam revoluto ad inscriptum e lindrum est , ut congruum trilineum ad inscriptum triangu- tum. Haec ratio nota esse ostenditur . Anuvhs quo que latis per haec spatia progenitis demonstratio applicabilis esse indicatur.