장음표시 사용
61쪽
expressio subtangentis transeat ad ipsam tangentem, ut Pluribus exemplis confirmare in promptu esset. 3 Utilius erit Tertiae demonstrationi ejusdem Theorema. tis viam sternere generali quodam lemmate circa tangentium inventionem praemisso, quod ex Torricellii doctrina obiter indicata in I. r. de mot gr. prop. ι8.ejusque Scholio. in hune modum deduxi ; sicque universaliter proponere statui. Ad datum cujuslibet curvae punctum tangentem ducere. Datumst punctum A enrvae cuiuslibet D A V, cujus axis BC, ordinata ex dato puncto A B: concipiatur haec curva descripta motu ordinatae B A per axem BC aequabiliter fluentis, sibique aequi distanter delatae, R ex motu puncti A versus B accedentis, et ab eodem in ipsa linea recedentis, non jam aequabiliter sic enim recta linea, non curva describeretur sed velocitate ac
celerata, aut retardata, prout opus ad eam curvam generanis
dam . quaelibet certe curva hoc modo genita intelligi potest Fiat igitur, ut velocitas. quam punctum fluens habet in situ A ad velocitatem ordinatae aequabiliter delatae, ita ipsa ordiis nata A B ad portionem axis B Ο, acceptam versus eaS partes, ad quas motus acceleratur, si curvae cavitas axem respiciat, ad
62쪽
quas verb retardatur si curva axi convexitatem obvertat. Dimjunctam O A esse tangentem. Sumatur enim in ipsa O A , ad Partes accelerationis punctum i , ad partes verb retardationis punctum V, ordineturque o u i , C VI occurrens axi In c, C, curvae in v , I, mi parallelae A E per A ductae in e , E. cis niam velocitas puncti A per ΑΒ fluentis ad velocitatem 4ineae Α Β per axem delatae est, ut AB ad B O, seu IE ad Ε Α, aut i e ad e Λ, manifestum est, quM si motus puncti A non ,
ameleraretur, aut retardaretur, fieret per ipsam AI, seu At, ita ut quo tempore ordinata descenderet, aut ascenderet petB C seu A Ε, aut Be, seu Ae, Punctum A percurreret pa tem Et seu et , reperireturque in I, vel i. Verum qu niam motus puncti A curvam describentis interea acceleratur versus u & versus contrariam partem V retardatur, ita ut velocitas ipsius A in A major sit, quam in V, quia versus eas
partes remittitur, mInor autem, quam Inu, quum versus eas partes invalescat; ided quo tempore ordinata venerit in Gn, punctum A curvam generans minorem ordinatae portionem
EU eon secerit, quam confecisset si pristinam velocitatem reistinuisset; minor est igitur L V, quam EI , cum vero ordiis
63쪽
nata venerit in o e . punctum Λ curvam generans majoremajuidem ordinatae tractum eu pertransierit, quam si pristinae velocitati nullos accelerationis gradus addidisset; major est igitur e v. quam ei; & ideo puncta l. i sunt utrobique ultra.& extra curvam, quare ipsa OA tangit. Quod erat demo strandum.
observare hinc juvat, velocitates puncti non aequabiliterfluentis, veluti in figura D A B ad axem C U comparata , in punctis D, A, esse ad invicem, ut facta ex ordinatis in sub- tangentes alternatim sumptas, puta, existentibus tangentibus DP, A V. ordinatisque D Ε, AF, ut factum ex DE in FUad factum ex A F in E P; nam velocitas puncti fluentis in Dad similem velocitatem in A rationem compositam habet ex velocitate talis puncti in D ad aequabilem velocitatem lineae descendentis, & ex hac ipsa velocitate ad velocitatem puncti ejusdem in A; sed prima ratio, ex hoc Theoremate, eadem
est, quae D E ad Ε P. secunda vero eadem , quae V F ad F A; igitur ratio velocitatis puncti fluentis in D ad velocitatemel usdem in A componitur ex D E ad E P. & ex V F ad F A. idest eadem est, quae facti ex DC in F V ad factum ex Α F in E P. . Unde adhuc colligitur, in Hyperbola Apolloniana D A B. cujus asymptoti S C, C V, velocitates puncti fluentis in quibuslibet punctis D , A esse in duplicata ratione temporum
64쪽
contrariὸ sunIptorum; spatia enim aequabili motu lineae petaxem CV delatae transacta, velut CE, C Fiunt, ut tempo
ra; subtangentes autem EP, FU sunt ipsis E C, F C distantiis a centro aequales; ergo eaedem sub tangentes pariter sunt,
ut EC, FC, seu ut FA, ED; ratio igitur facit ex DE in F V, & ex A F ia E P erit eadem, quae tam ex DE in F C,&ex AF ia EC idest composita ex D E ad A F. & ex FCad CE, quae eadem est priori, unde cum illa componit duplicatam rationem FG ad CE, quae proinde duplicata erit temporum contrarie sumptorum, sicut & homologarum ordinatarum D L, A F; & hoc erat demonstrandum c4 Hine tangentes omnium in primis parabalarum determinationem accipiunt; quemadmodum si C a A fuerit parabola quadratica, quae aequabili motu ipsius C N per C O tibi aequidistanter delatae, ac descensu naturaliter accelerato, idest singulis aequalibus temporibus novum sibi celeritatis augmentum superaddente, puncti C versus N per lineam fluentem d misso describitur, contingit, ordinata ex soco n ipsa na, celeritatem puncti descendentis in quolibet curvae puncto A ad aequabilem celeritatem ipsius lineae delatae semper esse, ut o dinata ex dicto punito A N ad praedictam ordinatam ex so- eo na. iuxta citatam prop. Torricellit; eliqudd, edm velocitates descensuum crescant, ut tempora, atque aded ut spatia motus aequabilis. id est ut . C, fC, seu AN, an, quas linea
65쪽
NC aequabiliter transilit,si velocitas descensus In A sit ut A N,
velocitas in a erit ut an; velocitas autem delaenius ina est aequalis velocitati motus aequabilis. quia ordinata ex soco an dupla est abscissae en, eadem verti eis celeritas, quae motum hac ratione accelerato acquiritur deseensu per C n . & qua aequabiliter perseverante conficitur duplum spatium na , igitur si velocitas in A sit AN , velocitas motus aequabilis erit eadem quae descensus in a. idest erit, ut na : quemadmodum igitur hoc in quadratica obtinet; ita in cubica, ubi celeritates descensuum crescunt in duplicata ratione temporum, id ed-que sunt,ut quadrata spatiorum motus aequabilis, scilicet A N, an . comparando descensum in A ad descensum in a s facta prius a n tripla abscissae Cn, quia hoc accelerationis genere veloeitas per C n descendendo aequisita , triplo spatio a npercurrendo par est , si aequabiliter permanere intelligatur, unde similiter velocitas descensias in a aequalis erit velocitati aequabili lineae) habebitur, velocitate deseensus in quovis puncto A esse ad aequabilem illam lineae dehuae vel eitatem , ut 'quadratum A N ad constans quadratum an; simili ratione in Parabola quadrato- quadratica erit velocitas descensus in Aad illam aequabilem velocitatem, ut cubus AN ad an Positam quadruplam ipsius n C abscista, atque ita de inreps in aliis gradibus, facta ordinata an tam multiplici abscissis Imquam multiplex est unitatis exponens ordinatarum. s Quam-
66쪽
' s Quamqn m vix operae pretium fuerit iis velocitatibus
comparandis insistere in parabolarum genere, ubi semel conia stit ei it in quonam pune O velocitas aequabilis motus adaequet celeritatem descentivam, Invento scilicet semes puncto a. ubi ordinata an aequalis est subtangunti nb s quoci quidem evenit ubi an ad n Ceil, ut exponcnS gradus palabolae ad unita- tein, scilicet in quadratica, uo a ad ι. In cubica, ut 3 ad i. &c quia enim curvae parabolicae simili in singulis luis partibus ae- celerationis genere describuntur, ita continue ordinato, ut spatia curvilinea ad circumscriptum parallelogrammum sequalem semper rationem obtineant, et i m in his eadem semper erit ratio subtangentis bn ad abscissani nC, vel spatii Ci ad interceptam a tangente fo; unde cum notum fuerit an , seu bia ad n C duplam este in quadratica. triplam in cubica parabola, &c. etiam BN ad N C in eadem semper ratione essema festum erit, quare expeditius dabitur tangens ad quodli
Similiter & in Hyperbolis, quarum pariter uniformis est ubique acceleratio, unde & parallelogrammorum quibuslibet spatiis inscriptorum eadem semper est ad infinit E longa spatiai. sdem basibus insistentia proportio, subtangentes ad distantias
a centro eamdem perpetuo rationem obtervabunt. Invento
itaquen seq in Hyperbola Aa C ad asymptoton f D , D b
67쪽
citas motus aequabilis descentivam adaequat quod quidem evenit, ubi an ad n D est , ut exponens gradus Hyperbove ad unitatem, scilicet in lineari, seu ApoIIoniana, ut r, ad 1.
in quadratica ut a ad l. in cubica ut 3 ad a. &c. prorsus ut in Parabolis contingit, simili enim cum illis motu describuntur, sed dumtaxat reciproce polito, unde evenit subtangenteS c
dere ad partes oppositas axis origini, idest sub ipsis ordinatis
cum constiterit subtangentem inventi puncti a , nempe bnesse aequale in prima, duplam in secunda, triplam in tertia Hyperbola distantiae a centro nD , notum similiter erit, etiam ruamlibet aliam subtangentem BN in eadem esse ratione ad istantiam N D suae ordinatae N A ab eodem centro. 6 Dissicilior est aliarum figurarum tractatio, in quibuS non usque adeo per octa occurret ad singula puncta velocitatum in curvae genesim conspirantium eroportio; generaliter tantum dici posset, velocitates descentivas ad singula curvae puncta esse ad invicem, ut spatia synchronis quibuscumque temporiabus peracta, sive ut differentiae seque distantium ordinatarum
intervallo infinitὶ parvo dissitarum, seu viden. g. anteced. si concipiatur ad axem C f . curvae cujuslibet C a A applicata figura ΦGgC, cujus portiones a vertice abscissae per ordinatas, veluti g C f, G ... sint ad invicem, ut ordinatae ad Pri rem curvam fa, . Α , qud fiet lineas ipsas f g , OG , utpote minimas , & annuitu parvas differentias duorum ex talibus
68쪽
spatiis a vertiee abscitarum . optime repraesentare infinitEparvas differentias ordinatarum fa, . A. quibus dicta spat iaproportionantur, adedque etiam exprimere gradus velo Ita- tum motus descensi vi . ita ut si talis celeritas in a sit , ut fg, in A futura sit, ut o G ; & s reperiatur in curva tale punctum a. cujus ordinata af ad abscissam fC. in eadem sit ratione , in qua spatium fg C ad parallelogrammum illi circumscriptum fgb C, habebitur in a puncto velocitas descentiva aequalis celeritati transverti motus aequabilis, a delique haec velocitas aequabilis optime exprimetur per fg, caeteris descentivi motus celeritatibus per alias parallelas, ut supra , determinatis; & si fiat, ut parallelogrammum circumscriptum cuivis spatio CCΦ ad ipsum mei l patium, ita B N ad N C, aut C Φad Φ f, iuncta A B, seu As erit tangens; similiter si fiat ut rectangulum A Φ G ad spatium ΦGC. ita A Φ ad Φ f, aut ii ad rectam Φ G applicetur spatium Φ GC. & faciat latitudi nem Φ f, juncta As tanget, quorum unum, vel alterum juxta variam curvae naturam. ejulve genesim , praesertim si ab initio figura CGΦ determinata fuerit sui li quaeratur de curva Ca A genita ex transversali aequabili motu lineae C N per datam C Φ , Sc deseensivo puncti C per totam CN. ita accel rato, ut in quovis puncto a gradus eius celeritatis proportio, ne tur ordinatae fg dati trilinei. alteriusve figurae CGΦ datae.& ad datam lineam C Φ applicata ) aut aliquid cum his coninnexum facile innotescet, ac tangens expedite determinabi.
7 Quorum omnium ratio , quamquam lassicienter in demonstratione num. 3. allata contineatur, breviter indicari poterit se. Tangens ad aliquod curvae punctum illa recta est. quam deseripsisset, εc describere pergeret punctum deseendens si gradum velocitatis, quem in dato curvae puncto obtinet,
aequabiliter retinuisIet, transversali lineae motu eodem remanente; ex eo enim, qubd,remota acceleratione, motus puncti
A. in n. num. 3. fieret per At, ostensum est A I tangentem esse; at si fiat B N ad N C, ut parallelogrammum BGO Cadfiguram CGΦ , iuncta BA erit via , cui insisteret punctum descendens, modo gradum celeritatis suae ΦG toto tempore. C O
69쪽
C Φ retinuisset confecisset enim spatium B N, quod aa NC
acceserate percursum foret, ut planum velocitatis aequabilis
O G B C ad planum acceleratae . G g C, spatium vero tran-iversali motu emensum esset eaetem NAI igitur juncia in tali constructione A B erit tangens; eumque & Ce ad Φ f sit in eadem ratione B Α ad A f, seu B N ad N C; necnon A Φ ad O f rationem habeat compositam ex A O ad Φ C, seu rectanguli A O G ad C . G. & ex ipsa C Φ ad Φ f, quam vidimus esse, ut rectangulum C OG ad spatium GCΦ; itemque elim C Φ ad Φs sit, ut rectangulum C OG ad fΦG ; igitur si fiat C Φ ad Φs, ut parallelogramuni circumscriptum spatio ΦGCad Idem spatium, aut A O ad Φs, ut rectangulum AOG ad idem spatium, aut applicetur ipsi ΦG dictum spatium, & faciat latitudinem Φ f, temper juncta A f erit tangens; sed quorsum plura praecipuae ex his constructionibus , unde caeterae Pendent, geometricam confirmationem s si abstracta haec mo-ruum consideratio obscurior, aut minus tuta videatur j habe.
8 Eadem fere applicari possunt aliis curvis ex cireulari, &progressivo motu aescriptis , quemadmodum infinitae Spiralium species, Conchoides diversorum generum , Cycloidesano malae P. Cevae, Scaliae quam plurimae fimo quid vetet, ubie ommodum acciderit, figuram prorsus omnem ejusmodi motibus compositam concipere , electo intra , aut extra ipsam G quo-
70쪽
quovis puncto,velut circulatis motus centro, unde protensii ad curvam rami radiorum elongationem , pro vario progressivi motus puncti per ipsos fluentis incremento, exhibeant Θ J illud tamen in his observandum, quod licuti cap. I. Ium. 1δ. adgeneti in Spiralis Geometricae per convolutionem Logisticae , t Ius ejus axis in punctum contrahebatur, ordinatis adaequales axis portiones In totidem ramos aequalibus angulis divaricatos abeuntibus , ita ad rem nostram aequabilis motus lineae per axem delatae in circularem circa centrum commutandus est, descensus vero puncti, aut progressus per ordinatas, debet in progressum puncti per curvae ramos, leu radios figurae converti ; atque ut velocitas progressivi motus ad circularem, ita ipseramus, seu radius spiralis, alteriusve figurae praefato modo descriptae, ad portionem lineae ex centro perpendiculariter ad eumdem radium insistentis , utpote parallelae tangenti arcus per circularem motum descripti, in qua est ipsius directio; hoc insuper animadverso,qubd circularis ille motus aequabilis eodem velocitatis gradu minime pollet in singulis curvae Pu ctis, sed pro varia puncti eurvae eentro distantia variatur, ut Per se notum est, quippe non in eadem peripheria A L B ve