장음표시 사용
121쪽
XYLANDRI . Haec quaestio praecedentisciae inte igitur. Notum es autem,quorum numerorum ratio est aemus ad alterum ut quadrati ad quadratum, eorum interseuelmulripticatione ueldiu si ne numerorum era re quadratum. amen. borumsumma est in .soru numerota hujus jfriari communis mensura es ηρ. ergo in primis numeri summa bitur haec, alia tanta Jetiam es Dierum Του samma, quodposcebatur.
Nis. Inueniamus duos cubos, quoru interuallum aequale sit interuallo laterum cubicorum. Latera sint a N &3 N. Cuborum hinc ortorum interuallu est io C: late.
rum interuallum i N. Ergo i N aequatur iv QExplicari quid sit i N, non potest i quia
species ad speciem non habet rationem quadrati ad quadratum. Eo itaq; sum redactus,ut inuenire opus habeam duos cubos, quorum interuallum ad ipsorum late rum interuallu rationem habeat, quae est quadrati ad quadratum. Sunto latera cita borum, i N,&i N ti. ut differentia ipsorum. puta i ,'sit quadratus numerus. Disseren 'tia cuborum est 3 Qt 3 N t i.haec ad L quod est interuallum latcrum, debet se habe re, ut quadratus ad quadratum.Ergo quadratus crit, qui producetur horum altero in alterum multipli cato. Producitur uero 3 Qt 3 N 'L id aequabimus quadrato cuius latus sit i a N.& fit i N . Revertor nunc ad primum institutum, ponoq; cu horum latera N, dc 8 N. laterum differentia I N.cuborum ios Q ergo hi aequantur I N.fiti N. H. Vtergo postulatis faciamus satis, latera cuborum sunt iῆ dc H.
Vbiaiurisiu signaui, excidit ab id cr rursum denominator fuit omissis ut fere per flaus f. sacra solutioi. bus dei P i,est 1 P I r. unde si alteria r Cauferas, cuboria i
erentia siue interuastum exstat. Scite autem σρereleganter uuaraetatem hercusius proprietate numerorum qus sunt quadratorum ites, quia interse uia muli/pticandi, uel urse, quadratu faciunι numeria quod uane, uelex ma noni Euchae notu est. O latus qM. drati appositefit t-a P ut unitate ab oluta urrans reiecta, intersico aremur si' cyx H nu
πlii. Inueniantur duo numeri, ut maioris cubus adscito minore numero, aequetur minoris cubo adscisceti maiore nunacrii. Sint numeri a Ndc 3 N. Maioris cubiis
adscito minore numero fit Σ C t a N. Minoris cubus adscito maiore numero sit l8 Ct 3 N. Hcc ergo aequalia inuicena eprcstis nominibus,fiunt i 0 aequales uni tatb Sedi N quid sit explicari numero no potest. At is Q sunt interuallu duora cinborii, unitas lateru est differentia. Eo itaq; res mihi redi jt, ut quςrendi sint duo cubi, quom interuallu ad interuallu lateru ea sit ratio e praeditu,qua cst quadratus ad quadratu. Supra aut hoc est demostratu. & sunt cuborii latera atq; 8. Accedo itaq; ad
nomInatore ne lecto. Vera exam nemu .Minoris cubus est Q r. adis maiore Q, hoc est
tibu Maior, cu es AEdde minorem H Aocs- rursum habebis ::' F. xlv. Quertitur duo numeri,quoru summa, ipsorsi uterqι, scd & interuallu ipsorii, si unitas eis singulis adjiciatur,quadrati numeri fiat. Si unitate aufera ab aliquo quadrato habuero primu Fingo alique quadratii,cuius latus sit aliquot N dci.ut 3 N tr. quadratus hinc si um 6 N tr. hinc abiecta unitate. primu pono o Qt 6 N. Rursus quia uolumus primu cu secudo & unitate quadratu facere: sed primus ac secundus' iuchi eu unitate 5c ἰς, N 6 sunt: secudus aut cum unitate quadratu coficit quaerendum mihi obtigit quis quadratus colundius cu 9 QI 6 N quadratu cosset. Expono duos numeros quoru multiplicatio e unius in alterii fiat 9 Qt 6 N. hoc in sese mul-' tiplicatu fit io Qt 2 Nio. aufero i. dc statuo secundu ici Qt a Ni 8. primus aut ca is Q 6 N,quorvi quiuis cui quadratu facit.testat ut etia diueretia eorum cum ι,ho Q l
122쪽
esi Q is N to aequetur quadrato. cuius latus sit nimirum a 3 N. st i M, H. adponii lata erit primus 3oa ,secundus 96a . Sc manifestacii dcmonstratio.
i,m ρσά. at eis P si gerator a m est numerus ro quo reflones c sic , hoc in. re aut is numeri tini, me ea praestant, quae in quo one ut est a me rope sata xldinium Summam oram ad uncta r sit σο', quadratμ lateri n. Si ad riorem numerum i ai ciatur squadratus sors, tiro , si ta osteriorem numerum adda , quadratus sitis as, lateris Denis minorem a maiore auferas, et vultura o. atqui assot quadratus tam stiteris ri. Γν et quaestio uatae elegans, se inter adratorum miracula mortio locum habet. Tractationem ita reposeisi i eni hoc est atri mutilatam. inuentio expedita est. Prosii unde re Hritor quadratm,qus cumprimo coniunctus, Hadrato praestra. tum reti inueneris, unitate mosta re habebis ut o secundum. itai set, ut os ma j om,d prosi quisue unitate adit fis qua Erati omnes stant. Inent ergo duo qua rati quorum interuasi sitst si N. Here jam ad Iocasam aerationem recurrendum est. ae .pra huius operis libros cun do, proposition duo decima ab L explicatafuit Euaerendi numera duo, quorum unius Iu alterum multiphcatione gignatur ρ ea, quae ibi dicta est ege. Aut oris uerba heic exciderunt. Sed cum dicat ταὐne ἐφ' i-- γο α licuit Humare quaefuerint.rem ego dica nas ' quadratur est,cuius latus inueniri etiam uulgata radicis quaei cri ratione scia Termam tam sicumae via L. i. est exim ut uides Ni 3. Namsicutus heis quos est Droptantus idquo erat implicis imum . numeros, inquam, 's multiplicatione scam ter uastam componerent sum is p A f er quia minor a ratus quaeruar, interuas eorum, quod est ae Nisi, i stem latus eius tuit octi me quidem. xta Ni R. Rei qua deinceps pia sunt. H serentia numerorum et ιδ N t x. Neque obserum eis, cur latus quadrati mpri s s N, nimirum ut sim I tolli, ita ι α cum N componi possint. adratum castra ρ-iIN, ualer Otis N i p. abdi Iuntur ut que rat ρ,ctutras ad niur is N e ua a I aequantur so NE . N U. Qiaeruntur tres numeri, quorum summa summae interuallorum qui b. ipsi inter se dii tant, sit aeqtralis. Quoniam dii serentia maximi dc medij ac dii serentia me dij S mii imi &diiserentia maximi ac minimi: simul iuncla tribus numeris aequantur. summa autem haec est duplum dii ferentiae maximi & minimi. Ergo duplum interualli interna. imum dc minimum aequatur tribus numeris . Ponamus minimuci se quadratum unitatis unius. maximum i Qt a N et r. Horum interuallum duplica tum sit a Q t N , qualium duo dicti sunt i Qt a Ni 2. Sunt autem hi tres quadrati. Ergo neccile est haec ςquari quadrato, cuius latus ponamus iN- .d iit, I N, 9. ad
postulata. erit maximus I96,medius Lai,minimus homnia pera . Etit maximus i96, medius ui,minimus 23. NYLANDRI .lia a meperuenit haec quaestio. on aute dubito,quin ad quadratos proprie pertineat hoc problema, ct tres hi numeri quadrati requirantur. quod nonflutio modoproblematis , de ordo Grenipostulat. Caeterum hoc factia intelligitur,tribus numer propositis, di serentiam mammi es minimi aequalem esse rei uorum dis reni s.cthroinde omnium Hsserentiarum summam, plum essedisserentiae exiremorum. quod non de tribus modo, quotcuns Numeris uerum e ct exempla docent.
Quod si h sc questio quibusvis numeris solui debeat loge facilinia est ratio. Quos '
123쪽
flebrae operatione tractus. Pona enim primum I. inimum, maximum M. Epo medius 1 N. Inter Lum extremorum Irimu duplum ast tama debet esse irrum numerorum. E go Is ti aeqv antur O.siit I 'utpote medius .ut uides. eademsumma interualgorum I.s Io.ss 1 r quae numerorum s. . 13. Euodsi extremos suspem a se zo. me ιῶ -υ a uenis emast interualla ILCa . 6.mma y,quae se numerorua Lit ' tremoth u semccst i aut σοι nonsucces s. t. aequarentur enem zocti N ta in modo,quod est o i it A ta. hoc aut ιδε t ao ct ro, reuodao si Ni lo.quorum utruns est absurgum. Sta,ut d xi, heic de quadraruagitur. Numeri hi, Gestas. as. omisso denominaioreas, qui innui uidetur,omnino uerti a Gumpropositio. Nam quadrati seret omnes, ct summam cousiciunis a. I maior minore Pserat unitatibus Iri.medium 7s, hic min mum ρα qui numeri 'si quois summam consse, rs I. a de reus de quae auuotammtu addecima prima nimi, sec.Se quo pacto medius es summa omnium inueniatur, se ad aequationeperueniatur,csequidsit quodaequetur quatarinto lateris ιN- qui quadratus est 1 Ot 1σ-δ I aut unde haec quadratifici operiar, ac quomodo I NIognoscamus esse ρ.d xseauiorem no dubito. Sed exciderint eu uerba. Nos ergo de nostrosis fit min. Duplum interualli extremorum Vra II . idquo si in trium numerorum. at extremorum summa est I VI a xl a. eam indesi seramus, relinquiturr et a N-a.tantus ergo est medius Sed quadratu cum esse oportuit nam de quadrintis est, ut dixi, quaeso. uolunt uerba haec, ἰriso, αεις οπάγωνοι in Das coparatur quadrinto Im σ-s M a latere r2 - producro .ea ratione nimirum, ut i Nutranssis to aequatio inter N es initates explicetur. nam aditis se subtractis quae ratio iubet, si is io aequales rLcti Nnon p. si tesse depraehenditur Maximus ergo Ois i N a hocs V . Eodem modo medius cosn tW ct man mus manct ursos eramus in Atro . Cur autem denominator ab 'ci debeat acρ t,aliquoties insuperior ptis monui. Aul. Dentur tres numeri,quorum bini in reliquum ducti numeros qui postri Ttur producant. scilicet primus & secundus in tertium. 3, . secundus & tertius in ymmum,27. tertius dc primus in secundum 32. Ponatur tertius i N. Ergo primus cundus 3s N. Esto primus Io N, secundus as N. duo adhuc postulata sunt nobis pristanda Secundus & tertius in primum debent 2 producere, at producunt io tabo hoc ergo aequatura Tertius & primus in secundum faciunt 2 . lasoto.& 21O QAquantur et r.excessus unitatum siti per unitates, .ui si etiam io i 23o Q ultra rue laso Q habuissent 1,aequalia utique fuissent interualla. sed as unitates , sciacundo sunt. io a primo. Volo corum interuallum esse s. ipsi autem primus & securidus non sunt quiuis sed coniuncti faciunt 3ue. Viuuenit ergo mihi, ut 33 diuidam iri duos numeros. quorum differentia sit s.li sunt is & ro. statuo primum is secundum ro N. Ita summa secundi & tertij inprimum facit is t3oO aequale a .summa primi & tertii in secundum ro t3oo Q aequale 31. &si ist 3oo inequem 3a, siti 'I. ad pollulata ergo primus numerus est 3 secundus , tertius 3. XYLA N DRI.
u iuncis in .so producunt. postulatissatis viani in o. Operatio autem P γ-ι- mbus interse comparati cum utra abjci aso expediatos inter to se as idem ess et odim es terar sesa interuallum, nam notam undiae ab cereticet res iam ad Mahtatem dc 'v' arctya,essimus in uado Ergon diuidemus in paries duas. quarum interuasium t F. ιτής
errorem arte corrigemus . nam si id ab initio fecis i docendi autem gratia ct m AE
i , -cta id i confecZa esset. Atqui fatis apparet, inaequautatem 1 de ortam, quo tera. resummai in primi essecundi, non ratione dissimus in cse . nam si Oct a, quinario ae ferret ituom
124쪽
ii. Ergo ela uidimns numerus primusI secundu ut dissutare de rex; vir , is D ut uerbis otiis nonsis opus. Y vii. Tres numeri quaerantur, quorsi summa squet quadratu: ita ut quadratus cuiuslibet ipsorum, cum sequente i psum numero quadratum conficiar. Medium ponamus numeros quotquot libuerit. ac sit η N.cuq; dci,cat quadratus primi huic adiectus quadratu facere: in eo nunc res uertitur, ut inueniam quadratu. cui si adii clam N,summa sit quadratus. l 'Ono duos numeros quoru unus inest cru multiplicatus producat N. atq; hi sunt qui cu meti uti ) a di a N.quoris interualli semissisi N -i ponatur pro numero primo. Iam ergo hoc est confectu, ut primi quadrat icti s sido numero faciat quadratu Restat ut medii quoq; quadratus adscito tertio quadratu coiiciat. hoc expedietur, si quadratu habea, qui ademtis 16 innaneat quadratus. Pono latus eius N ii fit quadratus eius i6 s N i. aufer i 6 tabcstertia,s N ii. Su perest ut hi tres quadratu sua summa conficiat. at sit maenis N. huic aequabimus i 60 Q iii N,i; Q Ad propositu haec aptemus. Erit primus i i.s cudus , a meritus io Qt i ita tria id postulata impicuimus, non .scfinito criani nuqui duci quant uoti N. Rcstat ut quadratus terit .hoc estio io QR ri S i,cum numero primo si minam condat quadratam. At summa cli horum iosi 6 u ut ara in&depressis characteribusto Sin rri. hoc aequatur quadrato. Ponimus citis latus io. N ti. Fili N ues. Quod si ad postulata transscratur, crit primus 36ori, sincundus is 37 , t critus 3i73O .
Ex mea uersione corrigi eram Graecorum uerborum menda'o YH. T autem mi is inr ara asiat o quaestim , sic aruisse cilia qua uor'stulata habentis. Fatio primi inuente M sex curas ad decimam quartam huius, ct tam G iam, uirges ram InI.im sicundι. terri endeta si Bene laterum sepenumero indicarin Traum autem numerorum summam calori aquat, ut in nesupersingendo latere quadra /ρost depressos chara Ieros Dei e
operosam examen. Suma omniam , quadratus numerus, cunis latus i' ). 2 egno uidear sexu re, sera tibi rei vis exploranda. omn a consi manea depraehendes. ki i X. Dentur tres numcri,quorum summa sit quadratus numeriis: cuiusuis aut
ipsorum quadratus demto qui eu ordine insequitur numero, quadratus restet. Medium rursiis statuo N :& cum hoc detracto quadratus primi ii t suturus quadratus: superest ut quadratum inueniam qui demtis 4 N mancat quadratus. Quaeratur duo numeri,quortim alterius in alterum multiplicatione 4 N producantur. hi sunt. qui eum metiuntur, a &a N. horum summae semissem IN ti statuo prima numerum.Sic uni postulatorum satisfactum est. Porro cum quadratus secudi tertio multatus numero debeat quadratum relinquere: quadraium lateris N i, quod est io mi-8 N auleto de quadrato secundi. id est i 6 Q. relinquitur tertius S N i. licsecundo etiam postulato fatis fit. Rursum quia tredii,hoc est summa corum a 3 quantur quadrato id siti 60 ergo i N fit 13 Q suod si positis applicetur fir priumus i* Qt i secundus uer interitus io Q-- I. ita rursum indesinite tria postulata sunt absoluta Superest ut quadratus tertij dcinio numero primo conssct quadratu. at quain
125쪽
racteribus io 8i 6 Q--rri. Hoc aequatur quadraro, cuius latus ponimus io N-i, fili N, m.Ad propositum,erit primus i7-39. secundus 6 unitates 692. tetilius Ia7, 363.
Qui eum metiuntur0 c crescit et altero. de qua re dictum ea adfecώndi xxxv. t rum quia hic malo duaeratur quadratus, summo misse utitur. ἀουςως, ndefinites νι est, ca
ri ι' quadratum,curus iatus M' '. Caetera I e comperie atu facerepostulatu.
Aita. Inueniendi sunt duo numeri, quorum primi cubus coniunctus cum secudo,cubum conficiat secundi autem quadratus primo adiecto, quadratum exhibe. at Pono primum i N: ergo alter est 3-I C. ita fit ut primi cubus addito secundo numero cubus sit. Restat ut quadratus secundi primo adiuncto sit quadratus. At se cundi quadratus adiecto primo fit i CCti Ni 6 -i6 C 'Vbi si quae desunt ad das, quae abundant aut cras ςqualia ab ςqualib. utrobiq; relinquuntur 32 C ςquales I N, hoc est deminutis characteribus,3r 'quantur i. Est autem i quadratus. & si aQ etiam quadratus esset,iam solutam dedissicinus aequationem. Enimuero 3a illi Cproficiscuntur abis 16 C. ortis ex duplicata multiplicatione i Cis 8. itaque 3 a dexquater g orti sunt. Proinde id mihi incumbit, ut inueniam cubum, qui per quatuor multiplicatus quadratum procreet Is cubus esto I. cuius quadruplia aequatur quadrato. ac sint 4 C aequales i6 it i N. . Hoc accomo demus instituto. Sit i C. O . Statuo secundum 6 -I C.Reliquum est ut huius quadratus primo numero ad lecto. quadratus maneat. Sed quadratus secundi cum Primo numero coniunc facit i CCtI Ni o 6-usC.hocςquatur quadrato. cuius latus siti Cro bit. a CCtirs Ct o06:additis dc detractis quae ratio imperat, tandem abo C aequant I N. fit I N A. Ergo ad rem primus est .secundus Q. .c'.
quadratus lateris lxo: quod norandum duxi. Porro uti asteri cumposui. exciderunt haec Iter uerba. Hoc aequatur quadrato. cuius latus pono IC t δ. quadratus I CCt 1σCt
a: ehm momnia constabunt. Cubum γεγνόm hercvocari cubum per φ multiplica ,rm a me docuit.Ita se insequenti es quadruplicara. γα Inueniantur in infinitate tres numeri, ut bini semper quem producuntumus in alterum multiplicatione, is addita unitate fiat quadratus. Vt habeam proda ctu primi in seeundum, ausero i de quocunque libuerit quadrato. eius latus sit Ni Mi- quot pro arbitrio, dci. sit latus iN t i,erit quadratus i Q t a N t L ergo primus in secudum ficit i Qt a N Sit secundus i N. ergo primus i N tr. Rursus secun di in tertiu in productus cum unitate quadratus ut fiat: eodem modo agens, 1 lateres N ii qu adratum procreo o Qt 6 N t 1.austr i, ergo quod fit ex secundo in tertium, est ' in o N. Atqui secundus est i N .crgo tertius ' N to . Denique productus e multiplica tione tertii in primit,adscita unitate,est 9 int 24 N t a3, aequale quadrato. Hic numerus Q est quadratus.&s duplu eius quod fit ex latere istius numeri in unitates absolutas aequaretur numero Numerorum: indefinite iam fatisfactu effet tribus postulatis Cςterum i 3 unitates hcic confectae sunt ex multiplicatione a in 6, dc addi tiori ei. Porro unitates duae ortae sunt ab eo quod fiebat bis i N ducto in i. dc unitates o ab eo quod fiebat bis N ductis in unitatem. Volo itaq: ut bis numeri in bis numeros ducti cum unitate iaciant quadratum. Atqui bis ii umeri in bis numeros ducti, sunt quadruplii numerorum. uolo ergo quadruplum ipsorum addita unitate fieri quadratum. Enimucro quorumcunque duorum numerorum, unius in alterum producit
126쪽
quadruplus cum quadrato disserentiae ipsorum, quadratum facit. Ergo si quadra tum numerorsi distere fiς statuamus i, quod fit uno in alterii multiplicato, citis qua druplu cum i facit quadratu. & si distercntiae quadratu ponimus unitate,ipsa quoq: dis retia erit unitas. Itaque latcra quadratorsi quibus licio utimur, statuenda sunt in Numeris deinceps. addita unitate. puta ut sint i N ti, a N ti. Proinde quadratus la teris i N ti esti ait Nii. unde si aut cras unitatem, primi in sic cundum productus multiplicatione est i Qt 2 N. csto secundus i N, crit primus i Nir. Rursum quadra. itus lateris a N ti est ti. aufer i. ergo secundus in tertium facit N.&elim secundus siti N. erit tertius N i . Atq; ita soluta est qWaestio indefinite, in
bini quiq: unius in alterum multiplicatione numerum producant, qui addita unitate quadratus fiat. i N autem quotlibuerit unitatum aestimabis. Hoc enim est infi- Insuli quae-nitd quaerere, tales positiones constituere,ut quamcunq; Nuincti a stimationem ij saccommodes, semper propositi postulatis satisfiat. NYLANDRI TErtim in primum quoque ia N t ryriaucis, mi ad λου t, Vasati s s Irros a N ty. Volumus autem has 'sinam examinare, ι 2 sal repos ros o II. I rimm hoc modo t
deres Diopharam quadratorum titera qua lege ossint umenda, usus of theoremate, quod exquisi ferundi Euclidisfacile demonstrarisot si umcn 7 ctia. ro eius S et Gulum uinciam, lumns. adde as infrentia quadrat m,fGM quadrata . meroes II producimII, quadru- producti cum ρί- is . Hsserensia I. quadra Isa facis ipsiqua ratum. Det r. hia xxi. Dentur quatuor numeri, quorum bini quem alter in alterum diacius saci sit, duc risi, quais addita unitate fiat quadratus. X quadrato aliquo unitatem si detraxero residuus si -
erit is qui fit ex primo in siccundum. Sit quadratus lateris i N ii, scilicet a Q a N it, unde si abiicio i, quod ex primo in secundum sit, i int a N relinquitur. Sit crgo primus i N,secundus I N tr. Rursum ut quod ex primo in tertium sit, adiuncia unitate sit quadratus: secutus ea quae supra demonstraui, quadratum latcris a Nil sumo,
quod est 4 Qt N et L ergo unitate abiecta Qt N est quod sit ducto primo in
. tertium. Et cum primus sit i N, erit tertius q. Iam quia uolo quod fit ex primo in quartum adscita unitate fieri quadratum: deinceps a latere 3 N ii quadratu m sngo 0 Qt 6 N ti. & abiecta unitate, qui sit ea primo in quartum relinquitur 9 QI 6.& cum primus sit i N. crit quartus 9 N to. Porro qui fit cecundo ducto in quatium. unitate adscita quadratum facit. atqui sic conssatur 9 Qt 24 N tia. Huic aequabimus quadratum a latere 3 N t . Fit I N I. Ergo secundum posita piimus est 1, secui
ius Diui quod lut demo rure ΣNl i. Tres numeri proportionales inueniantur,quorum binorum disserentia sit
numerus quadratus. Ponatur minimus i N, medius i N i , ut cuna excedat quadra-
127쪽
scientia si esset quadratus numerus iam indesinite satisfactist quaestioni esset. Est iis tem I 3, qui num crus eo inponitur additis s ad 4. Quaerendi igitur sunt duo quadrati 'aequales uni quadrato. quod facile fit lateribus trianguli rectanguli lii natis V&i6. . Statuo minimum i N,mcdisi i Nis, maxima iN tas. Horum semper bini quadrato disserunt. Superest ut etiani proportionales sint. At qui tales sunt eoru medii quadratus ςqitatur producto ex primo in ultimum. Hic est i Qt is N. id ergo aequatur i ii S N t 8I quadrato medij, sit iN 8I. ac tantus est primus, iccudus i o. tertius
ptam, ct ab Eua de demonstratam lib. Popo ao. D - ,σmultiphcatu . - s ct quadratum de ιδο est istooo.numeri nihi minus quam aequales. Os neros is proporti ilesia cum uteril. H MInor medio, imm. etia umma IF orum cum non attineat ' iam si r osubductus.1ρ relinquit, nequaquam quadratum. ut nea S 'adrat is es, qu- ,σ ab eo demssubtractus retinquit. Δuaeramus ergo ueros G sui rassat a res nu exos. ι Ne rergo tantus primus. sicundus 1 Ni ρ, est V. Iertius rNυ est M'. Hos e se proponitona dis constat. Nes ramus in tertium 'M-producit. ac tantundem est me quadratus. Pro portio autem maioris ad minorem es utrobig rsao. Postro a fer 'Imum a secundo, super- ,
sunt v. hoc es ρ qua ratus. a tertio, restant 'VP, idestas, quadratus. b eodem unam
rei quuntur . t est io, quadratus. π XII l. Inueniantur tres numeri, ut qui eorum multiplicatione solidus coscitur Cum quouis ipsorum Coiunctiis, quadratum faciat. Ponamus soli duc x his tribus ortu ellei Q a N. deprimit numeria r. ita enim solidus huic adiectus quadratu faciet Idem solidus cu secuido iast mero ut quadratu fac 2 . de quadrato aliquo aufera i Oeta N. residuum erit secundus. Si lii adrati huius latus i N 3. ipser Qt 6 N 0. I autero solidum i rN, restat sec sidus N tu. lam cum solidus illi Qt a N. prii aut in secundu multiplicato producatur N tu: per hunc ille si diuidatur. habebi. mus terti ii. Ucrum hec diuisio non est postibilis. Vt aut fieri poisit sciendia est quoasicut se habeti Q ad N,ita etiar N ad 9. cic permutatE ut i ad a N,ita N ad s. Aea Q semissis cst quanta adlinitates attinet derre ut si N quo lico de modo sulcsent semissis c tu institui posset diuisio. Atqui N proficiscstur ab co. quod o N aniplius est quam 1 N.& . N sunt orti a duplo eius quod fit ex3ini N. lain 0 quadratus est de latere 3. Res itaq; e 3 deducta est, ut quaerendus sit numerus loco imitatu trici, a cuius duplo si duae auferanrur unitates eliduum sit semissis quadrati qui fit ab eo numero. Sit is numerus a N, huius duplum detracto binario in a/-r. Quadratusa inergo huius semissi aequatura N-2. Ergo i Q cst aequale N- . iiii N. a. Reuertor nunc ad primo propositum. Primum numerii posueram i, solidu au t ex triumultiplica tione conflatu, i Qt a M. Verum solidiis ille etia cum secudo debet corix ponere quadratu. Ergo secundum habebo, si ab aliquo quadrato subduxeroi Qt αN. Quadrati huius latus pono i N.&tor unitatu,utharia de duplosia auferantur,r siduu lcmilias lit quadrati unitatu. id est, ut dem Ostrauimus i a latus eriti N tr.huius quadratus i N et . unde si solidii detraxero,rcstat secudus a N t . Iapithao in secundia ducto a N t prodii cutur, perque si diuidatur solidus,prodetur tertius imitu N Restat ut solidus ille una cu tertio, quadratu coiiciat. fit aut i Qta N. hoc cquabimus Qriit i N, .Ergo secia dii ea q posuim', primus est i secudus 3 ,tortius et:
t ulta quae in Graeco erant ultros, uersione noctra stetus corriges. Vides ut i eundos nendo incommodum quod acciderat, argute corrigatur. Ἀ- ρ oritur as, quae I in
rat ut inde quadratum fieret. isag ostendis non , da esse postendum uni Mur diu o ex osatur. equartonem aute hanc si 'aequatur on expkcauit autem cum sit e coraneorum genere, earum quas quinta quam Euclidas ae tit ut aui docuimus ae mi
128쪽
uod eis dis ad a, einde auferas, a erat ualori V. Diuisio quo Flii t insidiari
siunt corri endi. m primus insecun Vicit : οῦ, quo triauctam in tertium ubi Lxeris. : : habebis, olidum de quo res cst. adde et ramum. seu J ζ, habes qua ratum l. si eundum habebis r quadratum. Adde olido tertium, set H quadratus. quod libuit e de sim Niv. Inuemantur tres numeri,ut qui ex iis fit solidus, quouisipibrum multatus, fiat quadratus. Sit primus i N,solidus autem tu , , qui multatus primo, quadratus sit. Iam cum solidus e tribus conscinis siti Q t i N. & primus sit i N: utiq; prodii ctus secundi in tertium multiplicatione eri ti N ti. ac ponamus i cundum csse l. er go tertius est i N t L Superest ut solidus tam secundo quam tertio detracto. utrobi que fiat quadratus. At secundo multatus, siti di i N-n tertio adempto, retineti Q -- i. horum utrunque aequabitur quadrato. Heiciam duplicata aequatio exsistit. Arripio interuallum, quod citi N. dc constituo duos numeros, quorum unius in alterum multiplicatione i N procreetur. ij sint a N dc . ut hic ducatur in duplum lateris Quadrati. Est ergo quam nosti aequatio. d stiN ,i7. ac primus eorum qui
μεως. Duplicata autem aequatios, Muttur. Suma componentia interuasta es o l. his m
mno pluato es ul. I nae primu. hoc est auferre, relinquitur quadratus Vl. D secum dum relinquitur quadratus tertium,uid cer relinqvrtur quadratus
NX v. Datum numerum in duos numeros diuidemus, ut qui fit altero in alterum multiplicato, sit cubus suo multatus latere. Sit num crus o. partes ponantur i N &6-i N. multiplicatio corum producit 6 N-a Iloc aequatur cubo cui sui inide sit latus. Fingo cuba lateris aliquot N i. ac iit latus cius a N- i. cuius cubus, latere detracto fit s Ct N-ia Qioc aequatur 6 N-i Q Heic si nume. rus N utrinq; fuisset aequalis, restabat ut C & Q aequarentur,& numero uero expri meretur solutio. At N ab excessit proficiscuntur silpra a N: scilicet ex ter a N. desitera N amitt1ta N, tum fiunt bis 2 N.At 6 illi dantur ex hypothesi. Eo itaq; redactus sum, ut quςrendus sit loco a N numerus aliquis, qui bis sumtus faciat o. Is est 3 Ergo cum quaera σ N-i Q quales cubo cui suum deest latus: hoc ego pono 3 N i. cuius cubus ipso latere detracto est a C t 6 N-ao inquod aequatur 6 N sit i N,26. Est ereto primus 26, secundus 136.
Postrema haec is esse omnia, uel eo appareat. Nam cubus cite saN-r fa ρ N-i. unde ipse, latus auferas, relinquitur ara' σN, quod residuum aequatur O N--r ser utri cta currasa aequatio erit interar Ccras uides totum compendium in eo ut se, quale carus cubi ad quem reserenda es quatro poneretur. Caeterum IN M. Et cum hic sit altera diuisu ars, quipropositus cst nobissex, sitie: 3: altera erit -: . Hic numerusper Η muhipticarus. ρε πιιι -' uod sit oN-r
Aura es intenctio rei, uolui eam riaioribus obiter commonstrare . ctavi. Datum numerum in tres partes diuidemus, e quibus ortus solidus, cui a bus sit.
129쪽
DropHANTI ARTHMETicrsbus sit lariis habens et quale summae interuallorum quibus bini inter se distant. Diauidendus sit 4. solidus quem tres partes constituunt,sit 8 C cubum enim esse oportet lateris a N. Iam interualla primi dc secundi, secundi & tertii, tertii & primi. iuncta duplum faciunt eius quod est inter tertium & primum. hoc eis. Si tres fuerint numeri inaequales, trium interualla duplum sunt interualli extremorum. Numerorum autem S interuallorum summa debet esse eadem. Ponamus tertium primo maiorem in te malloi N , & sit primus a N poteram quo tuis N sumere tertius erit 3 N. Cumq; solidus his tribus compraehensus sit s C: & primus in tertium ductus 6 prodii cat onsequens est secundum sore i ἰ N. Hoc loco si secundus tertio mi nor, maior primo exstitisset: iam quaestioni satis erat factum. Verum secundus pro dijt diuiso 8 per id quod ex primo in tertium fiebat: primus autem & tertius no sunt temere sumti,sed qui unitate differant. Eo itaque deuenimus, ut quaerendi sint duo numeri unitate differentes, ut per eum qui altero in alterum multiplicato gignitur,
diuiso octonario, numerus exsistat minore maior, & maiore minor. Sit minori N, maiori N ti. productus corum multiplicatione i int i N. per quem si s dividas. erit medius is maior debet clle quam 1N , nranor quam I N tr. Quorum intcrii al- tum cum sit i, etiam interuallum primi & medii minus unitate erit. Ergo secundus cum unitate maior erit primo. Secundus addita unitate, &resolutus in minutiam.
N hoc ergo maius est quam i N t i.&facta reductionei uti Ni S maius eliqua ni i Ct 1 Qt i M. Auferant ut similia a similibus, relinquitur 3 maius quam ic ii Fingamus cubum in quo contineantum Cti Q lit li latus cius i N et 3. & quoniam 8 maius sunt quam i Cti QE cubus quoq; a dicto latere maior quam ic ti Qλα-
qucrnus etiam latera, et & i N 3. Fit i N, s. Iam ad ea quae potueramus hoc accommodetur. Erit primus η, secundus ', tertius . & omnibus peris multiplicatis, primus O,secim dus 27, tertius as conamuni denominatore is reiecto. & inuenti supitres numeri, quorum ex multiplicatione ortus solidus sit cubus aliis habens si . mam interualli eorum. Statuo itaq; primum o N. secundum 2 N,tertium a s es solidus horum trium est cubus cuius latus squatur interuallis ipsorum contulicti Volo autem hos tres aequare unitatibus datis numero scilicet proposito, qui est Ergo 92 N aequantur . fit i N,I. Ad posita, primus erit o. secundua an tertius ab NYLANDRI ScutioqVidemurra est. 29mi r . ni j , Π Π r, o reiecto denomina ore θ nis eris o : cum liqueat μι do creato,etra πῶ mmatorem fuisse cubicum restito m. n primo ecundum ducto us toro. hoc er c G mmul optica sabes a bori qui scis , a latere Io. Siacti oram numerorum Int si I a. G. hoc es o, uti populabamur. Praeterquam aut m quod menda in Graeco. quot sint, quas correximus interue i)ndum: utari muralat unt ea,quae explicatus habent a m dum diose: s. Suae d. interis ma dicuntur, ex dictis adterly quintam acHopo em huius ligri decim ,- -- iis Dite ui possunt. Enimueros C aequat autor cubo a carere ιδε tu Io, qui majιν uam icti iras latera etiam aequalia esse, comun diri eno V a. quantur ergo 2 N Os sici Nnon fit s,sto. Oportuit ergoscriptu e elatus cubi triti, is , at s. hoc um deinde in nouu hvsasibus te isse autorem
rei. Vivisit, si sum ex rugis,
ratiocinari, his eumporro in Euendam quaestonem usum es, epositionibus. ac ι et l. -bire nihil enim ob explorato s non ualerepro ι N, intelligisse autorem, minutias rem in πή- see conditione oblata δε post ses, more suo. Hoc satis
eu dens, tri' mel'm N erum non quadrare possulatu, quia extremarum multi dic 'tionemmis oduceretur numerus. Minis autem quin producatur, si tut es 'nores m s. Ergo' i, ponemus. sed res non succedet, 1uod experius dico ergo I l. erat Hur extremus Horum multiplicatione producitur - ..ser quem stur quotiens
130쪽
uotiens habebitur '. qui et ne minores maior, maiore minori quod manifestum est, tri numeris Diophanteis adcommunem decimarum qu niar partium denominarIonem redictu Lunari hocpoterat,nam letia ro i P accepta nos ex diurgemus rem. Sed ct primat lienes uarian in mus ossunt movis p sequi Von est tempestuum. Causam hyposta sun u deseruta quae reductae Ab idem nome . reo absoluantur,nolo inculcare. Caererat arite indicauimus. Ponuntur ergo omncs signo Na eLia, reductae omnes ad eundem doκominatorem , ex . te nodo misso actum. L DL V a Uitpostulatu, hoc excepto, quod Don ursagitabatur sidabus numerin spummayartium. Reliqua b ent. XX vi i. Dentur duo numeri, ut qui sit multiplicatione alterius in alterum,utrolibet adiecto cubum faciat. Primum pono aliquot N ,quorum numerus sit cubicus. uerbi gratia 8 N. alterum i Q i. lia alteri postulatorum s alis fit. Nam si alter in alte tu multiplicato ad productum adijciatur prior, cubus exsistet. Reliquii est ut productus hic etiam posteriore assumto cubus fiat. Fit autem his coniunctis s Cli J--8 N i. quod aequatur cubo. Huius latus fingo a N-L dc fit iN, 1 .higo iuxta positiones nostras, prior critiu, posterior 27. XYLANDRI. Si it per ar multiplices, fient Iosi. quibus e arsiue ita adriae, neutrubiculum inuenies. uod positiones attinet, cubum qui fieretprimo a productam numerorum addito aut ors
Dinis.ί quibus sis N primus 2 detraherentur, severeis S C-s N, quod fit exprimo
MXV l II. Inueniantur numeri duo, quorum unius in alterum multiplicatione qui fit, utrolibet ipsorum detracto fiat cubus. Rursum primus ponatur s N, secudusi --i semper. Ita productus eorum multiplicatione. demto secundo. sit s Ct sN I Q r. hoc aequatur cubo. Est autem impossibile. Rursus primum statuo numerum N cubicum dei. ac siis N ii. sccundus i uno in alterum multiplicato, & primo ab eo quod fit sublato, fit cubus. Rursum secundum si ab eodena producto auferamus relinquitur s Cti-8 N I aequale cubo. hunc conficio 1latere 2 N-i, fit i N i .&si ad posita id accomodamus, primus est idis, secundas i 6.
Confusa es uitiata esium in Graeco. Curpriorempositionem imposita, legignere Heu non exprimit r. Certe si 'in I -i duca fit IC ae Munde secun m auferas habe.
bis 3C-I s N L ais ita textum uerborum aut orta corrigas. Hoc sicum cubo
lateris a N cum uiso enim albo ρ XV confera cum s C t si ia ir risus et absurdi. aquabuntur enim i N ct is s. Sed rimum de od Ioab fuli es, relinquebatur S C-io Naequale cubo cuius latus poni nutam potes quin ab raeum incidat.uas m laturpositio, σρroprimo sin Graeco ρrimus essecundus inuerso ordine ponamur. ad rem nihilinteres malui tamen si ruisetcrs imitati, maxime cum solutionis numeri eo ordine ab amtoremnantur,ut inversionem horario deberi Vpareat, poni ur SNt 1 prosicundo 1 QP amex his pro citur 3 C: I Q ut 1 abiecto, euidens sis S C re recubum. Re uaseraeadem quae in 'riorepropositione. iNheu quoque est i. 'primus -:l, sicundus : : Hoc Vrimum multiplicato, fiunt Vnaes risus auferatur, supersunt ζ: ψ, cubus lateris - . Si ab eodem roductosicundum, qui est auferino relinquitur inc bus, alus habens cubicum : I. Ita haec quos explData GDquae si xta ita. Quaeruntur duo numeri, quorum unius in alterum multiplicatione quisit numeroria summa tam addita quam detracta ei cubii, sit. Sit cubus quem productus cum summa numerorum conficit, 6 . & cubus quem summa numerorum a