장음표시 사용
141쪽
1 Eeimum Auctoris nostri Theorema inventu, fateor. dissieillimum mihi fuit, duas tamen, aspirante Geometriae Praeside, ejus demonstrationes , eo, quod sequitur , medio tandem extundere potui: Solidum, inquit, productum ab eodem infinito spatio in conversione circa ordinatam B F , posquam exporrigitur, sextuplum est Conigeniti ex triangulo B FOin conversione ςirca B F. Fiat enim angulus EF H semirectus,& ordinatae N D , ME in Logistica extendantur ad lineam FH in G , H. Concipiatur moad solidum ex triangulo H F Ε, s ad partes H Ε indefinite protenso simul cum Logisti ea ) in spatium Logisticae F B M E , quod conflabitur ex
totidem rectangulis G DN, HEM, &c. Aut etiam, ut in Vivianeis indicavimus ad Schol. propos. 6. pag. st. Spatium Logisti cum FB NM ita erectum, ut perpendiculare nat plano HFE, per quod motu sibi semper parallelo fluere intelligatur, ut partes ipsius Logisticae lineam FH praetergredientes deinceps evanescant, ita ut, cum Logistica attigerit punctum G, ejus portio FDN B detacerit, solaque remanserit residua post D N versus LM in infinitum protensa, ubi vero attigerit punctum H, delacerit pars EF B M, solaque re-
142쪽
sidua fuerit quae post E M in infinitum extenditur, &c. Jam constat ex prima geneti, hoc solidum fore ad rotundum ex Logistica circa ordinatam BF revoluta, ut radius cujuspiam circuli ad ejus circumferentiam . quae eni in lineae DN , EM in solido supra deleripto dueerentur in G D , H Κ, aequales ipsis DF, E F , in rotundo solido circa FB dueerentur in peripherias ab eisdem radiis DF, EF, descriptas in rotatione earumdem ordinatarum D N. EM. Rursus ex secunda gesnesi ejusdem prius descripti solidi, patet illud fore aequale prismati altitudine subtangentis o F, basi vero integro Logisticae spatio FBN M. idest, per dicta cap. 8. in demonstratione Theorematis septimi, basi ipso rectangulo OF B. Ratio est, quia solidum illud, juxta tecundam genetim conii deis ratum, habet pro basi spatium FBM, & ad punctum G, sive ad altitudinem GD habet sectionem basi parallelam spatium infinitum post D N extensum , sicut & ad altitudinem ΕΗ spatium infinitum extensum post EM , &c. quemadmodum& prisma,hasi spatio FBNM, altitudine F, secari posset in rectangulum, o F B aequale ipsi FB M, & ad distantiam F Ds aequalem DG secaretur in rectangulum ex OF in D Naequale spatio infinito post DN, necnon & ad distantiam E Fs aequa
143쪽
tio post EM infinite protanso, &c. a Ratio igitur solidi rotundi exspatio FB ME ei rea FB rotati ad conum ex triangulo OBP, utpote composita ex ratione dicti solidi rotundi ad prisma altitudine OF , basi spatio FBM, vel rectangulo OFB ,& ex ratione hujus iplius
prismatis ad dictum conum, componetur ex ratione circum
ferentiae radii o F ad radium OF, vel , asium pia communi altitudine OC, dicas ex ratione cylindricie superficiei descriptae ab OG ad rectangulum FOC) & ex ratione dicti prinniatis ad designatum conum scilicet ex composita rursus ex ratione rectangui i FOC ad triangulum FO B , δι ex O F altitudine prismatis ad circumserentiam ex triente O F, quae est distantia centri gravitatis trianguli ejusdem ab axe motus, juxta celeberrimam regulam Guldinianam, seu dicas ex ratione trianguli ejusdem o F B ad triangulum vix triente circumferentiae ab OF descriptae in ipsam o F, vel OG nae autem rationes componunt rationem sextuplam ; cylindrica siquidem superficies ab DC in conversione circa F B de teripta squae est primus terminus) cum tripla sit cylindricae superficiei eiusdem altitudinis in trientem dumtaxa: peripheriae ex OF, sive inseripheriam trientis O F, sextupla erit trianguli ex tali triente circumferentiae in o C, kel FB quotiestultimus terminus 3 utpote subdupli cylindricae stiperficieri ejusdem altitudinis, & b Iiis. Solidum igitur rotundum ex Logi. sticae spatio FB M circa F B revoluto, sextuplum est Coni ex o FB triangulo inscripto circa eamdem ordinatam rotato. Quod erat demonstrandum. 3 Alis ejusdem Theorematis demonstratio assumptum hoc, jam inter Geomerras pervulgatum . praesupponit, quod scilieei quaelibet infinita series terminorum continui proportionalium aequalis eth maximo termino ducto in exponent cm rationis , & diviso per eumdem exponentem unitate minutum Uerbi gratia communis rario infinitorum terminorum illa , quam habet a ad ι ; sitque maximus ter nus m; erunt igitur termini isti per ordinem Et ma
144쪽
is, 2 &α in infinitum: dico omnes simula ga a' astaequari -p ; multiplicentur enim singuli ex propositis ter
m in , &c. ubi constat, omnes terminos post ma se mu-
tuo elidere , qui enim prius negantur . iidem immediatε post assirmantur ; atque aded omnes aequantur soli priori producto ma igitur e contra dividendo per a I , fient
s M a Iquod enim multiplicatio conficit, hoc ipsum divisio retexit. Uel sic: in propositis terminis proportionalibus, ut una differentia ad unum terminum puta ut a . i ad a ita omnes simul differentiae idest ipse maximus terminus m , in quo differentiae omnes includuntur ad omnes terminos, qui propterea aequales esse debent ma. Q e. d.
4 Priorem demonstrandi modum, qui cIarior est, atq; me judice, omnium facillimus, indicavi jam in Vivianeis ad fine pag. iso. atque expeditissimum innumeris veritatibus demonstrandis Lector inveniet , si in illo semet tantisper exercere non dedignetur. Exempli causa in seriebus finitis, deprehendet dissetentiam quarumlibet homogenearum potestatum, divisam per differentiam radicum earumdem, sequari aggregat tot terminore continue proportionalis,uno gradu depressiorsi, quot fuerint unitates in earum potestatum exponente ἔ Putaaa--M .
145쪽
multiplicando enim per a b terminos primae aequationis, fit aa ab ab μ bb α aa - bb, ob reliquos terminos se m tuo elidentes , item multiplicando terminos aequationis secundae, habetur a3 -baa -- baa abb - abb b3 - a b ob eamdem rationem; similiter in aliis idem eveniet. Di Diarentiam autem suaru libet homogenearum potestatum gradus a numero pari denominati, vel summam gradus denominati ab impari numero, divisam per summam radicum, aequalem deprehendes aggregato similium terminorum, ut supra,
sed alternatis assirmationis, & negationis signis: verbi gratia
caeteris se elidentibus ; in tertia, & quarta, ajiisque infinitis idem proveniet. s In serie bus intem infinitis: proponatur summa quarum Vis potestatum divisa per differentiam radicum; dico.aequari tot terminis uno gradu depressioribus , dc continue pro- Portionalibus , quotus est potestatum gradus, cum dupla Ierie infinitarum fractionum similiter proportionalium ,
146쪽
hos enim multiplicando per a b fiet
ubi, remotis contradictorie oppositis, habetur a by &e. Idem fere contingit , ubi Potestatum pariS gradus summa, vel imparis gradus differentia dividitur per summam radi- eum: nili Quod signa tunc lunt alternanda ; ut cum , nisi quod signa
147쪽
Non dissimili ratiocinio oemonii re soleo extractioni mradicis Neutoniano modo per series infinitas Puta ηε xx quae est expressio generalis ordinatarum ad retium hyperbolae latus, exiit ente a semitranisurio, & x ditiantia a centro vel .aa - xx squae exprimit ord natam quadrantis circuli, Cuius radiuS a, cillantia ordinatae a centro x) licenim series ordinari soleta ---- α -3x' - rs α' : rosa ' &c. a a 8 a 3 48 a 384 a7 38 o a' ubi signum -- valet . in hyperbola, in circulo, numeri autem, qui post tertium terminum assiciunt numeratores, sunt Per ordinem 3. 3x s. 3xsx7. &c. qui vero assiciunt denominatores, incipiendo a secundo termino, sunt a. a X . a X X6. a x x6x8.&c. orti scilicet, illi quidem ex mutua multiplicatione omnium imparium , hi verb ex multiplicatione mutua omnium parium numerorum Per Ordinem di ositorum.
Demonstratur, inquam, id ita esse, quia si illa series ducatur in seipsam, singulis ejus terminis in singulos multiplicatis, orietur nil aliud, quam aa reo, adebque est legitima radix ejusdem: nam ducatur illa series in a fiet aa ----H-3P &c. in reo fieta a
148쪽
6 Ad propositum nostrum redeuntes, doctrinam num. 3. adductam, alteri Theorematis decimi demonstrationi sic applicabimus: esto Logistica B VI, tangens ad B ipsa Bo, vib- tangens OF , cujus particula infinite parva F Q accepta .eireum stribantur aequalis latitudinis parallelogramma F M,QR, PS, &c. Spatium Logi sticae ita stringentia, ut solidum
ab ipsa circa FB rotata productum fere coincidat cum aggregato solidorum a talibus parallelogrammis in eadem rotatione descriptorum, quorum primus cylindrus ex F M, secundus; tertius, & alii deinceps totidem cylindrici tubi ex parallelogrammis QR, PS, &e. o quibus certe descere potest illud rotundum Logisticae solidum minori desectu quolibet dato, & ratio, quam de illorum aggregato ad conum ex F OB comparato concludemus, eadem de ipso met Logisticae solido demonstrata esse intelligetur. Subtangens igitur FO vocetur a , & FQInfinite parva d; o iutem pro unitate i designetur, ipsa FB per b denominata; cum sit igitur sol, in definitam ipsius F parvitatem, & punctum N curvae cum tangente OB coincidens FO ad OO , scilicet a ad i , ut P . . B F
149쪽
BF seu b ad QN, haec exprimenda erit per II & reliquae
lineae PV, TI, &e. in quibus eadem proportio sex curvae natura continuatur, ed qubd paribus intervallis sint dissitae. erunt per ordinem --' &c. in infinitum ; altitudines igitur praedictorum solidorum conflabunt hanc geometrieam seriem b &α bases autem eorum
dem in ratione quadrati Primi radii Fin, Sc mox differentiae quadrati F P ab F Q, & quadrati F Γ ab F P, &c. nempe, ut du, 3 dd. s G. 7 dd, eo quod differentiae quadratorum a lateribus arithmetice Proportionalibus sint, ut impares numeri; hae igitur serie per illam multiplicata prodibit series ipsoru per ordinem solidorum d , 7 3 quam quidem resolvere potes in has numero infinitas, presi. xis majusculis litteris subnotatas.
150쪽
et Sunt vect praescriptae series terminorum proportionalium, quorum exponens commune ar, sit igitur maximi eat si termini ducantur in a, &producta dividatur per a - i quod hie juxta conli ructionem est quantitas d infinite parva habebuntur termini iis infinitis teriebus aequales : puta series Atequatur dia; series B aequatur a D ; series C aequatur a d series D aequatur a D . & sic deinceps ; series igitur illorum
solidorum aequabitur progressionibus duabus
quippe harum summa terminis nuper collectis sequatur
prima autem harum serierum s facta eadem multiplicatione aequalis est baa ; secunda verb aequalis ba sive, ut aeque muli se uirobique appareant dimensiones, addita hinc unitate, dicas bai J est vero unitas Q Ο,H. i. . , fere ΣΣΟF, idest s, quippe a qua deficit differentia F infinite parva. igitur pro bai accipi poterit iterum baa ; atque adeb series dicto rum solidorum, seu ipsum rotundum solidum Logisticae, de quo loquimur in hoc Theoremate , optime exprimetur Pera baa; Conus autem ex triangulo BOF, utpote aequalis trienti cylindri circumscripti l pro circulo accepto radia quadrato . ut in solidorum serie Iactum est, quod in idem recidit, ob proportionalitatem servatam J exprimendus erit per a baa ἔsolidum igitur Logisticae ad inscriptum Conum erit, ut a Maada baa, sive ut a ad a , vel ut 6 ad a. a. e. d.
8 Nisi hic demonstrandi modus plene satisfecerit, prima ostentione contentus , secundae saltem conatum lauda , ac mecum progredere ad dimetiendas ejusdem solidi portiones, a partibus videlicet per binas ordinatas resems , & circa