장음표시 사용
161쪽
A G o o N ab eodem axe ; cum enim aequales sint hae figurae, uti cap. 8. demonstratum est, solidum tamen, quod exprima sit ex cap. 9. subduplum solidi ex secunda circa axem N B revoluta, patet, haec solida esse ad invicem , ut sunt distantiae centrorum gravitatis ab axe motus, ad edq; distantiam primae esse subduplam distantiae alterius; ia data distantia centri gravitatis alterutrius ex Correlatis figuris, distantia reliquae non
7 Colliges jam, distantiam centri gravitatis figurae A N o o, quadranti circulari Correlatae, ab axe CN, esse sesquitertiam hasis Quadratricis,eidem quadranti per Cadscriptae;cum enim debeat dupla esse distantiae centri gravitatis quadrantis C A N, quae aequatur baseos dictae Quadratricis, eo quod ratio coposita ex distantia centri gravitatis quadrantis ad semissem radii distantiam centri gravitatis quadrantis circumscripti & ex
1emisse radii ad batim Quadratricis, sive ex semisse arcus C A ad radium, aut ipsius quadrantis C AN ad radii quadratum, debet esse ratio sesquialtera, eadem nempe, quae haemi herii ex quadrante ad cylindrum ex radii quadrato sjuxta Arcnime dis doctrinas brevius a nobis demonstratas in Vivianeis ad
162쪽
Prop. 37. coria2 6. quae, ex Centro harica,praescriptis rationi-hus componitur. Nota proinde fiet distantia centri gravitatis ejusdem si urae AN oo ab ΑS, & notum soIidum ex ipsa circa A S deliriptum, uti & ex eadem circa C N. 8 In trilineo Cyeloidis Aa ON patebit, centrum gravitatis distare a tangente verticis AN per semissem radii, figura quippe huic Correlata est, ex eap. 8. m. 7. semicirculus N o Ο, cujus centri gravitatis distantia est utique radius integer : consequenter distabit idem gravitatis centrum in trilineo C ycloidis ab ejus basi OD per a diametri ON ; &solidum ex tali
163쪽
trilineo circa o D, triplum erit solidi ex ejusdem conversione circa NA, ves aequale erit solido ea aggregetio semicirculi, &praefati trilinei, videlicet spatii AN OD a A aut AN O-, Ad D) circa N Accumque cylindrus ex perasset-logrammo Ο N AD, sive circa OD, sive circa NA, pariter
idem sit; residuum, nempe factum ex D Aa O semicycloide circa OD, aequabitur facto ex trilineo Oa Add D circa N A, atque, ut ipsa lemicyclois ad die una trilineum, Ita reciprocό erit distantia centri gravitatis ejusdem tri Iinei ab NA, ad distantiam centri gravitatis seni icycloidis a basi o D , videlicet in ratione sesquialtera, illa autem aequatur a diametri
A D ut mox ostendam ergo haec aequatur E ejusdem suae
9 Quod nuper assumpsi sic ostende turr notum est, duas simul lineas in trilineo Cycloidali Oa Ad D a centro aeque remotas, ad , a d, aequales esse basi OD, seu interceptae od inter peripherias semicirculorum A aD , Noo ; ipsa igituro a, accepta in trilineo Aa OoN versus basim, aequalis semper erit lineae a d, sumptae versus verticem A in altero trilineo Aa o Dd A; itaque ipsum trilineum A a O ci N haberi poterit pro eodem Oa Ad D inverse posito, & tanta erit centri gravitatis distantia in hoc ab ipsa A N, quanta in illo ii-milis centri distantia ab OD. Jam sic: solidum ex solo
AaonN circa GD triplum est ex supra ostensis solidi
ex eodem spatio circa N A ; & annulus ex semicirculo N o ocirca OD snam perinde ust, ae circa A N)est ejusdem duplus; itaque solidum ex utriusque complexo Aa OON circa ODquintuplus est solius solidi ex OaANn circa NA, additoque & hinc annuIo ex semicirculo eodem circa N A, cujus quantitas ejuidem solidi eli dupla, habebitur, quod solidum exmtegro spatio A a oo N circa o D,ad solidum ex eodem cie-ca N A est . ut s ad 3, distantia igitur centri gravitatis talis spatii tib OD. ad distantiam ejuidem ab A N est, ut 3 ad 3; id oque prima distantia aequatur s. octantibus diametri No, Vel A D. mdcq. ex praemissis) distantia centri gravitatis trilinei P a A d D ab A N eadem erat,quam supra determinavimus.
164쪽
to Cum igitur & spatium CisioidaIe, iuxta dicta eap. 8. m. p. figura sit Cycloidi Correlata , erit distantia centri gravitatis spatii Cissoidalis A Noo infinite longi. a CN, dupla distantiae similis centri cycloidis Aa CN ab eadem basi
CN; cumque haec aequalis sit L diametri, juxta dictavum. 8.illa aequalis erit 1 , seu a ejusdem diametri, ac consequenter distabit idem gravitatis centrum ab asymptoto A O per sextantem diametri N A; eritque solidum ex Cissoide A N o ocirca Ao revoluta, aequale quintae parti solidi ex eodem spatio circa C N converto , aut solidi ex Cycloide A C Neirea basim CN quippe hoe solidi ex Cissoide circa eumdem axem subduplum est, uti jam ostendimus cap. 9. . a. est vero, ut ibidem monuimus , solidum ex Cisloide circa ΑΟ, aequale annulo stricto ex semicirculo genitore, solidum igitur ex semicirculo genitore Cycloidis circa tangentem verticis , vel basim cycloidis revoluto, aequatur θ fusi Cycloidalis ex cycloide circa basim rotata , qui propterea fusus aequabitur s. octantibus circumscripti cylindri ex parallelogrammo DONA semicirculi quadruplo, indeque pro ducente cylindrum quadruplum diisti annuli.
165쪽
tr De infinitarum parabolarum , atque hyperbolarum , deque Tractoriae centro non est quod addam, Tute ipse exer-- , mi Lector; ego obiter adnoto, in figura Noo ad eumdem axem Nb Logisticae CorreIata, ejus gravitatis centrum ab N A distare per duplum subtangentis Logisticae, quando. quidem centrum Logistici, spatii, ex superiori Undecimo Theoremate, distat ab ordinata A N per simplicem longitudinem subtangentis ; complexi verti ex figuris Correlatis . scilicet spatii Ca ANoo centrum gravitatis distat ab A Npet sesquialteram longitudinem subtangentis . imo generalia ter semper in figuris Correlatis , quarum partium distantia interioris, scilicet ad quam pertinet tangens a B est a.
earum distantia complexi ex utroque spatio est 3 , distantia vero exterioris i scilicet ad quam ordinantur ipla o naequales subtangentibus alterius ὶ est 4; uti est evidens ex diamensione solidorum ab iis factorum : unde expeditides demonstrabis quae nam. 9. dicta sunt. Data autem opera, tum hic, tum cap. praeceden. Omisimus
166쪽
ralium descriptis , ut in ijs exercere se posset Lectorum industria, comparando videlicet triangu Ia illa, ex quibus eo flant, cum parallelogrammis figurarum Correlatarum, ut supra fecimus cap. 8. num. I 2. at in Logistica igitur Aa a C , cujus Correlata figura ad ordinatam N A est parallelogrammum AGON, ut ostendimus d. cap. 8. num. I 3. cum distantia centri gravitatis ipsius
OG AN dupla esse debeat distamiae similis eentri Logisti eae N A a C ab eodem axe N B ; sit autem distantia illa in paralleIogrammo aequalis semissi ipsius N A , patet, distantiam ejusmodi in spatio Logistico sore a ejusdem NA, uti in hoc
Duodecimo Theoremate ab Hugenio propositum fuit; sed& constat methodus comparandi distantias centri gravitatis variarum insuper Logisticae partium ab eodem me; aecepto quippe spatio quolibet naan, ordinatisqm aro, aro, Patet , rectangulum orro esse figuram Correlatam ipsi anna; datur autem distantia centri gravitatis parallelogrammi ejusdem ab N scilicet media arithmetica inter rN, rN di
167쪽
stantias laterum ab N Ο , itaque & ejus subdupla dabitur , se ilicet distantia centri gravitatis figurae naan ab eodem axe , perpetuo aequalis semissi mediae arithmetieae inter extremas ordinatas. Id quod suo modo observatur & in toto Logisticae spatio, extremae siquidem ordinatarum sunt Are& punctum . media inter haec arithmetica semissis N A ;huius dimidio, nempe NA aequalis prorsus est distantia centri gravitatis integri ipatii Logisticae. Dabitur ergo in quovis hujusmodi spatio, sive integro, sive duabus ordinatis intercepto, punctum ipsum, quod gravitatis ejus centrum determinat, adedq; jam metiri licebit solida a Logisticae spatiis circa quamlibet lineam revolutis , ex dimensione tum ipsius Logisti eae, tum distantiae ejus centri gravitatis 1 proposita
168쪽
Theorema Decimumtertiam demonstrata . Eademsemper ceutri gravitatis in quibusvis in tu longis Lo
gisticae solidis distantia ; quomodo in ejusdem solidi
portionibus indaganda. Prima demonstratio De μ' quarti Theorematis ; ad majorem rigorem quomodo exigenda Suidorum ab eadem figura circa basim, di axisti rotata distantiae rex1ri gravitatis sunt , ut d flantiae ab axi, O basi genitricis figurae. Altera ejusdem Theorematis demonstratio. Variarum cinoideon centra hine determinanda ; in portionibus solidi rotundi , aut cylindricis Logisticae truncis , aut figura Logistica Correlata, centra gravitatis dantur. Librae infinitae, geometrice decrescentibus, , aeque distantibus ponderibus gravatae, aut fluitae quidem , seu per intervalla continuὸ proportionalia arithmetice in infinitum crescentibus quantitatibus oneratae, centra aequilibrii determinari possunt. Secunda demonstrario h scrupulo vindieata. Cautio in his adbibenda ;aliorum lapsus notati, ut devitentur. Curvis superficiebus solidorum generalis demonstratio applicatur . Logistica curva centro gravitatis caret; circa axem rotata superficiem in iis laetam , Mitae dimensio. xis producis: in qua ad determinatam hyperbolam ratione ; haec bperbola , cujus parabolicae linea is. semitransversἁm ductae rectangulo aequalis , curva illa 'perficies , cujus circumferentiae , O periphe-
169쪽
riae parabolica rectangulo aequalis ; ut ejus porti gres correspondeant ejusdem parasola partibus. Tractoriae solidum finita seuperficie gaudet, ejus curva
mananda : Reperimus'. inquit Theorem. XIL-centrum gravitatis primi ex dictis solidis infinitis disat a suae As per Rem em subtangentis. Primum quippe solidum exLogistica FBCA circa axem FO revoluta, resolutum in circulos basi parallelos , proportionaliter analogum est alteri Logistieae BN M, ordinatarum in duplicata priorum ratione decrescentium, qualem supra descripsimus cap 9. nu. 6 eadem igitur erit distantia centri gravitatis praefati solidi a circulo suae basis, quae distantia centri gravitatis Logisticae BN M a sua extrema ordinata FB; sed naee distantia aequatur subta senti ejusdem Logistieae B N M, per Undecimum Theorema Iugenii superiori capite demonstratum, &haec eadem sub- tangens ostensa est cap. v. nam. s. aequalis semissi subtangentis Fo, pertinentis ad priorem Logisticam BCA ; itaque &
Ost centra gravitatis spatiorum Logistieae , pIME Hugenius ad gravitatis centra in eius solidis deter-
170쪽
illius solidi rotundi centrum gravitatis distabit ab extremo circulo suae basis per semissem subtangentis, seu Para metri. Quod erat demonstrandum. a ridem itaque semper erit distantia centri gravitatis a sua basi infinitorum quorumvis solidorum ab eadem Logistica per varias ordinatas resecta factorum , semper scilicet aequalis dimidiae subtangenti usdem Logisticae ; Quocirca portionum etiam cujuivis ex dictm solidis eentra gravitatis assignari poterunt: proponatur enim verbigratia quod fit ex portione B A U C circa BC revoluta; ita procedemus, simili methodo, ac superiori capite num 3. elio Bo se inissis sub- tangentis, & consequentes O centrum gravitatis toti os facti
ab infinito spatio BA V in Similiter & C emissis su
tangentis ejusdem, ut Fimetum Q it centrum gravitatis solidi, quod ex CU Fin distat igitur hoe centrum a puncto obpet uo aequalem altitudini solidi propoliti B C, propter communem additam, vel detractam CO; fiat igitur, ut solidum ex ABCU ad infinitum ex CVPQ , nempe , ut colligitur ex dictis cap. 9. utim. 3. O io. ut differentia qua .