장음표시 사용
151쪽
majorem ipsarum revolutis progenitas ; idque diversa rursus a praecedentibus methodo: , Logistica BNM, cujus ad puncta N, M tangentes NC, MG occurrant arum4ptoto quidem F G in punetis C. G , ordinatae velli B F in punctis K, I, & eoordinentur ND. NA, ME, MII ; di. eo AK ad HI subtangentes scilicet in ordinata , non in asymptoto acceptas esse ad inVicu, ut sunt rectangula AN D. HME; ratio enim A K ad HI componitur ex A K ad A N
ponitur ex D N ad ΕM,&AN ad MH; ex his autem conia flatur ratio rectanguli AND ad FI ME; itaque constat propositum. Brevius sic: ob proportionales lineas G E , EM, M H, HI, est rectangulum ex GΕ, asymptoti subtangente in HI, subtangentem ordinatae, aequale inscripto rectangulo ΕMH: similitet CD in AK aequabitur DNA ; ergo , ut rectangula subtagentium a m moti in subtangentes ordinatae hoc est ipsae subtangentes in ordinata, cum quae in asymptoto sint aequales j ita erunt rectangula Logisticae inscripta. R a 9 COn-
152쪽
s Concipiamus jam Logisticam esse Aa C, cnjus ordinarita A N, asymptotos N b , tangens ad quodvis punctum a
ipsa a B, conveniens cum ordinata in B; ac mota regula Noper panctum N , ita ut perpetuo parallela existat tangenti, occurrat vero ordinatae productae an ad puncta oo, perficiatur sσura Noo ad communem axem N b posita , quae ex
dictis π.8. num. & s. erit ipsi Logisticae Correlata, ejus. que spatia o Nn respective semper aequalia spatiis a Ar: singulae autem lineae On aequales erunt subtangentibus rB, in ordinata acceptis sed hae proportionantur rectangulis nar,
inscriptis Logisticae spatio. vel etiam superficiebus cylindricis ζ et illorum convertionem circa NA descriptis; erunt igiturneae ordinatae in figura O Nn, ipsi on parallelae , ut concentricae superficies cylindricae in solido rotundo ex na AN, circa AN revoluto, productae a singulis ordinatis na per eadem puncta n transeuntibus; igitur omnes lineae figurae O n Nad totidem aequales extremae on I sive ipsa figura onN, aut trilineum a Ar illi aequale ad rectangulum Nno , vel ar B Jerunt, ut omnes cylindricae superficies in dicto solido, ex portione n a N revoluta genito, ad totidem aequales extremae a li
153쪽
nean a generatae idest ut iplum mei solidum rotundum ad solidum , quod gineretur ab hyperbola per a asymptotisnN A inscripta, & circa N A revoluta, quippe in illo omnes cylindricae superficies concentricae aequales forent ei, quae ab na describitur, propter singula inscripta parallelogramma ipsi nar aequalia ) & iumendo consequentium semissus, erit trilineum ar A ad inscriptum priangulum arB , ut solidum rotundum ex n a A N circa A N, ad inscriptum cylindrum .ca parallelogrammo n a r N revoluto productum. io Nota autem est ratio trilinei ad inscriptum triangulum , quippe assumpta figura cap. 7. num. a. adhibita, con.
stat, trilineum BKA sequari rectangulo subtangentis OF in A, triangulum verb B Κ Qsequatur rectangulo ex B Κ in semissem Ka; propterea ratio trilinei ad triangulum componetur ex o F ad B Κ s vel D K ad Κ & ex QA ad feminem vel dupla QR ad K QOdest erit, ut duplum rectangulum ex D K in Qδε ad quadratum Κ Q; nota Igitur similiter erit ratio solidi rotundi ex spatio Logisti cae duabus ordinatis intercepto, & circa majorem revoluto ad
154쪽
ad eylindrum inseriptum. ab inscripto scilieet parallelogramismo in eadem conversione progenitum. eadem semper, quae praefati rectanguli ad dictum quadratum. Tubos verti . seu annulos ex ejusmodi spatiis circa ordinatam 1 majori remotiorem revolutis, puta ex G H B F circa A D rotato , progenitos, eadem astumpta superioris numeri figura, eoae misque argumento facile ad mensuram vocabis. similia vestigia premen
155쪽
Propossis , is demonstratio indecimi Theo. emar. s cir ca distan, iam centri gravitatis Lusicae ab ordinata . Solida infinitoνam Logistica Datiorum circa ordinatas Iara, ut eaedem ordinat. . Centrum gravia talis quomodo distet ab alterutra ordinatarum in
spatiis determinatis Logisticae. Sosida ex his spatiis
circa quamvis ordinatam revolutis. Datum solidum in data ratione dividere, Oc. Propositio, ac prima demon alio Theorematis ML circa digantiam cev-
tri gravitatis Logisticae ab axe. In cirrelatis figuris distantia centri gravitatis inierioris subdupla est mmilis distantiae exterioris. Talis distantia in figura Correlata quadrantis circuli est hesquitertia basin qu draticis. Centrum gravitatis ιν itinei Cycloidis distat a verticis tangente per semissem radii: Dsiam tia centri gravitatis femi cloidis, ct ejus trilineia bos, ct vertice ; necnon solida ab iis descripta. Cliseidalis starii centrum gravitatis, tu qua ab Imptota ristantia; ejus solida, atque hinc ratio fusi cui alis ad Olinurum . Figurae , quae Logisticae ad
axem correlata est , distantia cenIri gravitatis ab omdinata. Similis dictaniis tu harum , ct generaliter omnium Correlatarum figurarum compli xo . secvnda demonstratio Duodeeimi Pheorematis, ct extensio adinventionem centri, ire quibusvis LVsicae portis. nibus, adsolida, ex iis circa quamvis tineam retandis determinavis, utilemo Jam
156쪽
ΙAm ad centra gravitatis, tum spatii superficialis Logisticae. tum solidorum ipsius determinanda procedit Hugenius; ait enim Theoremate Undecimo : Ex hac solidorum mensura sequitur, qnod cerurum gravitatis in itinarii pose unam ordinatarum a s ab hac ordinata longitudine subtangentis; auod
sic breviter demonstratur di rotunda solida rationem habent compositam ex rationibus figurarum genitricum, & distantiarum centri gravitatis earumdem ab axe motus, ex pervulgata jam regula Guldini, cui nescio an praeluserit Pappus ad finem suae praefationis in lib. . mactem. colle g. Solidum igitur ex Logistica B C A circa B F ad conum ex inscripto triagulo Ο Β F
circa eamdem revoIuto est in composita ratione ex spatio Logistieae FBC A ad triangulum OBF quae per Theorema 7. cap. 8. demonstratum est ratio dupla & ex distantia centri gravitatis spatii Logistici ab ipsa F B ad dillantiam centri gravitatis trianguli, quae, ut notum est, sequaretur trienti ipsius o F; sed haec eadem solida ex dictis cap. praeced. sunt ad invicem in ratione sextupla, id est in composita ex dupla, & tripla; Oportet ergo distantiam centri gravitatis spatii Logistici ab ipsa F B esse triplam distantiae centri gravitatis triangeli
157쪽
ab eadem FB; ergo oportet talem distantiam 'esse ipsammet subtangentem PF, cujus triens distantiam centri gravitatis trianguli, ut diximus, determinat. Patet ergo Dropositum. a Hinc habetur,cujusvis infiniti spatii Logisticae B AUQ. vel C U F Q , distantiam centri gravitatis ab extrema ordinata eamdem semper esse, quippe aequalem communi subtangenti: unde essicitur, solida ex primo spatio circa BA, & ex seeundo circa C V, esse ad invicem, ut ipsemet spatia, ex quibus gignuntur, ob aequalem utrinque centri gravitatis distantiam, seu esse ad invicem, uti pis ordinatae B A, CV talthus spatiis proportionales, ex dictis cap. 3. num. 7. id quod vel ex inde patet, quod talium solidorum subsexcupla, nempe coni ab inseriptis triansulis A O B, C V Q, ob circulos aequalium radiorum B O, C insunt, ut altitudines BA, CV, circa quas
3 Hinc etiam eatet, determinato quovis spatio B A U Cduabus ordinatis interjecto, assignari posse distantiam ejus
centri gravitatis ab alterutra ordinatarum Ducatur enim
tangens ΑΟ, itaque ino est centrum aequilibrii totius spa-S tii
158쪽
tii B A V Q eompositi ex proposito B A V C. Sc ex reliquo CV Fin , sed reliqui C V F a habetur centrum gravitatis, ducta tangente QV, in ordinata expuncto Q . distans viri delicet ab aequilibrii centro O per QO Qqualem altitudini C B propositi spatii s ut patet, aequalibus subtangentibus C in B O, communem subtrahendo, vel addendo quantitatem C o si igitur fiat, ut spatium B A V C ad reliquum C U F innem
pe ex Theoremate Tertio, quod cap vum. s. & cap. 3. u. 8. demonstravimus, ut differentia ordinatarum AB, C Uadipsam C U , ita QO, ves B C, ad Ο Ε , erit in E D centrum gravitatis pro potiti spatii CUAB, distans ab AB per EB, dc a CV per EC; constat ergo propositum. Dabuntur itaque solida ex qua vis Logisticae portione A V C B, nedum conversa circa majorem ordinatarum B A, sed & circa minorem CU. quippe ad invicem in ratione Ε Bad EC; & annuli ex variis spatiis EDUC, & CU FG, ct
ca eamdem,vel diversas ordinatas revolutis. notam dimensionem, & proportionem habebunt, quippe in composita coinru rad em spatiorum, distantiarumq; ab axe sui motus ratione; Qui Diuili od by Cooste
159쪽
Quibus faeile erit, dato solido ex dato spatio circa axem data revoluto, aliud ex alio item spatio dato circa aliam quamdam ordinatam majorem, minoremve revolvendo producendum reperire, priori solido, vel aequale, vel in data ad ipsum ratione ; item quodvis ex talibus solidis per concentricas superficies in data ratione dividere, &c.s Jam ad Duodecimum Theorema Hugenii gradum faetamus, in quo asserit: Idem centrum gravitatis distare ab Um- toroster quadrantem ordinatae; Similiter enim ratio solidi ex B C A Logistica circa axem F ad conum ex triangulo O B Fcirca eumdem axem, cum sit ex Theoremate, & cap. 9. ratio sesquialtera, componetur utique ex dupla, & subsesquitertia,
ut patet in numeris 6, 3, 4; componitur autem & ex ratione
spatii F B C A ad triangulum F B Ο quae est ratio dupla) una
cum ratione distantile centri gravitatis spatii FBC A ad dia stantiam similis centri trianguli F B O ab eode axe motus F in oportet igitur, qudd distantia centri gravitatis spatii Logisti eae ab axe sit subsesquitertia distantiae centri gravitatis triangu li, nempe subsesquitertia trientis ipsius F B, adedque quod sit aequalis quadranti ipsius F B, ut in hoc Theorem. proponitur, se enim erit ad distantiam centri gravitatis trianguli, ut a ad didest prorsus, ut 3 ad 4. Q e. d. ' 3S 1 6 Ea-
160쪽
6 Eadem veritas, ut secundo demonstretur, imb&ad diis stantiam centri gravitatis partium Logisticae extendatur, uberrimum illum fontem Correlatarum figurarum, unde bis jam hausimus, in cap. scilicet 8.&9. tertili iterum repetam, neque enim venam idcirco exhauriendam putes, Mi Lector.
Audi igitur. In CorreIatis quibuscumq; figuris C AN, &gGAa C, aut CAN, Go ore distantia gravitatis centri primae figurae interioris C A N ab axe N B, semper subdupla est distantiae similis centri alterius figurae gGAa C, Vel