장음표시 사용
101쪽
nes numera sunt, quorumsumma ήρ. AE ct Bamptius qua C habent ψ. Rplius p. C ct quam B,amplius IK. Nosi adeo tam ostendimus rationem eam istos mu ni κἀ.quam Ab inuoluero innuit potius se proposuit, qua ex suu autor. Aufer o I ρ, sim fibra byur e stra Caufer ρ a reliquitsimi ao.s t f. aufer Issa st,reliqui simi u ε :,R De ans est haec ratio.ctuanormierat Hys quadratissimis V i I. Inuemantur tres numeri quadratum conscientes, quorum bini iunctii Equadratum constituant. Statuarians quadratum. qui est summa istorum trium esse ii Qt a N ii.Ac sint primus ic secundus iuncti,i Qxrgo tertius crita N tr. Iam secundus & tertius aequentur quadrato lateris 1 N-a qui est I-a N tr. Cum aut
trium summa sit i Qt a N t i, relinqui tur primus 4 N , reliquis ab ea detractis. Atqui primum & secundum statueramus si imma conficere i inest ergo secundus i. N Restat ut summa primi ac terti j 6 N ii aequet aliquem quadratum, sitque ista tgo i N est ro. Et numeri quos desiderabamus, sunt So, 32o, dc I. qui imper, ta faciunt. NYLANDRI. Graviter deprauaras urariusproblema non adia obuium. quid sit legendo, uersio mea sintis Amostrat. Vides autem heu quors multissolutionibus esse locum,ob licentiam's Donu.n
enim opus fuit summam ponere 1 a Ni Ised aliud quo u quadratu poturi adpumi quod
idem de reliquis inteLI L. Mad extremum o P I I aequantur quadrato numero tar ut r
De minatorem omisit siue Diophaim e librarim. iacuit azi rursu uariare omnia. y ct yD, quadratu confiant laus, lateris 3 3Dor is quadratum cstulant, Mi ateras ast Oae o qua ratum conssor lays, lateris sue. De minat re esse quasatasam liquet. Si et id tum numeria ad umas. qui unitate Hrractas' spraecise diuidatur,carebo mini tys asano quia i et , esset in i --. Nineret ισ-io quodsmhic Sume lai, erit 1 Mao. Osth os essequaris, numera erunt Iosao. 1 Fumm a ι,'adratu . quadrati etiam qui ex binu colliguntur, ori 3s i, iat. Idem alueresserisses adscito adaequationem aS osii,se innumeras abis.1 Quaeruntur tres numeri progressionis arithmeticae,quorum bini quadratuconiiciant. Principio tres numeros quadratos quaero aequalib. interuallis distatos.
quorum summae semissis maior si t quouis ipsorum. Esto primus i Q, ecundias 1 inta N in interuallum i N ii, quod additum secundo lettium facit I Q Ni z. atq;
is aequatur quadrato. Latus iN-8, producit quadratum i Qt 6 -16 N: huic Vquemus i Q Net a fili N hoc est A. Erit ergo primus ocii, secundus 168 I. te rius α Oi. qui latis faciunt quaestioni: nimirum, tres sunt quadrati, progressionis ,rithmeticGd semissis summae horum quouis ipsorum est maior venio nunc ad idqVOd quaeritu scilicet quo pacto tres numeros eodem interuallo se superantcs in ueniamus,suorum bini contulicti faciant quadratum. Primum quyro treS quaaratos arithmetice progressionis, uti iam demonstratum cst. untq; hii, I 63I, a t.
Inueniendum iam est quomodo primus &1ecundus sacere possint 96Lic rarius
102쪽
& tertius 1 oi termis & primus 16si. nam ob interualli aequalitatem in uersio que dam facta eli ordinis. Statuamus eorum quos quaerimus, iii minam esset N S clim hoc sit. 96i,qusciis uiarina primi ac secundi, aufero de I N:rcstat tertius iN-- citii Rursum si aut eram secundum & ictatu de I N,rcstabit i N-a oi primus.& si ter tium ac primum de i N abstulero, crit secundus reliquus i N-i6si Reliquum est ut hi tres sint aequalesi N. SsitIN,riail. Ergo ipsi numeri sunt rao .s4o l j 6ol'iatisq; iit postillato. E π Y. L A N D R l. Tres numeros quam os.J omni o nspostulat, ct uox n αγίνους ὰh uris mactes raetenta. Vult aurem sumi qmeis. Ios quam minimo se mutiem interuat o exced. ntes ideo sem si summae nult quouu eorum esse maiorematioqui Piscara aequationem non posse. mox doc bimim. Haut quadratofonit latus I 2 Larbitrarium est modo ι N quaeso uradi Zut i abo dum adyciatur numerus tant cuius multi Vationem he ct Od res aequatio harum specierum ex Nerem M. quod unico exemplo instria senderesisti, habebimus iam πιι fiat in auroru opere ' facit Mum est depraehensu. ct si denominatorem in contrixendore uu omittere totamia aberraro incrent eum pQ. Io M. I p. quorum ostremm qui is potius eis quam quMraim. Tinc cum N si : primus pore ι ) eu fecun
- 's. se extremum aequabuntur a Niliosint i , ny sequi desiderantur n mercvaberi non sent quia quadratorum ultimus 'st, maioresquam mi usummeps ι σώ
prunus a N tr. Et simam a primi ac siccundi cium siti N ti, primus hinc sublatus sciuidum relinquit idi a N-6. Rcstat ut primus cu tertio, adiecto 3 faciat quadratumTita utcnaci Ni 2 a. quod aequatur quadrato. Esto istoo. ficti N, ii.cri imprimus 33. secundus is V, tertius o . qui conditiones propositi implent. 'NYLANDRI. Positionum ratio here quos facilis MLpsu enim titerum 1 Nta .r Pet Nio adriernam multatos, ut G additus quadratos reddere 'onere I xt I nolust, uas de eius qua
scrationem.=Iubtractione deindesingulos inuenit, ut uides. Hr o aag quar
103쪽
π I. Tres numeros inueniemus, quorum bini dato aliquo numero eodem multati, quadrati sint summa quoq; inuentorum,dato illo demto,quadratus sit num rus. Esto datus 3. Summa primi & secundi i Qt 3 qiuae amitari s relinquatur quadratus. Eademq; de causa summa secundi octoiij sit i Q t ast . Summa quoque mnium quos quaerimus, sit i Qt Ni ,ut deminuta ternario retineat qaadratum. Heic cum summa trium sit i N t 7: ab hac sun a primi & secundi si aus ratur I rit 3, tertius utique supererit N t . Isa silmnia secundi ci tertii detractus i Qt 2 est , sectandum relinquet i Q --2 N.rursum hic ablatus at t3,summa primi & secundi, primum relinquet a N t 3. Huic adiectus tertius, i. lmina
facit,quae si 3 amittat.superimm 6 N et . quae aequantur alicui quadraro sit miri ci erit primus N, io. Proinde quaesitorum primus 23, secundus so, tertius . quos quaesieramus. NYLANDRI. Haec exsuperioribus facta intes utur. or aequatio rursimois arbiIraria. nam i Ni aequarepoteram uerbι gratia etiam I . ut , Nest m. uel aquari ια ut ι N exes e, Sinc A
I . Vides etiam infit apo Pisne saris eri aequationι. qudere Ium alibi. NII. Tres numeri desiderantur, ut quem bini,alter in alterum multiplicatus,producunt. is adscito dato aliquo fiat quadratus. Datus csto tr. Heic si ab aliquo qua drato subtrahas datum,ncit E patet reliquum sore cum qui e primo fit in secudunuquod is tr addito siet omnino quadratus. Auferam i 2 de quadrato, puto 2,: supcm sunt i3.hoc fit primo in secundum ducto.sit primus i3 N, secundus i N. ut producat 33 ita multiplicatione.Rursum ab alio quadr ato auscram Ia ut habeam quod sit secundo in tertium ducto. auferam 1 IG. relinquuntur . Ergo secundus in tertium ductus gignet 4. cuinq; sit secundusi erit tertius N,qui inproducant. Rcitat ut productum tertii in primu adscito rasaciat quadratum. Productum cst Sa Q EGgos a Qt ia, quadratum ualent. Hoc loco facilis esset aequationis ratio si a 3 qiai numerus eii primo loco factorum is in quadratus es Ict. Quod cum non sit eo res de ducta est, ut dii o numeri sint inueniendi, quorum multiplicatione unius in alterum procreetur quadratus: & praeterea uterq; cum ia coni unctus, quadratum exhibeat. Sed & si loco numerorum quadratos inueniam: ij sua multiplicatione quadratum Producen t. Initentis igitur quadratis duobus, quorum uterq; adsumtis ia fiat quadratus,expedita erit aequatio .sunt aut & ἱ.quoru uterq; ia addatus facit 'uadratia.
104쪽
His ita repertis refero me ad id quod egeram initio.Pono primum numerum N: secundum i N: tertium se N. Restat ut quod primo in tertium multiplicato producitur, additis ia fiat quadratu saertius in primum gignit i Ergo i Qt i a. quadrato aequatur. Hunc fingo a lateret N t 3, fit I in t 6 N t 9. &fiti N,s ac praeliato
pugnant a ut quidem ad nos delatum est. quae ordine ophcabimus, o do I mb. mictu erimiti tis. Primo omnium cur thesis ab A lutis numeris deuocet, nostis apparet. Namsi numeriponantur absiluti M.t. . a methodo eos Diophantus inuenit, tu de ui ct so quadratis detracto. Er residuis loco extremorum,I pro mediopositis 2 optime satisfit quaestioni. Producti, tur enim binorum mutit uatione ty. . fa quorum gulis sita adris unias. Lo . quadradrati omnes.uripo labatura in si hin thesis ad Micos numeros contrahas quomodo res eo siet, uiderint Hy. Equidem is ita squadratus, soci II ia, qu sit quadratus .am cur hoc singi oporteat,nscio se quemcura, Malorem demto i ad nauera, radici, Nives sit enima. erunt Minoa .adde I . I s. quadraim pergamus. dit ia hoc'. Iobnt io ct 12. horrifaΙ,ueuit qua is quadratus. es fa .s I ra crunt azo,nihi Immius quam quadratus. Scio ιιι essem uerbis μ μαῖα es etiam inseque tipropositione sed ' μάμ ε ςlegendum euincit ratio. aequatio uirima su mia. unde ab taetrabatur, ta unitates eum addere quadratis expositi nib.quarum numeros adNcontraxit,confecti timi squidem quo adsignum attinet, quadratus, atronse radicem quadratum ex Israue em videre.profectant Nea, ne, ' V, ne tale quicquam potest. conisii: tuatur is, quod imum qua sit uides, nihil e Ges. riuod aut aequationem hanc ut inevocabile relinquit neg eam fingendo latere sui alias a hia:t demiror. 7 amsi a . ia aeques smisere a cum c propositio my'rto. u. ct alibi numero quadrato,puta o taetractoumn ta, cris aequatio inter sa Ves m. hoc est inter ruct j. MI μι A faciei I. csoluta eris quaestis,quo diximus modo. Enimalia hoc tu dema cottis sit cum numerus ab olatus,ese qui e gnatus, additi quadratum ciuis,ut heicuel cum ab- hiatus num rauadi 'adrato pete usummas quadratu umerus aut unotatus irae ii quadratus estur gras aequantur IOAnam sutrini detracto, sitrae in serra . 1 N Sed hoc modo etia quaestionem nosilui, doceamus exemplo. .cratur tres num xi, inem quoris bini quem froducunt,is ou aifaciat 'adratum. N. I xIeo N. quia at ad ct ad pium.1oo additus,quadrato uot as O tar. Ergo aittidem debebat esse quadratus. aequo quadrato III fit undii detractu ar, oo. lioo. hoc est Vll i. ergo r Ieu , cti P es Erut ergo numeri quos quaerimusa .so. at frimus duntaxat terrain producunt, qui i Zisa sit quadrarus de reliquis hoc falsum est. nes iam soluta quae o utcuns aequutione plura. Dioph.itus hac methodo deplorata, ad alia con 'it: cui si causam nobis aperuisset, minus tuis horaremus. Equi e repositio non quadratos,sic quoquo modo ex multiphcatione binorum ninus numeros composito ostulat, qui Ia numero aui, quadraus numeros constitu t. o extramith su numeri, manente eodem mediis, mutara novosunt, quin ιγίtiones quaestionis in in tundent infroximo nostro exopto quadrati sunt extremi csti . quos ι meim rado nihil quicqua alterat nos tameu res Auccerit. Timen Diophatus iubet duos quadratos inueniri, quorum utens cum ia, faciat quia tu . I quia Hic autor non se dit a rationerat, Dis . auri, qui doceam in obiterise altero constato hoc Idem oposito.nemo enim uesicis ct tresseia. O drato, qui cu ex diutis ad ae aera. bis cunil, huius operis, fac de uides uisit hoc inueniendum. alter ergo t
r inerras Isia aequatur quadrato. Huius latus fingo r tot unitatisi ut duplum haruψ qu iacturi minu sit quaia, quadratu maius quata.'oco bo. ex Ars id genus Diophates emotion b. Hanorion usus est Diophatus.Si de neutro c aret, ut i datus numerus esset is, res plus opera post rei. amrae adnusium int iapotes addi quadratus, us quadratus codetur cum parsi as spem habeat imparem.de quare plura ut mod) innui ad Uuperioris Di propitio cae ximus Prius ergo ρer undecima ei iam duosum quaerendi quadrati, quorum inter ac m
105쪽
DIO PHANTI ARITHMETIcrs perit τό alterquadratorum quosa a minis sio altcr i . p. ergo I ' quan
i ipsi qκadratus .ctu quoa ad ty uel H additus A quadratu confiat. Da omnino huic Apositost Ct. Caeter uni Diophantus hos quadratos ira inum ir mis ponit. ea lege Vi primus G . tertius - 2M Medius ergo sui uendus es t . ut eius cum in primum, rum in ter. tium producto Ia additi facit quadratum quod quale sit. 6pra mi. Est Γῆ in Graeca itata arν ς Sed locum habere non poets. nam ut o in iacit a , cur additu lassi quadratis y ta 6 in tignis, quibus sira ac dat,υ t,nequaquam Pariatus numerisve
autem, oris in etiam proxime subsequemi propositione de raehenimur e pro fi riptum.
Vmων autem in extremos mubi cara apte Iura nil vimulas. Quod ad aequo onem at
enim s . hed era radicem siue numerum, est cert mum at cui et imum. HVt impleri postulata quaectionu cum i u qui quaeruntur numeros non perhibserit, tu licare αyossum. Hoc quidem comperissimetrio rarisitiones is mi r , posteriores in et resiluis ue res uelper ut radicis uriorem; nunquam repostulata qu. uonis imp --rum. Iam mea ilia sicut ostropositae a Diophanto quaesii cis ruma uiderisor sto ortu exe-pti quaeratur aurem hercuniuersalis is αμam υς ratio. Certem exemplo I me vos et extremi sunt quadram Iamen utras Diophan ea methodus nos destituri. Et si murriae . quorum ut . a Din I quadratum ci mo anteo more t cras L nunquam tamen e cies,ut quod ex primo in tertiῶ,ὸ additas imi Harus. MIenzm D . huius quidem quaestionis solutis apud Diophantum non exsat: at mi ingenue fatear quo res em Nitare ex ipsius operationibus ut in me.t, crume ni manas, no esse , 7 cs tali nremeros fluendoproblemati huic dest nauerit. Habemus it si nimirum γων.or qu-rtque Muit. Videamus nunc quatenus tari γου notas I hoc trio Loor m Diops antea haec nos no is expedient nisi quis quo sim porem acutius at e o. 'ro . . Ex eiamus ergo rem nostro Marte, domefciss co s. I Fhanto tentani qua crimin no is est detergamus.sequamur ad eius ues. M. Quia ia de quadratisaf O G o re Ius,rcuquo facit ιρ se placuit Diophanio ex x in Est eri is, cx B in C, . que μωμα est; sit, res ab sus id quor' i remus, ut CA ulcis cis produc s. a tu acer rim namus t esses' r Ne u i moenim his rota cituris Q qπή cumra facit ocrualdaas abiectis utrinqueta, aequatio est micris Q, is de inter ι cisse ter I. cI' II N. unt i I. Eodem modo pro Chono N. t ex B in C, QIta aeqxale Io. rursum . 1 r unitas. Drnis Cin L tacto, cr additis Ia, sunt ia. aequanda es ipsa quadrato isti-- .Furio haec locum non habes, quia adNnu a serratum mustitudo adpri bisors,ne rari sinorum quiacm, quae inste ducta satroducat. Cos incommodi est Prodin quadrato In Issu tam ducto,nec esuri surdum proaxo scut contra uturus erat quadratus, si v quadrarum multiplicarus misit,aursim tu quadrato in similem quadrati. quae omnia ad In tium noni csidis rima ratur,er ad Diophant pserior ositioni, causim expluanda con cit. Rel mqucre enim uoluit B, I N, si extremos ta mutare, ut non modo quod ex B tam in A quam in Cht, ia adiecto quadratum fieret sed etiam quod ex Cin A ,eadem lege tenere r. Dc erunt ergo A se Cambo esseeuel quadratoia similes,ne uadrati, ut xt Diopharuscum utrorue m δε multiplicatio quadratum gignat, ut aulo ante docuimus aut C inveniantur, Z m priam. t ex primus PC, sicundus 1ν tertius corinis mutinuo nihili Neir erat enim invia pomus II, cui nuncsucceditur, ut mepto rimo insic dum no est opus re ter . A D
106쪽
erante latus quadrati sis co edit, sed multatum proposito numero. Da here dato ia, cum v ad η addatur,o ισquadratum couesiciat, erit primus, sicundus 1, tertius is, hoc estas quadratum a Iriqui quadratu sic t ta a adie fu - 12. Se uideamus hocin alte ro exemplo,ubiar erat Propo tinnumerus. Is se ad cstadiost aditus quadrarum facit es t ιυ.Sti primus secundus t, tertius ergo is nam se ai sunt ai. quadratus ab hoc /ro musso, unde ar ablato,relinquitur 1s. Primus insecun Aor hic tu remum, xtrobi actor adjectis et, quadratos asses , ex hypothcsi Sedes tertius in Primum, is in , ductus. t sio. quibus addas at habes quadratum D. Rursum sit ramus tost fecundus i. enim ιυ nam ab is quisit primo in hecundum duito ctas addito quadratus .froximus est ira m :υ -- LIis is adaeris ei, imum fit quadratus Ia at, lateris irι. laud exemplum. Sit datus num rus u. Is ad ais quadratum additus, quo ex annotaris ad Duam siccuni ni adratum facit, cum colla turi rex imparibus si σ y7. quadratus 3σι, item I'. Proxime maior a latereao est oo,inde auferra,relinquitur Ias. Sunt ergo nammas', Has nam ι n hilmstltiplicando mutante, a Mavcse fas additus, quadratos rarassii se eo. Sedes Sy ms X duesu productos ra Mitis. t ρ υ , quadratus a latere sos. Dcnis dentur numeri tres, quorum binique producunt, ad uoso ut Gat quadratum. Enimueroso e censu est eoria numerorum, qui nulli quadrato integro ad 'cis int, ut quadratus fas summa. quod ors est a nobis commemoratum. Fracti cum a* multi sum quadrati, tum :, qui cum so quadraeram. Nun a quod inuenirem aulo ante traduis nou si citcnam lauti quadrati curaequeturr t yo siponas i P Is aequatio erit inter i Q Io,cti Q t io N t as. μι est intres cst ιο N. os N erit ,, ergosae . F igitu primm : secundust quo produciosiso ady ς quadra
sokbdurantur, relinquuntur H quod roterito ponamus. Ergo primus in hac multi uetur,
tioneprobismatis huius explanandi uid positi. Indes etiam exinde esse, umi. quotus in ordine numerorum habeatur. Por M. Si quis numerus ad os quis atri AEdrai m c ciat. Quia i is a si eandi m numerumsubtrahas a quadrato, Ius latus unitates maius qua eius qui modo G proprietas. rat confectus quadratus latus, hocs residuum multi psices re quarinum cui numerias datus initis erat adiectus, producti imumdam numerum si ad unxeras, deniare habitusem qui
dratia ato. Potes hoc quo g. inter raras quadratorum proprietates haud iniuria nisi algor res ferra. suus erit itidero, de eo se simi tib plura doce H locus theorematiae. F Idenon puto mere a acturia, ex hac anicie in eo scarumposition Hebras uel me uel lectorem con clam: maximὶ cum unitate pro trita horu aliquo numerora quae sit OG i eutatur Diophanis. liud potius theorema subisera, quod multo etia expeditius lue quaestioni inseruit. Si de A. numeris quadraris, ora latera uni ate Euseri, euna numerώ etraxeru, ct re duoris altera in aher; multiplicaueris, Iducto iis numerus, qui 2 quadratis erat detractas, ad ictus quadratia faciet. Sit detrahe s a I.quadrati no too residua co ct producImeoru moltiplicatione or o,ereo D quadratus lateris G. Ergo si quaerantur numera tres, quota bini cum σfaciant qua ratum unc e auferam ab soc= p. residui ioc= as cum unita e proposito satisfacient. Nam 13o ecta osunt quadratus as ctc. xii l. Inueniatur trcs numeri,ut quem bini, alter in alterii multiplicatus, cofici ut, eo rei quisq: numero qui imperatur multatus. quadrat' relinquatur . qui imperatur,
esto io. Quando productus primi in secundum multiplicatione is est, cui si io adiam as,quadratus relinquatur: adda io alicui quadrato, ut cum cosequar Sit quadratus . ergo qui fit e primo in secundii. criti .Sit primus i ,erit secundus i. rursumq; in numeris constituamus quorum multiplicatione Quadrati i fiant. Sit primus i N, secundus i N. Alii porro quadrato addam io, ut habeam productum e secundo in tertiis. is quadratus csto v. ergo secundus in tertium facit is a Restat ut prinuis in
tertium que gignit.is adsumto io lit quadratus. Ergo 266-io aequantur quadrato. Proinde ob ea quae superiore propositione ostendi, eo deuentia est loci, u t quaerendi sint duo quadrati quo rei uterq: dem toto maneat quadratus. Quod facile fit, si queras quis quadratus demto io maneat quadratus. Sane si cui numero adijcitura &lii minae dimidiu in se ducitur, atq sic facto quadrato numerus initio si inatus . . detrahitur relinquitur rursum quadratus.Addo i ad io,lumniari. huius scinii Sisy c.
107쪽
τs DIO PHANτI ARITRMEτic scuius quadrato 3o si ausero io, relinquitur quadratus ro z, citius latus si a. tuo iam prinisi elle so ἱ. ulti nisi L & necesse erit ut i Qetia denuo io, sir quadratus Ergo I Q - io aequatur quadrato. Huius latus singo i N et, sit quadratus in N.&siti N,3 . Ergoicitius quem statueram i Q, eri r , primus 'o'. quo ruutem; est demto io quadrat Venio ad id quod initio tisrebatur. Statuo numeros primu 3O E N. secundum i N, tertium iaἱ N. Restat. ut qui liter primo in tertii 37o et τι detis io aequalis relinquat quadrato. 5c ut Quadrati integri sint, muli pli cemus per i 6. Ergo sic 192 9 Q -roo aequabuntur quadrato lateris 77 N -a. oui quide quadratus cst soro Q os N. fit i N 's. Statuera primu 3D is erit ir secundu i. is erit 77. tertium 1a Lis crit soa dc stat propositum.
exposita ae ut io,ostentis alteia se ria cinx nio. / Q - Iur quadrato. Eius latuspono N Gera in duplia uisi aris no ex dat num νύ ao se ea ta quadratis ut ruinfigeret tr N, i ' Ergoi si quadratur m undesi hoc en:m est apa a enci clita itur quadratus. Vanc ipsum mari res Diophanteo usus canone. mo siluit falsis 1 N ,1 N fui sera quadratus nam ab hoc eri si rosea aufer.υ, perest quadratus. autor quadrator ius omnisi ri s mult beatis.ut res sit expedia magis. ni cisio sit ad rus omnino qu ad ius manebit numerus per Io multiplicatus qmde quadratus tuant. habebatur. Misast α ισα quadrato alicui aequet Dus latus A ait π - .na cum 7r sit radix quadrata numera spaρ utis in se ZZῶ. spay fabri. hi ergo mutuo abolebuntur: enia P plures namorus absolutus minor 3 1 .ut audes. Derellauis inderit autor. Na m hi quide nemo persu i rat ex hic equatione I sera H. aut positiones has inde emergere quae '' flutione 'si nuponuntur aut resproposito satisfacere numeros. non fabricari ad mitatione perio is non es de cile. c A N o N. Duos aliquos mulacros, sterie numerata di naturali se continuo insequetes pro tuo arbitrio deliges. Utriusq; quadrato datuadi cies habes extremos, imitate mediu occupate locsit hcet enim uanare. Sit diu numerus L aut Π,aut II. unt qa quaeruntur ι .La . rem rILI. Ga es or. I. D. 'aprotrimo
P Priς . duobus quadratas numeras, morum latro unitate di serunt. iis numeres addatur.produc ex eos cuia uno in alterum si detrahas eundem diu numeria, resi res erit quadratus. ω 'Gara etaio est .a D asMoysi ct y2ρ. Horum mali plica cone producitur ρυμ a
se for ti habes quadratum laterissia. a uae autem arro de his duabus propessii ibus, ct abysm; quibuydam dissutariposse existimem,suo explicabim loco. i
108쪽
Vi v. Dentur tres numeri, quorum bini uno in alterum multiplicato produeant numerum qui adiecto ipsi reliquo sit quadratus. Vmina postulator uni praestabitur, si quadratum sumamus, cuius aliquam partem tertii numcri loco ponatur, reliqua productus e primo in tertium istatuatur. Sit lateris i N et 3 quadratus i Q t 6 Ni 0.l 'o . nam usi tertium csse 9. ergo quod sic primo in secundum est i ut o N. Sit priamus i N erit ergo secundus i N 6. Restat ut quod fit ex siccudia in testium, O N i s . adiecto pruno scilicet Io N et , , aequale sit quadrato. & item quod sit ex tertio in primuna, o N,adiecto secundo, nimirum io N t 6, utrunq; ae luctur quadrato. Duplex heic exsistit aequatio Nam cuna inscruallum harum suminaruin sit ues : duo sunt in ueniendi quadrati numeri qui isto distent interuallo. quod N facile cst iactu, & in numeris fieri potest modis. ac sint sane i 6&6 utri horum aequationem accommodo reperietur quantus sit 1 N. Etenim si dicaso aequari io Nis , i N criti idecuenichil inaequeia turio M t o. Ergo, ad propositum, erunt numeri primus i, secun dus 7, tertius ς:qui propositionis conditionibus satisfaciunt.
Haec quaestio eiusA. tractatio elegans iaces artificiν monime Dulgaris. quam uariari pro 'Atrio se tuu prima indicatur offitionenca expedis cotia detineri L cIorem In Graeco amiem uald mancaeu haec ropo Go ego rem,non uerba,descri . Posito rimo i P , sicundi At
tra siccanaeus Zoit. De Vocata aeqxatione memineris eorum quae libro I friore adpropositionem Aodri ima rent ex pluata. etsi nil ilias cause cur canonibus ibi traditis utare pol, si umuum V satorum quorse inter Eum sit quicuns durus numerus, ut heis I I, imurni oti ad O t rei propos b. ii. Imophanti. Numeros inuetos qui ioni explicandi Moy - .er inibus es expcri ι, quam ut ' monstrato opus sit Aecia aurem cst de cilitare es de O-
νυα fili centra Ior monuit. Nam ut relinquamus hy o sies, nci pro qua raro
po si coposita si accommodetur rano, ι Mot ιι ac lautus es primus secun is tr . terit uexh pothesist. Due ui in iret, en est, habes V quadratum lateris V. Duco: ra p, habes ira adde H , habes fuadratu Io. Duc y in ri', erui ros , adtae r . habes ror qua ru-ιuaeti a tibi mari. Quod si duplicata uti set aequatione, no miuorsi obrutisset uariet. M. inter nanter Io N I et Io N l GHI Lque multι numeri copon Sisti . - . et Ia,habe Lae quadratos maiore. to minore a re e ,habebis to et DI.5My et 1 ,habeta et tam ,etc. πυ. Dentur tres numeri, ut quem bini alter in alterum multiplicatus produc ut, is reliquo detracto sit quadratus.Statuatur primus i N. secundus i Net . horia multiplicatio producet i an N huic productis, ut fiat quadratus, tertius detrahenduscit. Hunc nos ponemus ergo N. Restat ut secundus in tertium, primo detracto litquadratus. productus io N,ablato primo, fit is N, aequale quadrato. Itercrtius in primum procreat Q inde si secundus auferatur, restabit Q --i N--- quadrato ae liralis.Et rurium duplex occurrit aequatio Nam ciam hi ru quadrato aequalium in teruallum sit io Ni : quaerantur duo numeri, quorum unius in
Micrum multiplicatione hoc interuallum producatur. li sunt Nt i & . Horum siminiae dimidiae quadratus aequatur maiori uel interualli sentissis quadratus aequatur minori. Fit 1 N. 21. di quaesiti ac respondentes pollulatis numeri ab, io, io Q.
Hoc nos ponemus ergo N.) I enim producto multato,restat Iaziv. dratus uti Caetera in Graeco mutilis, mro Marte correcta dei. Diuisio u t. in duos P fus multipli cando componar citu eis inusiecta se simplex. Vsus autem heicea cisnone, que duodecima securii tradidit ruracitra nouam quationem evia ri res non ibat. - r i ct .. facia
109쪽
cundum: relat quadratus ἰ, hoc est ι. Licet autem hoc quoa pro artimo uariare, manDepti mo I Vc cundo eum quotquot conbuerit unitatibu severanter quibus positis, inor Porti fiat tertius. ut siprimus ti sita ιι ri tro, erit tertius io M. et duplicato sunto interio α ρρ Noto at 1 P u aequalia quadrato. Inter Eum reo 2 tro. quod compones ex Io δ' t I ac Io. aut so Niscta, sec. pro re nata es t arbitrio.
NV i. Qii aeruntur tres numeri, quorum bini alter in alterum si multiplicetur, nil merum producant,cui reliqui quadratus adiectus, quadratum conficiat. Esto pri. mus i N, secundus aulcm 4 Ni , tertius Lita duo postulatorum praeliauerimus. Sit
perest ut tertius in primum quem producit,is secundo adscito sit quadratus. Atqui hoc inodo filio Qt 33 Nilo. quod aequatur quadrato, eius latus fingo N-3. cuius quadratus io ut 21- ON aequaturio Q 33 Nilo Fili N,9. Et numeri 9,
citone radicis quadrati depraehendas qualem ad A penoruturi exposuimus raram a late. rea Ni sicut i quadratus eis lateris s.ct ps quadratus laterissi. 9ρ α σι latus habet s t t. Proinde unitate tertisa Inata, Qt V, diuisisperi A , que ramum ficu usecundus est Ni . ct horis m, tiplicati oproducri et id, cui unitatu quadratuae a ritus, totum quadrat res,urret. Rum n I unt . multiplicat ab luta, ne ue a suo di, sertquicquam quadrato di, ut nora bimum eis. It etiam fecundi in teracum mah pluatur, idem
dum cande emper denominatione nancisii ro ideo comotae ct retiae taenominatore coin, abiecto numeri amuntur'. a s. s. ora rimm i cun facit agis, qui se 13aρ tertν quadratu ad inquadratu sales si aurugi.Secudus inremahgmtaIρ adtae Sr, quadratum rami, et a fas qu. 5.1tm,tateras Iss. Tertius in primum producti os . adis ror, quadratusecum ,habes quadrata tora 1, cums radix Irρ .m supertore exemplo haec abiecto denominatoris Lita non habebat. quia multiplicariolo partes crearet, quibus Integri erant addent,non uide quadrati, ut ob eruare iuuit. Variari sitiones est Folutiones licere idquet. II primἄρonere licuit ι secundum ι NI a,tertium ι,res Iu quadrati r VI a Nii, sec. xv D. Desiderantur numeri tres, ea conditione: ut qucm bini unius in alterum multiplicatione produciat, is cuin duorum istorum 1 quibus cst productus stamina, quadratum faciat. Enimuero quibusvis duobus quadratis, quorum latcra unitate di stant altero in alterum ducto numerus fit, cui sumina quadratorum addita, quadratum faciat. Esto igitur primus , secundus V, ut qui ex ijs procreatur quadratus 36,cum sui ima ipsoru quadratum conficiat. Restat ut summa secundi & tertii eum
producto multiplicatione ipsorum,itemq; summa terti j S primi cili producto ipso
rum multiplicatione, quadratos conflent. Sit tertius i N. Erit productus e secundo in tertium cum corii summa io Niv, aequalis quadrato:& productus e tertio in prium uni, cii eorum summa, stat , aequalis quadrato. Heic quoq; duplex se Offert aequatio. Ipsorum interuallum est 3 N t 3. quod qui conficiant duo numeri alter iri al terum ductus,quaerantur. sunt autem iNti & s. atq; rursus. ut in secundo libroci cuimus,ucllumna ς horum te missis quadratus malo uel interualli semissis quadratus minori aequabitur Fici Ras. Sunt ergo qui desiderabantur, 9.28.
Perrimum in theorema quod proponit auror de inueniendis duobus numeris, quorum
uno in aureum ducto quo Gid aditu ibis quadratussiat. Hoc beneficiosscuus huius opo
110쪽
quorum latera unitate di serrent: it . uanari et amfurton Lxii X. Alio modo idem propositum absolvemus. statua Paus primum i N ecuniadum 3. Alacro in alterum ducto, ipsisq; ad producti in additis, fit . quadrato aequale. is quadratus cslo 23. erit I S, atque iic prim , P, secundo a politis uni postulatorum catis lactum. nam qui fit cx uno in alter ina, cum tum ma ipsorum conuacit rue quadratum. Supersunt duo reliqua postulata. Pono tertium i N. in hunc si ducatur iecundiis, ta summa ipsorum addatur, fit rursum Ni 3. at si tertius in primu ducatur.& producto lumina ipsorum ad ij ciatu sunt οἱ dit et horum uterq: quadrato aequatur. Sed quia alterius S N&unitatum numerus iis qui sunt in altero est maiornaeque corum inter se ratio est, quae quadrati ad quadratum: ideo Ociosa Cinutilis est haec operatio. Eo itaque res deducta est loci, ut inueniendi sint duo numeri, quorum summa cum producto unius in alterum multiplicatione, quadra- tum faciat: ipsi, rum aut cin ratio unius ad alterum sit quae luctu rati ad quadratum. . Quando numerus alterius quadruplum ternario superat, unitate aucti inuicem ra- . ..tionem habebunt ut quadratus ad quadratum. Constituo primum i N, secundum niendi.
Ni 3. Oportet etiam produc nin horum multiplicatione, cum si imma ipibruinconiunctum aequari quadrato. Fitautem t 8 N t 3. Hilicaequalis quadrati latus fingo a N- . ipsc est 0- ia N, ac ita fit . hoc cili X. latus cit primus, secundusi:, seu Ita postulatorum uni est satisfactum. Superest, ut productus secundi in tertium cum summa ipsorum constet quadratum. Esto tertius i N:& cum
secundus sit productus&summa ipsorum facient uel Ni . aequale quadrato.
is ergo sit rue. Rursus cum tertius lita N, primus autem ib: quid ex uno in alterii producitur, d summa amborum coniiciunt ἰI N ib. hoc aequaturquadrato. qui stioo. Multiplico , Ni inas, fit 13o Ni ros, aequale quadrato. Item 1 v. in
ioci. fili; otat 3o, aequale quadrato. Horum differentia est s, ac rursum duplex se obtulit aequatio sitq; i N, 7. tantus est tertius, & aequalis ci primus i cundus r. Sc ita tisfaciunt quaestioni.
Vaec quos pro sitis e rex earum numero. as ut in tibro nostro erant,fateor me non a se qui Numeri quidem per Ninuenti ambages, proposito nequaqua atisfactnnt. Nam risoa,froducunt ast .quibus siligorum summam ψρ adda 3 habebo, monimὶ quadratum. Lus primum in tertium Aeas, in ad disti I ,habebis O, itidem non adratum. De duplici aequatione, dictam eis is duodecimam secund satis, est albas. inter Eam onemus ex mas quadratum me siquadratus si mi bu dissantia tar. hic aequalis Go Ni eiu se 13o xt io s. t utrobiquet M ZAIoceu δε ue ergo estprimus, secandras, A tertiun Scaprimus in ecundum citi qmbussi ipsorumsummam sica r ad s. sit quadrarus
idem eis de secundo in tertium e tertius in primu acit , quibus si summam i re O P. addis, habebis: nequaquam quadratum. ut ne denominatore quidem restituto tueri mo anteampo imus solarionem. Enimuer3poserioris artis hypothesis ne e cumre . neque secum consentiebat. Δod enim legebatur , se numerus alterum ter , . ac δρ ter a contineat, ad ita utri' unitate eos fore quadratorum simiae, hoc HI enim habere rationem us P. drim eis ad quadratum mxm eis, utcu expresie id uerba ha e t. Tremor i , addes rem au. de I ado unt Har,nibit minus etiam et aerate'