장음표시 사용
171쪽
Theorem. Hugen. Cap. XII. Is I
d rtorum A B, & C V ad quadratum C U, ita Q Ο, vel B Cad alia C Ε,erit Ε centrum gravitatis solidi ex spatio B A V Ccirca BC revoluto geniti; quamquam expeditius sorte idem obtinere licebit per inventionem distantiae eentri gravitatis ab ordinatis in confruo spatio Logisticae, in duplieata ordinatarum ratione decreicentis,proportionaliter analogo ad dicturotundum solidum, uti numero praecedenti indicavimus. 3 Dissicilior mihi visa fuit, reque ipsa non nisi aegre successit scur enim fateri erubescam, qui & in magis obviis moram pati aliquando soleo p Theorematis Decimiquarti demonstratio, ubi Vir Clarissimus pronunciat, quod centrum etiam gravitatis alterius solidi di ι ab ejus infinita bas per octantem sivi aris. Hoc ut demonstrem , figuram resumo , eumdemque calculandi modum, quo cap. io. num. 6. usus sum:
ex parallelagrammis itaque Fu , QR , PS Logisticae ei
cum scriptis, intelligatur confici in conversione omnium ci ea F B, series solidorum, quae pro minori, ac minori latitudine singulorum, magis, magisque accedet ad rotundum Logisticae solidum, de quo in hoc Theoremate sermo est; itaque ubi F QInfinite parva supponatur , tunc cylindrus ab F M
172쪽
deseriptus, & tubi eylindrici ex reliquis QR, PS,&e. pro sus coincident cum tali Logisticae solido, quodque de iis demonstrabimus, de hoc perinde obtinebit; porrti ostendimus loco citato retentis iisdem symbolis cylindrum F M essed , dc tubos huic consequentes per ordine esse 3 b, sdia,&c.
ut supra adfinem l. r 29. seu propter infinith exiguum exiscessum ipsius a, seu F o supra assia mptam unitatem c .uui excessus penitus evanescit, ubi solidorum series impium Logisticae solidum deficit aceepta loco ipsius a. unitate ,
uuae ad quemlibet gradum elevata non crescit, nec terminos
dividens illos immutat, erit praedicta solidorum series aequa. Iis dA - 3 dct -- s dδε - 7 dct , &e. suspenditur autem in libra FB primus terminus ad punctum C, medium ipsius h B,& seeundus terminus ad punctum x, ubi cadit axi parallela, ducta ex medio puncto A lineae Q. N ; & tertius terminus ad y punctum , quod determinat parallela r D bifariam se. cans ipsam PV ; similiter & quartus terminus pendet ex Eper lineam ΣΕ bisecantem ipsam TI; sunt enim puncta C, π, y, Ζ,&c. centra gravitatis Per ordinem talium solidorum;
173쪽
per puncta verb C. Α, D, E, Sc alia similiter bifariam secantia singulas Logisticae ordinatas , transit utique liuea pariter Logislica EDAC g. Product a igitur OF in f, ut Ff aequetur semissi ipsius F adedque a fortiori sit infinite Parva quantitas, ac penitus evanescens ad parallelam ordinatam fg producantur axi aequidistantes EZ, Dy, Ax, in e. d. a , c; poterit similiter fg sumi pro libra, ex qua pendeat primum solidum per lineam Cc, secundum per lineam A a. tertium per Dd, quartum pet Ee , εce. & quidem quarum partium F f, seu C e ponitur i. talium' A a est 3. Dd s.
Ee 7. &α, juxta progressionem arithmeticam numerorum
imparium, secundum quam ipsa solida ex iis pendentia Procedunt; perinde igitur onera nitur linea fg , vel FC a talibus solidis ex ea pendentibus, ac oneretur fg a lineis Logisti eae gCADE; sed ab his ordinata fg sic oneratur, ut centrum aequilibrii habeat distans ab axe F o per quadrantem
ipsius f g , vel FC illi proxime aequalis talis quippe ex
Theoremate Duodecimo est distantia centri gravitatis Logistici spatii, quod tales lineae implent ergo & centrum aequilibrii, aut gravitatis omnium illorum solidorum, seu integri solidi ex Logistica circa ordinatam revoluta, distat similiter ab axe per quadrantem ipsius FC, seu octantem integrae FB ordinatae; quod est propositum. 4 Si quis autem majorem in praesenti demonstratione rigorem desideraverit , is poterit a pagogico circuitu sibi penitus satisfacere , sumptis , loco linearum Cc , Aa , Dd , Ε e, parallelogrammulis Cog, Aac, Dda, Eed , &α quae penitus proportionalia deprehendet dictis solidis, siqui-aem eorum altitudines B F, QN, PU, 8cc. Proportionantur earumdem semissibus, & talium semissium dissecentiis gC, Ca, ad , de , &c. bases verti talium solidorum sunt. ut differentiae quadratorum ex lineis FFΡ , FT , &c.
arithmetict crescentium, scilicet ut impares numeri, vel ut lineae Cc, Aa, Dd, Ee, Sce. Unde cum accepta fuerint tot
solida, quae integrum Logisticae solidum impleant, & totidem parallelogramma, quae Logisticum illud spatium adaequent, conflabit, in eodem puncto,tum Logisti ei illius spatii centrum V aequi-
174쪽
aequilibrij, tum solidi it Ilus centrum gravitatis reperiri, adeoque ad quartam ipsius FC. vel octavam totius FB partem
s Sed absit . ut hic ego subiistam i tamdiu mihimet ungues corrodam, qubusque clariorem, & vero generalissimam rei hujus demonstrationem detur extundere; mihi certe videtur universalius quidpiam hinc relucere , quam ut peculiaribus Logisticae proprietatibus adstringi mereatur. Iam jam allaquora an non hoc illud est, quod in qualibet figura F B U, cujus baiis F B, axis F IN quam rationem habet distantia centri gravitatis figurae planae ab axe, adsimilem distantia a basi, eamdem & proportionem habent ad invicem distantiae centri gravitatis sunt uscujusque a sua bali) solidorum ex eadem circa balim, & circa axim revoluta progenitorum 8 Intelligatur enim tota figura circa punctum F in suo plano verticali converti , quousque axis F QPorizontaliter, sit uetur in Fq. in directum positus priori basi FB, quae iam perpendieulariter pendeat in Fb sumptaque axis portione F Q aequali ipsi Fq. ordinentur Q N . qn , quae erunt aequales; imo eaedem; & in solido quidem ex figura circa FB revo-
175쪽
Iuta, eo tetur per punctum a transire cylindrica super lasa linea QN descripta in sui rotatione circa FB, cujus quidem rectangulum per axem duplum eriti ut constat, inscri
- . . V a dum Dissiligoo by Gorale
176쪽
dum est ad illud primum; sed auia utrumque gignitur ab eadem figura, nune circa basim FB, nune cirea axem Fq, vel F evoluta, haec solida sunt ad invicem, ut distamiae centri gravitatis figurae genitricis 1 lineis, circa quas fit rotatio, nempὰ ut distantia , quam habet centrum gravitatis pIanae mgurae FBU 1 basi FB, ad distantiam ejusdem ab axem' .dis stantiae igitur centri gravitatis solidorum ab eadem figor diseriptorum, nunc facta circa axem, nunc circa basim rotati
ne, sunt ad invicem, ut distantiae centri gravita is figurae genitri eis a base ad ejusdem distantiam ab axe. Quod est propositum. 6 Cum igitur distantia Gntri gravitatis spatii Logistici a sit abali, ad distantiam ejusdem ab axe sit, pedi Theoremata Undecimum , & Duodecimum supra demonstrata in capite praecedenti, ut subtangens Logisticae ad quadrantem ordinatae , seu basis , vel sumendo terminorum semisses , ut dimidium subtangentis ad basis octantem , etiam distantiae centrorum gravitatis a sua hasi in solidis a Logistica circa axem,& circa ordinatam revolutis, in eadem proportione erunt ruare cum, ex Decimotertio Theoremate, centrum gravitatis istet a has solidi ex Logistiea circa axem per dimidium sub- tangentis, etiam centrum gravitatis solidi ex Logistiea eirca ordinatam, distabit a sua basi per octantem ordinatae , ut in hoc Theoremate XIV. proPonitur. Qi e. d.
177쪽
Interea hine habes, data ratione distantiaruri centri gra- itatis cujusvis figurae, tum ab axe , tum abali sive ab aliis duabus quibuscumque lineis dari & rationem distantiarum centri gravitatis a basi in solidis circa easdem lineas revolutis,
atque una istarum determinata, alteram non posse ignorari; quocirca omnium fusorum parabolicorum ex parabolis circa bases revolutis dabuntur centra gravitatis, quippe dantur ¢ra omnium Conoidum ab iisdem circa axes rotatis prO- ductorum , nec ignoratur proportio . secundum quam gravatatis centrum distat ab axe, dc basi infinitarum quarum vis
Iarabolarum , Tu perteipsum, Mi Lector , doctrinam hanciis, aliisq; figuris applicare ne graveris, mihi ad finem pr Peranti immorari diutius non vacat, mnuisse suffecerit. 8 Neque dissicilius erit partium uitiusque ex dictis solidis centra eadem arte rimari, quum praemissum.ratiocinium non minus in portionibus figurarum, quam in ipsis integris figuris locum habere possit, acie ue Ac ad partes solidorum ab iis descriptorum transferri queat; quaeque de his rotundis solidis
ductu spatii Logistieae FBNMin triangula FDG , FE H quippe quae illis rotundis proportionaliter analoga existunt 2
178쪽
perinde obtinere manifestum est; sed & hine sponte profluit distantia centri gravitatis ab axe N h in figura N o P Logistiere
ad axem Correlata, quippe adaloga pariter est solido ex Logisti ea circa ordinatam, cum ostensum lit cap. Io. vam. v. lineas o n correspondere rectansulis N n a Logisticae iniuriptis, sive cylindricis superficiebus per idem punctum n in praefato solido ita seuntihus. 9 Animadvertudum etiam ex his quatuor postremis Theorematibus facit M. Sini. odsani re aequi ibrii centrum in libra longitudine infinita, in qua paribus amervallis dissitae magnitudines appenderentur in cadem ratione. geometrica decrescentes, velut in hac figura se habent A, B, C, D, E, F,&c.
in infinitum, & quomodo, si illa: magnitudines jam decresce.
179쪽
rent in duplicata priorum eatione, centrum aequilibrii dupibpropius accederet termino librae, unde omnium maxima penderet ; Haec enim ex Undecimo, & Decimotertio Theorem tibus constare possunt. si Logisticae axem veluti infinitam libram orizontaliter dispositani accipiamus'. unde Logisticaehpatia proportionaliter deficientia, aequalium ramen latitudinum , pendeant, idemque fiat in axe solidi ex Logi stiua circa axem rotata geniti, sumptis aeque crassis ejusdem solidi portionibus. &e. Habetur item, dispositis in libra finita magnitudinibus arithmetice in infinitum crescenti s . quales repraesentant lineae Uu, Dd, LI. Nn. &c. mi BG , Logi stiete AVD LN paraIIelae, & ad ordinatae parteS proporti nates A v, u d, d I, I n, &c. applicatae, sed intervallis geometrice decrescetibus inter singulas relictis. itaut geometricae pvogressionis terminus librae extremo respondeat, unde infinita magnitudo suspenditur, a ssignari posis centrum aequilibrii omni stapsarum magnitudinum; & quod si jam dictae magnitudines ex iisdem punctis suspensae crescerem in duplicata priorum rMione , seu procederent, ut numerorum arithmetice crescentium
quadrata ut se habent circuli in solido ex Logi stica cirra or-
180쪽
ditiatam rotata eentrum aequilibrii duplo eroplus fieret maximae, & infinitae magnitudini, ultimum librae extremum occupanti; id enim ex Duodecimo, & Decimoquarto Theoremate aband4 innotescit, & sua vel uti sponte profluit i Haec portb ex iis Problematibus . aut Theorematibus sunt ι quae, ii nude , & extra hanc materiam proponeremur . mirabilia omnibus, inultis quoque determinatu impossibilia videti
io Porth I cum Uiro illum demonstrationem num. s. allatam communicassem, scrupulum iniecit, an satis tuta esset, ab aequi ponderantia singularum superficierum cylindricarum unius solidi, cum singulis circulis alterius , ad ipsorum metsolidorum siquilibrium facta dedumo : monebat quippe hinc
consequens fore, ut i parumniet planarum sigurarum illo modo appensarum aequilibrium lieret ex eodem puncto F, ex quo
semper , videR IN. PN ad n q esset reciproce ob aequalitatem homo togarum linearum) ut distantia q F ad distantiam FP; unde solida ex figuris circa axem, a qualia forent solidis
ex iisdem circa basim revolutis. quod est absurdum : teposui tamen, vetustam illam esse, ac saepilis con vulsam exceptionem Cavallerianae methodo dudum oppositam; sive prortus indivisibilia non admitteret, eo modo , quo sub geometricam considerationem cadunt, sive saltem respueret in Staticae ne-
gotio , pro illis reponeret solida quam minimdm erasia, ut hine tubos cylindricos, illine cylindrulos aequalis crassiti ei,sce inscriptos . sive circumscriptos praefatis solidis . atque ab iis differentes minori disterentia qualibet data , & tum demonstrationem, utut minori compendio) pari evidentia
successuram a enimvero ad libram hine inde appositis aequi. ponderantibus quantitatibus, atque his, aliis rursus aequi ponis uerantibus additis, modo totidem hinc, totidem inde suspen- dantae, M utrumque aggregatumiaequiponderare . In allato figuratum planarum exemplo conditionem non servari, quippe lineae B N axi .parallelae non tot idem sunt, quot lineae t nparallelae bali, liquidem illae ad halim, hae ad axem, quibus re spective applicantur, sunt computandae, atque eo plures ex alterutra Parte sunt, quam ex altera, quantii major cli linea., ad