장음표시 사용
71쪽
' DiopHANTI ARITHMETicis coniuncti maximus &nunimus .Hic uero summa extremoram cst SNt 3o med urs Ner o s N t 3o aequantur 16 N. & fili λα- unitatis, seu 3 & dodrans. Tantus est cui quaeritur,dcfatis facit postulatis propoliti. lam uero statuamus maximum eue Nil . medium 3 N t is, minimum S N Atqui si tres numeri aequalibus se interualiallis subsequantur quanto superat maximus medium,tato & medius minimum med heie maximi iupra medium excessus cst a N: medii supra minimum is uerillaec ereo sunt aequalia. &IN erit: , seu a: tantus csi quaesitus, dc quaestiolia satisfacit.
vatis solutio Tripliciter hoc demo laut propter IN; quia ciun nomlum Itii Mat quantus se Namerus, y Numeri nexioci μῆ minimus, aut medius quae torum essepotest iacis diuosum ei in singulis locum ad gnat demonstrationibus ditata '' ' iis prima uinctum in secunda,maximum in tertia iaciens. Masum inuinitur erus quantit M. ci SN cras muntur is Misi de milius a ciantur milia, relinquuntur I Ne so Miralia. Partire Ioper ress vias etiam I m quadrantes Abias, ut omniasub eandem reducantur theciem, leni π. Cr abiecta dene alione paritiam Is integra.tam ergo maximus ' f N t Is,hoe esto': bo m quadrantes resoluta, sunt Ul'. in .s N,id ess Io,resolutus in quadrantes,' Iao eademque rarione minimus In.horum est idem lateruiati s Emis Insecunda d monstrationes' r N orra .hac de causa.cam u-s N cPencura N: adiecto utrius de M. erant II aequales 7 N.er partitio ostentit L Nesse 2 Hoc totumetiam a inseptimas resolutRCT nomine factu, - -abiecto it Is. Maximus ergo erit a, b, uel omnibus inseptimas potes resoluta IIostprima m. Nisus Mi hoc est Iso septimarum. Minimus τε λ HIao septimaru .in tertia I N HII. Nam unis Ni Isque eso N. undis abiectis qualibus, 1 N ' V. reliqua mam totasunt. - Σ0ANDRi.
Nam maximus ' Iao,medius, yo,minimus sex. De causefacta in integras ueneni praemonuimus. Caeterism hac quaesis triplicite et Iur ramulo alia cuius rei causa ea, quod imior ter si 2 quem quaerere iuberu, maiorne ram norae 'em n uero medio
ocors interuenirerin ire pro si cora. in contextum retuli. De rithmeticae Sre φημ
72쪽
cARUM LIBER s EcVNDVS. belmo Xylandro interprete. DEntur duo numeri,quorum summa ad summam quadratorum ab ijs procre torum habeat eam quae poscitur rationcm.Sit quadratorum summa ad nume x rorum summam decupla Statuatur minor I N maior a N. tumina 3 N. quadratorii summa siniorum decima pars sunt 3 N .ergo 3O N aequantur, Q;rit i N, 6. minor quaesitorum maioria. hiq; postulam satisfaciunt. I i. Inueniendi sunt duo numeri, quorum interuallum ad quadratorsi interualluab ipsis ottorum sit in ea quae praecipitur ratione. Sitnurnerorii interuallu sextans interualli quadratorum. Poncmus minorcm I N, maiorem a N.interuallum nume rorum i NAEuadratorum 3 Q. ergo i N sextans est de 3 Qestaq; 6 N aequantur 3 Q. iN fit '. ergo minor est 2,maior . dc faciunt id quod iubemur. iii. Dentur duo numeri,iit ex multiplicatio e alterutrius in alterii produc iis ad summam uel interuallum numerorum habeat rationem praescriptam. Esto productus summae sescuplus.Ponamus eo, qui quaeruntur iN dc a N. Caeterum possunt etiam in quavis data proportione poni in erit productus a Q inuina numerorum 3N. Ergo a Q sescuplum sunt ad 3 N.itaq; is N aequantur a deprimantur notae unitate.agae qua buntur 2 N.ergo i Nq. duo ergo quaesiti numeri. & satisfacientes postulatis, o dc is. Quod si productu interualli sescuplum esse praescribatur, crat rursum productus a QAnteruallum i N.&ON aequales a Q . dc ι N 3. Ergo 3 dc O numeri sunt qui quaerebantur. i v. Postulantur duo numeri, quoru interualli ad summam ab ipsis ortorii quadratorum sit quae praescribitur ratio. Esto ii imma quadratorum ad interii callum ni mcrorum decupla.Statuamus alterum i N. ait crum a N. summa quadratoria 1 Q n- ζteruallui N. Oportet 3 insecuplum esse adi N. ergo Io N aequantur st I N. a.d quaesiti sunt ac F. v. Petuntur duo numeri ea conditione,ut quadratorii ex ipsis natorii interuallum ad summam numerorum ea sit,quae praescribitur ratione. Sit interuallum quadratorii ad summam numeroria sescuplu. Rursum quaesiti ponantur i N &2 N. quadratorum interuallum 3 Qiumma numerorum 3 N. Oportebit 3 QIlle sescuplum ad 3 N.crgois N aequantur; Q iii N,6.alteria. Euidensq; est demonstratio.
s C H O L i O N. Qians hae quaesti eines videntur ecam esse cum qums priora libro expostuis. prima scilicet eadem cum tria smaprina primi: sconsa eg etiis em xxxi v tertia cum xxvij,er xxx, est enim duplex quarta cum xxx j,quinta a xxxiij . Sunt authe illis imperstitiores nam in illis ι m.quos bric,qurrebatur: π praeterea etiam ratio numero rum qui quaerebantur quod Mic nequaqua sit .Er ex illubc sunt notae.Ponit in bis ommb. i N Cr a N:ide, nihil riumst, Mons ratione numeri, modo inaequales. constituantur.Semper enim sitis ii quaestisni. NYLANDRI.
Latiauergo patent hae quaestiones, ct quaeuu innumeras admittit solutum op in tertia quaesione autor non dis mulauit. T depresso characIery eis accidit. p t um ibi inicauit. Ex ptis facitius est haeci si ure, ρ iis nostra requiratur Mic opera. Semel admonitu emper intelia luas uelim, meri a Graeci textus Manos uti e sedi tibi ex uersiae nostra facie u mώ se. V l. Quaeruntur duo numeri dato eorum interuallo,quotu quadrati quod habet interuallu, superet numerotu interuallu qitato postulaturnum cro. Oportet aut interualli numeroria quadratu minore esse si imma que colligitur ex ipsi hoc interualno,dc numero postulato. Esto numerom interuallia r. dc numerus quo quadratoruinteruallu interuallo numeroru praestat, ro. Sit minori N, maior erit i Ni et, mancte interuallo 2. Quadratorii interuallu N t . atq; hoc ro est ultra interuallu 2. ergo a qualia Ni dcar. dc fit i N minorqilaesitorii imaior 6 l. dc satisfaciunt ijstioni. v ι i. Habedi iluit duo numeri, ea lege, ut interuallia quadratoria ab iis Pcrcatorii, prςii et interuallo numerorii numero eo et ratione interualloria explicat, dc in sup dato numero. Ponamus interuallore ratione cile tripla,ac prsterea habere Io. Iacic O- .
73쪽
Dro par AN Tr ARITHMETIcrs portet quadratu in te alii numerorii, minore cile summa quae ex triplo huius interualli δε ex unitatibus decem colligitur,quae dantur.Detur autem numerorum ipsorum interuallum 2.Erit itaq; minori N,maiori N et 2. Ergo N quadrato ruinteruallia triplu crit ad 2δε habebit praeterea io.Ergo ter a Io, hoc est i 6,c quantur N t . fili N, 3. hic est minor maior in faciunt, quae postulabantur.
s c H o L I O N. Daeminarior infracta ta septime questionis rea habent. Insens niteri acti 2 quinatus mmordebit esse summa quae colligitur re hoc interuallo Ex postulato numero et O. summa a a. quibus minor est 4. In se una quadratus interualli numerorum minor bet esse coniunctis triplo interualli 6 Cr Dro numero i o. summais. Si aequilis ponatur quin uia ides inra Mia nimis in qua hom non stibit res.ut sepe iam doc . multi
. Aia exemplum M. Dentur duo numera, aberaltera numero praestans, ut quadratorum interuatam numerorum iam dictum intcruritamsi peret ex Numeri erunt INcti Net quadrati I r INt 16. ergo horu inter Lum FNirc. Hinc si numerorum inter
Mergo Imminor, .maior H. a Nodiscenae Itone eul itationem attinet, a senter numerorum cst os numerinpostulatus, summam conficiunt .at inter gladiim qua rutus ic. multo es minor quam ro. Vt autem nec itatem ι maetronis Intias π, Guaere duos num rosad ferentes: ut quadratorum interuasium H as,hoc estro ampli in quam s. Inuenies astio Ut las quod est absurdum. Pone numerorum interuastam ro, quadratorum reter Lam focamplius so. inuentes iret o I l l o. quod est meab se reuem dentima quo neus Ma te experiaris luet. Graeca se Diopsanti e schol astae sunt GP cens t.
M X. Quadratus numerus propositus, duri datur in numeros duos quadratos. isque sitio. 1'o natur prior numerusi QErgo alter it i6-i Q. &lumcoporic- . bit numerum aequari uni quadrato. Fingo quadratum latus habentem Numeros quotquot uolo, deiicientibus tot unitatibus, quot constat latus quadrati i6. ac sit latus quadrati a N- . nam latus 16, est . quadratus crit in N et i 6. hoc aequabitur i6-i in Adiiciatur utrobique desectus, ct ab aequalibus aequa lia auferantur, 3 Q aequabunturi 6 N. Si N erit . Ita fici quadratus unus. ergo alter K. qui coniuncti faciunt hoc cit i6. cuias partes utraque cii quadratus
Iubet hac propo bione quadratum numeram is dicii re in duos quadraton cum quidem id natura eius n3ρ- rar, Quidam enim quadrati diuiduntur in quadratos. ij neu tuam. Et qui Auduntur, alii ut duos, ut a s in io erymae in tres,ut 69 in q,s,3 C. a in quatuor ut ais in q,9,a 6, 196. sic deincepsim im initu. Non ergo hoc dicit, ιο in duos quadraros esse partiendam nanctesectionis operie enim sim i bile. π hoc ego set, poterat quadrato as adscito,ins duos qua raros diu 'quaestionem Dinon rare Nunc avitim sua fretus alacritate quemvis quadratum di dere intendit in duos qua tos quod usi in pari esseda initate, feri nequit. Ita hela partitus est quadratum numerum is in duos quadratos. quorum alter io . , latus habet 3 alter s in, ut habet a x. qui quadrati coniuncti, i 6 conficiunt. Et prior horum quis in eo osistit, totvi in uigcsimas quintas resolutus fit ex lut eius in quintorti reseruium, si Poster rudem Ocausa 'nu arati mia larus eius . Hoc enim uniuerse sciendum est, q-d quadrati quia pinibus Qualis sunt, partibus con 'μ ' regnominibus paritim a quisu fiunt quadratorum. sicut in proposita quaestione . cum t 'μssit - a s, quod est nomen partium ut quais vim a s .creuenienter etiam quad atris laterus est . cui tum triens. nonarum partitam ex buset: si quadrans. sedecimarum ac se de reps.Ms hoc est irrua. N ira aliquoia pars innumeri eiusdem eandem aliquotam partem multiplicata liquoram qua, an de eo numero ginis partem. est enimi Eiqκota numeri, Haliquota quadrati para. Mirari aurem nillil attinet quod quamuis quadratis coiiunctis russus 6 c , neu tamentitera quadratorum conuincta maiorem constant numerum quam sit puta latus numcri Quadratorii. 3σ.s enim titera est s Omniti enim quatratora in duos quadratos diuisorti latera ex diuisione ortoru quadrato oi ncta plusco ficiunt qui sit Iaius dicistiquarumvis quadrati i ι divisum quadrata restituant. ita usus est. late se sum qμή ratias est s qu bati ipsium calieres ι is er V latera quoru summa amplius a tqiud Enimueraa , Ii. . . '' Di π omnia Ab una reducerespecie intcdes,n5 ab unitatib.cr partib.quadratos scit. Stacu feri re queat ut m infe in unitate coaretatur, unitas assim partus Iecari posii .n croru unitate sicas in parto como kη spartium
74쪽
tare paries ea habre, atquc cq iactatorum versi quintae faut a tmzs aso, alterius 3qq, quorcinsumma eo quem numerum etiam io actu invige in sq i ta sectas: cum vicies quies sedecim fant 4 odi. cim ergo iubet quadratum io diuidereo: duos quadratos: nihil aliud est. ac si diceret, Aoo Quadratum numeria o factum is in as quia ita diu: in duos quadratos . r diuidem in t 6 π in . Vel c. Detur nu. in .m, in quem ductas is, quadratum procreet, eri in euo quadratos secari poset, unitate Die nullam admittentedia tinem, at xe is inuenitur 2 : in quem multiplicarus i 6 si nil co, quadratum moreri zo: qui oo druid uir in a 6 qua ratum lateris is ta tu i qq, quae alu laterii ta. Rclic etiam hoc duit. Hugo quadratum L iis
ii unt i 6 propositum quadratum. Parii in porro quadrati ior. π scooco fiunt summam ': . O M. I ivi, utpote quadrati, ea . Fit aurem 6624 si is multiplices per et sy, aut m et i is unam quamlibet anitatem in rῖς partes seces. Est ergo iam is deuictus in alios duos quadratos numeros. Hoc autem si ire oportet, Cinio de la quod bella loci nanquam debet quadratus es ut ex altiqxo vno Numero , scd ex Numero cir parte quo at que, ii S idui duobus, ac de inops. Nam si ab uno numero quadrum creetur, non succedet res. rursus enisi fit numerus t n. '' tum uotion er Lim est propositi quadrati. atque ita prior quadratas idem erit cum ei, qui additit Mum i r pro-νο tu .c secundusii quam oci leti. itas manebit quadratus noster indivisus quod minime uolebam m. Praetcrea 4 quos dicit de radrato con icienti e larere quoi sit quotclinq; tandem numerorum. demti tot unitaribus 4 cl b bet latus numeri is. Statutum sit is quadrarum diuidere in duos quadratos. Is cum e acer conjiciatur: ubi is is ab latero i in Ma i 6. reline utitur 9 nimi limas i Q Porro 3, larus quadrati ν, id trit. q a Fuit aere a N tot unitatiba quot constat latus quiarati cis uidendam propes tu, Liri busta s. ergo L. tot quod singitur, a . s. Q adratum ergo sic crescietur. cum numerus, qui is quadrarii tui est sit q:tiatique duo numeri crunt S. ab his eras latus quadrati a s,quod ζὶ s; omnino relinqvrtur quod est la: quadrat: 9 cr 3 est s- . Rursum si tu eram a rs numerum qxa aram. 9: roslat i c. Huius latus non iam an plius dicemus fugi 2N- tot unitatibus, quot latere quadrati ac continentur. Naui ctim impar sit 3, vn Ee 9 ni it r: ergo tres numm, ni P. unde si latus quadrati as, scilicet s. duxeri, Jperest η,latus de εα er est latus i G, nimirum q,3 N s. id est, s s. Vniuerse enim Di omni b. quadratis, qui in duos θου dratos diuiduntur: la: sdiuisi, cum latere alterutrius in quos facta est diuisis, rationem quandam habet ad alte irius latus, o subtracto uti uiro quadratorum qui e divi lone emergunt: latus reliqui tot erit unitatum, quot erat demto diuisi latere tuus toti plex, quotus lex erat ratio: er reliqui latus cum latere dum ad latus ablati. verbi pratia. Eo π 9 conliai as quadratus equadratis, ins hos diuiditur. cr tatus totius, pxta s. cum ς,ut latere quadrati νι duplam si lateri totius i quod est . . Et sit auferami 6 a as erit latus de ν. ob duplam rationem bis latus de is, minus latere de as. Erit ergo g s: quippe 3. Rursus cur lattis de as, videliceis, cum 4 iit latere de i o triplum sint qui eli latus lauseram 9, erit latus dei es ob triplam rationem, ter latus de P, latere de is: scilicet erit 9-s, id est 4. Similiter tum quadratus i sy diuitaturan iqq π as quadro
lamen ureris de as quod est uesa si ars de is s propter quan plam rationem ir, ut latus de i q, erits incuplum lateris deas ,-latere de ι σν, quod i i 3. erit ergo et s-13. id est,ia. Prem cum quoistaeo νώ inuiceni detur ratio, semper tame in defectu lateris quod habet quadratus, diuisendus ara dixit, Num crosca uo rq tro i uolo, deiicieti bus,& Ergo in rate pio de i6s scat dux ut sublato as, relinquitur 14 q drati latus,quinquies tantum qMnta Iuris a s: demtosilicet ab ira i 3 qui est latus i s . Ac Dioptantus quivia dixisset, o latus de i 4, N- atere de i s . nam i Nela laus quadrati abliti, cui quadrato ad ignaueramusi nod si dixisset diuidenduou esse is , ab eo aucterendum i Q be deinde dixisses: Esto reliqui latus. Numeri 6, 7, aut quotcunq; tandem, tere de is .non iam partes sui sent i 4 π rs,sid a M. sicut supra dem iis strauirius. Quoi nodo autem dicit Dio notas secundum quadratum ore i qs quia latus eius posit a N--- οῦ N erunt sit vade ablatis η, restant a l. er initatibus in quintantes denotaris, erunt baec ia, naiae ilatas i 4 . - . NYLANDRI.
75쪽
o sic demum cohaerent quae de aequatione scribuntur. Nam cum huic quadrato aequentinas adulto utrobis irasses de N t ias ira. se rursium additu utrobis istisi s liσtis Edeni in ciuturm iis manet aequatio inter scio ισ 'seuo
acterius deminum,inrers Nσ rLI seruorepropositione id mendi non es. Interpres atis accurate exposuit rem,ostendit plurimu modis diuersis satis eri quo niposse Mamnsire conducit haec opositio ad diametrabum quos uocant numerorum Inuentionem,quorus scilicet quadrati coniuncti, quadrarum constuvant: se eorum suussin arithmetica c=ΠΟ- e quadrato- d ausius. Sed c chol a ipsa nonnihil explanare ope precium est . a quo ait quadrarorum πριανός inosa,abos os, alios in auatuor disia, quadratos. recte est accipiend .n profecto is, euo . st in quatuord uidit quadratos, aes eriam in duos diuid 'otest, D cti . Eis comentarios
nonstrabo,attingere tamen hoc theorema luber. Omnu quadratus uua quadratum duplo raducis huius cr timore Aperat. Conuat enim o-
nim quadratu umma est omnia umorum impanum progre 'nis semperas aditur ei impar quidvia es rades eius σ i at proxime maior quadratus. quodinume d Mirisione ra re ι promptu est. Scire iam uiam cui nam quadrato semc 7μ δε ιι inliquo propositi itans ini Myri, ut quadrat in fiat i P tur, Summa quadratorum au inest, i impar Si hoc, itatem e MimGrtaquisem P quadrato addes ad aras, habebis ab Hoce proxime maiorem.Sint ad isti si es ip ab m, cri it , quadratum conficiunt. Summa durarum a ' Mno demto,a74. sim is Us. huius quadris o 1νω. - ear . et inai q*adrat Gra Misy sergoproxime majori Sic L. p. ictas. smmam consti ut V quadrati omnes ad ', quies quadratur later I, ai et quadratis imi maior, rad, is nimirum ax is a erit par, ilium si is par. ser ab hoc i, re ui quadratos is in propositum, quadratum habebu numera gres L i Gosemissem huise excedentis. . uadrati inctyσ. kmma sa semissu as, uno demto as. Hinc aufer si relinquuntur a , hemi ta. huius quadratus 1 M. Ei adde sa, habebu 'quadratum numerim, qui ra excedit binario. Rus , quadratisint ,IGI G. summa rasis N is G. a is , H, unum: re ui 1ssem is ast. Eius quadrarum ML huic adis ictos ratos omne, si a summam eorum Lao, habes quadratum ρσι, wuius radix RI , a --- quam os C t si dirusummae simi u fuerit impar, ister res habebis. Non enim se ira, si id uelis P abiecta im adrati aby quadraro adiura nIur m -- is inrestris. Si unitate umma ad si scat quadratus numera unitate, quam easummae si . . maioris . tota ita summa sibi ademia quadratus erit ipsius semis s. Sin amittat. γ ratus unitate, quam eissi is, minoris numen, hoc re duo adscit quadratus erui sus
76쪽
itemsi sim Guadrati .rcas. 71 ρ. Summa Mo. si misi impar G. oriatu de s , ψηρ σ, is si adris 1 ρ, habebis quadratum ψaas,cuius radix os. Si quadrato 61M cuius radix G. cimus Is rursum babebu adratum simis . V os haec ιὰ hacimus. retiqua inde infra ad xndecimam huius, ct duod. cimam tens Iam Ha minutiarum in partes Gersarum di nomi. nationum diuulfio, qua Graeci utuntur, Cr quae ab Int prete proponitur sui habet ali uid rationu, ita plurimum obseruatis, CT multo simplicius est, ad usum accommodat rusH- diuulsio. cere,1M.quod rectefactum est, o contra deprauationu an ira caute in Ptolen auis utrio xν-
referunt Eui idei libri r stiones quartam C septimam cog oucris: nae ι ac D mtelliget, murum non esse, quod duo numeri coniuncti maiorem summam confiunt, quam sit lusus qua
aeratoram xtri que in knum confiatorum non emm modis mirum
hoc non ea, si iera aliter non potest: cum compleminia adhuc duo praeter duo ista quadrata requirantur ad conmiendam quadratum lineae ex utros latere compositae. uod in gratiam ruiorum tiam ocutis Iubieci. B est , B C, s. horum quadrata AS D ri Nis licE io, cr EFG Hρρer quae diameter transit E G, ut rarrogo metri capsulat. adrator. umma . At tota A C est Acr quadratum eius I C G . ρ sit dicet maior quam a f. quid ua' qura ad . inpleedam ipsium adhuc desiderant uora as, duo complementa BC FE σ DE II V. utruns raici ain dent eam os, quadratum totius in C censerunt. Caet rasuras ingen es Volopes de mutanda qu/stionis enuclatrone. de lutere quadrati recta In ι- tuenda. Pro Ia is. t. , se mus Ia ' .is numerus in Graeco erat mutilaramalierum tam ante expos min. Caeteror in damentum iam stropositum.e qua ob ratis dixit μο- bases,ea exemplorum tractario euoluit. ita. Rursum quadratus numerus io diuidendus sit in duos quadratos numeros. Estolatus alterius i N alterius quotcunq; Numerorum,demtis tot unitatibus, quot
unitatibus latus diuidendi consta ac esto a N- .Erunt quadrati i λδ I6-i6 N. Horum quadratorum summam oportet esse ici. Ergo F Qt i 6-i6 Naequanturi 6.fiti N. ξ. Ergo prioris latus erit H, ipse quadratus ,potierioris latus .ipse quadratus dc constat demonstratio.
π VLANDRI. ia hanc nihil annotauit obases,cum idem problema paululum modo mutara operatione reueretur. μιν odi exemplasiupra non Atractauimus. Tacit autem ad expedirniam
eo facit ussiquentem. Vide in usum ti . propes I. or 3as Amud exemplum Abycere libur Aumerus θε quadratus es,Crin duobus e quibus confiatus fuit quadratos diuidendus. His ra Geso17σ-1 6 Miamsponas huius a N. aut 3, .ctc. a s omnino aras et quaesito. dumendum an In Integris resposit expediri. Obseruabis ex operatronibus harum duarumpropositionum, a eodem recidant, erus numera, quem Nnotas quadrarum unitare auctum, drusore fore numera, qui omnino multiplex es ad ratim quadrati latus. gosis deluere hoc dim-to quadratud restit, eius latus cris numerus Numerorum,de quibus latere tot iuspro Arracto, 'ngatur latusposterioras quadrati. micergo latusfingens s N Gquabuntur tandem assci , aD N ac latus σιι ιο. cuius quadratus 1 .ergo alter sys, cuius latus P . Rursum aeui
Zatur in duos quadratos. Pono latus a Ie s. nam bis duo dr 1μm 1, per quae ut is dira Sintegre soterit Iso eius multiplex sio fiunt quadrati 1δ. er D. Denique ιυ diuidam in duo
nam G multiplicabitur bis renumersi Numerorum, ergo diuidi poterit per a qui sit 'a raro inardi unitate aucto. as aequabunt uruo . se quadrata erunt 21MI . Caetera δίι- gens Lectorfactaeaeshmabit. Σ. Datum numerum, qui est ex duob. compositus quadratis, in duos alios Quadratos numeros partiri. Numerus 13 conatus este quadratis duo b. & 0. denuo iii lios cu quadratos diuida Latera priora quadrato tu sumatu a dc x Ponat i a quadrai toruinia
77쪽
s DropugNTi ARITHMETic Estorum, quos quae inius latera I N t a.dc N quot lubebit, minus tot unitatibus qucii unitatum fuit alterius latus, dc sit posterius latus 2N-3. Quadrata horum latem. 1 Qt Ni , & QI 0-ia N. Horu stamina debuit esse a 3. at est 3 Q t 13- s N: id
conficiunt numerum I 3s c u o L I O N. Quod ad octauum diximus propositionem, iam nunc repetimus , non omnes numeros qui ex duobus quadruaris. ''mina iis componuntur,esse ipsos etiam quadrator. π qui Diu quadrati, non statim in duos quadratos etiam secari iis disino nun*x j . uisa unitare exceptis pratas. Sane fas quadratus, latera as,in oo cI ars quadratos Autitur, quorum ultra .ro Cris: ratio modo in 76G' 49, quorum quadratorum laeto 2ψ σ7.Cr post Cas qui unt a latere maltipliciἄ,lateris 2 s. uti so. 7s,er ioo Cr deinceps. At Diophantus,praestanti simus arιthmeticus, in omne mameros quadratos er ex quadratre composiatos, siue dixi ioni obnoxia falsule non fiat unitas, tractationem ex rem dere cupiens,banc quctionem proposuit. Ais Dic qitos iubet latera quadratorum qui queruntur pom die a N a alterum numerori quotquot libeat, tot unitatibus, quot unitatum eji latus alterius. Qxid redeam impulerit, visite ageret icoriabimur semon brare quam possumus plani irae,ias in numero, iuι tractaris itarem relinquat integrum. Propoctuam est quaira σ2s, conflatum ex quadratu qoo Cr ras, denuo Madaeuin quadrator ' π s 7 6. Horam omnium latera exponantur, t uiris . priore sine minora latera, posteriore mainra. si sim, quadratum numeri as con ari ex quadratκ numerorum i cIao. de velim illud totum quadratum denub diuidere in alios quadratos duo s. sic rego ra Z tiocinori Ecto latus alterim eorum qui quaeruntur i Ni is reuia is notM est auterius 3 -io, quia etiam 2o notus erat fiet tandem iN p. o erit i Nii s. la- stus alterum 24 alterum 3N-ro erit 7. Sic durem depraebentis i Nesse 9. Sume mihi latera quadrarorum de cusatim. r quando ro cculm defectu latas alterum se meritur) π iuncti, constituunt 27,σ27 maximam mλsuram habet s. ideo i N' 9. Et rursum quia 9 men ur ira ter inesto a .idia etiam 3 N,alterum latus sinebo tur 3 N.sunt aut ter 9, 2 .ci cum aufertur 2cio elinquuntur 7.σlatera quadratorum, is quos fastimo dari. tu unt 7 π 14. Rursumst mihi constet de hocquadrarum ma uri as conflari ς qu naineror ema Azurum autem eum de 3 in alios partiri quadratos. sic dico. Quadratorum, qui Po tur, alterius tittis a N t 7 squis est notu asterius 3 N-r .n Cr hie est notus. Rursum latera accipιo decussatim posiva. 4, ιμ defectu famatur unum latus, ei oppositus is, constant 3 . huius maxima mens-ra est M. ergo I Neru 3 erq ia ι3in 3ς inesti alterum latus Cyprius latus est 1 N i N. hoc estro. alteri 3 N- a , ora 39 a 4, id est is. Eigo quaesitorum quadratorum latera uni et o Cr is .consentaneum ergo est,quod ob has q. Livi prioris quaesitorum quadratorum i N ponit er tot unitatum, quot conmuntur moxσm lateris noti mero: posterioris totidem numeroru quot cir insuperiost quaestione mas tot militibus,qaot unt inmat
78쪽
quadrupla. a Unim maximus logi Omo opponitur Lim neutrum quidems . Ouin se hoc in haccedit, quod longe a udespotara quotione experiri ut omniam futitisset faciant: se a ud quaeso nepropossit fluendi rationem indagare nes enim ommiser omni et minionum ilis e statim tractatio, etiam in argumento non di i mro ais adeo in hac t a re. Fateor enim cognitis re omnIb.numerissoluisse cinitaretro inuentendu quadrat posteriorib. latera ponenda Disi NDicty I ao. Sea quid rasin ooctaas fio quadratos diuidi: alteros δρ est o aere, lenitus ignotos' usi erit iuge Xι- ιμ ad quem prouocatur' ni forte artu est ex ignoto oootum demonstrare, o calceus non ad edem si ad calceum pes est concinnandus. IDiee o P ' scholiola acumen desidero. sel sum eum credo α. - νι- α Aα, quod es cubi deue rophilos sis ne repronuntiauit Aristoteles . Nam huiu ei non idem ad norma, normam ad lapidem exigunt, streus areolagitat, ct uetus prouerbrum pienter monet. t U. Meo inpromtu es haec omnia re Agerrinam si serioras quadrati latus quae s numeros, non aes raptos anteos recognoscens risissem nons N aosod Aerbigratia o. certe a non e ι prod ius ρ, dy -ct hoc licere, o innumeras talum Pae onu essetariones, in praecedente quo ne ab iZs cochobasa demon Iratum.fui ct hoc omisse sis itum nomine. Uionem sic otuisseproponi. Numerus yas cessatus este quadraru ioo ct ars, quorum latera io se G. eumdemparuamur in alios duos quadratos.erunt Mya o I. quorum latera isse ι. a uiuolet, alias etiam silutiones facise inuemcisatis est nuisse.Scholiactem autem repraehendendum duxi, in monerem sui δνου lectores . nam ephilosephia es analytica doctianis multi mathematica tractauerset, uam c ei os, ct os ab eorum ore pendentes deceperant. Porro itas dubium non est,quin tantum non infinitae, aut et Iam infinitae solationes iusmodiproblematum duripo M. Vera autem hypothesion in hoc argumento causa est, shoc pactost, utpropositus numer- t -- comparato elidatur,nulta a braco characte re insignis,si lan liberct absolutus: tandems in aequatione Oct 2Gomparemur. sicut L a operatio abunde docet. Loco autem 1 iuspr posteri chia Isu urpes quae adfraceantem. annotauimus propositionem inaci se intelliges pro secunda uteri quadrati quos N ponendi sint. Vide porro xxj rendi insta a nobis explicatam. uti canonem trademus,res ab hac quas deri uitae. Vide se exempla usu lib. i. Hopo v Lo xo'. ita l. Duos iu iaciairc Quadratos numeros quantocunq; iubeamur interuallo di-st an tes. Sit ini unctum interuali una 6 o.Ponatur alterius latus i N: alterius a N & imi tates quotuis dummodo harum quadratarum non superet aut aequot interuallum
datum.quod ideo prςcipitur, ut una specie uni speciei ad cxtremum squata.expediri quaestio possit. sit ergo alterius latus i Ni 3. Erunt quadrata i d& i Qto Niv. interuallum 6 Nis aequale oo. fit i Nis . . Ergo latus unius erit 3 .alterius ii Quadrata ra ἱ & isa ἰ.S mani festum est satisfactum esse proposito.
79쪽
rum latus I N t a,solutio integros numeros tibi exhibui sit. erat enim quadratorum ex O ianu. Ni l l . est Ni . Latera itas ιδ σι quorum quadrati ipsi se assi omnino discrunt x mero G. Caeterum haec solus citra Erigebra osseun ausio negocio mo ex si quae adocia Mim commentati sumus. e quibus hunc tibi canon depro muric A NO N. Ab interuallo quadratorum dato 1 subtrahe, si impar est reliqui semissis quadratus alter est corum qui quaeruntur alter iit interuallo ad hunc adiecto.
Demur enim quadrati, quorum interua um 1 . auferi, re risimi is ax quadris Edis , H snos 3 I. ter quadratus cuim Limast. Si parsit interuasse numerus, comi semporeis habeat. ab hoc unitis aufertur,residuo impari reoondeus in ordine quadratuου sacre reor qui quaeruntur,a tersis interuris numero aduecto. Ita in pro sito, interuaeritam co, si mi , u adratus impariaρ in ordine quariatorum supra exposito re ondens. id est cum eo trux fias proximi maiorem quj faciat.es ιρ .ereo altera C Vuomodo Inueniatis quadratus impari m
enere ondens, ex supra di Zis ct g serie expositaἶque Interuasio aut dato, cuius simi
sis ii a Malebram recurrendum est,esem integris numeris solutio non Axemeris neque canon fabricari atronet: cum innumen numeri qualom fato Eiant. Guaerant duo
nia sum ,id est a. .. Quod sis hol asiam im ara, ct ex Cenor rares ratiocinari uelles,cia tam stas in Dio. quadratorum quaesitarum latera esse ι i sciscet Hierum laterumpo
ια Sed hoc cmusanissit, liquot hoc tame obstruabis, Ex 'ratiori E te morem, i circuias ctas quot unitates ad I N id clas o altero linere quia integros di ires moror. o Liberi pos t.atioqui adrem nihil refert. Vse uide impropositionis Mai propos . ac metruo obro rastropos L. . NII. Datis duobus numeris, unum eundemq; numeriam addere. itaq; utrimm quadratum enicere. Sint numeri a & 3.& qui addendus est i N. Erit ergo alteri Ni 2, alteri Ni 3 riterque aequalis quadrato numero alicui. Hoc genus u Ccatur duplicata aequalitas. aequatiar autem sic. Interuallo conspecto qii re duos numcros quorii
unius in alterum multiplicatio istud interuallum producat. Sunt autem licic & L. horum uel interualli semissis in Q ductus minori aequatur uel summae semissis in sciductus aequatur maiori. Semissis excessiis in se ipsum facit . . huic ςquatur minor, IN ta. iiii N.V. Summae semissis in se est 2::ἰ huic aequatur maior i Ni 3. fitquc ru suum numerus t .ergo numerus qui additur,est manifestu propositum. Ne at tem in hanc duplicatam aequalitatem incidamus sic agendum. lnveniendus est numerus qui & ad a.& ad 3 adicitus, quadratum faciat utrumq:. Quae ro prius numerum, qui ad 2 ad uinctus, quadratum faciat: aut quis numerus adsumpto 3 fiat quadratus. Id autem quiuis faciet quadratus, a quo a aut 3 subtraxeris. Agamus de r. is auferatur ab i Qesuperest iQ--r: estq; euidens, huic si adiiciatur a. sore quadrarum.restat ut cliam 3 adiecto fiat quadratus at 3 adi Q a adiecto, fili Qt i. hoc ergo aequatur quadrato. Hoc quadratum fingo ab iN- tot unitatibus.ut sibili iria quadrati carum superet ipsas ante positas defectus unitates. ut licic sunt a. Sic enim rursum ab utraque parte una species uni speciei aeqitalis relinquetur. Sit latus. IN Ergo quadratum i QI 16-s N. aequatur autem hoc iQt 3.addito utriquod ci cin . S demtis aequalibus,s N aquantu ue. & fit i N. . ergo iuxta praescriptu propoliti pergentibus , numerus qui datorum utrique additus cum iacit quadratum, scii OLIO NO
80쪽
per quam Numeri quantitas inue retur. hic autem duplex est. Prius erum interualli semi is, quo interitallo alter et aequalitas. terum excedebat numerorum sic ponitorum,it: se multiplicatus, iriori aequatur: Cr summae deinde numerorumst.
mpum se ducti. maiori aequatur. id quomodoliat,bi nesciri porca si duo sint inaequalis mimerebummae ipsorum semi is quadratum tu ito numero superabit quadratum emisis intervari ipsorum: quantus est is qui uno in alli iducto numero producitur. Sint pro exemplo numeri duo s π q. rinsumma a 2, semigis es,ars huius qua- aram 36. interuallum in femi a r .huius quadratum 4. At s G qui Α amplius est mitatib. 32. quantur flexi, psorum numerorum alterius in alteram multiplicatione. Hoc estis uni. quod propositio quinta libri secundi et mentorum demonstrat. Noe nuncinuerse usurpans biophan: us: Quando inquis mi natu inter i N i s cr i Nil est unitas Ex hoc conficiunt 4 π α alterius in alterum mitiplicarisne ergo quadratus smi is de eo quod 'praestat quadrimi aequatur minorico destini ι mae numerorum natoquadratus 'Miar maiori. Quod peris inde habet, des nos uiuerso ordines pra i nobis propositi exempli dixi semus. cm 3 6 praestent 4 unitatib. 3r: aifat s la 4 Delo: ergo semigis interita lique gignit stabat , puta sequat minori Rursus siemi is summae datorum numerora qum dat quadratu rimiru 3 6 erus latus Cr semisis interi a Ioequatur maiori Enimuero nuertiactum inter est seu unitatibus in quadrantes diss)lutis. horuscinifri is et hoc est H.hMim quaadra Em hoc aequatur i Nir. Deinde summae quae colit ex Α e . p ta id mi is est l. scilior hinc si quadrasus uaequatur maiori, qui est i Ni 3. Quod toti iND: , sic habit. cum i in sexagesi mas quartas di iretur partes sama eras, utpote aequalib. i N et 2,2 integra, quippe V: relinquentarii dirissia ': ζ.quibus i Ni 3 statur, austras integra, cest ' - .relinquuntur iter in E. Haec ergo ad
dita as i as, quadratum ars consciunt ad 392 addita, quadratum 2 8 9. 12 8 monerum 2, 9 2 numerum t repraesenta uia A. Hoc loco queritur, cum interuazum inter datos nam os et fuerit unitas: cur eos quor an inulli
plicarione i far poli imi sumserit e. citra quidem licuerit idem dare e sectum Amis i uellera, catarus istor me multiplicatione oriri unitarem in aperto est. R pondeo. si alios sumi si numeros minore, vilaterualli seminis quadratus minor erat uturus non modo qua 1 N t 2,sed etiam qua ipse 2. Immi: qua rato semi ιs summae non modo non adaequast 1 N t n. sed nepotum quidem . nod si mini ex non poterat a mi inori auferri maius,tant tim abest utiperandum etiam fuerit aliquid residui, quod ipsius numeri quantitatem exprese set. Hoc absurdi ea iurum s er ἰ poneretur, e quoru multiplicatione ex Ileret i sc docebimus. Inter Ilum inter series duntaxat 'semissis t. huius quadratum : ἰ aequabitur iNtz. Rursuri 3 π i' ' Vos iris huius quadratum , aequabitur iNt 3. Et quia ob s Die unitas in nouantes diuidituri oportebit auferre a qua,' druso semissis intervia ri binarium. e est 'V:era quadratos Cis summae s , hoc est ita ut relinquatur vir bis aliqui quod quantilarem Numeri explicet. At quadrata ista inueneramus -'. ones ab illo ' τ, nee: ab hoc detrahi po punt uritis de minore, nedum ad notitiam numeri perueniri. Metiam multo miniis lacunierat habiturum s a cr ι posuissemus, quorum multiplicatione interua lum i crearetur. caeterum positis 4 π , ' uls ulterius,demonstratio procedit. Enimuero non illico innotescit qui numrri sint sumendi, quorum mulit plicatio creet interuili numera: alios Diophaim etia rei cδditione aliqua definiuisici sed sola id experietia docet ut FG reiectis 3 er l, adscivit. idem etiam in posteriore Amoni alione sic inquym. Fingo quadra ab i tot unitatibus, ut substantia quadrat superet ipsas ante positas defectus unitates . ac fingit eum ab t N-- . In priore quidem demonstratione cum a asset quadrarum Pos adfirmatiae e simi se exces vra fecit. in miteriore autem,cum desit a quadratum quos a defectu ducit. non autem 3.nam hinc actam quadratum,rursum erat mitius siturum quam defectus duarum unitatum. gactatus enim ab iN-s est ι t 9-s N. alarito, in aequatione vario quod deerat, C aequalibus abiectis, inuenitur ι Nesse l. c ius quadratus V non est amaplius quam 2 .cἰm soc sit -- iras non procedet hac via demonstrario. si dat ab i N-- 'gatur quadratur, tum uiuento i N ,quadratus ei ι nsuperabit binarium, cum hic t ut: ire maior. Nisi enim bularium hic quadratus superabit, ut eo detracto aliquid supersit: quid erit, quaeso, quos adiectura adsiecundam, quadratura co civi NYLANDRI.
Elcgans es haec quaesiti sedul rem eius explicandae uiam argute commonstrauit Diophanti , deliter C perspicue inter erante sichol a , raraus uerba misi remutilata se deprauata ex re sanos correximus. velfin ciri res quam misera sint ἀγεωμετρητοι Logistae, cr quan ' . tam V m Euchiae habeant tropo tiones. Caeteri A numeris integris hoc exemplum tractare florem autor, eo uis raso ista, quorum utris aditus st , qui quaerendus erat, quadratosaa1 CT ais en se re Libet etiam hete canon sonere, ut rapientio intelligatur quae sichol: reserata tesserat, tu eo iam taxat alucinatus, quod negauit cenam esse legem numeros quor m